Đề thi OLYMPIC Toán 10 năm 2011 Thạch Thất Quốc Oai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 10
CỤM TRƯỜNG THPT
Thời gian làm bài: 150 phút
HUYỆN THẠCH THẤT – QUỐC OAI
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu I: (5 điểm) Giải phương trình:

x2 +

x2
( x +1) 2

=8

Câu II: (5 điểm) Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
x 2 − 1 ≤ 0


x 2 − 2(m + 1)x + 4m + 1 ≥ 0
Câu III: (4 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh và các góc thỏa mãn:
1 + cosB
2a + c
=
sinB
4a 2 − c 2
Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
Câu IV: (4 điểm) Cho tam giác ABC. M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Ký hiệu
Sa , S b , Sc lần lượt là diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB. Chứng minh rằng:
Sa .MA + S .MB + S .MC = 0 .
b
c

Câu V: (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng ta luôn có:
a 4 + b4
b4 + c4
c4 + a 4
1 1 1
+
+
≥ + +
ab(a 3 + b 3 ) bc(b 3 + c 3 ) ca(c3 + a 3 ) a b c

-------------------------------HẾT------------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:
Học sinh trường: