ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN TOÁN HK2 10 11

ĐỀ CHÍNH THỨC

TRƯỜNG THPT VÕ MINH ĐỨC
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 11 HỌC KỲ 2 – NH 2010 – 2011
THỜI GIAN 90 PHÚT
Câu 1. (2đ) Tìm các giới hạn sau :
x3 − x 2 + 2 x − 2
x2 + 2x − x
1/ lim
2/ xlim
2
→+∞
x →1
x + 2x − 3
1 − cos 4 x
x2 + 5 − 3
3/ lim 2
4/ lim
x →0
x →2 x − 3 x + 2
x2

(

)

Câu 2. (1đ) Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = 2
 x3 − 8
, khi x ≠ 2

Biết f ( x) =  2 x 2 − x − 6

m 2 x + 4, khi x = 2

Câu 3. (3đ)
1/ Tính đạo hàm của các hàm số sau : (1đ)
a/ y = x tan x
3

2 x2 + x
b/ y =
4x + 1

π 
2/ Cho hàm số y = sin 2 (cos x) − cos 2 (sin x) , tính y’  ÷ (1đ)
2
2x + 1
3/ Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
x−2
tuyến song song với đường thẳng ∆ có phương trình : 5x + y + 2011 = 0 (1đ)
Câu 4. (4đ)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
a 15
AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA =
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A
3
lên SB và SD.
1/ Chứng minh SBC và SCD là các tam giác vuông (1.5 đ)
2/ Chứng minh (SAC) ⊥ (ABCD) , BC ⊥ AH , SC ⊥ (AHK) .Tính khoảng cách từ B
đến mp(SAC), tính góc hợp bởi hai mp(AHK) và (ABCD) (2.5đ)
----- HẾT -----

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu
Nội dung
3
2
1
( x − 1)( x 2 + 2)
x − x + 2x − 2
lim
lim
1/
= x→1
x →1
( x − 1)( x + 3)
x2 + 2x − 3
2
x +2 3
=
= lim
x →1 x + 3
4
2/ xlim
→+∞

(

x2 + 2x − x

Vậy xlim
→+∞

(

2x

)

lim

x + 2x − x =
2

x2 + 2x + x

x →+∞

lim
x →2

( x − 1)

(

x+2
x +5 +3
2

)

=

=

2
2
1+ +1
x

2
=1
2
1+ +1
x
2
x −4

x 2 + 5 − 3 lim
3/ lim 2
= x →2
( x − 1)( x − 2)
x →2 x − 3 x + 2
=

0.25

(

0.25

0.25

x2 + 5 + 3

)

2
3

0.25
0.25

1 − cos 4 x
2sin 2 2 x
lim
=
x →0
x →0
x2
x2
sin 2 2 x
= 8lim
=8
x →0
4x2
Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = 2
 x3 − 8
, khi x ≠ 2


Biết f ( x) =  2 x 2 − x − 6
m 2 x + 4, khi x = 2

4/ lim

2

0.25

)

x2 + 2x − x =

∀ x > 0, ta có

Điểm

0.25
0.25

0.25

+ f(2) = 2 m2 + 4
x3 − 8
( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
x2 + 2x + 4
=
lim
= lim
x →2 2 x 2 − x − 6

x →2
x →2
( x − 2)(2 x + 3)
2x + 3

+ lim f ( x) = lim
x →2

12
=
7
f ( x) = f (2)
+ f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi lim
x →2
12
8
⇔ m2 = − (vô nghiệm) .Vậy không tồn tại m để
7
7
hàm số f(x) liên tục tại x = 2
a/ y = x 3 tan x ⇒ y ' = ( x3 ) '.tan x + (tan x) '.x3
⇔ 2m2 + 4 =
3

2

2

3

2

2

= 3 x tan x + (1 + tan x) x = x (3tan x + x + x tan x)

0.25
0.25
0.25

0.25
0.25


2 x2 + x
b/ y =
⇒ y' =
4x + 1
(2 x + x) '
2

y ' = 2 2x + x
2

=

)

2 x 2 + x ' ( 4 x + 1) − ( 4 x + 1) '
2x2 + x

(4 x + 1) 2
2

2(4 x + 1) 2 2 x 2 + x

(4 x + 1)
(4 x + 1) 2

(

2 x2 + x

)

0.25

2

( 4 x + 1) − 4 (

(4 x + 1) − 8 ( 2 x + x )
2

(

=

)= 2

−4

(

2x + x
(4 x + 1) 2
2

2x2 + x

)

1
2(4 x + 1) 2 2 x 2 + x

π 
2/ Cho hàm số y = sin 2 (cos x) − cos 2 (sin x) , tính y’  ÷ (1đ)
2
y’ = 2sin(cosx)(sin(cosx)’ – 2cos(sinx)(cos(sinx)’
= 2sin(cosx)cos(cosx)(cosx)’ + 2cos(sinx)sin(sinx)(sinx)’
= - sinx.sin(2cosx) + cosx.sin(2sinx)
π 
⇒ y’  ÷ = 0
2
2x + 1
3/ Cho hàm số y =
có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến
x−2
của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ có phương trình
5x + y + 2011 = 0 (1đ)

4

0.25

+ Hàm số xác định ∀ x ≠ 2
Gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm , pt tiếp tuyến của (C) có dạng :
y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0
−5
Ta có y ' =
( x − 2)2
Theo đề bài ta có tiếp tuyến song song với ∆ : 5x + y + 2011 = 0 có
hệ số góc là − 5
−5
 x0 = 3
⇒ y '( x0 ) =
=
−
5
⇒
(thỏa x0 ≠ 2 )

( x0 − 2)2
 x0 = 1
+ Với x0 = 3 ⇒ y0 = 7 ⇒ pt tiếp tuyến d1 : y = −5 x + 22
+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = −3 ⇒ pt tiếp tuyến d2 : y = −5 x + 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
a 15
AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA =
. Gọi H, K lần lượt là

3
hình chiếu của A lên SB và SD.
1/ Chứng minh SBC và SCD là các tam giác vuông (1.5 đ)
2/ Chứng minh (SAC) ⊥ (ABCD) , BC ⊥ AH , SC ⊥ (AHK) .Tính
khoảng cách từ B đến mp(SAC), tính góc hợp bởi hai mp(AHK) và
(ABCD) (2.5đ)

0.25
0.25
0.25
0.25

0.25

0.25
0.25
0.25


+ vẽ đúng hình chóp : 0.25 đ
+ vẽ thêm đúng : 0.25đ

1/ Chứng minh được ∆SBC vuông tại B
Tương tự chứng minh được ∆SCD vuông tại D
2/ SA ⊥ (ABCD) ⇒ (SAC) ⊥ (ABCD)
Chứng minh được BC ⊥ AH
Chứng minh được AK ⊥ SC
Chứng minh được AH ⊥ SC
⇒ SC ⊥ (AHK)
Xác định được khoảng cách từ B đến (SAC)

2a
Tính được khoảng cách d(B, SAC) =
5
Xác định được góc giữa hai mp (AHK) và (ABCD)
Tính được góc giữa hai mp(AHK) và (ABCD) : 600
Chú ý thí sinh có thể giải cách khác đúng vẫn chấm đủ điểm !

0.5
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25