De thi HSG Dap an Toan lop 7

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn : Toán lớp 7
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (3.0 điểm)
219.27 3 + 15.4 9.9 4
a. Tính P =
6 9.210 + 1210

b. Biết 13 + 23 + 33 ... + 103 = 3025. Tính S = 23 + 43 + 63 + ... + 203.
c. Không dùng máy tính, hãy so sánh: A =

2006 2007 2008 2009
+
+
+
với 4
2007 2008 2009 2006

Câu 2: (2.5 điểm)
a b c
= = và a + b + c =2007. Tính a, b, c.
b c a
a+b c+d
a c
=
≠ 1 ta có tỷ lệ thức = .
b. Chứng minh rằng: Từ tỷ lệ thức
a−b c−d
b d

a. Cho

Bài 3: (2.5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều
ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE.
a. Chứng minh ∆ ABE = ∆ ADC.
b. Tính số đo góc BMC.
Bài 4:(2.0 điểm)
a. Cho tam giác ABC. M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh:
2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC

b.Cho tam giác ABC. AN, BP, CQ là ba trung tuyến.Chứng minh:
4
( AN + BP + CQ ) > AB + AC + BC
3


Hướng dẫn chấm môn toán lớp 7
Câu 1: (3.0 điểm)
P=

219.(33 ) 3 + 3.5.( 2 2 ) 9 .(3 2 ) 4
(2.3) 9 .210 + (3.2 2 )10

219.39 + 3.5.218.38
2 9.39.210 + 310.2 20
218.39 (2 + 5)
= 9 19
3 .2 (1 + 3.2)
1 .7 1

=
=
2.7 2
=

- Có 23 = (2.1)3 = 23.13
43 = (2.2)3 = 23.23
63 = (2.3)3 = 23.33
...
203 = (2.10)3 = 23.103
=> S = 23(13 + 23 + ...+103) = 8.3025 =24200
2007 − 1 2008 − 1 2009 − 1 2006 + 3
+
+
+
2007
2008
2009
2006
1
1
1
3
=1−
+1−
+1−
+1+
2007
2008
2009

2006
1
1
1
1
1
1
= 4+
−
+
−
+
−
2006 2007 2006 2008 2006 2009
1
1
1
1
1
1
>
>
>
Do:
,
,
nên A > 4
2006 2007 2006 2008 2006 2009
=

0,25
0,25
0,25
0,25
0,50

0,50
0,25
0,25
0,25
0,25

Câu 2: (2.5 điểm)

a b c a + b + c 2007
= = =
=
= 1.
b c a a + b + c 2007
a
= 1 ⇒ a = b . Tương tự b = c
b
2007
⇒a=b=c=
= 669
3
a+b
c+d
≠1⇒ b ≠ 0;
≠1⇒ d ≠ 0

a−b
c−d

0,50
0,50
0,25
0,25


a+b c+d
=
⇒ (a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d )
a−b c−d

0,25
0,50

⇒ 2bc = 2ad
a c
⇒ = (Do b, d ≠ 0 )
b d

0,25

Câu 3: (2.5 điểm)
∆ ABE và ∆ ADC có:
- AD = AB (∆ ADB đều)
- AE = AC (∆ AEC đều).
- BAE = DAC ( =600 + BAC)
D

=> ∆ ABE và ∆ ADC
=> ACM = AEM
BMC = MCE + CEM
= MCA + ACE + CEM
= AEM + ACE + CEM
= AEC + ACE
= 600 + 600 = 1200.
(Mỗi ý cho 0,25 điểm)
Câu 4: (2.0 điểm)
- Tam giác MBC có:
MB + MC > BC
- Tương tự :
MC + MA > AC
MA + MB > AB
=> 2MA + 2MB + 2MC > AB + AC + BC
=> 2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC
- Gọi G là trọng tâm của tam giác. Áp dụng câu
a ta có: 2(GA + GB + GC) > AB + AC + BC
- Có GA =

2
2
2
AN ; GB = BP , GC = CQ
3
3
3

- Thay vào trên được :
2

2
2

2 AN + BP + CQ  > AB + AC + BC
3
3
3

4
- ⇒ ( AN + BP + CQ ) > AB + AC + BC
3

E

A

M

B

C

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 B
0,25

0,25

A

M
C