giáo án ôn tập phần dien tich va the tich khôi đa diện

TUẦN 15,16
TIẾT 20, 21, 22
MẶT TRÒN XOAY

I/ Mục đích yêu cầu
-Tính được thể tích khối trụ, khối nón, khối cầu.
-Tính được diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối trụ, khối
nón, khối cầu
II/ Phương pháp : Vấn đáp gợi mở, diễn giảng
III/ Tiến hành
1/ n đònh
2/ kiểm tra:
3/ Nội dung ôn tập
A/ Kiến thức cần nắm
1/Khối cầu
• Diện Tích : S = 4πR 2 (R là bán kính mặt cầu )
4
• Thể tích : V= πR 3
3
2/ Hình trụ, khối trụ
• Diện Tích :
*Sxq = chu vi đáy * đường cao = 2πR.h (R là bán kính đường tròn đáy,
h là chiều cao )
*Stp = Sxq + 2.Sđáy
• Thể tích : V= diện tích đáy * chiều cao = πR 2 .h
2/ Hình nón, khối nón
• Diện Tích :
1
*Sxq = .chu vi đáy * đường sinh = πR.l (R là bán kính đường tròn
2
đáy, l là độ dài đường sinh )

*Stp = Sxq + .Sđáy
1
1
• Thể tích : V= diện tích đáy * chiều cao = πR 2 .h
3
3
B/ Bài Tập
Bài 1 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥
(ABCD). Biết AB = a, AD = 2a và SB = a 5 .
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh rằng có một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Khi đó,
tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đó.
Hướng dẫn
a) Thể tích của khối chop S.ABCD là:
1


b) Chứng minh rằng có một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Khi đó,
tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đó.
s
Hướng dẫn
a) Thể tích của khối chop S.ABCD là:
1
Ta có: VS.ABCD = SA.SABCD
3
Trong đó: SABCD = a.2a = 2.a2
A
Và SA = SB 2 − AB 2 = 5a 2 − a 2 = 2a
o
4a 3

1 2
Vậy: V
=
2
a
.
2
a
=
S . ABCD
3
3
b) Ta có các điểm A, B và D đều nhìn
SC dưới một góc vng.

B

Nên có một mặt cầu tâm O (trung điểm SC) bán kính r =

SC 3a
=
2
2

Vậy: Diện tích của mặt cầu là: S =
a 2 .9
2
4πr = 4π
= 9πa 2
4

Bài 2:Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a ,
SA = SB = SC = SD = 2a .
a. Chứng minh rằng SO là đường cao của hình chóp. Tính SO.
b. Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD
c. Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
d. Tính diện tích của hình sinh ra bởi cạnh SO quay quanh trục SA .
Hướng dẫn
a/ Tự chứng minh SO là đường cao của hình chóp
SO = SA 2 − OA2 =

a 14
2

1
a3 14
b/Thể tích khối chóp: V = SO.SABCD =
3
6
S

K

I

J

D
A

C

O

B

2

D

C


c/Gọi I là trung điểm SA , d là trung trực của SA trong mặt phẳng ( SAC ) và

{ J} = d ∩ SO

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm J .
Bán kính SJ =

2 14a
7

d/ Gọi K là hình chiếu của O trên SA .
Diện tích hình sinh bởi đoạn SO khi quay quanh trục SA chính là diện tích
xung quanh của hình nón tạo thành khi quanh cạnh SO và OK quanh trục
SA .
OK =

a 7
4

Sxq = π .OK .SO =

7 2a 2π
8

Bài 3 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a.

a/Tính diện tích xung quanh hình trụ đáy là hai đường tròn ngoại tiếp ABCD
và A’B’C’D’.
b/. Tính thể tích và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương.
c/Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận AC’ làm trục và
sinh bởi cạnh AB.
Hướng dẫn
2
, l = a.
2
Suy ra Sxq= 2 π rl = π a 2 2

a/ Ta có r = a

B’
A’

AC ' a 3
=
2
2
2
2π
π

S = 4 r = 3a

b/ Ta có r =
V=

C’

D’
B

3
4
π r3 = π a 3
3
2

A

6
c/ Ta có l = a và r = a
3
6
Suy ra Sxq= π r l = π a2
3

Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao a và góc giữa mặt
bên (SAB) và mặt đáy bằng 450.
a). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
3

C

D


b). Hình nón tròn xoay N có đỉnh có đỉnh S và ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD. Tính diện tích xung quanh hình nón N và thể tích khối nón tương
ứng.
Hướng dẫn
Bài 5 :Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=3, AD =4, AA’ =5 .
a. Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
b. Tính thể tích khối tứ diện AA’B’C’ .
c. Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ và tính thể tích khối cầu đó .
Hướng dẫn
B’

C’

A’
B
C
A

a/ VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.AA’ = 3.4.5 = 60 (đvtt)

b/ Ta có AA’ ⊥(A’B’C’)
1
3

1
3

1
2

1
3

D

1
2

VAA’B’C’= AA '.S A ' B 'C ' = .5. .BA '.BC ' = .5. .4.3 = 10 (đvtt)
c/ Ta có AA’ và CC’ đều vng góc với (ABCD) và (A’B’C’D’) nên AA’C’C
là hình chữ nhật . Tương tự BB’D’D cũng là hình chữ nhật .
Gọi I là giao điểm của A’C và BD’ thì I là tâm của hai hình chữ nhật
bằng nhau
AA’C’C và BB’D’D
=> IA =IC’ =IA’ =IC = IB=ID’ =IB’=ID vậy I là tâm của mặt cầu ngoại
tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
Bán kính r = IA’ = A’C/2 =
=
A ' C '2 + CC '2
=
2

A ' B '2 + B ' C '2 + CC '2
32 + 4 2 + 52 5 2

=
=
2
2
2
3

5 2 
4
4
125π
Thể tích khối cầu V = π r 3 = π . 
=
÷
÷
3
3
3
 2 

(đvtt)

Bài 6 : Cho hình chóp đều A.BCD , cạnh đáy bằng a . Mỗi cạnh bên tạo
với mặt đáy (BCD) một góc 600 . Gọi H là tâm của tam giác đáy BCD
1/ Tính thể tích khối chóp A.BCD
2/ Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABCD
3/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng .
Hướng dẫn

4

D’


A

M
I
D

B
H

a/ Ta có

C

AH ⊥ ( BCD )

⇒ ABH = 60 0
a 3
. 3= a
3

AH = BH 3 =

1
AH . S ∆BCD
3
1 a2 3

a3 3
= .a.
=
( dvtt )
3
4
12

v ABCD =

b/ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABCD là giao điểm I của trục AH
của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và mặt phẳng trung trực đoạn AD
Hai tam giác AMI và AHD đồng dạng nên :
AI
AM
=
AD
AH

c/

( AD = 2.DH =

2a 3
)
3

2a 3 a 3
.
AD. AM

3
3 = 2a
⇒ R = AI =
=
AH
a
3
2
2
16π a
 2a 
S = 4πR 2 = 4π   =
(dvdt)
9
 3 
3

32π a 3
4
4  2a 
V = πR 3 = π   =
3
3  3 
81

(dvtt)

Bài 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a .
Cạnh bên SA = a 3 và vng góc với đáy.Gọi H là hình chiếu của A lên SD.
a/ Chứng minh SD vng góc với mặt phẳng (ABH).

b/ Tính thể tích khối chóp S.ABH.
c/ Khi quay hình vng ABCD xung quanh trục BC thì đường gấp khúc
BADC tạo thành một hình trụ tròn xoay. Tính diện tích xung quanh của hình
trụ và tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đó.
Hướng dẫn
a/
5


S

H
a 3

C

B

SA ⊥ ( ABCD) ⇒ AB ⊥ SA

* Ta có
A

AB ⊥ AD

ABCD là hình vuông nên

D

a

Do đó AB ⊥ ( SAD) ⇒ AB ⊥ SD (1)
* Do H là hình chiếu vuông góc của A lên SD nên
AH ⊥ SD (2)
SD
⊥ ( ABH )
Từ (1) và (2) suy ra
b/
* Do SD ⊥ ( ABH ) nên SH là đường cao của khối chóp S.ABH
* Lại do AB ⊥ ( SAD) nên tam giác ABH vuông tại A
* Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAD
1
1
1
1
1
4
=
+ 2 = 2+ 2 = 2
2
2
AH
AD
SA
a 3a
3a
a 3
⇒ AH =
2
3a 2 9a 2

=
* Mặt khác SH 2 = SA2 − AH 2 = 3a 2 −
4
4
3a
⇒ SH =
2
1
1
* Ta lại có VS . ABH = S ABH .SH = AB. AH .SH
3
6
1 a 3 3a a 3 3
= a.
. =
6
2 2
8
r
=
a
c/ * Bán kính đáy

Ta có

Độ dài đường cao

h=a
2
* S xq = 2π rl = 2π a.a = 2π a

* V = π r h = π a .a = π a
2

2

B

C

3

a
A

a

6

D


Baøi 8 :Một khối trụ có bán kính đáy bằng 10 cm, chiều cao bằng đường kính
của đáy. Hai bán kính OA và O’B’ lần lượt nằm trên 2 đáy sao cho chúng hợp
với nhau một góc 600 .
1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ ?
2. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với
trục của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện tạo thành ?
Höôùng daãn
A

o

B

A'
0'

B'

a/ Giả sử OO’ là trục của hình trụ . Ta có
h = OO’ = 2r = 2.10 = 20 cm
Diện tích xung quanh khối trụ.
Sxq = 2π rl = 2π .10.20 = 400π (cm 2 )

Thể tích khối trụ.
V = π r 2 h = π .102.20 = 2000π (cm 3 )

b/ Gọi A’ ; B lần lượt là hình chiếu của A ; B’ trên các mặt đáy
còn lại.
Do OA và O’B’ tạo với nhau một góc 600 => ·AOB = 600. Thiết
diện của mặt phẳng với khối trụ là hình chữ nhật ABB’A’
∆AOB cân tại O có ·AOB = 600 => ∆AOB đều => AB = 10(cm)
Vậy diện tích thiết diện ABB’A’ là
S = AB. AA’ = 10.20 = 200(cm2)
IV/ Bài tập làm thêm
Bài 1 : Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 .
Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Bài 2 : Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 , chiều cao h = 2 . Một hình
vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh
không song song và không vuông góc với trục của hình trụ . Tính cạnh của

hình vuông đó .
7


Bài 3 : Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi
một với SA = 1cm,SB = SC = 2cm .Xác định tân và tính bán kính của mặt cấu
ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó .
Bài 4 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều
bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp
hình lăng trụ theo a .
Bài 5 : Cho hình vuông ABCD cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng
ABCD,SA= 2a.
a.Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
b.Vẽ AH vuông góc SC.Chứng minh năm điểm H,A,B,C,D nằm trên một mặt
cầu.
Bài 6 : Cho hình nón có bán kính đáy là R,đỉnh S .Góc tạo bởi đường cao và
đường sinh là 600.
1.Hãy tính diện tích thiết diện cắt hình nón theo hai đường sinh vuông góc
nhau.
2.Tính diện tích xung quanh của mặt nón và thể tích của khối nón.
·
= 450 .
Bài 7 : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC
a. Tính thể tích hình chóp.
b. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 8 : Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi
một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt
cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó .
Bài 9 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a 3 .

1. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD.
Bài 10 : Cho hình nón có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là tam giác
đều. Một hình trụ nội tiếp hình nón có thiết diện qua trục là hình vuông . Tính
thể tích của khối trụ theo R.

8