Đáp án và đề thi HSG TOÁN 9 Thị xã Bến Tre 08-09

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ BẾN TRE
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
Năm học 2008-2009
Môn TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Bài 1. Cho x > 2 và + = a
Tính giá trị của biểu thức A = theo a
Bài 2. Cho hàm số y = + m có đồ thị (D
m
) và hàm số y = có đồ thị (D).
a) Khi m = 1, vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ (D
1
) và (D). Xác định tọa độ các giao điểm
của chúng .
b) Xác định m để khi vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ thì (D
m
) không cắt (D).
c) Chứng minh rằng (D
m
) không thể cắt (D) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ đối nhau.
Bài 3. Một người đi ô tô xuất phát từ A, khi đến B thì quay lại ngay. Người thứ hai đi mô tô
xuất phát tại B, khi đến A thì cũng quay lại ngay. Trên đường đi hai người gặp nhau hai
lần, lần đầu tại điểm cách B một khoảng 50 km. Tìm khoảng cách giữa 2 điểm gặp nhau.
Biết rằng hai người khởi hành cùng một lúc và đi với vận tốc không đổi, hai điểm A, B
cách nhau 120 km.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường trung trực của
AB cắt BD tại M và cắt AC tại N. Cho MB = a ; NA = b.
Tính diện tích của hình thoi ABCD theo a và b.
Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R cố định. Gọi C là trung điểm của OA.
Điểm M di động trên đường tròn, tia vuông góc với CM tại C cắt đường tròn tại N, gọi K

là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khi M di động trên đường tròn thì:
a) (KO
2
+ KC
2
) không đổi .
b) K di động trên một đường tròn cố định có tâm I là trung điểm của CO.
-----------------------------
ĐÁP ÁN TOÁN
Bài 1:
A = = = =
=
Vì x > 2 nên 2 x > 4 ⇒ x > 4 – x ⇒ >
⇒ A = nhân tử và mẫu với +
⇒ A = thay + = a
⇒ A = =
Bài 2.
a) M = 1 → (D
m
) trở thành (D
1
) : y = +1
(D
1
) qua các điểm đặc biệt (0,1) và (0 , – 3)
(D) qua các điểm đặc biệt (1, )) ; (0, 1) và (2 , 1)
Hoành độ giao điểm của (D
1
) và (D) cho bởi phương trình + 1 =
Giải ra được x < 1 → x = 0 ; x > 1 → x = 3

⇒ Tọa độ các giao điểm là (0 , 1) và (3 , 2)
b) Đường (Dm) có hệ số góc = nên luôn song song song với (D
1
) va (Dm) luôn cắt Oy tại
điểm (0, m)
(D
m
) đi qua điểm (1, 0) ⇔ 0 = + m ⇒ m = -
(D
m
) không cắt (D) ⇔ m < -
c) Hoành độ giao điểm của (Dm) và (D) thỏa :
⇒ { m > - và (1 – m) } hoặc { m > - và x = (m+1) }
Nếu hoành độ 2 giao điểm đối nhau thì ( m> - và m = -3 ) vô lí
Vậy (Dm) không thể cắt (D) ở 2 điểm có hoành độ đối nhau
Bài 3. v
1
v
2
A /-------------------------K----------------------I---------------------/B
I là điểm gặp lần đầu, K là điểm gặp lần sau
Gọi v
1
, v
2
lần lượt là vận tốc của ô tô (đi từ A) và mô tô (đi từ B)
t
1
, t
2

lần lượt là thời gian từ lúc khởi hành đến khi gặp lần 1 và lần 2.
⇒ khoảng đường ô tô đi từ khi khởi hành đến gặp nhau lần sau là AB + BK = 120 + BK
khoảng đường mô tô đi từ khi khởi hành đến gặp nhau lần sau là BA + AK = 120 + AK
Ta có các phương trình:
v
1
.t
1
+ v
1
.t
2
= 120 ⇔ t
1
(v
1
+ v
2
) = 120 (1)
⇒ t
2
.(v
1
+ v
2
) = 360 (2)
Từ (1)và (2) ⇒ 3 t
1
. (v
1

+ v
2
) = t
2
.(v
1
+ v
2
) ⇒ t
2
= 3t
1
⇒ v
1.
t
2
= 3.v
1
.t
1
AB + BK = 3.AI ⇔ AB + BI + IK = 3.(AB – BI) ⇔ 120 + 50 + IK = 3.(120 – 50)
⇒ IK = 40 (km)
Bài 4. B
∆AHN ~ ∆MHB ⇒ = =
N
⇒ HN = HB= HA A
H

O
C

∆AHN ~ ∆AOB ⇒ = ⇔ = =
⇒ OB = OA
M
∆AHB vuông ⇒ AH
2
+ HN
2
= AN
2

⇒ AH
2
=AN
2
– HN
2
= ⇒ AB
2
=
∆AOB vuông ⇒ OA
2
= AB
2
– OB
2
= – (OA)
2
⇒ OA =
S
ABCD

= 2 OA.OB =
Bài 5.
a) ⇒ CK = = KM M
K là trung điểm của MN ⇒ OK ⊥ MN N
∆OKM vuông tại K
⇒ OK
2
+ KM
2
= OM
2
= R
2
(không đổi) A ! B
b) Vẽ KH vuông góc với CO C O
∆CKH ⇒ CK
2
= KH
2
+ CH2
∆KOH ⇒ KO
2
= KH
2
+ HO
2
⇒ CK
2
+ KO
2

= 2 KH
2
+CH
2
+ OH
2
CK
2
+ KO
2
= R
2
2 KH
2
+CH
2
+ OH
2
= 2(KI
2
– HI
2
) + (CI – HI)
2
+ (OI + IH)
2
= 2 KI
2
+
⇒ KI = (không đổi) mà I cố định ⇒ K ∈ (I) bán kính

----------------------