Đề thi tuyển sinh vào 10 môn toán của TP. Hải Phòng

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
Thành phố Hải Phòng

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT
NĂM HỌC 2009 – 20010
THỜI GIAN: 120 phút
Ngày thi: 29/6/2006

A. ĐỀ BÀI
Câu 1: (1 điểm)
Rút gọn biểu thức A = 3

1 1
27 + 2 3
3 3

Câu 2: (2 điểm)

3 x − 2 y = 6
Cho hệ phương trình: 
 mx + y = 3
a/ Tìm các giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
b/ Giải hệ phương trình khi m = 1
Câu 3: (2 điểm)
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể thì 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy
bể thì vòi thứ hai cần nhiều hơn vòi thứ nhất là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình
đầy bể.
Câu 4: (1 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC. Vẽ ID vuông góc với cạnh

huyền BC, (D Î BC). Chứng minh AB2 = BD2 – CD2
Câu 5: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. các đường cao AD,
BK của tam giác gặp nhau tại H. Gọi E, F theo thứ tự là giao điểm thức hai của BO và BK
kéo dài với đường tròn (O)
a/ Chứng minh EF//AC
b/ Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI =

1
2

Câu 6: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
bc ac ab
+
+
P=
a
b
c

BH


B. ĐÁP ÁN
Câu 1: A = 3

1 1
27 + 2 3 = 3 3 3

3 +2 3 = 2 3

Câu 2: a/ Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì:
3
2
3
Vậy m ¹ - thì hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất.
2

m 1
¹
⇔ 3 ¹ -2m
3 -2

⇔ m¹ -

ìï
12
ïï x =
ïì 3x - 2 y = 6 ïìï 3 x - 2 y = 6 ïìï 5 x = 12
ï
5
Û í
Û í
Û í
b/ Với m = 1 ta có hệ phương trình: ïíï
ï
ï
ï
x

+
y
=
3
2
x
+
2
y
=
6
x
+
y
=
3
îï
îï
îï
ïï y = 3
ïïî
5
 12 3 

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (x;y) =  ; ÷
 5 5
Câu 3:
Gọi x (h) là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể ( Điều kiện: x > 6.)
Thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể: x + 5 (h)
1

(bể)
x
1
Mỗi giờ vòi 2 chảy được:
(bể)
x+5
1
Mỗi giờ cả hai vòi chảy được: (bể)
6
1
1
1
=
Theo đề bài ta có phương trình: +
x x +5 6

Mỗi giờ vòi 1 chảy được:

⇔ x2 – 7x – 30 = 0.
Giải phương trình ta được x1 = -3 (loại); x2 = 10 (TM)
Vậy nếu chảy một mình vòi 1 chảy đầy bể trong 10 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 10 + 5 = 15
(giờ).
A

Câu 4:
* Cách 1:
Ta có: AB2 = BI2 – AI2 = BD2 + DI2 – AI2
= BD2 + IC2 – DC2 – AI2 = BD2 – CD2 + IC2 – AI2
Mà IC = IA ⇒ IC2 = AI2 ⇒ IC2 – AI2 = 0
Nên: AB2 = BD2 – CD2

I

B

D

C


Cách 2:

Kẽ AH ⊥ BC tại H.
⇒ AH//ID (cùng vuông góc với BC)
Mà IA = IC (Gt)
⇒ HD = DC ⇒ HD2 = DC2
Ta có: BD2 – CD2 = (BH + HD)2 – CD2 =
= BH2 + 2BH.HD + HD2 – CD2 =
= BH2 + 2BH.HD (vì HD2 = DC2)
= BH.(BH + 2HD) = BH.(BH + HC) = BH.BC
= AB2
Vậy AB2 = BD2 – CD2

Câu 5:
a/ Chứng minh EF//AC
·
BE là đường kính ⇒ BFE
= 900 ⇒ EF ^ BF
Mà BF ^ AC (gt)
Nên EF//AC

1
b/ Chứng minh 3 điểm H, I, E thẳng hàng và OI = BH
2
Ta có H lá trực tâm ⇒ CH ^ AB, mà EA ^ AB (góc EAB vuông, B

góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ CH//AE
Tương tự: AH//CE ⇒ AHCE là hình bình hành.
Nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà I là trung điểm AC ⇒ I là trung điểm của HE.
Hay 3 điểm H, I, E thẳng hàng.
C2: c/m EC//=AH
·
·
C3: c/m CIE
= HIA

IH = IE và OB = OE ⇒ OI là đường trung bình tam giác BHE ⇒ OI =

A

F
K

E
I

H

O
C
D

1
BH
2


Câu 6: (1 điểm) Với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 1⇒ P > 0.
2

æbc ac ab ö
b 2 c2 a 2 c 2 a 2 b 2
b 2 c2 a 2 c 2 a 2 b 2
2
2
2
=
+
+
+
2(a
+
b
+
c
)
+ 2 + 2 +2
Ta có: P2 = ççç + + ÷

=
÷
2
2
2
2
÷
èa

b

cø

a

b

c

a

b

b c
ac
bc ac
+ 2 ³ 2
. 2 = 2c2
2
2

a
b
a
b
2 2
2 2
2 2
2 2
b c
a b
ac
a b
Tương tự: 2 + 2 ³ 2b2 và 2 + 2 ³ 2a2
a
c
b
c
2 2
2 2
2 2
b c
ac
a b
⇒ 2 + 2 + 2 ³ a 2 + b 2 + c2 = 1
a
b
c
2 ³
⇒ P
1+2=3⇒ P³ 3

b 2 c2
a 2 c 2 b 2 c2
a 2 b 2 a 2 c2
a2 b 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 ⇔ 2 = 2 ; 2 = 2 ; 2 = 2
a
b
a
c
b
c
1
⇔ a2 = b2 = c2 =
3
3
⇔a=b=c=
3

Theo BĐT Cosi cho các số dương:

2 2

2 2

2 2

2 2

Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các số dương

P=

bc
ac
ab
+
+
≥ 3 3 abc
a
b
c

bc ac ab
; ;
ta có:
a
b c

Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1 (đề bài cho)
⇒ 3 3 abc ≥ 3c ⇒ P ≥ 3c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3.

bc
ac
ab
=
=
a
b

c

3
=
3

⇔a=b=c=

3 khi a = b = c =

3
3

3
3

Sở giáo dục và đào tạo thành phố Hải Phòng

c


TRÊN ĐÂY LÀ 1 SỐ ẢNH MÌNH CHỤP ĐƯỢC Ở

THÀNH PHỐ HOA PHƯỢN ĐỎ - THÀNH PHỐ CẢNG - HẢI PHÒNG

TƯỢNG ĐÀI NỮ TƯỚNG LÊ CHÂN

PHÍA BẮC THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG BÊN BỜ SÔNG CẤM

ĐƯỜNG LÊ HỒNG PHONG - PHƯỜNG ĐÔNG KHÊ - QUẬN NGÔ QUYỀN

ĐẢO HÒN DẤU VỀ ĐÊM - QUẬN ĐỒ SƠN – TP.HẢI PHÒNG


CẢNG CHÙA VẼ VỀ ĐÊM

HỒ QUẦN NGỰA VỀ ĐÊM


ĐẢO NGỌC – KHU DỰ TRỮ SINH QUYỂN THẾ GIỚI – CÁT BÀ

ĐẢO NGỌC CÁT BÀ


ĐẢO NGỌC CÁT BÀ


QUẢNG TRƯỜNG TRUNG TÂM THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG THẢ HOA ĐĂNG


THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG THAM GIA GIỜ TRÁI ĐẤT 2011

ĐÊM ĐẤT CẢNG


HỒ TAM BẠC VỀ ĐÊM

NHÀ HÁT LỚN THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG


PHỐ CỔ HẢI PHÒNG BÊN BỜ SÔNG TAM BẠC

HỒ TAM BẠC RỰC MÀU HOA PHƯỢNG ĐỎ


THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG CHÀO MỪNG NGÀY QUỐC TẾ PHỤ NỮ
8-3

THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG KỶ NIỆM 55 GIẢI PHÒNG


HỒ PHƯƠNG LƯU


THÀNH PHỐ CẢNG VỀ ĐÊM


THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG ĐÓN TẾT CON RỒNG


TRUNG TÂM TRIỂN LÃM QUỐC TẾ HẢI PHÒNG
NHÀ DIỀU


TƯỢNG ĐÀI TRẠNG TRÌNH – DANH NHÂN VĂN HOÁ THẾ GIỚI
NGUYỄN BỈNH KHIÊM

ĐẢO CÁT BÀ


ĐƯỜNG VEN BIỂN Ở KHU 2 ĐỒ SƠN