Đề thi thử vào 10 có đáp án

Đề thi HSG cấp trờng năm học 2009-2010
Môn: Toán 9
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5 điểm): Cho biểu thức:
1 1
1
1
1
A=
+

ữ:
ữ+
1 x 1+ x 1 x 1+ x 1 x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính A khi x = 4 + 2 3
c) Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Câu 2 (3,5 điểm): Cho hệ phơng trình:
mx + 4y = m + 2
(m là tham số)

x
+
my
=
m

a) Giải hệ phơng trình với m = 1
b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m.
c) Tìm m Z để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
Câu 3 (4 điểm): Cho phơng trình: x 2 2 ( m 1) x 3 m = 0

( 1)

a) Chứng minh rằng: phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ;x 2 thoả mãn x 21 + x 2 2 10
c) Xác định m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 ;x 2 sao cho :
E = x 21 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất?
Câu 4 (1,5 điểm): Chứng minh bất đẳng thức:
a2 + 2b2 2ab + 2a 4b + 2 0 với mọi số thực a, b
Câu 5 (6 điểm): Cho ( O; R) có hai đờng kính AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy
điểm E bất kỳ trên đoạn OA, nối CE cắt đờng tròn tại F. Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey.
a) Chứng minh rằng: I, F, E, O cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì? Vì sao?
c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào?
Đáp án Biểu điểm
Câu 1: a) ĐK: x > 0; x 1
Rút gọn đợc:

A=

b) A nhỏ nhất nếu mẫu

1
x(1 x)

(

)

x 1 x lớn nhất.

1
1 1
x(1 x) = x x = ( x )2 + , x A 4 , x
2
4 4
1
1
Dấu "=" xảy ra khi x = x =
2
4
1
Vậy Min A = 4 khi x =
4
Câu 2:
1
2
a) Với m = 1 thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất ( x = ; y = )
3
3
b) Từ hệ phơng trình ta có : (m2 4) y = m2 m 2
(m + 2)(m 2) y = (m + 1)(m 2)
- Nếu m = 2 : PT (*) 0y = 0
Hệ phơng trình đã cho vô số nghiệm.
- Nếu m = -2 : PT (*) 0y = 4
Hệ phơng trình đã cho vô nghiệm.
m +1
- Nếu m 2 : PT (*) y =
m+2

m
m +1
Hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x =
;y=
).
m+2
m+2
Ta có

(*)

c) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên thì :
m +1
1
y=
=1nguyên 1 M(m + 2) m + 2 {1 ; -1} m = -1 ; m =
m+2
m+2
-3
m
Với m = -1 ; m = -3 thì x =
nguyên.
m+2
Vậy để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên thì
m = -1 ; m = -3
Câu 3:
1 2 15
2
2
a) ' = ( m 1) + (3 + m) = m m + 4 = (m ) + > 0 , m

2
4
b) Theo hệ thức Vi-et ta có: x1 + x 2 = 2(m 1) ; x1 .x 2 = (m + 3)
Để x 21 + x 2 2 10 thì (x1 + x 2 )2 2x1 .x 2 10 4(m 1)2 + 2(m + 3) 10 m(2m 3) 0
3
m0;m
2
3
31 31
c) E = x 21 + x 2 2 = 4m2 6m + 10 = (2m - )2 +

2
4
4
Câu 4:
a2 + 2b2 2ab + 2a 4b + 2 0 (a b + 1)2 + (b 1)2 0 luôn đúng a, b