Thi vào 10 chuyên Quãng ngãi

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi : Toán ( Hệ chuyên)
Thời gian làm bài :150 phút

Bài 1: (3,5 điểm)
1) Tính P = 15a 2 - 8a 15 +16 khi a =

3
5
+
5
3

25 - x 2 - 10 - x 2 = 3
3) Cho phương trình x2 + mx + n = 0. Tìm m và n để hiệu các nghiệm của phương
trình bằng 5 và hiệu các lập phương của các nghiệm đó bằng 35.
2) Giải phương trình:

Bài 2: (2,0 điểm)
1) Chứng minh rằng : Nếu b là số nguyên tố khác 3 thì số A = 3n + 1 + 2009b 2 là
hợp số với mọi n ∈ N
2) Tìm các số tự nhiên n sao cho n 2 +18n + 2020 là số chính phương.
Bài 3: (1,0 điểm )
Cho x > 0 . Tìm giá trị của x để biểu thức N =

x

( x + 2010 )

2

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4 : (1,5 điểm)
Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi (O) là đường tròn đi
qua hai điểm B và C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AE, AF với đường tròn (O), (E, F là các tiếp
điểm). Gọi I là trung điểm của BC; FI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K
Chứng minh rằng :
a) Hai điểm E, F nằm trên một đường tròn cố định khi (O) thay đổi.
b) EK song song với AB.
Bài 5 : (2,0 điểm)
1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), với AD là đường kính.
Biết AB = BC = 2 5 cm; CD = 6cm. Tính bán kính của đường tròn (O).
2) Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm bên ngoài đường tròn sao cho
OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn (O; R) để tổng MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất.
--------------- Hết --------------Ghi chú : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh :.....................................................................Số báo danh........................
Giám thị 1 :...................................................Giám thị 2 :.......................................................


SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN (HỆ CHUYÊN)

Tóm tắt cách giải

Biểu điểm

Bài 1 (3,5 điểm).
1) (1,0 điểm)
Rút gọn P
P = 15a 2 - 8a 15 +16 =

(a 15) 2 - 2a 15.4 + 4 2 =

(a

15 - 4

= a 15 - 4

Thế a =

)

2

0,25 điểm

( *)

3
5 = 8
+
vào (*) ta được: P = 4
15
5
3

2) (1,0 điểm)
Giải phương trình:

25 - x 2 - 10 - x 2 = 3

0,25 điểm
0,5 điểm

( 1)

 25 - x 2 ≥ 0
 x 2 ≤ 25


⇔
⇒ x 2 ≤ 10 ⇒ - 10 ≤ x ≤ 10
Điều kiện: 
10 - x 2 ≥ 0
 x 2 ≤ 10

( *)

0,25 điểm

(1) ⇔ 25 − x 2 = 3 + 10 − x 2
⇔ 25 − x 2 = 9 + 6 10 − x 2 + 10 − x 2
⇔ 10 − x 2 = 1 (2)
Phương trình (2) có 2 nghiệm x1 = 3 ; x2 = −3 ( thỏa mãn với điều kiện )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x1 = 3 ; x2 = −3

0,5 điểm
0,25 điểm

3) (1,5 điểm)
Điều kiện ∆ = m 2 - 4n > 0
Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình. Không mất tính tổng quát ta giả sử
x2 > x1 .
 x1 + x2 = −m

Theo Vi-et ta có : 

 x1x2 = n

 x − x 2 = x + x 2 − 4x x
( 2 1)
1 2
( 2 1 )
Mặt khác :  3 3
2
 x2 − x1 = ( x2 − x1 ) ( x1 + x2 ) − x1x2 




 25 = m 2 − 4n
m 2 − 4n = 25

⇔
Nên ta có : 
2
2
m − n = 7
35 = 5 m − n

(

)

0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm


 n = −6
thỏa mãn điều kiện bài toán.
 m = ±1
 m = 1; n = −6
Vậy các giá trị cần tìm là : 
 m = −1; n = −6

0,5 điểm

Giải hệ phương trình ta được 

Bài 2: ( 2,0 điểm ).
1) (1,0 điểm)
Vì b là số nguyên tố khác 3 nên b2 - 1 M3.
Ta có A = 3n + 1 + 2009b2 = 3( n + 1 + 669b2 ) + 2b2 - 2
= 3( n + 1 + 669b2 ) + 2(b2 - 1) M3
Do A > 3 nên A là hợp số với mọi n ∈ N.
2) (1,0 điểm)
Để n 2 +18n + 2020 là số chính phương thì n 2 +18n + 2020 = m 2
m nguyên, dương,
(1) ⇔ m 2 -18n - n 2 = 2020

0,25 điểm

0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
(1) với

)

(

⇔ m 2 - n 2 +18n = 2020
2

⇔ m 2 - ( n + 9 ) = 2020 -81 = 1939

⇔ ( m - n - 9 ) ( m + n + 9 ) = 1939

Mà 1939 = 1939 . 1 = 277 . 7
 m + n + 9 = 1939
 m + n + 9 = 277
Nên 
hoặc 
m - n - 9 = 1
m - n - 9 = 7
 m + n + 9 = 1939
m + n = 1930
⇔
⇒ 2n = 1920 ⇒ n = 960
* Với 
m - n - 9 = 1
m - n = 10
 m + n + 9 = 277
m + n = 268
⇔
⇒ 2n = 252 ⇒ n = 126
* Với 
m - n - 9 = 7
m - n = 16
Thử lại các giá trị của n vừa tìm được đều thỏa mãn đề bài.
Vậy n = 960 và n = 126 là các số cần tìm.
Bài 3 (1,0 điểm)
Do x > 0 nên N > 0 ⇒ N lớn nhất ⇔

1
nhỏ nhất.
N

Ta có :
2
2
x − 2010 )
(
1 ( x + 2010 )
x 2 + 2.2010 x + 20102
=
=
= 4.2010 +
≥ 4.2010
N
x
x
x
dấu “ = “ xảy ra khi x = 2010 .
1
là 4.2010 = 8040 đạt được khi x = 2010
N
1
Vậy với x = 2010 thì N đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất là
8040

Suy ra giá trị nhỏ nhất của

Bài 4 (1,5 điểm)
Vẽ hình đúng
a) Chứng minh E, F nằm trên một đường tròn cố định khi (O) thay đổi.

0,25 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm


·
Ta có AEB
= ·ACE
( cùng chắn cung EB )

E

⇒ ΔAEB : ΔACE (g-g)
AE
AB
⇒
=
AC
AE
⇒ AE 2 = AB.AC

A

K

B

I
C
O

Vì A, B, C cố định
⇒ AB. AC không đổi
Mà AE = AF
⇒ AE = AF không đổi khi (O) thay đổi.

0,25 điểm

F

Vậy hai điểm E, F nằm trên đường tròn cố định tâm A bán kính AB.AC
khi đường tròn (O) thay đổi.
b) Chứng minh EK // AB:
Vì IB = IC ( giả thiết ) ⇒ OI ⊥ BC
·
Ta có AEO
= ·AFO = ·AIO = 900 ⇒ năm điểm A, E, I, O, F cùng thuộc đường
tròn đường kính AO.
·
» )
⇒ AEF
= ·AIF ( cùng chắn cung AF
·

» )
AEF
= ·EKF ( cùng chắn cung EF
·
AIF
= ·KIC ( đối đỉnh )
·
⇒ EKF
= ·KIC ( hai góc ở vị trí so le trong )
⇒ EK // AB
Bài 5 (2,0 điểm)
1) (1,0 điểm)
Gọi R là bán kính của đường tròn (O); R > 0.
» = BC
» ⇒ OB ⊥ AC tại I
Do AB = BC = 2 5 cm ⇒ AB
Và IA = IC, ∆ ACD vuông tại C (nội tiếp trong đường tròn (O))
⇒ OI // CD nên OI là đường trung bình
C
CD
B
= 3 cm
của tam giác ∆ ACD ⇒ OI =
2
I
Áp dụng đinh lý Pitago cho ∆ OIC ta có :
OC2 = OI2 + IC2 ⇔ IC2 = R2 - 9
A

Mặt khác ∆ BIC vuông, ta có :

(

BC2 = BI2 + IC2 ⇔ IC2 = 2 5

(

Vậy R 2 - 9 = 2 5

)

2

)

2

- ( R - 3)

O

0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm

0,25 điểm

D

2

2

- ( R -3 ) ⇔ R 2 - 3R -10 = 0 ⇔ ( R + 2 ) ( R - 5 ) = 0

Nghiệm dương của phương trình là R = 5 thỏa mãn với điều kiện ban
đầu. Do đó bán kính của đường tròn (O) là R = 5cm.
2) (1,0 điểm)

0,25 điểm

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm


Gọi C là giao điểm của đoạn OA và đường tròn,
N là trung điểm của OC.
ON OM 1
=
=
Ta có :
OM OA 2
⇒ ∆ONM : ∆OMA ( c.g.c )
⇒ AM = 2MN

B

A

C

0,25 điểm

M
0

M

N

O

Từ đó : MA + 2MB = 2MN + 2MB ≥ 2BN (không đổi)
Vậy MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2BN.
Lúc đó M chính là M0 là giao điểm của đoạn BN và đường tròn (O; R)

0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm

Ghi chú:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một trong các cách giải, mọi cách giải khác nếu
đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm qui định ở từng bài.
-Đáp án có chỗ còn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết cho từng
bước biến đổi, lập luận; tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất trước khi chấm.
-Điểm toàn bộ bài không làm tròn số.

TUYẾN SINH VÀO THPT
MA TRẬN THIẾT KẾ ĐỀ TOÁN CHUYÊN
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
Phân
môn Mạch kiến thức

Mức độ

Số học

Số nguyên tố, hợp số

Vận dụng

Bài 2.1

CỘNG
1 bài
(2 câu)

1,0
Bài 2.2

Tìm số tự nhiên theo điều
kiện cho trước
Căn bậc hai : rút gọn và
tính giá trị của biểu thức

Đại số

Nhận biết Thông hiểu

2,0 điểm
1,0
Bài 1.1
2 bài
(4 câu)

1,0

Bất đẳng thức, giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trong
Đại số
Phương trình bậc hai : Giải
phương trình; điều kiện có
nghiệm, không có nghiệm

Bài 3
1,0
4,5 điểm

Bài 1.2
1,0
Bài 1.3

họcHình

Định lý Vi-et
Đường tròn; các yếu tố
trong đường tròn; quĩ tích

Bài 4.1a

1.5
Bài 4.1b

0,75

0,75

Bất đẳng thức, giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất trong
hình học

2 bài
(4 câu)

1,0
Bài 5
3,5 điểm
1,0

3 câu
TỔNG CỘNG

Bài 4.2

2,75
điểm

4 câu
4,25 điểm

3 câu
3,0 điểm

5 bài
(10 câu)
10 điểm