De, và DA Toan 9 HK2 BGiang(10 11)

Së gd - ®t B¾c Giang
( ĐỀ CHÍNH THỨC )

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II- NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2 điểm)

3x − 5y = 4
a) Giải hệ phương trình: 
x + 5y = 8
b) Giải phương trình: x4 – x2 – 12 = 0.(1)
Bài 2. (2 điểm) Cho phương trình : x2 – 4x + 3m – 3 = 0. (2) với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (2) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x2 + x2 = 8 .
1
2

Bài 3. (2 điểm)
Một tàu thủy xuôi dòng một khúc sông dài 48 km, rồi ngược khúc sông ấy hết
tổng thời gian là 5 giờ. Tính vận tốc thực của tàu thủy (khi nước yên lặng) biết vận tốc
của dòng nước là 4km/giờ.
Bài 4. (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC
và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DCEF nội tiếp được;
·
·
b) CDE

;
= CFE
·
c) Tia CA là tia phân giác của BCF
.

Bài 5. (3 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y = x2 , đường thẳng (d) đi qua
điểm I(0; -1) và có hệ số góc k. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
A và B với mọi k và tam giác OAB vuông.
----------------- Hết -------------------Họ tên học sinh: .......................................................... Số báo danh: .....................


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II- NĂM HỌC 2010-2011
MÔN: TOÁN LỚP 9
Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài.
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ hợp lôgic. Nếu học sinh
giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
THANG
ĐIỂM

HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM

Bài 1 (2điểm)
3 x − 5 y = 4

a) 

 x + 5y = 8
x = 3

⇔
⇔
5 y = 5

4 x = 12

0,25đ

⇔

 x + 5y = 8

x = 3

y = 1

0,5đ

KL: .........
b) PT: x 4 − x 2 − 12 = 0 (1)
Đặt : x 2 = t ĐK: t ≥ 0
Phương trình (1) trở thành: t 2 − t − 12 = 0 (*)
Giải phương trình (*) tìm được t1 = 4 và t2 = − 3
Giá trị t2 = − 3 (loại); giá trị t1 = 4 thoả mãn điều kiện t ≥ 0
Với t = t1 = 4 , ta có x 2 = 4 => x1 = − 2 , x2 = 2
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm: x1 = − 2 , x2 = 2 .
Bài 2 (2điểm)
a) Thay m = 2 vào pt (2) ta được: x 2 − 4 x + 3 = 0
Nhận xét: a + b + c = 1 − 4 + 3 = 0
=>Pt có 2 nghiệm x1 = 1 , x2 = 3

b) Tính: ∆ ' = 7 − 3m
Để phương trình (2) có hai nghiệm x1 , x2 ⇔ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 7 − 3m ≥ 0 ⇔ m ≤
 x1 + x2 = 4
Theo hệ thức Vi-ét: 
 x1x2 = 3m − 3

Ta có: x12 + x22 = 8 ⇔ ( x1 + x2 )2 − 2 x1x2 = 8
16 − 6m + 6 = 8 ⇔ − 6m = − 14 ⇔ m =
Giá trị m =

0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
7
3

0,25đ

0,25đ
7
3

7
7
7
thoả mãn điều kiện m ≤ . Vậy m = là giá trị cần tìm.

3
3
3

Bài 3. (2điểm)
Gọi vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là x ( km/giờ) ĐK: x > 4
Lập luận để dẫn tới phương trình:
48
48
+
=5 ( 3 )
x+4 x−4

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ


4
Giải phương trình (3) tìm được x1 = 20 ; x2 = −
5
4
Loại x2 = − . Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/giờ.
5
Bài 4. (3điểm) Hình vẽ:

0,5đ
0,5đ

C
2
1
B
E

A

F

1
D

·
a)Ta có: ACD
= 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD )
·
Hay ECD
= 900
Xét tứ giác DCEF có:
·
ECD
= 900 ( cm trên )
·
EFD
= 900 ( vì EF ⊥ AD (gt) )
·
·
·
·

=> ECD
+ EFD
= 900 + 900 = 1800 , mà ECD
, EFD
là 2 góc ở vị trí đối diện.
=> Tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp
( đpcm )
b) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a )
·
·
¼ ) ( đpcm )
=> CDE
( góc nội tiếp cùng chắn CE
= CFE
c) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a )
¶ =D
¶ ( góc nội tiếp cùng chắn » )
=> C
(4)
EF
1
1
Xét đường tròn đường kính AD, ta có:
¶ =D
¶
¼
C
(5)
2
1 ( góc nội tiếp cùng chắn AB )

¶ =C
¶ hay CA là tia phân giác của ·
Từ (4) và (5) => C
BCF . ( đpcm )
1
2
Bài 5. (1điểm) Vì đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; −1) và có hệ số góc k.
=> phương trình (d): y = kx − 1 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) với (P):
− x 2 = kx − 1 ⇔ x 2 + kx − 1 = 0 (6)
Số giao điểm của (d) với (P) chính là số nghiệm của phương trình (6)
Ta có: ∆ = k 2 + 4 > 0 với ∀ k => phương trình (6) luôn có hai nghiệm phân
biệt x1 , x2 với ∀ k => (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với ∀ k.
Theo hệ thức Vi-ét: x1 . x2 = −1
Gọi hoành độ của A và B lần lượt là x1; x2 .

0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25
0,25đ

0,5đ

0,25đ

Vì A, B thuộc Parabol y = − x 2 nên A ( x1 ; − x12 ) ; B( x2 ; − x22 )
Gọi phương trình đường thẳng OA, OB có dạng: y = ax ( a ≠ 0)
=> Phương trình OA: y = − x1. x , phương trình OB: y = − x2 . x
Ta có: (− x1).(− x2 ) = x1.x2 = − 1 => OA ⊥ OB hay tam giác OAB vuông tại O.

0,25đ