Ôn thi vào THPT chủ đề: Hệ phương trình

NguyÔn §øc Thôy

***

HÖ ph¬ng tr×nh

HÖ Ph¬ng tr×nh
1. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
x + y − 3 = 0
2 x − y + 1 = 0

a. 

 x + 5 y = 10
7 x − 2 y = 13

(TN THCS 2000- 2001, VP)

b. 

5 x − 3 y + 1 = 0
c.  2 x
(TS THPT 2001- 2002, VP)
 3 − 2 y − 3 = 0
2 3
x + y =5
e. 
(TS THPT 2002- 2003, VP)
3
2
 − =1

 x y
x + 2 y = 3
2 x − y = 1

g. 

5 x + 3 y = 8 xy
3 x + 2 y = 5 xy
4 x + y = 1
k. 
2 x − 7 y = 8
4 x + 3 y = 1
l. 
2 x − 3 y = 5
3 x − 2 y = 7
m. 
5 x − 3 y = 3
4 x + 3 y = 7
n. 
5 x + 2 y = 8

i. 

5 x + 3 y = 8
3 x + 2 y = 5

d. 

 4 x − 3 y = 21
 2 x − 5 y = 21

f. 

 4 x + 7 y = 16
 4 x − 3 y = −24

(TS THPT 2004- 2005, VP)

h. 

(TS THPT 2005- 2006, VP)
(TS THPT NK TrÇn Phó 2003- 2004, HP)
(TN THCS 2002- 2003, B¾c Giang)
(TN THCS 2002- 2003, TP. HCM)
(TN THCS 2003- 2004, TP. HCM)

( 5 + 2) x + y = 3 − 5

10 x − 9 y = 8
15 x + 21 y = 0,5

o. 

p. 

 − x + 2 y = 6 − 2 5

2. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
 x 2 + y 2 = 20
a. 

x − y = 6
 x 2 − xy + y 2 = 7
d. 
x + y = 5
 x 2 + x + y 2 + y = 18

g. 

 x( x + 1) y ( y + 1) = 72

 x 2 + y 2 = 29
b. 
 xy = 10
 x 4 + y 4 = 17
e.  2
2
 x + xy + y = 3
( x + y )( x + y ) = 15
h. 
2
2
2

2

( x − y )( x − y ) = 3

 x 2 + y 2 = 25
c. 
 x + y = 12

5( x + y ) + 2 xy = −19
f. 
 x + y + 3 xy = −35
 x y + y x = 12
i. 

 x x + y y = 28

3. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
______________________________________________________________

NguyÔn §øc Thôy


Nguyễn Đức Thụy

***

x 1 3 y 2 = 2

x + 1 3 y 1 = 1

a.

b.

2 x 1 + 5 y + 2 = 15

2 x + 1 + 5 y 1 = 9

(m 1) x + y = m
;
x + (m 1) y = 2

Hệ phơng trình
5
3
2x y + 2x + y = 2

c.
1 1 = 2
2 x y 2 x + y 15

4. Cho hệ phơng trình:

gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x; y).
a. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
b. Tìm giá trị của m thoả mãn 2 x 2 7 y = 1 .
c. Tìm các giá trị của m để biểu thức

2x 3y
nhận giá trị nguyên.
x+ y

(trích đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Hải Dơng, năm 2004 - 2005)
2
2 x xy = 1
5. Cho hệ phơng trình (x; y là các ẩn số): 2
4 x + 4 xy y = m

(1)

a. Giải hệ phơng trình với m = 7
b. Tìm m sao cho hệ phơng trình (1) có nghiệm.
x + ay = 1
ax + y = 2

6. Cho hệ phơng trình:

(1)

a. Giải hệ phơng trình (1) khi a = 2.
b. Với giá trị nào của a thì hệ (1) có nghiệm duy nhất.
(trích ĐTTS lớp 10 BCSP Hải Phòng, năm 2003- 2004)
mx y = 1

7. Cho hệ phơng trình: 2 y
x 3 = 334

a. Giải hệ phơng trình khi cho m = 1
b. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình vô nghiệm.
(trích ĐTTN THCS tỉnh Thái Bình 2001- 2002)
8. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm:
x y = 2

a.

x y = m
3

3

x + y + xy = m

b.

2
2
x + y = m

mx + y = m 2
9. Với giá trị nào của tham số m thì hệ phơng trình sau:
x + my = 1

a. Vô định.
b. Vô nghiệm.

10. Xác định giá trị của tham số m để hệ phơng trình sau vô nghiệm:
mx + y = 3

x + my = 3

mx + 2 y = 2m
x + y = 3

11. Giải và biện luận hệ phơng trình:

______________________________________________________________

Nguyễn Đức Thụy

Nguyễn Đức Thụy

***

Hệ phơng trình

mx + y = 3
4 x + my = 1

12. Cho hệ phơng trình:

a. Giải hệ phơng trình khi m = 3.
b. Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm? vô nghiệm?
(a + b) x + ay = 2
có nghiệm là x =-1; y =1.
(a b) x by = 3

13. Tìm a và b để hệ phơng trình

x + xy + y = 2m + 1

14. Cho hệ phơng trình:

2
xy ( x + y ) = m + m

Chứng minh hệ phơng trình trên có nghiệm với mọi m. Tìm m để hệ có
nghiệm duy nhất.

x 2 + xy + y 2 = m + 6
2 x + xy + 2 y = m

15. Cho hệ phơng trình:

a. Giải hệ phơng trình khi m = 3.
b. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
x2 y 2 = 0

16. Cho hệ phơng trình:

x + y + m = 0

(m là tham số)

a. Giải hệ với m = 4 .
b. Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt (x1; y1); (x2; y2) thoả mãn:
x1.x2 + y1.y2 > 0.
(trích ĐTTS THPT 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc)
2
1
2 + x 1 y = n

17. Cho hệ phơng trình ẩn x; y:
3 + 5 =2
2 + x 1 y
3

a. Giải hệ phơng trình khi n = 1.
b. Với những giá trị nào của tham số n thì hệ vô nghiệm.

(trích ĐTTS THPT 2003- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc)
2 x + y = 2

18. Cho phơng trình bậc nhất hai ẩn x, y; tham số m:

2
x + 2 y = m + 3m + 1

a. Giải hệ phơng trình với m = 0.
b. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phơng trình có nghiệm (x0; y0)
thoả mãn điều kiện: x0 = y0.
c. Xác định các giá trị nguyên của tham số m để hệ phơng trình đã cho có
nghiệm (a; b), với a và b là các số nguyên.
(trích ĐTTS THPT 2004- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc)
x + my = 2
mx 2 y = 1

19. Cho hệ phơng trình:

a. Giải hệ phơng trình khi m = 2.
b. Tìm giá trị nguyên của tham số m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;
y) mà x > 0; y > 0.
c. Tìm giá trị nguyên của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x; y
là các số nguyên.
ax y = 2
x + ay = 5

20. Cho hệ phơng trình:

a. giải hệ phơng trình khi a = 3.

______________________________________________________________

Nguyễn Đức Thụy


Nguyễn Đức Thụy

***

Hệ phơng trình

b. Chứng minh rằng hệ phơng trình có nghiệm với mọi giá trị của a.
c. Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn: x 2 y = 0 .
(trích ĐTTS THPT 1996- 1997, VP)
ax + (a + b) y = 2
(b a ) x + ay = 3

21. Cho hệ phơng trình:

a. Tìm a, b để hệ có nghiệm x = 2; y = 1.
b. Giải hệ phơng trình khi a = 2; b = 1.
c. Cho b 0. Tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn y - x > 0.
(trích ĐTTS THPT 1997- 1998, VP)
ax + y = 1
4 x + ay = 2

22. Cho hệ phơng trình:

a. Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số a.

b. Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1.
2 x + y = m
3 x 2 y = 5

23. Cho hệ phơng trình:

(m là tham số nguyên)

Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0; y < 0.
mx + 4 y = 10 m
(m là tham số)
x + my = 4

24. Cho hệ phơng trình:

a. Giải và biện luận hệ phơng trình theo m.
b. Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x và y là
những số nguyên.
(m + 1) x + my = 2m 1

25. Cho hệ phơng trình:

2
mx y = m 2

Xác định tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà tích xy
đạt giá trị lớn nhất.
26. Giải các hệ phơng trình sau:
x + y = 1
a. 2

2
x + xy + y = 7

xy = 2

c. 1 1 9
x + y = 4

2


e. ( x y ) + 3 ( x y ) = 4
2 x + 3 y = 12.
x2 + y 2 + x + y = 8

g.
x 2 + y 2 + xy = 7.

xy = 24
b. 2
2
x + x + y + y = 62
5 x + 3 y = 8 xy

d.

3x + 2 y = 5 xy

y x = xy

f.

4 x + 3 y = 5 xy.

x +1 + y = 1

h.
x + y + 1 = 1.

______________________________________________________________

Nguyễn Đức Thụy


Nguyễn Đức Thụy
x + 1 +

i.

***

Hệ phơng trình

( x + 1)( y + 1) = 8

y =4

k.

x( x + 1) + y ( y + 1) + xy = 17.

x + y = 7.
x 2 + y 2 + xy = 1

l.
x3 + y3 = x + 3 y.
2 x3 + 3x 2 y = 5

n.
y3 + 6 xy 2 = 7.
2 x 2 + xy y 2 5 x + y + 2 = 0

p.
x 2 + y 2 + x + y 4 = 0.

( x + y )( x 2 y 2 ) = 45

m.
( x y )( x 2 + y 2 ) = 85.
6 x 2 3xy + x = 1 y

o.
x 2 + y 2 = 1.
( x + y )( x 2 + y 2 ) = 5

q.
( x y )( x 2 y 2 ) = 3.

27. Giải các hệ phơng trình sau:
x + y = 5

a. 3 y 1
ĐS (1; 4)
2x +1
2 x + 1 + 3 y 1 = 2


x + y + z = 6

b. xy + yz + zx = 1
2
2 2
x + y + z = 14.

28*. Giải hệ phơng trình:
1 1 1 51

x + y + z + x + y + z = 4


x 2 + y 2 + z 2 + 1 + 1 + 1 = 771 .

x2 y 2 z 2 16


(trích ĐTTS lớp 10 chuyên Toán- Tin, ĐH Vinh 2004- 2005)
1
1
1
(Hớng dẫn: Đặt u = x + ; v = y + ; p = z + và để ý 3(u2+v2+p2)=(u+v+p)2.

x
y
z
2
2
mà theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski thì 3(u +v +p2) (u+v+p)2 suy ra u=v=p=17/4).
29. Tìm m sao cho hệ phơng trình hai ẩn x, y:
nx + y = m

x + y =1
có nghiệm với mọi giá trị của n.
mx + y = 2m

30. Cho hệ phơng trình:

x + my = m + 1

a. Giải hệ phơng trình khi m = -1.
b. Xác định giá trị của tham số m để hệ phơng trình có nghiệm, trong đó có
nghiệm x = 1; y = 1.
x + y = 5

31.Cho hệ phơng trình: 2 x 1
y+2 +


y+2
=m
2 x 1

______________________________________________________________

Nguyễn Đức Thụy


Nguyễn Đức Thụy

***

a. Giải hệ phơng trình khi m =

Hệ phơng trình

5
.
2

b. Tìm m để hệ phơng trình vô nghiệm.
(m 1) x my = 3m 1

32. Cho hệ phơng trình:

2 x y = m + 5

Xác định tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x 2 + y 2
đạt giá trị nhỏ nhất.

______________________________________________________________

Nguyễn Đức Thụy