SKKN:Phát triển từ một bài toán

MỞ ĐẦU
Trong các môn học ở tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt môn Toán có
vị trí rất quan trọng. Nội dung kiến thức môn toán được đưa vào các lớp tiểu
học là một hệ thống kiến thức cơ bản và cũng là kiến thức nền tảng làm cơ sở
cho việc lĩnh hội nhiều kiến thức khác trong chương trình tiểu học hoặc mở
đầu cho học các kiến thức nền tảng ở các bậc học trên.
Vậy làm thế nào thông qua việc cung cấp những kiến thức cơ bản ban
đầu của môn toán học sinh biết vận dụng kiến thức đó để khám phá tìm tòi
những kiến thức mới. Đó là điều làm tôi trăn trở băn khoăn, với trang viết này
tôi xin trình bày việc vận dụng kiến thức từ bài “Thừa số - Tích” (Toán Lớp 2
-Trang 94) giúp học sinh giải các bài toán ở tiểu học.
I. CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN

- Xuất phát từ cấu trúc chương trình môn toán ở Tiểu học:
+ Hệ thống kiến thức được xây dựng theo quan điểm đồng tâm phát
triển và mở rộng. Trong toàn bộ hệ thống các kiến thức cơ bản được đưa vào
toàn bộ chương trình cũng như mỗi lớp, có những kiến thức cơ bản nhất,
trong đó có những kiến thức nền tảng làm cơ sở cho việc lĩnh hội nhiều kiến
thức khác trong chương trình Tiểu học hoặc mở đầu cho học các kiến thức
nền tảng ở bậc học trên.
+ Kiến thức toán học (trong đó có những kiến thức cơ bản và nền tảng)
đếu trừư tượng, đối với học sinh tiểu học không phải học một lần là lĩnh hội
được mà phải qua nhiều lần ôn tập, nhắc lại là qua vận dụng vào giải bài tập
hay vào học các kiến thức khác có liên quan các em mới nhận thức được đầy
đủ.
- Xuất phát phương pháp dạy học toán ở tiểu học là “Ôn cũ để luyện
mới” kiến thức mới được xây dựng trên cơ sở tìm tòi, phát hiện từ kiến thức
đã học.
- Quan sát quá trình học toán của học sinh tiểu học với những kiến thức
cơ bản, sơ đẳng ban đầu nếu các em được nắm chắc cùng với sự gợi mở dẫn
đường của giáo viên và thông qua luyện tập thực hành của học sinh từ đó sẽ

tạo ra sự say mê tìm tòi, sáng tạo trong học toán và đưa lại hiệu quả chất
lượng cao trong học toán của học sinh.
II. BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH.
2.1. Khắc sâu kiến thức cơ bản được cung cấp theo chương trình mà
sách giáo khoa đã thể hiện:

1


Bài toán 1:
a) Mỗi xe đạp có 2 bánh. Hỏi 5 xe đạp có mấy bánh?
b) C ó 10 bánh xe, lắp đều mỗi xe 2 bánh. Hỏi tất cả có mấy xe?
c) 10 bánh lắp đều vào 5 xe. Hỏi mỗi xe có mấy bánh?
Học sinh dễ dàng lập được phép tính để giải bài toán như sau:
a)
2
x
5 =
10 (bánh)
Thừa số 1
b) 10
:

Thừa số 2
2
=

Tích

Tích

5 (xe)

Thừa số 1

c) 10

:

Tích

5

Thừa số 2

=

2 (bánh)

Thừa số 2

Thừa số 1

GV đưa bài toán về sơ đồ sau:
10

:

Tích
2
TS1

x

5
TS2

2

=

5(xe)

Thừa số 1

Thừa số 2

5

2 (bánh)

= 10
Tích

10
Tích

:

=

Thừa số 2

Thừa số 1

Dựa vào sơ đồ trên em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa tích và các
thừa số của tích?
- Học sinh rút ra nhận xét 1
+ Tích chia cho thừa số này được thừa số kia.
+ Muốn tìm thừa số của tích ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
Từ kiến thức học sinh lĩnh hội được - Giáo viên đưa ra bài toán sau:
Bài toán 2: Cho các phép nhân sau:

2


Em có nhận xét gì về các thừa số và tích của các phép tính trên?
Học sinh rút ra nhận xét 2:
- Tích đều giống nhau (không đổi)
- Thừa số 1 gấp lên 2, 3 lần thì thừa số thứ hai của tích sẽ giảm đi 2,
3 lần.
Bài toán 3: Từ bảng nhân 6 em hãy lập bảng chia 6. Qua bảng nhân,
bảng chia em có nhận xét gì về tích và các thừa số của tích:

HS rút ra nhận xét 3:
- Thừa số thứ nhất đều bằng nhau, thừa số thứ hai của tích tăng hay giảm bao
nhiêu lần thì tích sẽ tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
Qua bài toán 1, 2, 3 học sinh rút ra kiến thức về mối quan hệ giữa tích và thừa
số của tích:
- Tích chia cho thừa số này được thừa số kia.
- Tích không đổi thừa số này tăng (hay giảm) bao nhiêu lần thừa

số kia sẽ giảm (hay tăng) bấy nhiêu lần.
- Thừa số này không đổi thừa số kia tăng hay giảm bao nhiêu
lần thì tích cũng sẽ tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
2.2. Vận dụng kiến thức về mối quan hệ giữa tích và các thừa số của
tích vào giải các bài toán cấp tiểu học, các kiến thức mới.
2.2.a: Nhận diện các kiểu bài toán có liên quan đến mối quan hệ giữa
tích và thừa số của tích:
Sau đây là một số dạng toán thường gặp ở Tiểu học đã sử dụng kiến
thức về mối quan hệ giữa tích và thừa số của tích để giải :
1. Các bài toán về chu vi hình vuông .
Vì: P
=
a
x
4
Chu vi hình vuông
(Tích)

Độ dài cạnh
Thừa số 1

Thừa số 2

3


Quan hệ giữa chu vi hình vuông với độ dài cạnh của nó là quan hệ giữa
tích và thừa số trong phép nhân.
- P tăng hay giảm bao nhiêu lần khi a tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
2. Các bài toán chu vi hình tròn

C
=
d
x
3,14 =
r
x
2
x
3,14
Chu vi hìnhThừa số 1
Thừa số 2 không đổi
Thừa số 2 Thừa số 1
tròn
không đổi
Đường kính
Bán kính
(Tích)
- Vì 3,14 không đổi nên d tăng hay giảm bao nhiêu lần thì C sẽ tăng
hay giảm bấy nhiêu lần.
- Vì 2 x 3,14 không đổi nên r tăng hay giảm bao nhiêu lần thì C sẽ tăng
hay giảm bấy nhiêu lần.
3. Các bài toán về diện tích hình chữ nhật.
Vì
S
=
a
x
b
Diện tích Chiều dài

Chiều rộng
(Tích)
(T.Số 1)
(T.Số 2)
Từ mối quan hệ giữa tích và các thừa số của tích học sinh dễ dàng
nhận ra quan hệ giữa diện tích (S) với chiều dài (a)và chiều rộng(b).
+ Khi chiều dài (hay chiều rộng) không đổi nếu diện tích tăng hay giảm
bao nhiêu lần thì chiều rộng (hay chiều dài) sẽ tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
+ Khi diện tích (S) không đổi nếu chiều dài (chiều rộng) tăng hay giảm
bao nhiêu lần thì chiệu rộng (chiều dài) sẽ giảm hay tăng bấy nhiêu lần.
4. Các bài toán về diện tích hình tam giác:
Vì
Đáy

Chiều cao

Diện tích

Vì S là thương và số chia luôn luôn bằng 2 không đổi, nên S phụ thuộc
vào a x h. Do vậy mối quan hệ giữa S với a và h là mối quan hệ giữa tích với
các thừa số của tích, từ đó học sinh rút ra được kết luận.
- Khi chiều cao (hay đáy) không đổi, nếu đáy (hay chiều cao ) tăng hay
giảm bao nhiêu lần thì diện tích tam giác sẽ tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
- Khi diện tích (S) không đổi nếu đáy (hay chiều cao) tăng hay giảm
bao nhiều lần thì chiều cao (hay đáy tương ứng) sẽ giảm hay tăng bấy nhiêu
lần.
5. Các bài toán về chuyển động đều:
4

Vì

S

=

v

x

t

Quãng đường Vận tốc
Thời gian
(Tích)
(T.Số 1) (T.số 2)
Học sinh dễ dàng nhận ra mối quan hệ giữa quãng đường (S) với vận
tốc (v) và thời gian (t) đó là:
+ Với cùng một vận tốc thời gian đi tăng hay giảm bao nhieu lần thì
quãng đường đi cũng tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
+ Trong cùng một thời gian thì vận tốc tăng hay giảm bao nhiêu lần thì
quãng đường đi cũng tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
+ Trên cùng một quãng đường nếu vận tốc tăng hay giảm bao nhiêu lần
thì thời gian đi sẽ giảm hay tăng bấy nhiêu lần.
6. Các bài toán về mua bán hàng hoá.
- Vì số tiền mua hàng = Giá hàng (đơn giá) x số hàng mua
Tích

T.số 1

T.số 2

Từ mối quan hệ đó học sinh dễ dàng nhận thấy:
- Giá hàng (đơn giá) không đổi thì số hàng mua tăng hay giảm bao
nhiêu lần thì số tiền mua hàng sẽ tăng hay giảm bấy nhiêu lần.
- Khi số tiền mua hàng không đổi thì giá hàng tăng hay giảm bao nhiêu
lần thì số hàng mua được sẽ giảm hay tăng bấy nhiêu lần.
7. Một số bài toán khác như đo lường, thể tích cũng tương tự.
2.2.b. Một bài toán đã sử dụng kiến thức mối quan hệ giữa tích và các
thừa số của tích để giải.
Bài toán 1: Một mảnh đất hình vuông có chu vi là 28,8 m. Trên mảnh
đất đó người ta đào một hồ chứa nước cũng hình vuông có cạnh hồ bằng

1
5

cạnh mảnh đất. Tính chu vi hồ?
Học sinh dễ dàng tìn ra nhanh kết quả bài toán dựa vào mối quan hệ
giữa cạnh hình vuông với chu vi của nó đó là cạnh bằng
bằng

1
thì chu vi cũng
5

1
1
. Vậy chu vi hồ là: (28,8 x ) = 5,76 (m).
5
5

Bài toán 2: Hai hình tròn có hiệu chu vi bằng 12,56 cm. Hình tròn bé
có bán kính bằng

2
bán kính hình tròn lớn. Tìm diện tích mỗi hình tròn:
3

- Với bài toán này nhờ sử dụng mối quan hệ giữa bán kính và chu vi
hình tròn. Khi bán kính bé bằng

2
bán kính lớn thì chu vi hình bé tương ứng
3
5


cũng bằng

2
chu vi hình lớn và học sinh dễ dàng giải bài toán. Khi đã tìm
3

được chu vi mỗi hình như sau:
Chình tròn bé
12,56
Chình tròn lớn
Chu vi hình tròn bé: 12,56 x 2 = 25,12 (cm)
Bán kính hình tròn bé: 25,12 : 3,14 = 4 (cm)
Bán kính hình tròn lớn: 4 x

3
= 6 (cm)
2

Diện tích hình tròn bé: 4 x 4 x 3,14 = 50,24 (cm2)
Diện tích hình tròn lớn: 6 x 6 x 3,14 = 113,04 (cm2)
Bài toán 3: Hai hình tròn có tổng chu vi là 62,8 cm. Biết đường kính
hình tròn lớn gấp 4 lần đường kính hình tròn bé. Tính diện tích mỗi hình?
- Để giải bài toán này vấn đề giải quyết đó là tìm được chu vi mỗi hình.
Dựa vào mối quan hệ giữa đường kính - bán kính và chu vi hình tròn , học
sinhh dễ dàng nhận ra:
+ Vì đường kính hình tròn lớn gấp 4 lần đường kính hình tròn bé nên
chu vi hình tròn lớn gấp 4 lần chu vi hình tròn bé và đưa bài toán về:
Chình tròn bé
62,8 cm
Chình tròn lớn
Chu vi hình tròn bé là: 62,8 : (4 + 1) x 1 = 12,56 (cm)
Bán kính hình tròn bé là: 12,56: 3,14 : 2 = 2 (cm)
Bán kính hình tròn lớn là: 2 x 4 = 8 (cm)
Diện tích hình tròn lớn là: 8 x 8 x 3,14 = 200,96 (cm2)
Diện tích hình tròn bé là: 2 x 2 x 3,14 = 12,56 (cm2)
Bài toán 4: Cho tam giác ABC
có chiều cao AH sao cho BH =

1
BC.
4

Trên chiều cao AH lấy điểm K sao cho

HK =

1
AH. Nối BK, KC. So sánh
4

SABH với SBKC ?
- Sử dụng mối quan hệ giữa đáy, chiều cao và diện tích, học sinh sẽ
nghỉ ngay việc tìm ra những cặp tam giác có chung đáy hoặc chung chiều cao
từ đó học sinh dễ dàng nhận ra các cặp tam giác đó là:
6


Tam giác ABC với tam giác ABH
Tam giác ABC với tam giác BKC
+ Cặp tam giác ABC và ABH có:
- Chung chiều cao AH
- Đáy BH =

1
BC
4

+ Cặp tam giác ABC và BKH có:
- Chung đáy BC
1
- Chiều cao KH = AH
4

SABH =

1
SABC
4

(1)

SBKC =

1
SABC
4

(2)

Từ (1) và (2)
SABH = S BKC
Bài toán 5: Cho tam giác ABC. Trên cạnh
AC lấy điểm N sao cho CN =
AB lấy điểm M sao cho BM =

1
CA. Trên cạnh
3

1
BA. Nối BN, CM
3

cắt nhau tại O.

So sánh SBOM với SCON
- Bài toán liên quan đến diện tích tam giác nên học sinh dễ dàng nghĩ
ngay đến tìm cặp tam giác có liên quan đến chung đáy hay chung chiều cao và
liên quan đến SBOM và S CON.
Học sinh đã sử dụng kiến thức mối quan hệ giữa S, a, h của các cặp
tam giác để giải bài toán:
+ Cặp tam giác ABC và BCM có:
- Đáy BM =

1
BA
3

1
3

SBCM = SABC (1)

- Chung chiều cao hạ từ C

+ Cũng tương tự cặp tam giác ABC và BNC có:
Từ (1) và (2)
SBCM = SBCN.
mà SBMC = SBOC + SBOM
SBNC = SBOC + SCON

SBCN =

1
SABC (2)

3

1

SB0M = 3 SCON

Bài toán 6: Cho tam giác ABC.
Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho đoạn
AM chia tam giác ABC thành 2 phần có
diện tích gấp kém nhau 3 lần
- Dựa vào mối quan hệ giữa S, a, h của
tam giác. Học sinh sẽ nghĩ ngay 2 phần được
chia ra là 2 hình tam giác có quan hệ đáy hoặc chiều cao gấp kém nhau 3 lần.
7


Từ đó dễ dàng tìm được điểm M ở trên cạnh BC sao cho M chia đoạn BC
thành 2 đoạn có độ dài gấp kém nhau 3 lần.
+ Đáy BM =

1
1
BC hay BM = MC
4
3

1
3

SABM = SAMC

+ Chung chiều cao hạ từ A
Hoặc: Đáy CM =

1
1
CB hay CM = BM
4
3

+ Chung chiều cao hạ từ A
1
3

SCMA = SAMB
Bài toán 7: Một miếng bìa hình bình
hành có chu vi 2m. Nếu bớt chiều dài 20cm
thì được một miếng bìa hình thoi có diện tích
6 dm2.
Tính diện tích miếng bìa hình bình hành ?

A

M

2 dm

B

6 dm2

D
N
C
- Vì cạnh hình thoi AMND chính là chiều rộng hình bình hành (nên chiều cao
không đổi). Vậy chiều dài hình bình hành gấp cạnh hình thoi bao nhiêu lần thì
diện tích hình bình hành gấp bấy nhiêu lần diện tích hình thoi.
- Vậy với bài toán này học sinh nghĩ ngay đến tìm cạnh hình thoi và có
cách giải sau:
Chu vi hình thoi AMND là: 20 - 2 x 2= 16 (dm)
Cạnh hình thoi Am là: 16: 4 = 4 (dm)
Độ dài cạnh AB hay chiều dài hình bình hành ABCD là: 4 + 2 = 6 (dm)
Độ dài AB so với độ dài AM là: 6 : 4 =

3
2

Vậy diện tích miếng bìa hình bình hành là:
3

6 x = 9 (dm2)
2
Bài toán 8: Cho tam giác ABC. Trên
cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = MB. Trên
cạnh BC lấy điểm N sao cho BN =

1
BC. Nối
3

AN và CM cắt nhau tại P. Biết SAMP = 6cm2.
Tính SABC = ?
- Vì bài toán yêu cầu tính SABC và cho biết
SAMP và cho biết các chỉ số về tỷ lệ đoạn thẳng trên cạnh AB và cạnh AC của
tam giác ABC nên học sinh sẽ nghĩ ngay đến việc tìm các cặp tam giác có liên
quan đến tam giác ABC, AMP và các cạnh đáy AM, AB, BN, BC. Cùng với
8


việc sử dụng mối quan hệ giữa chiều cao, đáy, diện tích, học sinh sẽ tìm ra
cách giải sau:
+ Cặp tam giác ABN và ANC có:
- Đáy BN =

1
1
NC (vì BN = BC)
2
3

SABN =

- Chung chiều cao hạ từ A
Từ SABN =

1
2

SANC

chiều cao BH2 =

+ Cặp tam giác BAP và CAP có:
- Chung …áy AP( không đổi)
- Chiều cao BH2 =

1
CH1
2

1
CH1 )Vì
2

SBAP =

+ Cặp tam giác BAP và AMP có:
- Chiều cao hạ từ P không đổi
- Đáy AM =
Từ (1) và (2)

1
AB
2

SAMP =

SANC

chung đáy AN)

SCAP (1)

SAMP =

1
2

SBAP (2)

1
SCAP
4

SCAP = 6 x 4 = 24 (cm2)
SAMC = 24 + 6 = 30 (cm2)
+ Cặp tam giác AMC và ABC có:
- Chiều cao hạ từ C không đổi (chung)
- Đáy AM =

1
2

1
2

1
AB
2

SAMP =

1
2

SBAP (2)

SABC cần tìm là: 30 x 2 = 60 (cm2)
Bài toán 9: Cho tam giác ABC. Kéo dài
cạnh AB về phía B một đoạn BM = AB.Kéo
dài cạnh BC về phía C một đoạn CN = CB.
Kéo dài cạnh CA về phía A một đoạn AK =
AC. Nối NK, KM và MN.
Tính SMNK . Biết SABC = 200 cm2.

- Với bài toán này khi học sinh đã sử dụng thành thạo mối quan hệ giữa
diện tích, cạnh đáy và chiều cao trong tam giác cùng với giả thiết của bài toán
cho biết tỷ lệ các đoạn thẳng với các cạnh của tam giác ABC và cho biết S ABC,
thì học sinh dễ dàng tìm hướng đi cho cách giải bài toán đó là tìm các cặp tam
giác có liên quan đến tam giác ABC.
9


- Mối quan hệ giữa S,a, h của tam giác lại là công cụ sắc bén cho việc
tìm hướng đi cách giải bài toán một cách dễ dàng như sau:
- Lấy SABC để so sánh với diện tích các tam giác: AKB, BMC, CAN.
Học sinh dễ dàng nhận được kết quả:
+ SABC = SAKB
Dựa vào mối quan hệ chung chiều
(1)

cao đáy bằng nhau thì diện tích
+ SABC = SCNA
bằng nhau.
+ SABC = SBMC
- Cũng tương tự học sinh dễ dàng rút ra kết quả:
+ SAKB = SBKC
(2)
+ SCAN = SNAK
+ S BMC = SMCN
Từ (1) và (2)

SABC =

1
SMNK
7

SMNK = 200 x 7 = 1400 (cm2)
Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có diện tích
20 cm2.
Kéo dài cạnh AB về phía B một đoạn BM = BA.
Kéo dài cạnh BC về phía C một đoạn CN = BC.
Kéo dài cạnh CD về phía D một đoạn DP = DC.
Kéo dài cạnh DA về phía A một đoạn AK = AD.
Nối KM, MN, NP, PK.Tính SKMNP= ?

- Cũng tương tự với bài toán 9. Bài toán này dựa vào mối quan hệ giữa
S, a, h của tam giác học sinh dễ dàng tìm được:
SKAM = 2 x SABD
SABD = SAKB = SKBM

SNCD = 2 x SBCD
SBDC = SDCN = SDNP
S KAM + SNCD = 2 x SABCD
1
Bài toán 11: Cho tam giácABC
có SKMNP
SABCD =
SPDK + SNBM = 2 x SABCD
5
diện tích bằng 180cm2. Lần lượt trên cạnh
SKMNP
= 20 M,
x 5N
= 100
(cm2BM
) = 1
BC và AC
lấy điểm
sao cho
4
1
BC, CN = AC. Nối AM. Trên AM lấy
3
1
điểm P sao cho PA = AM. Nối MN, NP.
2

Tính SMNP = ?

10

Tương tự với bài 9, 10 học sinh nhờ sử dụng kiến thức mối quan hệ giữa S,
a,h của tam giác đã tìm ra được:
1
1
1
SNMA = SAMC = SABC
2
3
4
1
SMNP = 180 x
= 45 (cm2)
4

SMNP =

Bài toán 12: Cho tam giác ABC có
diện tích bằng 324cm2. Trên cạnh BC lấy 2
điểm P và Q sao cho BP =

1
1
BC; CQ =
3
4

BC. Từ P kẻ đường thẳng song song với
AB và từ Q kẻ đường thẳng song song với

AC. Hai đường thẳng này gặp nhau tại O.
Tính SAOB = ?; SBOC = ?; SCOA = ?

Với bài toán này là một bài toán khó nhưng nếu học sinh biết sử dụng
mối quan hệ giữa S, a, h của tam giác để tìm ra cá cặp tam giá có liên quan
đến tam giác AOB, BOC, COA và ABC thì việc tìm ra cách giải cũng thật
đơn giản.
+ Cặp tam giác ABP và AOB có:
- Chung đáy AB
- Chiều cao hạ từ O và P bằng nhau bằng chiều cao hình thang ABPO
SAOB = SABP mà SABP =
=

1
SABC (vì chung chiều cao hạ từ A, đáy BP
3

1
BC)
3
1
= 108 (cm2).
3
1
1
Tương tự SAQC = SAOC = SABC = x 324 = 81 (cm2)
4
4

SAOB = 324 x

SBOC = SABC – SAOB - SAOC
11


= 324 - 108-81 = 135 (cm2)
Cũng tương tự nhờ dựa vào mối quan hệ giữa S, a, h với bài toán tưởng
chừng rất khó song nếu học sinh biết sử dụng kiến thức đã học trong mối
quan hệ điều kiện bài toán đã cho dễ dàng tìm ra
cách giải thật đơn giản cho bài toán sau.
Bài toán 13: Cho tam giác ABC.Lấy M,
N lần lượt là điểm chính giữa của các cạnh AB,
AC. Các đoạn thẳng BN, CM cắt nhau tại
O.Đường thẳng Ao cắt BC tại P.
a)Với
So sánh
đoạn
thẳng
PC?
cách độ
vậndài
dụng
mối
quanBP
hệvới
giữa
S,a và h trong
b)tam
So sánh
độ dài

đoạn
thẳng
BO tích
với ON?
giác như
mối
quan
hệ giữa
và thừa số của
tích ta sẽ dễ dàng tìm được kết quả bài toán là:
Đáp số:
a) BP = PC
1
2

b) ON = BO
Bài toán 14: Nhân dịp tổng kết năm học, chị tổng phụ trách có một số
tiền dự định mua quà tặng phần thưởng cho tất cả các bạn trong Ban chỉ huy
liên đội. Chị đang phân vân với số tiền nếu mua mỗi bạn 1 gói quà to thì còn
6 bạn chưa có quà, nếu mua mỗi bạn 1 gói quà nhỏ thi thừa 3 gói. Biết giá
tiền 1 gói nhỏ bằng

2
giá tiền 1 gói to. Hỏi Ban chỉ huy liên đội có bao nhiêu
3

bạn?
- Với bài toán này vì số tiền chị phụ trách có (hay số tiền mua quà)
không đổi chính là tích giữa số gói quà mua với giá tiền mỗi gói quà.
Vậy quan hệ giữa giá tiền mỗi gói quà với số gói quà mua là quan hệ

giữa 2 thừa số của tích khi tích không đổi. Khi học sinh nhận ra được mối
quan hệ này sẽ dễ dàng tìm được cách giải bài toán như sau:
Giá tiền gói nhỏ so với giá tiền gói to là

2
3

Vậy số gói quà nhỏ so với số gói quà to là
và

Số gói to:

3
2

6+3

Số gói nhỏ:
Số gói to là: (6 + 3) x 2 = 18 (gói)
Số bạn trong Ban chỉ huy liên đội là: 18 +6 = 24 (bạn)
12


Bài toán 15: Có một số nước mắm và một số can 5 lít và can 10 lít.Nếu
đổ vào tất cả các can 5 lít thì vừa hết, nếu đổ vào tất cả các can 10 lít thì cũng
vừa hết. Biết tổng số can 5 lít và can 10 lít là 30 can..
Hỏi có bao nhiêu lít nước mắm?
- Vì tổng số lít nước mắm chính bằng số can mỗi loại nhân với số lít
nước mắm đựng trong loại can đó.
- Khi học sinh nhận ra mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán

là:
Số can 5 lít x 5 (lít) = Số can 10 lít x 10 (lít) = Số nước mắm
Tích
T.số 2
T.số 1
T.số 2
T.số 1
Vì tích không đổi và 10 lít so với 5 lít là:
10: 5 = 2 (lần)
Vậy số can 10 lít so với số can 5 lít là:
Ta có:

1
lần.
2

Số can 10 lít:

30 can

Số can 5 lít:
Số can 10 lít là: 30 : ( 2 +3) x 1 = 10 (can)
Số nước mắm là: 10 x 10 = 100 (lít)
Bài toán 16: Cô giáo có 1 số kẹo chia đều cho các em mẫu giáo.Nếu
chia mỗi em 4 cái thì em nào cũng được chia. Nếu chia mỗi em 10 cái thì còn
15 em chưa có kẹo.Hỏi cô giáo có bao nhiêu kẹo và có mấy em mẫu giáo?
- Với bài này tương tự bài 15. Các em nhận ra được mối quan hệ giữa
các đại lượng trong bài là quan hệ giữa tích và thừa số của tích như sau:
Số em được chia kẹo x Số kẹo mỗi em nhận = Số kẹo cô có
T.số 1

T.số 2

Tích

⇒ Số em MG x 4 (kẹo) = Số em được chia 10 cái x 10 = Số kẹo (không đổi)

Vì 4 kẹo so với 10 kẹo gấp:

4 :10 =

2
(lần)
5

⇒ Số em được chia 4 cái so với số em được chia 10 cái là:

Ta có:

5
(lần).
2

Số em MG:
Số em được 10 kẹo:
Số em mẫu giáo là:

15 em

15: (5 -2) x 5 = 25 (em)

13


Số kẹo cô có là:

4 x 25 = 100 (kẹo)

Bài toán 17: An đi từ nhà lên thành phố đường dài 155 km bằng xe đạp
và ô tô. Lúc đầu An đi xe đạp trong 1 giờ 20 phút rồi đi tiếp bằng ô tô 3 giờ
nữa mới tới nơi. Biết vận tốc ô tô gấp 3 lần vận tốc xe đạp. Tính vận tốc mỗi
xe?
- Với bài toán này học sinh nhận ra được mối quan hệ giữa quãng
đường (S) và vận tốc (v), thời gian (t) là quan hệ giữa tích và thừa số:
S
Tích

=

v
T.số 1

x

t
T.số 2

Sử dụng mối quan hệ giữa tích và thừa số học sinh sẽ nhận ra:
- Khi quãng đường không đổi vì vận tốc ô tô gấp 3 lần vận tốc xe đạp
nên thời gian đi xe đạp sẽ gấp 3 lần thời gian đi ô tô.
Học sinh sẽ dễ dàng tìm ra cách giải:

Quãng đường ô tô đi trong 3 giờ thì xe đạp phải đi trong thời gian là:
3 x 3 = 9 (giờ)
Đi từ nhà lên thành phố chỉ bằng xe đạp mất thời gian:
1 giờ 20 phút + 9 giờ = 10
Vận tốc xe đạp là: 155 :
Vận tốc ô tô là:

1
31
(giờ) =
(giờ)
3
3

31
= 15 (km/giờ)
3

15 x 3 = 45 (km/giờ)

Bài toán 18: Hằng ngày Anh đi xe đạp từ nhà đến trường mất 20
phút.Sáng nay do có việc bận Anh xuất phát chậm mất 4 phút so với mọi
ngày.Để đến trường đúng giờ Anh tính mỗi phút phải đi nhanh hơn 50 m so
với mọi ngày. Hỏi quãng đường từ nhà Anh đến trường bao xa?
- Sử dụng mối quan hệ giữa thời gian và vận tốc khi quãng đường
không đổi học sinh sẽ tìm ra được cánh giải bài toán:
Vì quãng đường từ nhà đến trường không đổi nên vận tốc tỷ lệ nghịch
thời gian đi.
Thời gian hàng ngày so với thời gian sáng nay là:
Vận tốc hằng ngày so với vận tốc sáng nay là:

20
5
=
20 − 4 4

4
5
14


Ta có:

Vhàngngay

50m/phút

Vsángnay
Vận tốc hằng Anh đi là: 50: (5 – 4) x 4 = 200 (m/phút)
Quãng đường từ nhà Anh đến trường là: 200 x 2 = 4000 (m)= 4 (km)
Bài toán 19: Một ô tô dự định chạy từ tỉnh A đến tỉnh B lúc 16 giờ.
- Nếu chạy với vận tốc 60km/giờ thì ô tô đến B lúc 15 giờ.
- Nếu chạy với vận tốc 40 km/giờ thì ô tô đến B lúc 17 giờ.
Hỏi ô tô phải chạy với vận tốc bao nhiêu để đến B đúng 16 giờ?
- Nhờ sử dụng mối quan hệ giữa S, v, t trong bài toán này quãng đường
(S) từ A  B không đổi do đó vận tốc tăng hay giảm bao nhiêu lần thì thời
gian đi giảm hay tăng bấy nhiêu lần. Học sinh tìm được hướng đi cách giải
bài toán như sau:
- 60 km/giờ so với 40km/giờ gấp: 60: 40 =

3
(lần)
2

-Nến thời gian khi đi 60 km/giờ so với thời gian khi đi 40 km/giờ là:

2
(lần).
3

Ta có sơ đồ
TKhi đi 60 km/giờ
TKhi đi 40 km/giờ

17-15

Thời gian khi đi 60 km/giờ là: (17-15) x 2 = 4 (giờ)
Quãng đường A đến B là: 60 x 4 = 240 (km)
Thời gian đi để đến đúng B lúc 16 giờ là:
4 + 1 = 5 (giờ)
Vận tốc ô tô phải đi để đến B đúng 16 giờ là:
240 : 5 = 48 (km)
Bài toán 20: Một người đi từ nhà lên tỉnh mất 2 giờ. Khi từ tỉnh về nhà
do vận tốc tăng mỗi phút 11 m nên chỉ mất 105 phút. Tính quãng đường từ
nhà lên tỉnh.
-Vấn đề trong bài toán khi học sinh đã sử dụng thành thạo mối quan hệ
giữa S, v, t. Khi S không đổi (từ nhà lên tỉnh cũng bằng từ tỉnh về nhà).
⇒ Tỷ số 2 thời gian là:
15

⇒ Tỷ số 2 vận tốc là:

Ta có:

Vđi

11m/phút

Vvề
Vận tốc khi đó là: 11 x 7 =

77 (m/phút)

Quãng đường từ nhà lên tỉnh là: 77 x 120 = 9240 (m) = 9,24 (km)
Bài toán 21: Một tàu hảo đi từ thành phố A đến thành phố B. Nếu tăng
vận tốc thêm 15 km/giờ thì sẽ tới thành phố B sớm hơn 48 phút. Nhưng nếu
giảm bớt vận tốc 10 km/giò thì nó sẽ tới thành phố B chậm hơn 48 phút. Tính
khoảng cách từ thành phố A đến thành phố B?
(Đề thi cá nhân lần thứ 5 - Quốc tế tại Hồng Công)
- Đây là bài toán rất khó để tìm cách giải phù hợp với tiểu học. Nhưng
nếu học sinh nhận ra rằng quan hệ giữa các đại lượng S, v, t trong bài toán
chuyển động cũng tương ứng với quan hệ giữa các đại lượng S, a, b trong bài
toán diện tích hình chữ nhật vì đó đều tương ứng với mối quan hệ giữa tích và
các thừa số của tích.
Khi học sinh nhận ra quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán sẽ dễ dàng
đưa bài toán chuyển động về bài toán diện tích hình chữ nhật để vận dụng
trực quan trên hình vẽ và có cách giải như sau:
Đổi 48 phút = 0,8 giờ.
- Biểu thị : SABCD tương ứng với

quãng đường từ thành phố A thành phố
B (tính bằng km)
+ Độ dài cạnh DA là vận tốc ban
đầu. (tính bằng km/giờ)
+ Độ dài cạnh DC là thời gian ban
đầu (tính bằng giờ)
Ta có:
KI = IN = 0,8 (giờ)

M

AM = 10 (km/giờ); AL = 15km/giờ =

K

I

3
AM
2

SABCD = S + S1 + S3 + S4 = S + S4 + S5 = S + S1 + S2 = Quãng đường.
Từ Thành phố A  thành phố B ⇒ S2 = S3 + S4
16


Vì KI = IN ⇒ S1 = S2.

AL =

3
AM ⇒
2

S4 =

2
S5
3

S3 = 0,8 x 10 = 8 (km)
S1 + S 3 = S5 = S 2 + S 3

⇒ S5 = S 4 + 8 + 8

mà S2 = S3 + S4

S2

S3

Hay S5 = 16 + S4 mà S4 =

2
S5.
3

2
S5
3

⇒

S5 = 16 +

⇒

1
3 S5 = 16 (km)

⇒

S5 = 16 x 3 = 48 (km)

⇒

S 1 =S 5 - S3 = 48 -8 = 40 (km) = S2

Vậy độ dài cạnh AH hay thời gian tàu hỏa đi hết quãng đường khi tăng
thêm vận tốc 15 km/giờ là: 48: 15 = 3,2 (giờ).
Độ dài cạnh NP hay vận tốc tàu hỏa đi khi giảm vận tốc 10km/giờ là:
40 : 0,8 = 50 (km/giờ).
Vận tốc tàu hỏa khi tăng 15 km/giờ là:
50 + 10 + 15 = 75 (km/giờ).
Khoảng cách từ thành phố A đến thành phố B là:
75 x 3,2 = 240 (km).
Bài toán 22: Một đơn vị vận tải đã huy động 8 xe chở 480 tấn hàng
trong thời gian quy đinh. Sau khi chở được 160 tấn hàng thì đơn vị được giao
nhiệm vụ chở thêm 640 tấn hàng nữa.Hỏi đơn vị đó phải huy động thêm bao
nhiêu xe để chở xong lô hàng trong thời gian qui định?Biết sức chở mỗi xe là

như nhau.
- Các đại lượng trong bài toán là: Số hàng phải chở, số xe chở hàng,
thời gian chở.Ba đại lượng này quan hệ với nhau:
Số hàng phải chở = Số xe chở hàng x
Tích

T.số 1

Thời gian chở
T.số 2
17


⇒ Số hàng phải chở tăng gấp mấy lần thì số xe phải chở tăng bấy

nhiêu lần vì thời gian chở không đổi. Vận dụng vào bài toán ta có cáh giải
sau:
Số hàng còn lại:

480 - 160 = 320 (tấn)

Số hàng tăng thêm so với số hàng còn lại gấp:

640 : 320 = 2(lần)

Số xe tăng thêm so với số xe qui định là: 2 lần
Vậy số xe cần huy động thêm là: 8 x 2 = 16 (xe).
Như vậy nhờ sử dụng mối quan hệ giữa tích và các thừa số của tích với nhiều
bài toán tưởng chừng rất khó nhưng khi nhận ra được mối quan hệ giữa các
đại lượng trong bài toán học sinh dễ dàng tìm ra cách giải. Đặc biệt với các

bài toán:
+ Toán chuyển động (S = v x t)
+ Diện tích hình tam giác (S = a x h) : 2)
+ Diện tích hình chữ nhật (S = a x b)
+ Chu vi hình vuông, hình tròn ……….
+ Các bài toán mua bán hàng hóa, phân phối hàng hóa, sản xuất hàng
hóa (năng suất với sản phẩm) v.v… là những dạng bài có mối quan hệ giữa
các đại lượng tương ứng là mối quan hệ giữa tích với các thừa số của tích.
Với cách gợi mở và hướng dẫn học sinh nhận ra kiến thức đã học để vận
dụng vào giải các bài toán 1 cách dễ dàng.
III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Trên đây là 1 số biện pháp của bản thân trong việc hướng dẫn học sinh
sử dụng tính chất mối quan hệ giữa tích và thừa số của tích vào giải 1 số bài
toán ở tiểu học, đặc biệt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả cao:
- Thông qua việc vận dụng kiến thức vào giải nhiều dạng toán như vậy
100 % học sinh đã có cơ hội nắm vững chắc hơn kiến thức cơ bản về mối
quan hệ giữa tích và thừa số của tích, từ đó đã làm cho học sinh có ý thức
hơn, say sưa hơn trong việc giải toán, phát triển óc tư duy tính sáng tạo trong
học toán.
- 80 % học sinh biết vận dụng đúng và nhanh trong giải các bài toán
nâng cao. Đặc biệt trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp môn toán các em luôn
dẫn đầu về tỷ lệ đậu và điểm cao.
18


- Chất lượng môn toán của đơn vị dạt 100%. Trong đó Giỏi, khá: 80%.
- Chất lượng học sinh giỏi môn Toán luôn dẫn đầu.
- Tạo cho học sinh có thói quen biết vận dụng linh hoạt những gì đã
học vào xây dựng và phát triển bài học mới.
IV. BÀI HỌC KINH NGHIỆM

- Để đạt được kết quả cao trong dạy học toán mỗi giáo viên cần:
+ Coi trọng việc cung cấp kiến thức cơ bản cho học sinh một cách
vững chắc.
+ Khi giải toán phải yêu cầu học sinh đọc kỹ đề và tìm xem các đại
lượng dữ kiện bài toán đã cho sẽ liên quan gì đến cái đã học? Và từ cái đã
học bằng cách nào đó đưa đến cái cần tìm và cái mới.
+ Với học sinh Tiểu học để nắm vững một nội dung kiến thức nào đó
thì các em phải đươc vận dụng kiến thức đó nhiều lần, phải được thực hành
thường xuyên, ôn lại nhiều lần và được phối kết hợp với nhiều kiến khức
khác.
- Giáo viên phải thật sự say sưa và tâm huyết với nghề và nắm vững
chương trình toàn cấp học, toàn lớp học để biết vận dụng linh hoạt và phối kết
hợp các kiểu dạng bài toán để tìm ra phương pháp dạy có hiệu quả.
Trên đây là những trang viết của bản thân trong việc hướng dẫn học
sinh sử dụng mối quan hệ tích và các thừa số của tích để giải các bài toán ở
Tiểu học. Mong được các đồng nghiệp góp ý. Xin cảm ơn.

Hà Tĩnh ngày 20/4/2010.

19