ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 8

PHÒNG GD&ĐT DUYÊN HẢI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS NGŨ LẠC
MÔN: TOÁN – LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề:
Câu 1 ( 5 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2
a) x – x – 12
b) (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
c) x4 + 8x3 + 14x2 - 8x - 15
Câu 2 (3,5 điểm)
x2 + x  x + 1 1 2 − x2 
:
−
+
Cho biểu thức: P = 2
÷
x − 2x + 1  x 1 − x x2 − x 
a) Tìm giá trị của x để P có giá trị xác định và rút gọn P.
b) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Câu 3 (3 điểm)
Cho phương trình x3 – (m2 – m + 7)x – 3 (m2 – m – 2 ) = 0
a) Tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng 1.
b) Giải phương trình ứng với các giá trị đó của m.
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác ABC có Aˆ = 900 ; AB = 6cm; AC = 8cm; AH ⊥ BC tại H. Gọi E và
F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC; M và N lần lượt là trung điểm của HB và
HC.
a) Tính AH.

b) Tứ giác MNFE là hình gì?
c) Tính diện tích của tứ giác MNFE.
Câu 5 (3,5 điểm)
Cho AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường vuông
góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD (E, F thuộc
phần kéo dài của các cạnh AB và AD). Chứng minh rằng AB . AE + AD. AF = AC2
_________________________
Người ra đề
(đã ký)
Bùi Thị Hồng Trang


ĐÁP ÁN
Câu
1

Nội dung
a) x – x – 12 = x – 4x + 3x – 12
= (x2 – 4x) + (3x -12 )
= x(x – 4) + 3(x – 4 )
= (x + 3) (x – 4)

Biểu điểm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

b) (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
= (x2 + 8x +7)(x2 + 8x + 15 ) + 15

Đặt x2 + 8x + 11 = y
⇒ (y – 4 ) ( y + 4) + 15
= y2 – 16 + 15
= y2 – 1
= (y – 1) (y + 1)
= (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12)
= (x2 + 8x + 10) (x + 2) (x + 6)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

2

2

c) x4 + 8x3 + 14x2 - 8x -15
= x4 + 8x3 + 16x2 – x2 – 8x – 16 – x2 + 1
= (x4 + 8x3 + 16x2) – ( x2 + 8x + 16) – (x2 – 1)
= (x2 + 4x)2 - (x + 4)2 – (x2 – 1)
= [x (x + 4)]2 – (x + 4)2 – (x2 – 1)
= x2 (x + 4)2 – (x + 4)2 – (x2 – 1)
= (x + 4)2 (x2 – 1) – (x2 – 1)
= ( x2 – 1) [(x + 4)2 – 1]
= (x + 1) (x – 1) (x +3)(x + 5)

2

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

 x +1
x2 + x
1
2 − x2 
a) P = 2
:
−
+
÷
x − 2x +1  x
1 − x x2 − x 
x ( x +1)  x +1
1
2 − x2 
=
:
−
+
÷

( x −1) 2  x
1 − x x ( x −1) 

0,25đ

x ( x +1)  x +1
1
2 − x2 
=
:
+
+
÷
( x −1) 2  x
x −1 x ( x −1) 

0,25đ

x( x + 1)  ( x + 1)( x − 1) + x + (2 − x 2 ) 
=
:
÷
( x − 1) 2 
x( x − 1)


0,25đ

x ( x +1)  x 2 −1 + x + 2 − x 2 
=

:
÷
( x −1) 2 
x ( x −1)


0,25đ

=

x( x + 1) x + 1
:
2
( x −1) x( x −1)

0,25đ


=

x( x + 1) x( x − 1)
.
( x − 1) 2 x + 1

0,25đ

x2
=
x −1

0,25đ

Vậy để giá trị của P được xác định khi

x −1 ≠ 0

x ≠ 0
 x +1 ≠ 0


x ≠ 1

⇔ x ≠ 0
x ≠ −1


x2
x 2 −1 +1
b) P =
=
x −1
x −1
= ( x +1) +

1
x −1

Để P∈ Z thì x – 1 ∈ Z nên x – 1 ∈ Ư(1)
⇒ x – 1 ∈ {1 ; -1}
+ Nếu x – 1 = 1 ⇒ x = 2 (thỏa mãn)

+ Nếu x – 1 = -1 ⇒ x = 0 (loại)
Vậy để P nguyên khi x = 2

0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ

 0, 25 đ


 0, 25 đ


3
a) Thay x = 1 vào pt ta được: - 4m2 + 4m = 0
⇔ m2 – m = 0
⇔ m (m – 1) = 0
⇔ m = 0 hoặc m = 1

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

b) Thay m2 – m = 0 vào pt ban đầu ta được:
x3 - 7x + 6 = 0
⇔ x3 - 1 – 7x +7 = 0

⇔ (x3 - 1) – (7x – 7) = 0
⇔ ( x - 1)(x2 + x + 1) – 7(x – 1) = 0
⇔ (x – 1) (x2 + x – 6) = 0
⇔ (x – 1) (x + 3)( x – 2) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -3 hoặc x = 2
Vậy pt có ba nghiệm x = 1; x = 2 ; x = -3

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ


4

B

M
H

E

Vẽ hình
đúng
0,5đ

N

O

A

F

C

a) Xét ∆ABC vuông tại A có:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 102
⇒ BC = 10 cm

0,25đ
0,25đ

1
1
AB. AC = BC. AH
2
2
AB. AC 6.8
⇒ AH =
=
= 4,8 cm
BC
10
b) Xét ∆ MHO và ∆ MEO có:

Ta có: SABC =

0,25đ
0,25đ

MH = ME (EM là trung tuyến trong ∆ BEH vuông)
MO: là cạnh chung
OH = OE (AH, EF là 2 đường chéo của hcn AEHF)
Do đó: ∆ MHO = ∆ MEO (c . c . c)

·
·
⇒ MEO
= MHO
= 900

⇒ ME ⊥ EF
Tương tự ta có: NF ⊥ EF

Vậy MF // NE nên MNFE là hình thang vuông.
c) Ta có AEHF là hình chữ nhật nên EF = AH = 4,8 cm
1
HB
2
1
FN = HC
2
1
1
⇒ EM + FN =

(HB + HC) = BC
2
2
1
1 1
Khi đó : SMNFE = (EM + FN). EF = . BC.EF
2
2 2
1
=
. 10 . 4,8 = 12cm2
4

Mặt khác, do EM =

5

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ

E

B

C

G
A

D

F

Vẽ hình
đúng
0,5đ


Vẽ BG ⊥ AC
Xét ∆ ABG và ∆ ACE có:
Aˆ : là góc chung
Gˆ = Eˆ = 90

0,25đ
0,25đ

0

Do đó: ∆ABG : ∆ACE ( g.g ) ⇒

AB AG
=
AC AE

⇒ AB . AE = AC . AG

(1)

Xét ∆ CBG và ∆ ACF có:
Gˆ = Fˆ = 900

·
·
GCB
= CAF

(so le trong do AF // BC)

AF
AC
Do đó: ∆CBG : ∆ACF ( g.g ) ⇒CG = CB
⇒ AF . CB = AC . CG (2)
Cộng các vế tương ứng của (1) và (2) ta có:
AB . AE + BC . AF = AC. (AG + CG)
⇒ AB . AE + BC . AF = AC. AC
Hay AB . AE + BC . AF = AC2
Vì BC = AD (do ABCD là hình bình hành)
nên AB . AE + AD. AF = AC2

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ