SKKN Kinh nghiệm phát triển tư duy, óc sáng tạo và hứng thú học toán cho học sinh thông qua việc khai thác , phát triển từ một bài toán

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
PHN I. T VN
1. Lí DO CHN TI.
a. C s lớ lun.
Dy toỏn l mt hot ng nghiờn cu v toỏn hc ca hc sinh v giỏo viờn bao
gm day khỏi nim, dy nh lý, gii toỏn , trong ú gii toỏn l cụng vic quan
trng. Bi gii toỏn l quỏ trỡnh suy lun nhm khỏm phỏ ra quan h lụgic gia cỏi
ó cho v cỏi cha bit (gia gi thit v kt lun). Mi bi toỏn cú th cú nhiu
cỏch gii, mi cỏch gii l mt nh hng suy lun riờng nờn khi ng trc mt
bi toỏn hc sinh thng khụng bit bt u t õu? phi lm nh th no? Quỏ
trỡnh bi dng hc sinh gii nu bt u t bi toỏn khú, rt khú dy i vi thy
v khú hc i vi trũ. Mt khỏc chỳng ta khụng th dy ht cho hc sinh tt c
cỏc bi tp cng nh cỏc em khụng th lm ht cỏc bi tp ú. Vỡ vy to mi
liờn h gia cỏc bi tp, khi hng dn cho hc sinh gii mt bi toỏn, giỏo viờn
cn hng dn cho hc sinh bit khai thỏc, m rng kt qu nhng bi toỏn n
gin v khai thỏc bi toỏn gc xõy dng cỏc bi toỏn mi liờn quan. iu ny
giỳp hc sinh rốn luyn t duy lụgic úc, sỏng to, t tỡm tũi, suy ngh ra nhng bi
toỏn mi v cú nhng cỏch gii hay. Ngoi ra cũn to iu kin cho giỏo viờn v
hc sinh khụng nht thit phi mua nhiu ti liu bi trờn thc t cú rt nhiu u
sỏch cú ni dung gn ging nhau. Mt khỏc mun hc gii toỏn thỡ yờu cu hc
sinh cn nm chc kin thc v ng trc mt bi toỏn phi cú cỏch nhỡn,cỏch
tip cn, ỏnh giỏ v gii quyt cỏc vn ca bi toỏn mt cỏch trit ch
khụng n thun l gii cho xong. Bi vic tỡm ra li gii ca bi toỏn nhiu khi
khụng phi l khú nht l nhng bi toỏn sỏch giỏo khoa. Vỡ th, i vi hc
sinh nht l hc sinh khỏ gii thng mang tõm lý xem nh bi toỏn sỏch giỏo
khoa, nhng thc ra ng sau mi bi toỏn cú bao nhiờu iu hp dn, lý thỳ. Quỏ
trỡnh ny phi bt u t cỏc bi toỏn n gin n phc tp rốn luyn nng lc
t duy cho hc sinh. Nh nh toỏn hc Cỏc ó núi: Mi vn m tụi gii
quyt u s tr thnh vớ d mu mc dựng gii quyt vn khỏc. T ú giỳp
cỏc em cú c s khoa hc khi phõn tớch, nh hng tỡm li gii cho cỏc bi toỏn
khỏc v c bit l cng c cho cỏc em lũng tin vo kh nng gii toỏn ca mỡnh.

rốn luyn k nng gii toỏn cho hc sinh, ngoi vic trang b tt h
thng kin thc c bn v rốn luyn k nng gii bi tp,Nhim v ca ngi thy
ngoi vic cung cp kin thc, rốn luyn k nng cho hc sinh cũn cú mt nhiờm
v quan trng ú l rốn luyn nng lc t duy cho hc sinh trong quỏ trỡnh ging
dy ca mỡnh. Nu ngi thy ch dng li khi gii xong bi toỏn thỡ khụng th
khi dy hc sinh úc tũ mũ, tớnh sỏng v s tỡm tũi khỏm phỏ nhng iu lý thỳ n
sau mi bi toỏn, nh th khụng th phỏt trin c nng lc t duy ca hc sinh
v lm cho tit hc tr nờn nht nho v nhm chỏn.
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
1
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
Nu sau mi bi toỏn, ngi thy hng dn hc sinh khai thỏc sõu cỏc kt
qu. T ú tỡm ra c chui bi toỏn t d n khú thỡ khụng nhng rốn luyn
c nng lc t duy sỏng to cho hc sinh m cũn gõy hng thỳ lm cho gi hc
tr nờn hp dn hn, giỳp cho kin thc ca hc sinh cú tớnh h thng, c m
rng v sõu hn. Trong quỏ trỡnh ging dy cng nh bi dng hc sinh gii,
tụi nhn thy bin phỏp tt v rt hu hiu bi dng nng lc t duy theo nh
hng i mi phng phỏp dy hc ca B Giỏo Dc v o to: "Phng phỏp
giỏo dc ph thụng phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc, ch ng, sỏng to ca hc
sinh, phự hp vi c im chung ca tng lp hc, mụn hc (Trớch Mt s
vn i mi phng phỏp dy hc trng THCS"- B Giỏo dc v o to ).
b. C s thc tin.
Trong nhng nm hc gn õy, chỳng ta u thy rng vic i mi phng
phỏp dy hc ó mang li c mt s hiu qu nht nh.
Trong quỏ trỡnh ging dy, ngi giỏo viờn ó bit cỏch s dng cỏc phng
phỏp dy hc mi nhm phỏt huy tớnh tớch cc ch ng, nng lc t duy, úc sỏng
to cho hc sinh.
Qua thc tin v nghiờn cu tụi nhn thy rng vic dy hc theo nh hng

khai thỏc v phỏt trin bi toỏn l mt cỏch lm hay, phự hp vi xu th chung, gúp
phn vo vic i mi phng phỏp dy hc, rốn luyn kin thc, k nng, úc sỏng
to v bi dng nng lc t duy cho hc sinh v ngoi ra cũn gõy hng thỳ, ham
thớch hc toỏn cho cỏc em.
Tuy nhiờn, trong thc t ging dy ca cỏc giỏo viờn v trong cỏc ti ó cú
trc õy, thng mi ch chỳ trng n vic khai thỏc v phỏt trin mt bi toỏn
hỡnh hc m cha thc s quan tõm n i s núi chung v bt ng thc núi
riờng.
Trong chng trỡnh toỏn THCS, bt ng thc l mt ni dung khú v quan
trng, nú thng cú mt trong cỏc thi tuyn sinh vo lp 10 THPT, thi hc sinh
gii cỏc cp v trong c cỏc thi tuyn sinh H, C sau ny. Nhng tõm lớ chung
ca cỏc hc sinh l u cú cm giỏc s v ngi va chm i vi dng toỏn ny.
Thc cht ú l do:
- Cỏc em cha nm chc c cỏc bt ng thc c bn, cỏc tớnh cht ca bt ng
thc.
- Cha bit kt ni, xõu chui cỏc bt ng thc vi nhau thnh mt h thng.
- Cha cú k nng quy l v quen, a nng v nh, chuyn i cỏc bi toỏn phc
tp cng knh thnh nhng bi toỏn n gin hn.
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
2
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
- Cha bit cỏch bin i t mt bi toỏn gc a ra cỏc bi toỏn mi, tng quỏt
húa, c bit húa,
- Cha thc s yờu thớch mụn hc.
Vy nguyờn nhõn ch yu ca thc trng ú l gỡ?
- Th nht, cỏc bi toỏn v bt ng thc quỏ a dng v phc tp v nú khụng cú
mt phng phỏp chung no gii.
- Th hai, mt s giỏo viờn cha thc s cú kin thc tng hp v bt ng thc v

cha o sõu nghiờn cu k v ni dung ny.
- Th ba, khi dy v i s núi chung v bt ng thc núi riờng, cỏc giỏo viờn
thng mi ch dy theo cỏch phõn dng hoc dy cỏc bi tp mt cỏch ri rc,
riờng l m cha bit khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn gc ri xõu chui to thnh
mt h thng bi tp cú lụgớc cht ch vi nhau.
- Th t, cha rốn cho hc sinh cỏc k nng cn thit nh quy l v quen, tng quỏt
húa, c bit húa,
- Th nm, trong quỏ trỡnh ging dy cha to c hng thỳ, yờu thớch hc toỏn
cho hc sinh.
gúp phn khc phc tỡnh trng trờn v phỏt huy c ti a nng lc t duy
ca hc sinh, to nim say mờ, yờu thớch hc toỏn, nht l ni dung bt ng thc.
Tụi xin c a ra ti: Kinh nghim phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to
v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt
bi toỏn ng nghip tham kho, b sung v gúp ý.
2. MC CH NGHIấN CU.
Nghiờn cu v xut mt s gii phỏp v kinh nghim phỏt trin nng lc t
duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc,
phỏt trin mt bi toỏn bt ng thc.
3. NHIM V NGHIấN CU.
- Xỏc nh c s lớ lun v thc tin ca vn phỏt trin nng lc t duy, úc
sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin
mt bi toỏn.
- Phõn tớch thc trng ca quỏ trỡnh dy hc nhm mc tiờu phỏt trin nng lc t
duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh THCS.
- xut mt s gii phỏp thụng qua vic khai thỏc v phỏt trin mt bi toỏn bt
ng thc nhm mc tiờu phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ
hc toỏn cho hc sinh THCS.
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán

3
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
4. PHNG PHP NGHIấN CU.
- Phng phỏp lớ lun: Cn c vo ch trng, chớnh sỏch ca ng v Nh nc,
ca B Giỏo dc v o to v cụng tỏc i mi phng phỏp dy hc nhm
mc tiờu phỏt trin nng lc t duy, tớnh tớch cc, t giỏc, tớnh ch ng sỏng to
ca hc sinh, phự hp vi c im chung ca tng lp hc, mụn hc(Trớch
Mt s vn i mi phng phỏp dy hc trng THCS"- B Giỏo dc v
o to ).
- Phng phỏp nghiờn cu thc tin: quan sỏt, iu tra, tng hp kinh nghim v
vn Kinh nghim phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ
hc toỏn cho hc sinh thụng qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn
5. IM MI CA TI.
- ti cp n mt ni dung quan trng nhng nhiu giỏo viờn cha thc khai
thỏc v thc hin.
- ti ó a ra gii phỏp cú tớnh h thng, logic, khoa hc dy hc nhm
phỏt trin nng lc t duy, úc sỏng to v to hng thỳ hc toỏn cho hc sinh thụng
qua vic khai thỏc, phỏt trin mt bi toỏn.
- Cỏc gii phỏp ti a ra ó c tri nghim qua thc t v c iu chnh
phự hp theo i tng hc sinh tng nm hc nờn cú tớnh hp lớ, d dng thc
hin.
6. CU TRC CA TI.
Phn I: t vn
1. Lớ do chn ti
2. Mc ớch nghiờn cu
3. Nhim v nghiờn cu
4. Phng phỏp nghiờn cu
5. im mi ca ti
Phn II: Ni dung
Phn III: Kt lun

1. Hiu qu ca ti.
2. Nhn nh v ỏp dng sỏng kin kinh nghim v kh nng m rng ti.
3. Bi hc kinh nghim v xut.
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
4
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
PHN II: NI DUNG
H thng cỏc bt ng thc rt phong phỳ v a dng, tuy nhiờn khụng phi mi
bi toỏn t ra u cú ý ngha thc s, ta ch nờn quan tõm nhiu hn n cỏc bt
ng thc s li cho nhng ý ngha nht nh.
Chỳng ta cựng bt u t bi toỏn c bn trong chng trỡnh THCS nhng nú li
l c s cho nhiu bi toỏn khú sau ny:
Bi 1: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng:

3 3
( )a b ab a b+ +
(*)
( thi HSG huyn ụ Lng- lp 8 nm hc 2011 2012)
Hng dn: i vi bi toỏn ny, hc sinh cng s d dng thc hin theo nhiu
cỏch. Cỏch chng minh bt ng thc quen thuc nht i vi hc sinh THCS l
bin i tng ng:
Cỏch 1:

3 3
( )a b ab a b+ +

2 2
2 2

2
( )( ) ( ) 0
( )( 2 ) 0
( )( ) 0
a b a ab b ab a b
a b a ab b
a b a b
+ + +
+ +
+
Bt ng thc ỳng vi mi a, b khụng õm.
ng thc xy ra

a = b.
Cỏch 2: Ngoi cỏch lm trờn thỡ i vi hc sinh lp 8 ta cú th chng minh c
bi toỏn bng cỏch s dng bt ng thc quen thuc:
2 2
2a b ab+
Ta cú:

2 2
2 2
2 2
3 3
2
( )( ) ( )
( )
a b ab
a ab b ab
a b a ab b ab a b

a b ab a b
+
+
+ + +
+ +
ng thc xy ra

a = b.
Cỏch 3:
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
5
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
Ta cú
2 2
( )ab a b a b ab+ = +
. xut hin hng t a
2
b v ab
2
v phi v ta thy bt
ng thc trờn xy ra du bng khi a = b. Bi vy, ta cú th s dng bt ng thc
Cauchy bng cỏch sau:
p dng bt ng thc Cauchy ta cú:
3 3 3 2
3 3 3 2
3 3
3 3
3

3
3( ) 3 ( )
( )
a a b a b
a b b ab
a b ab a b
a b ab a b
+ +
+ +
+ +
+ +
ng thc xy ra

a = b.
Nhn xột: Nh vy bi toỏn trờn ta ó chng minh c
3 3
( )a b ab a b+ +
, vi
suy ngh tớch cc giỏo viờn cú th t hng dn hc sinh t t ra cõu hi: Bi toỏn
cú gỡ c bit? Liu bi toỏn cú th phỏt trin c na hay khụng? Cú th tng
quỏt húa c bi toỏn ú hay khụng?
T kt qu bi toỏn hc sinh cú th suy ngh tng quỏt húa bi toỏn theo cỏc
nh hng l: tng quỏt húa theo hng tng bc hoc tng quỏt húa theo hng
tng s s hng hay mnh hn na l tng quỏt húa c v nõng bc v s s hng.
lm c iu ú, trc ht ta cn hng dn cho hc sinh cỏch mũ mm v
d oỏn cú ch ớch:
Hng th nht: Tng quỏt húa theo cỏch tng dn s m v gi nguyờn s
s hng:
Nhn xột 1: Ta ó cú:
3 3

( )a b ab a b+ +
, vn t ra l nu v trỏi l
n n
a b+
(n>2)
thỡ liu ta s cú c kt qu nh th no?
- Vi n = 3 ta ó cú kt qu trờn
- Vi n = 4, lm tng t nh cỏch 3 bi toỏn 1 thỡ ta nhn thy:
p dng bt ng thc Cauchy cho 4 s khụng õm, ta cú:
4 4 4 4 3
4 4 4 4 3
4
4
a a a b a b
a b b b ab
+ + +
+ + +
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c:
4 4 2 2
4 4 2 2
4( ) 4 ( )
( ) ( )
a b ab a b
a b ab a b
+ +
+ +
ng thc xy ra

a = b.
Vy ta cú bi toỏn:

Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
6
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
Bi 2: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng:

4 4 2 2
( )a b ab a b+ +
- Vi n = 5, ta tip tc bin i theo nh hng nh trờn:
p dng bt ng thc Cauchy cho 5 s khụng õm, ta cú:
5 5 5 5 5 3 2
5 5 5 5 5 2 3
5
5
a a a b b a b
a a b b b a b
+ + + +
+ + + +
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c:
5 5 2 2
5 5 2 2
5( ) 5 ( )
( )
a b a b a b
a b a b a b
+ +
+ +
ng thc xy ra

a = b.
Ta cú bi toỏn 3:
Bi 3: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng:

5 5 2 2
( )a b a b a b+ +
- Vi n = 6
p dng bt ng thc Cauchy cho 6 s khụng õm, ta cú:
6 6 6 6 6 6 4 2
6 6 6 6 6 6 2 4
6
6
a a a a b b a b
a a b b b b a b
+ + + + +
+ + + + +
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c:
6 6 2 2 2 2
6 6 2 2 2 2
6( ) 6 ( )
( )
a b a b a b
a b a b a b
+ +
+ +
ng thc xy ra

a = b.
Nờn ta cú bi toỏn 4 nh sau:
Bi 4: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng:

6 6 2 2 2 2
( )a b a b a b+ +
- Tng t, vi n = 7, n = 8, ta chng minh c cỏc bt ng thc sau:
Bi 5: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng:

7 7 3 3
( )a b a b a b+ +
Bi 6: Vi a, b l cỏc s khụng õm, chng minh rng:

8 8 3 3 2 2
( )a b a b a b+ +
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
7
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm m«n To¸n – N¨m häc: 2013 - 2014
Từ các kết quả trên hướng chúng ta con đường đi đến các tổng quát thật sáng
sủa.
- Với n là một số chẵn, đặt n = 2k (k
∈
N, k>1), thì ta có:
- Áp dụng bất đẳng thức Canchy cho 2k số hạng sau:
2 2 2 2 1 1
1 1
2 2 2 2 1 1
1 1
2 .
2 .
k k k k k k

k sohang k sohang
k k k k k k
k sohang k sohang
a a b b k a b
a a b b k a b
+ −
+ −
− +
− +
+ + + + + ≥
+ + + + + ≥
1 442 4 43 1 4 2 4 3
1 442 4 43 1 4 2 4 3
Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta có:

2 2 1 1 1 1
2 2 1 1 1 1
2 2 1 1 2 2
2 .( ) 2 .( . . )
( . . )
. ( )
k k k k k k
k k k k k k
k k k k
k a b k a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ − − +
+ − − +
− −

+ ≥ +
⇒ + ≥ +
⇒ + ≥ +
Từ đó ta có tổng quát 1:
Tổng quát 1:
Bài 7: Với a, b là các số không âm, k là số tự nhiên. Chứng minh rằng:

2 2 1 1 2 2
. ( )
k k k k
a b a b a b
− −
+ ≥ +
- Với n là một số lẻ, đặt n = 2k+1 (k
∈
N, k>1), thì ta có:
2 1 2 1 2 1 2 1 1
1
2 1 2 1 2 1 2 1 1
1
(2 1).
(2 1).
k k k k k k
k sohang k sohang
k k k k k k
k sohang k so hang
a a b b k a b
a a b b k a b
+ + + + +
+

+ + + + +
+
+ + + + + ≥ +
+ + + + + ≥ +
1 4 42 4 43 1 4 42 4 43
1 4 42 4 43 1 4 42 4 43
Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta có:

2 1 2 1 1 1
2 1 2 1 1 1
2 1 2 1
(2 1).( ) (2 1).( . . )
( . . )
. ( )
k k k k k k
k k k k k k
k k k k
k a b k a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ + + +
+ + + +
+ +
+ + ≥ + +
⇒ + ≥ +
⇒ + ≥ +
Từ đó ta có tổng quát 2:
Tổng quát 2:
Bài 8: Với a, b là các số không âm, k là số tự nhiên.
Chứng minh rằng:

2 1 2 1
. ( )
k k k k
a b a b a b
+ +
+ ≥ +
* Hướng thứ hai: Tổng quát hóa theo cách tăng số số hạng và tăng số mũ
Sử dụng cách làm tương tự như trên, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn
số không âm ta có:
Kinh nghiÖm ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy, ãc s¸ng t¹o vµ t¹o høng thó
häc to¸n cho häc sinh th«ng qua viÖc khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi
to¸n
8
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
4 4 4 4 2
4 4 4 4 2
4 4 4 4 2
4
4
4
a a b c a bc
a b b c ab c
a b c c abc
+ + +
+ + +
+ + +
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c:
4 4 4
4 4 4
4( ) 4 ( )

( )
a b c abc a b c
a b c abc a b c
+ + + +
+ + + +
T ú ta cú bi toỏn mi sau:
Bi 9: Cho a, b, c l cỏc s khụng õm. Chng minh rng:

4 4 4
( )a b c abc a b c+ + + +
Tng t ta cng d dng chng minh c bi toỏn sau:
Bi 10: Cho a, b, c l cỏc s khụng õm. Chng minh rng:

5 5 5 5
( )a b c d abcd a b c d+ + + + + +
Nhn xột: Vi nh hng nh trờn li lm ta cú thờm ý tng mi ú l i tỡm bi
toỏn tng quỏt ca cỏc bt ng thc ú:
Vi cỏch lm tng t, ta thy:
p dng bt ng thc Cauchy cho (n+1) s khụng õm ta cú:
1 1 1 1 2
1 1 2 1 2
( 1)
n n n n
n n
a a a a n a a a
+ + + +
+ + + + +
1 1 1 1 2
1 2 2 1 2
1 1 1 1 2

1 2 1 2
( 1)

( 1)
n n n n
n n
n n n n
n n n
a a a a n a a a
a a a a n a a a
+ + + +
+ + + +
+ + + + +
+ + + + +
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta c:
1 1 1 1
1 2 3 1 2 1 2
1 1 1 1
1 2 3 1 2 1 2
( 1)( ) ( 1) ( )
( )
n n n n
n n n
n n n n
n n n
n a a a a n a a a a a a
a a a a a a a a a a
+ + + +
+ + + +
+ + + + + + + + +

+ + + + + + +
Vy t ú ta cú bi toỏn tng quỏt:
Tng quỏt 3:
Bi 11: Cho
1 2
, , ,
n
a a a
l cỏc s khụng õm. Chng minh rng:

1 1 1 1
1 2 3 1 2 1 2
( )
n n n n
n n n
a a a a a a a a a a
+ + + +
+ + + + + + +

Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
9
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
Nhn xột: bi toỏn tng quỏt 3, bc ca tng hng t ln hn s hng t l 1 n
v. Vy tng quỏt hn nu cho bc ca tng hng t l n, s hng t l m (m, n

N,
n

m) thỡ ta cú c bt ng thc nh th no?
p dng bt ng thc cauchy, ta cú
( )
1
1 1 2 3 1 2
1
.
n
n n n n n n m n n
n
m m
n m
a a a a a n a a a

+
+ + + + + +
1 4 2 4 3
1
1 2 3 1 2
( 1) .
n n n n n m
m m
n m a a a a na a a
+
+ + + + +
Tng t:
1
1 2 3 1 2 3
( 1) .
n n n n n m

m m
a n m a a a na a a a
+
+ + + + +

1
1 2 3 1 3
( 1) .
n n n n n m
m m
a a a n m a na a a
+
+ + + + +
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú:
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
n n n n m n m n m
m m m
n a a a na a a a a a

+ + + + + +
1 2 1 2 1 2
( )
n n n n m n m n m
m m m
a a a a a a a a a

+ + + + + +
Vy t nhn xột trờn ta cú bi toỏn tng quỏt cho tt c cỏc trng hp trờn.
Tng quỏt 4:

Bi 12: Cho
1 2
, , ,
m
a a a
l cỏc s khụng õm, vi mi n

m (m, n

N).
Chng minh rng:

1 2 3 1 2 1 2
( )
n n n n n m n m n m
m m n
a a a a a a a a a a

+ + + + + + +

Nhn xột: Nh vy ta ó tỡm c bi toỏn tng quỏt ca bi toỏn 1, nu thay mi
giỏ tr ca n, m v phỏt trin thỡ ta cú th cú c nhiu bi toỏn hay v khú na.
i vi hc sinh khỏ gii thỡ bi toỏn 1 khụng cú gỡ l quỏ khú, hc sinh cú th t
lm m khụng cn n s gi ý ca giỏo viờn. Nhng cựng nhỡn li bi toỏn ú
chỳng ta thy cũn thờm nhiu vn m cỏc em cú th khỏm phỏ.
Bin i mt chỳt ta cú: Vi a, b l cỏc s dng .

3 3
3
2

3
2 2
( )
( )
a b ab a b
a
b a a b
b
a
b a ab
b
+ +
+ +
+ +
Tng t, vi a, b, c dng thỡ:
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
10
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
3
2 2
3
2 2
b
c b bc
c
c
a c ac
a

+ +
+ +
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c:

3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + + +
T ú ta cú bi toỏn mi:
Bi 13: Vi ba s a, b, c dng, chng minh rng:

3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + + +
( thi vo lp 10 HKHTN HQG H Ni 1996 1997)
Hng dn: Cỏch th nht chỳng ta cú th gi m cho hc sinh lm vi nh
hng nh trờn:
Cỏch 1:
Vi a, b dng nờn ta cú:

3 3
3
2
3
2 2
( )
( )

a b ab a b
a
b a a b
b
a
b a ab
b
+ +
+ +
+ +
Tng t, vi a, b, c dng thỡ:
3
2 2
3
2 2
b
c b bc
c
c
a c ac
a
+ +
+ +
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta c:

3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + + +

(pcm)
Cỏch 2:
Ngoi cỏch lm trờn ta cng cú th bin i v trỏi
p dng bt ng thc Bunhia-copxki:
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
11
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
2 2
2 2
3 1 2 3
1 2
1 2 3 1 2 3
( )
( 0, 1,3)
i
a a a a
a a
b i
b b b b b b
+ +
+ + > =
+ +
Bng cỏch:
3 4
a a
b ab
=
,

3 4
b b
c bc
=
,
3 4
c c
a ca
=
Ta cú:
3 3 3 4 4 4 2 2 2 2
( )
(1)
a b c a b c a b c
b c a ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + = + +
+ +
Mt khỏc:

2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2( ) 2 2 2 (2)
a b ab
b c bc

a c ac
a b c ab bc ac
+
+
+
+ + + +
T (1) v (2) ta suy ra:
3 3 3 2
( )a b c ab bc ca
ab bc ca
b c a ab bc ca
+ +
+ + = + +
+ +
(pcm)
Du ng thc xy ra

a = b = c.
Nhn xột: T kt qu bi toỏn trờn, nu ta cho thờm iu kin: abc = 1, thỡ ta li cú
thờm bi toỏn mi:
Bi 14: Vi ba s a, b, c dng v abc = 1. Chng minh rng:

3 3 3
1 1 1a b c
b c a a b c
+ + + +
Ngoi ra, to bi toỏn khú hn ta cng cú th cho abc bng mt giỏ tr bt k
Vớ d: cho abc = 2 ta cú bi toỏn:
Bi 15: Vi 3 s dng a, b, c v abc = 2. Chng minh rng:
3 3 3

2 2 2a b c
b c a a b c
+ + + +
Hay cho abc = k (k > 0), ta c bi toỏn khú hn m hc sinh mi gp rt khú tỡm
ra cỏch gii.
Bi 16: Vi 3 s dng a, b, c v abc = k (k > 0). Chng minh rng:
3 3 3
a b c k k k
b c a a b c
+ + + +
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
12
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
Nhn xột: Cng t bi toỏn 1, vi iu kin a, b > 0 ta cú th chia hai vca bt
ng thc cho tớch a.b, ta c:

3 3
3 3
( )a b ab a b
a b
a b
ab
+ +
+
+
Tng t, vi a, b, c > 0, ta cú
3 3
3 3

b c
b c
bc
a c
a c
ac
+
+
+
+
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú:
3 3
a b
ab
+
+
3 3
b c
bc
+
+
3 3
a c
ac
+

2(a + b + c). Du bng xy ra khi a = b = c
T ú ta cú bi toỏn:
Bi 17: Vi a, b, c l cỏc s dng, chng minh rng:

3 3 3 3 3 3
2( )
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + +
+ + + +
Hng dn:

3 3
3 3
( )a b ab a b
a b
a b
ab
+ +
+
+
Tng t:
3 3
3 3
a
b c
b c
bc
a c
c
ac
+
+

+
+
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú:

3 3 3 3 3 3
2( )
a b b c c a
a b c
ab bc ca
+ + +
+ + + +
Du bng xy ra khi a = b = c
Nhn xột: T bi toỏn trờn chỳng ta nhn thy rng cú th s dng bt ng thc
tng quỏt 3 ỏp dng cho 4 s dng a, b, c, d to ra bi toỏn mi khú hn bng
cỏch lm tng t:
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
13
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
a
4
+ b
4
+ c
4


abc(a + b + c)

4 4 4
a b c
abc
+ +


a + b + c
b
4
+ c
4
+ d
4


bcd(b + c + d)


4 4 4
b c d
bcd
+ +

b + c + d
c
4
+ d
4
+ a
4

cda(c + d + a)


4 4 4
c d a
cda
+ +

c + d + a
d
4
+ a
4
+ b
4


dab(d + a + b)


4 4 4
d a b
dab
+ +

d + a + b
Cng v vi v, ta c
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

3( )
a b c b c d c d a d a b
a b c d
abc bcd cda dab
+ + + + + + + +
+ + + + + +
Du bng xy ra khi a = b = c = d.
Ta cú bi toỏn sau:
Bi 18: Cho 4 s dng a, b, c, d. Chng minh
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
3( )
a b c b c d c d a d a b
a b c d
abc bcd cda dab
+ + + + + + + +
+ + + + + +
Nhn xột: Vi cỏch lm tng t v da vo bi toỏn tng quỏt 3, ta cú bi toỏn
tng quỏt hn:
Vi n s dng a
1
, a
2
, a
3
, ., a
n
. Chng minh:
1 2 1 2 3 1 2
1 2 1 2 3 1 2
. . .

n n n n n n n n n
n n n n
n n n n
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a


+ +ììì+ + +ììì+ + + ììì+
+ +ììì+

(n 1)(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
Chng minh:
1 2 1
n n n
n
a a a

+ +ììì+

a
1
.a
2
a

n-1
(a
1
+ a
2
+ + a
n-1
)

1 2 1
1 2 1
.
n n n
n
n
a a a
a a a


+ +ììì+

a
1
+ a
2
+ +
a
n-1
2 3
n n n

n
a a a+ +ììì+

a
2
.a
3
a
n
(a
2
+ a
3
+ + a
n
)


2 3
2 3
.
n n n
n
n
a a a
a a a
+ +ììì+

a
2

+ a
3
+ + a
n

1 2
n n n
n n
a a a

+ +ììì+

a
n
.a
1
a
n-2
(a
n
+ a
1
+ + a
n-2
)

1 2
1 2
.
n n n

n n
n n
a a a
a a a


+ + ììì+

a
n
+ a
1
+ +
a
n-2
Cng tng v ca cỏc bt ng thc trờn, ta c iu cn chng minh
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
14
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
1 2 1 2 3 1 2
1 2 1 2 3 1 2
. . .
n n n n n n n n n
n n n n
n n n n
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a

+ +ììì+ + +ììì+ + + ììì+
+ +ììì+

(n 1)(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
Du bng xy ra khi a
1
=a
2
= =a
n.
Nhn xột: Ta d dng chng minh c bt ng thc 2(a + b + c)


2 2 2ab bc ca+ +
v kt hp vi bi toỏn 17, ta cú c bt ng thc cht hn
nh sau:

3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b b c c a
ab bc ca
ab bc ca
+ + +

+ + + +
Bi 19: Vi a, b, c l cỏc s dng, chng minh rng:

3 3 3 3 3 3
2 2 2
a b b c c a
ab bc ca
ab bc ca
+ + +
+ + + +
Nhn xột: Vi 4 s dng a, b, c, d ta cú:
4 4 4
4 4 4
( )
a b c
a b c abc a b c a b c
abc
+ +
+ + + + + +
4 4 4
4 4 4
c
( )
b d
b c d bcd b c d b c d
bcd
+ +
+ + + + + +
4 4 4
4 4 4

( )
c d a
c d a cda c d a c d a
cda
+ +
+ + + + + +
4 4 4
4 4 4
( )
d a b
d a b dab d a b d b a
dab
+ +
+ + + + + +
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
3( )
a b c b c d c d a d a b
a b c d
abc bcd cda dab
+ + + + + + + +
+ + + + + +
M 3.(
2 2 2 2
a b b c c d d a+ + + +
+ + +
)
3( )ab bc cd da + + +

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
a b c b c d c d a d a b

abc bcd cda dab
+ + + + + + + +
+ + +
3
( )ab bc cd da+ + +
Ta xut bi toỏn sau:
Bi toỏn 20: Vi 4 s dng a, b, c, d. Chng minh:
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
a b c b c d c d a d a b
abc bcd cda dab
+ + + + + + + +
+ + +
3
( )ab bc cd da+ + +
Du = xy ra khi a = b = c = d
Nhn xột: Vi cỏch lm tng t, ta li tng quỏt húa cho bi toỏn dng ny:
Bi toỏn 21Vi n s dng a
1
, a
2
, a
3
, ., a
n
. Chng minh:
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
15
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014

1 2 1 2 3 1 2
1 2 1 2 3 1 2
. . .
n n n n n n n n n
n n n n
n n n n
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a


+ +ììì+ + +ììì+ + + ììì+
+ +ììì+

(n-1)(
1 2 2 3 1 1

n n n
a a a a a a a a

+ + + +
)
Hng dn:
Ta cú:
1 2 1 2 3 1 2
1 2 1 2 3 1 2
. . .
n n n n n n n n n
n n n n
n n n n
a a a a a a a a a

a a a a a a a a a


+ +ììì+ + +ììì+ + + ììì+
+ +ììì+

(n 1)(a
1
+ a
2
+ +
a
n
)
= (n-1)(
2 3 1
1 2
2 2 2
n
a a a a
a a
+ +
+
+ +ììì+
)

(n-1)(
1 2 2 3 1 1

n n n

a a a a a a a a

+ + + +
)
Nh vy, qua cỏc phộp bin i tng ng chỳng ta sỏng to ra c cỏc bi
toỏn mi v t ú ta tỡm cỏch i tng quỏt dng toỏn ú. iu ny giỳp hc sinh rt
d nhn dng ca mt bi tp bt kỡ dự cho bi toỏn ú cú s m ln, hay cng
knh i na.
Nhn xột:
p dng bt ng thc (*) cho ln lt cỏc cp s a, b, c dng ta cú:
3 3
3 3
3 3
( )
( )
( )
a b ab a b
b c bc b c
a c ac a c
+ +
+ +
+ +
Cng tng v ca cỏc bt ng thc cựng chiu ta c:
3 3 3
2( ) ( ) ( ) ( )a b c ab a b bc b c ca c a+ + + + + + +
Du = xy ra

a = b = c. Ta cú tip bi 22:
Bi 22: Cho a, b, c l cỏc s dng. Chng minh rng:

3 3 3
2( ) ( ) ( ) ( )a b c ab a b bc b c ca c a+ + + + + + +
Tht vy: p dng bt ng thc (*) cho ln lt cỏc cp s a, b, c ta cú:
3 3
3 3
3 3
( )
( )
( )
a b ab a b
b c bc b c
c a ca c a
+ +
+ +
+ +
Cng tng v ca cỏc bt ng thc cựng chiu ta c:
3 3 3
2( ) ( ) ( ) ( )a b c ab a b bc b c ca c a+ + + + + + +
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
16
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
Du =xy ra

a = b = c.
Nhn xột: Tr li bi toỏn ban u, ta cú:
3 3
( )a b ab a b+ +
3 3 2 2

a b a b ab + +
Nhn thy rng nu ta nhõn 3 vo hai v ca bt ng thc thỡ ta cú
3 3 2 2
3( ) 3 3a b a b ab+ +
v lỳc ny nu ta thờm vo v phi tng a
3
+ b
3
thỡ ta cú c
hng ng thc (a + b)
3


3 3 3 3
3 3 3
4( ) 3 ( )
4( ) ( )
a b a b ab a b
a b a b
+ + + +
+ +
Tng t, vi a, b, c

0 ta cú:
3 3 3
4( ) ( )b c b c+ +
3 3 3
4( ) ( +a)c a c+
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu, ta cú:

3 3 3 3 3 3
8( ) ( ) ( ) ( )a b c a b b c c a+ + + + + + +
T ú ta cú bi toỏn mi:
Bi 23: Vi a, b, c l cỏc s dng, chng minh rng:

3 3 3 3 3 3
8( ) ( ) ( ) ( )a b c a b b c c a+ + + + + + +
Hng dn:
Nhỡn vo bi tp ny thỡ cú th hc sinh s cm thy khú nh hng cỏch chng
minh nhng nu t nú vo chui bi toỏn thỡ hc sinh s d dng bit cỏch s
dng cỏc bt ng thc ó cú chng minh mt cỏch d dng.
Cỏch 1:
Ta ó cú:

3 3 3
3 3 3
3 3 3
4( ) ( )
4( ) ( )
4( ) ( )
a b a b
b c b c
a c a c
+ +
+ +
+ +
Cng hai v ca cỏc bt ng thc cựng chiu ny ta suy ra iu phi chng minh.
Cỏch 2: Ngoi cỏch lm trờn thỡ hc sinh cú th bin i theo cỏch khỏc nhng vic
lm ny cú v khụng t nhiờn v cũn di dũng.
Ta cú:

Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
17
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm m«n To¸n – N¨m häc: 2013 - 2014
3 3 3 2 2 2
2 2
2
4( ) ( ) ( ). 4( ) ( )
( ).(3 6 3 )
3( )( ) 0
a b a b a b a ab b a b
a b a ab b
a b a b
 
+ − + = + − + − +
 
= + − +
= + − ≥
Suy ra:
3 3 3
4 4 ( )a b a b+ ≥ +
Dấu “=” xảy ra
⇔
a = b
Lý luận tương tự, ta được:
3 3 3
4 4 ( )b c b c+ ≥ +
3 3 3
4 4 ( )a c a c+ ≥ +

Cộng từng vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta có:

3 3 3 3 3 3
8( ) ( ) ( ) ( )a b c a b b c c a+ + ≥ + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Cách3:
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
8( ) ( ) ( ) ( )
8 8 8 3 ( ) 3 ( ) 3 ( )
6 6 6 3 ( ) 3 ( ) 3 ( )
2 2 2 ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b c a b b c c a
a b c a b ab a b b c bc b c c a ac a c
a b c ab a b bc b c ac a c
a b c ab a b bc b c ac a c
a b ab a b b c bc b c c a a
+ + ≥ + + + + +
⇔ + + ≥ + + + + + + + + + + +
⇔ + + ≥ + + + + +
⇔ + + ≥ + + + + +
⇔ + − + + + − + + + −
2 2 2 2
2 2
2 2 2
( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) 0
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0
c a c
a b a ab b ab a b b c b bc c bc b c
c a c ac a ca c a
a b a b b c b c c a c a
+
⇔ + − + − + + + − + − + +
+ − + − + ≥
⇔ + − + + − + + − ≥
(Bất đẳng thức luôn đúng)
Dấu đẳng thức xảy ra
⇔
a = b =c.
Nhận xét: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương của vế phải ở
bài 23 thì ta lại có:
Sử dụng tính bắc cầu ta có bất đẳng thức mới chặt hơn:
Kinh nghiÖm ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy, ãc s¸ng t¹o vµ t¹o høng thó
häc to¸n cho häc sinh th«ng qua viÖc khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi
to¸n
18
( )
3
3
3
3
( ) 2 8
( ) 8
( ) 8

a b ab ab ab
b c bc bc
a c ac ac
+ ≥ =
+ ≥
+ ≥
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
Bi 24: Cho a, b, c l cỏc s dng. Chng minh rng:

3 3 3
aa b c ab ab bc bc ca c+ + + +
Hng dn: T bi toỏn 23 ta thy:
3 3 3 3 3 3
8( ) ( ) ( ) ( )a b c a b b c c a+ + + + + + +
m
( )
3
3
3
3
( ) 2 8
( ) 8
( ) 8
a b ab ab ab
b c bc bc
a c ac ac
+ =
+
+
3 3 3

8( ) 8( a)a b c ab ab bc bc ca c + + + +
=>
3 3 3
aa b c ab ab bc bc ca c+ + + +
Du = xy ra khi a = b = c.
Nhn xột:
Bõy gi nu ta cho abc = 1, v vi iu kin a, b, c > 0 thỡ khi ú ta cú:
1 1 1
, ,ab bc ca
c a b
= = =
Nh vy ta cú c bi toỏn mi cng rt hay.
Bi 25: Cho a, b, c l cỏc s dng tha món abc = 1. Chng minh rng:
3 3 3
1 1 1
a b c
a a b b c c
+ + + +
Nhn xột:
Nu ta bin i bt ng thc (*) theo cỏch sau:
3 3
3 3
3 3
3 3
( )
( )
( )
1 1
( )
a b ab a b

a b abc ab a b abc
a b abc ab a b c
a b abc ab a b c
+ +
+ + + +
+ + + +

+ + + +
Tng t ta cú:
3 3
3 3
1 1
( )
1 1
( )
b c abc bc a b c
c a abc ca a b c

+ + + +

+ + + +
Suy ra:
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
19
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc ab a b c bc a b c ca a b c
a b c
a b abc b c abc c a abc a b c abc abc
+ + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ +
+ + ì =
+ + + + + + + +
Ta cú bi toỏn sau:
Bi 26: Cho a, b, c l ba s dng. Chng minh rng:

3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ + + + + +
( thi TS vo lp 10 - tnh Hi Dng nm 2010
2011)
Hng dn:
õy l mt bi toỏn khú, nu va gp bi tp ny hc sinh s khú tỡm c nh
hng li gii. Tuy nhiờn, khi cỏc em ó nm c bt ng thc
3 3
( )a b ab a b+ +

thỡ vic suy ngh lm xut hin a
3
+ b
3

+ abc rt n gin bng cỏch cng vo
hai v ca bt ng thc trờn vi tớch abc, ta cú:
3 3
( )a b abc ab a b abc+ + + +
3 3
3 3
( )
1 1
( )
a b abc ab a b c
a b abc ab a b c
+ + + +

+ + + +
Tng t ta cú:
3 3
3 3
1 1
( )
1 1
( )
b c abc bc a b c
c a abc ca a b c

+ + + +

+ + + +
Suy ra:
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc ab a b c bc a b c ca a b c
a b c
a b abc b c abc c a abc a b c abc abc
+ + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ +
+ + ì =
+ + + + + + + +
Nhn xột: Khi ó gii quyt c bi toỏn 26 thỡ vic a ra bi toỏn tng t vi
4 s dng a, b, c, d khụng cũn l khú khn na.
Bi 27: Vi 4 s dng a, b, c, d. Chng minh
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1
a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd
+ + +
+ + + + + + + + + + + +
1
abcd

Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
20
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014
Chng minh:
a
4

+ b
4
+ c
4


abc(a + b + c)

a
4
+ b
4
+ c
4
+ abcd

abc(a + b + c+d)


4 4 4
1 1
( )a b c abcd abc a b c d

+ + + + + +
=
( )
d
abcd a b c d+ + +
b
4

+ c
4
+ d
4


bcd(b + c + d)

b
4
+ c
4
+ d
4
+ abcd

bcd(a + b + c+d)


4 4 4
1 1
( )b c d abcd bcd a b c d

+ + + + + +
=
( )
a
abcd a b c d+ + +
c
4

+ d
4
+ a
4


cda(c + d + a)

c
4
+ d
4
+ a
4
+ abcd

cda(a + b + c + d)


4 4 4
1 1
( )c d a abcd cda a b c d

+ + + + + +
=
( )
b
abcd a b c d+ + +
d
4

+ a
4
+ b
4


dab(d + a + b)

d
4
+ a
4
+ b
4
+ abcd

dab(a + b + c + d)


4 4 4
1 1
( )d a b abcd dab a b c d

+ + + + + +
=
( )
c
abcd a b c d+ + +
Cng tng v ca cỏc bt ng thc trờn ta chng minh cbi toỏn
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

1 1 1 1
a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd
+ + +
+ + + + + + + + + + + +
1
abcd

Nhn xột: Tng t ta cng s a c bi toỏn tng quỏt hn vi n s dng:
a
1
, a
2,
a
3,
. . ., a
n
Bi 28: Vi n s dng a
1
, a
2,
a
3
. . . a
n

1 2 1 1 . 2 1 2 1 1 2
1 1 1 1

.
n n n n n n n

n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a a a a a

+ + +
+ + + + + + + + + +
Chng minh
Ta cú:
1 2 1 1 2 1 1 2 1
1 1 1 2 1 2 1 1 2
. ( )
. . ( )
n n n
n n n
n n
n n n n
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a


+ + + + + +
+ + + + + +

1 1 1 . 1 1 1 1 1
1 1
( ) ( )
n
n n
n n n n n n
a
a a a a a a a a a a a a

=
+ + + + + + +
2 3 2 3 2 3
. ( )
n n n
n n n
a a a a a a a a a+ + + + + +
2 3 1 2 2 3 1 2
. . ( )
n n n
n n n n
a a a a a a a a a a a a + + + + + + +
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
21
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014

( )
1
2 3 1 2 3 1 2 2 1
1 1
. ( )
n n n
n n n n n n
a
a a a a a a a a a a a a a a a
=
+ + + + + + + + +

1 2 1 2 1 2
. ( )
n n n
n n n n n n
a a a a a a a a a

+ + + + + +
1 2 1 1 2 1
. ( )
n n n
n n n n n n n
a a a a a a a a a a a

+ + + + + + +
1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
. . . ( ) . ( )
n
n n n
n n n n n n n n
a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a


=
+ + + + + + + + + +
Cng v vi v ta cú iu cn chng minh
1 2 1 1 . 2 1 2 1 1 2

1 1 1 1

.
n n n n n n n
n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a a a a a

+ + +
+ + + + + + + + + +
Nhn xột:
c bit húa bi toỏn 26 trong trng hp abc = 1, ta cú bi toỏn mi:
Bi 29: Cho a, b, c l ba s dng v abc = 1. Chng minh rng:

3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ +
+ + + + + +
( H Thy Li nm 1999)
Nhn xột: T bi 29, thay i hỡnh thc ca bi toỏn trờn bng bi toỏn tỡm giỏ tr
ln nht nh nht ca biu thc ta cú bi toỏn hay:
Bi 30: Cho x, y, z l ba s dng v xyz = 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:

3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1
A
x y y z z x
= + +

+ + + + + +
( thi HSG tnh Ngh An - Bng A nm hc 2009 2010)
Thot u nhỡn vo bi toỏn thỡ hc sinh cha th cú nh hng ngay gii c
nú. Nhng nu da vo nhng mt xớch trờn thỡ vic gii bi toỏn ú s khụng cũn
khú khn na.
Nhn xột: T mt bt ng thc cho trc ta cú khỏ nhiu cỏch bin i to ra
mt bt ng thc mi v phng phỏp i bin l mt vớ d. Vic thay i bin s
bng cỏc hm s n gin ó lm bi tp tr nờn khú hn vỡ ó che du i bn cht
tht ca bi toỏn. K thut i bin cng khú thỡ vn cng khú c tỡm ra.
Gi nu tip tc ta th t
3 3 3
, ,x a y b z c= = =
ta li cú bi toỏn mi:
Bi 31: Cho x, y, z l cỏc s thc dng v xyz = 1. Chng minh rng:
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
22
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014

1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +
Nhn xột: õy l mt bi toỏn nhỡn rt gn gng v p, nhng li khụng cho ta ý
tng ngay gii c bi toỏn. Vỡ vic i bin ó lm che du i bn cht ca
bi toỏn. Nhng nu ta t x = a
3
, y = b

3
, z = c
3
thỡ ta s a c v bi toỏn 29.
Nhn xột: Vi a, b, c l cỏc s dng
3 3
3 3 2 2
3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 2
( )
2
2 2 2 ( 2 )
2 (2 )( ) ( )
a b ab a b
a b a b ab
a a b ab b
a a a b ab b
a a ab a b b a ab a b
a a b a b a a b
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
m
2
3 2 2

3
2 2
( ) 0
2 (2 )( )
2
2 2
a a b
a a b a b
a a b b
a
a b

+

=
+
Tng t ta cú:
3
2 2
3
2 2
2
2
b c
b
b c
c a
c
a c

+

+
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2
a b c a b c
a b b c c a
+ +
+ +
+ + +
T ú ta cú bi toỏn mi:
Bi 32: Cho a, b, c l ba s dng. Chng minh rng:

3 3 3
2 2 2 2 2 2
2
a b c a b c
a b b c c a
+ +
+ +
+ + +
Hng dn:
Cỏch 1:
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
23
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Năm học: 2013 - 2014

3 3
3 3 2 2
3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 2
2
3 2 2
3
2 2
( )
2
2 2 2 ( 2 )
2 (2 )( ) ( )
( ) 0
2 (2 )( )
2
2 2
a b ab a b
a b a b ab
a a b ab b
a a a b ab b
a a ab a b b a ab a b
a a b a b a a b
ma a a b
a a b a b
a a b b
a
a b
+ +

+ +
+
+ +
+ +
+

+

=
+
Tng t ta cú:
3
2 2
3
2 2
2
2
b c
b
b c
c a
c
a c

+

+
Cng tng v cỏc bt ng thc cựng chiu ta cú:
3 3 3
2 2 2 2 2 2

2
a b c a b c
a b b c c a
+ +
+ +
+ + +
Cỏch 2:
S dng bt ng thc Cauchy, ta cú:
3 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
2 2
a a a b ab ab ab b
a a a
a b a b a b ab
+
= = =
+ + +
Tng t:
3
2 2
3
2 2
2
2
b c
b
b c
c a
c

a c

+

+
Cng tng v ba bt ng thc cựng chiu, ta cú kt qu cn chng minh.
ng thc xy ra

a = b = c
Nhn xột: T kt qu bi toỏn trờn nu ta cho a + b + c = 3, khi ú ta cú bi toỏn
mi:
Bi 33: Cho a, b, c l cỏc s thc dng v a + b + c = 3 .
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
Kinh nghiệm phát triển năng lực t duy, óc sáng tạo và tạo hứng thú
học toán cho học sinh thông qua việc khai thác, phát triển một bài
toán
24
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm m«n To¸n – N¨m häc: 2013 - 2014
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c
P
a b b c c a
= + +
+ + +
(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn:
Ta có:
3 3
3 3 2 2

3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 2
( )
2
2 2 2 ( 2 )
2 (2 )( ) ( )
a b ab a b
a b a b ab
a a b ab b
a a a b ab b
a a ab a b b a ab a b
a a b a b a a b
+ ≥ +
⇔ + ≥ +
⇔ ≥ + −
⇔ ≥ + + −
⇔ ≥ + − − − + −
⇔ ≥ − + − −
mà
2
3 2 2
3
2 2
( ) 0
2 (2 )( )
2
2 2
a a b

a a b a b
a a b b
a
a b
− ≥
⇒ ≥ − +
−
⇔ ≥ = −
+
Tương tự ta có:
3
2 2
3
2 2
2
2
b c
b
b c
c a
c
a c
≥ −
+
≥ −
+
Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2

3
2
a b c a b c
P
a b b c c a
P
+ +
= + + ≥
+ + +
≥
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của
3
2
P =
tại a = b = c = 1.
Nhận xét:
Với a, b > 0, ta có:
Kinh nghiÖm ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy, ãc s¸ng t¹o vµ t¹o høng thó
häc to¸n cho häc sinh th«ng qua viÖc khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi
to¸n
25