Khảo sát điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong Laser màu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH TRUNG NHẬT

KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN THIẾT LẬP
TRẠNG THÁI NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ
CƯ TRÚ TRONG LASER MÀU
Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. Đào Xuân Hợi


2

VINH, 2013


Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. ĐÀO XUÂN HỢI

Phản biện 1:

PGS. TS. ĐINH XUÂN KHOA

Phản biện 2:

TS. CHU VĂN LANH


4
LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
PGS.TS Đào Xuân Hợi - Thầy đã trực tiếp định hướng và tận tình giúp đỡ
tôi cả về kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu và đã cung cấp cho
tôi các tài liệu để tôi hoàn thành luận văn này.
Cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các thầy
PGS.TS Đinh Xuân Khoa, TS Chu Văn Lanh đã đóng góp những ý kiến quý
báu, giúp đỡ tôi hoàn thiện luận văn.
Nhân đây tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy - cô giáo trong khoa
Vật lý, các thầy - cô giáo trong phòng Sau đại học Trường Đại học Vinh
cũng như các thầy - cô giáo Trung tâm DN - HN & GDTX Hương Sơn - Hà
Tĩnh và tập thể lớp Cao học 19 chuyên nghành Quang học - Đại học Vinh
đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập,
cũng như trong quá trình làm luận văn.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bố mẹ, anh chị
em và những người đã thường xuyên giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá
trình học tập và công tác.
Tuy tôi đã cố gắng rất nhiều nhưng cũng không thể tránh khỏi những
sai sót, vậy tôi mong các thầy cô, bạn đọc thông cảm và đóng góp ý kiến
nhằm hoàn thiện luận văn được tốt hơn.
Vinh, tháng 5 năm 2013

Trịnh Trung Nhật

5
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................4
MỤC LỤC..........................................................................................................5
LỜI NÓI ĐẦU.....................................................................................................6
CHƯƠNG 1
ĐIỀU KIỆN THIẾT LẬP TRẠNG THÁI NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ
CƯ TRÚ TRONG HỆ 3 MỨC NĂNG LƯỢNG...............................................9
1.1. Trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú..................................................9
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản: Mức năng lượng của hệ lượng tử.
Bức xạ tự nhiên. Bức xạ cảm ứng. Hấp thụ cộng hưởng. Hệ số
Einstein.......................................................................................................9
1.1.2. Đặc trưng của trạng thái không cân bằng. Khái niệm trạng
thái nghịch đảo mật độ cư trú..............................................................14
1.1.3. Điều kiện tự kích của laser........................................................16
1.2. Điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong hệ 3
mức năng lượng..........................................................................................20
1.2.1. Điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong
vùng sóng vô tuyến
...................21
1.2.2. Điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong
vùng quang...............................................................................................27
KẾT LUẬN CHƯƠNG I..................................................................................33
CHƯƠNG 2
KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN THIẾT LẬP TRẠNG THÁI
NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ CƯ TRÚ TRONG LASER MÀU.............................34
2.1. Sơ lược về chất nhuộm màu và sơ đồ mức năng lượng...............34
2.1.1. Sơ lược về chất nhuộm màu.......................................................34

2.1.2. Sơ đồ mức năng lượng của chất màu.......................................37
2.2. Điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú của Laser
màu...............................................................................................................38
2.2.1. Hệ phương trình động học của chất màu................................39
2.2.2 Điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong
laser màu..................................................................................................39
KẾT LUẬN CHƯƠNG II.................................................................................49
KẾT LUẬN.......................................................................................................50
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................52


6
LỜI NÓI ĐẦU
Nguyên lý của bức xạ cưỡng bức là nền tảng hoạt động của laser. Lý
thuyết bắt đầu được xây dựng vào năm 1900 bởi Max Planck, người đầu
tiên chứng minh rằng năng lượng của sóng điện từ không liên tục mà là
những phần tử rời rạc - lượng tử năng lượng - với mức năng lượng tương
ứng với tần số của sóng. Năm 1916, Albert Einstein đã đưa ra định đề về lý
thuyết của phát xạ cưỡng bức. Einstein cho rằng một trong số những lượng
tử này (sau này gọi là lượng tử ánh sáng - photon) va đập vào điện tử bị
kích thích sẽ gây ra phân rã, giải phóng một lượng tử ánh sáng thứ cấp
giống hệt lượng tử đó về bước sóng, pha và hướng. Đến chiến tranh thế
giới thứ II nổ ra, người ta quan tâm nhiều về một thế hệ vi sóng microwaves cho radar. Để đáp ứng nhu cầu sử dụng vi sóng đó, nhà vật lý
người Mỹ Charles Townes làm việc tại Bell Laboratories và nhà vật lý
người Nga Nikolay Basov và Alexander Prokhorov tại viện vật lý Lebedev,
đã đề xuất độc lập nhau ở đầu thập niên 50 rằng vi sóng có thể được tạo ra
1 cách hiệu quả bằng phát xạ cưỡng bức của các phân tử. Năm 1954,
Townes cùng với James P. Gordon và Herbert Zigler đã chế tạo thành công
máy khuếch đại bức xạ cưỡng bức phát ra từ khí ammonia. Hay còn gọi là
MASER. Năm 1958, Townes cùng đồng sự của ông Arthur Schawlow cho

rằng "MASER quang học" có thể được sử dụng để tạo ra tia hồng ngoại và
thậm chí ánh sáng nhìn thấy được. Tuy nhiên chỉ vài tháng trước đó,
Gordon Gould, một nghiên cứu sinh cũng đang làm việc tại đại học
Columbia, độc lập đưa ra khái niệm về buồng quang học sử dụng các kính
tại các đầu của một ống thẳng hàng, cho phép một mức năng lượng trung
bình đạt được tạo ra năng lượng quang để duy trì một sự đảo ngược. Gould
đã ghi nhận kết quả và tính toán của ông vào trong ghi chép của mình, cho
rằng thiết bị của ông là một LASER (Light Amplification by the Stimulated


7
Emission of Radiation). Ghi chép này đã gây ra tranh cãi 30 năm về bản
quyền của laser và các tính c hất của laser.
Dựa theo ấn bản của Townes' và Schawlow's năm 1958, Theodore
Maiman, làm việc tại trung tâm nghiên cứu Hughes, đã tạo ra máy laser đầu
tiên sử dụng chất bằng ruby với các kính tạo quang ở hai đầu bằng 1 bóng
đèn xoắn phát tia sáng bịt kín trong 1 xilanh bằng nhôm. Ông công bố kết
quả đạt được này tại buổi họp báo tại New York City vào tháng 7, 1960, và
bị báo chí cho rằng đây là sáng chế của “tia tử thần”.
Sau công bố đặc biệt của Maiman rằng ông đã chứng minh được các
laser liên quan rất dễ dàng được tạo ra. Ông cũng giới thiệu khái niệm laser
hoạt động dạng xung-pulsed laser operation (cho đến thời điểm đó người ta
chỉ tập trung vào xung liên tục- continuous wave optical MASER), khả năng
cung cấp mức năng lượng lớn trong một thời gian phát xung rất ngắn, mở ra
1 tiềm năng to lớn về các ứng dụng bao gồm tương tác quang học và nonlinear optics.
Tiếp theo sau đó là những khám phá thú vị về laser, và suốt vài năm
kế tiếp, laser khí Helium-Neon (HeNe-Ali Javan, Bell Labs, 1961), Nd:
Glass laser (Elias Snitzer, American Optical, 1961), và laser chất bán dẫn
(semiconductor laser) đầu tiên (Robert Hall, GE Labs, 1962), CO 2 laser
(Kumar Patel, Bell Labs, 1963) được ra đời.

Ngày nay, laser đã được ứng dụng rất rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực
như: y học, quân sự, công nghiệp, thiết bị điện tử gia dụng… Trong đó,
Laser màu có ứng dụng rất nhiều trong nhiều lĩnh vực khác nhau nên đã
được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học. Để nghiên cứu về
vật lý Laser thì phải hiểu được điều kiện để phát ra Laser. Đó chính là trạng
thái nghịch đảo mật độ cư trú hay là trạng thái “nhiệt độ âm”. Bởi vậy tôi
chọn tên cho đề tài luận văn tốt nghiệp của mình là: “Khảo sát điều kiện
thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong laser màu”.


8
Về cấu trúc, ngoài phần mở bài và kết luận, tài liệu tham khảo, luận
văn gồm hai chương:
Chương 1: Điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú
trong hệ ba mức năng lượng.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về
Laser: mức năng lượng, hệ lượng tử, bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm ứng, hệ số
Einstein, khái niệm trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú. Đặc biệt là điều kiện
thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong hệ ba mức năng lượng.
Những kiến thức này nhằm phục vụ cho chương 2.
Chương 2: Khảo sát điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ
cư trú trong laser màu.
Đây là nội dung chính của luận văn. Nội dung chính của chương
này, chúng tôi đã giải hệ phương trình động học bằng phương pháp giải
tích. Nghĩa là, tìm được mối liên hệ giữa n 1 và n3. Để từ đó rút ra được một
biểu thức giải tích xác định điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ
cư trú trong laser màu.


9

CHƯƠNG 1
ĐIỀU KIỆN THIẾT LẬP TRẠNG THÁI NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ
CƯ TRÚ TRONG HỆ 3 MỨC NĂNG LƯỢNG
1.1. Trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú
1.1.1. Một số khái niệm cơ bản: Mức năng lượng của hệ lượng tử.
Bức xạ tự nhiên. Bức xạ cảm ứng. Hấp thụ cộng hưởng. Hệ số Einstein
Các khái niệm: Mức năng lượng của hệ lượng tử, bức xạ tự nhiên, bức
xạ cảm ứng, hấp thụ cộng hưởng, hệ số Einstein, khái niệm trạng thái nghịch
đảo mật độ cư trú... đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước giới thiệu
trong các tài liệu khác nhau. Trong luận văn này, dựa vào các tài liệu tham
khảo [4, 5, 6, 8, 10, 11, 12] chúng ta có như sau:
- Mức năng lượng của hệ lượng tử: Trong cơ học lượng tử, nội năng
của hạt được lượng tử hóa, có nghĩa là nội năng của hạt nhận một loạt các
giá trị xác định và gián đoạn. Những giá trị đó, trong vật lý gọi là các mức
năng lượng. Mức năng lượng thấp nhất gọi là mức cơ bản, các mức còn lại
gọi là các mức kích thích.
Khi một nguyên tử chuyển từ mức năng lượng này sang mức năng
lượng khác thì nguyên tử sẽ thay đổi năng lượng, độ thay đổi năng lượng đó
bằng hiệu năng lượng giữa các mức đó. Khi nguyên tử chuyển từ mức năng
lượng thấp lên mức năng lượng cao thì nguyên tử hấp thụ năng lượng, khi
nguyên tử chuyển từ mức năng lượng cao xuống mức năng lượng thấp thì
nguyên tử bức xạ năng lượng.
- Bức xạ tự nhiên: Xét nguyên tử với hai mức năng lượng (hai trạng
thái năng lượng) m và n, có năng lượng tương ứng với các mức đó là E m và
E n . Giả sử E m lớn hơn E n (có nghĩa là mức m cao hơn mức n). Khi nguyên
tử ở mức năng lượng cao m thì nó có thể tự chuyển xuống mức năng lượng


10
thấp n và khi đó nguyên tử sẽ bức xạ một lượng tử năng lượng hν = Em − En .

Bức xạ như vậy gọi là bức xạ tự nhiên hay bức xạ tự phát.
- Bức xạ cảm ứng: Khi nguyên tử chuyển từ mức năng lượng cao m
xuống mức năng lượng thấp n nhờ tác động của trường ngoài và khi đó
nguyên tử cũng bức xạ một lượng tử năng lượng hν = E m − E n . Bức xạ như
vậy gọi là bức xạ cảm ứng. Người ta thấy rằng khả năng dịch chuyển của
nguyên tử từ mức cao xuống mức thấp khi có trường ngoài sẽ mạnh hơn khi
không có trường ngoài, có nghĩa là trường điện từ đã làm tăng xác suất bức
xạ lượng tử. Bức xạ cảm ứng có tính chất rất quan trọng là : Lượng tử năng
lượng của bức xạ cảm ứng có cùng tần số, cùng độ phân cực và cùng
phương lan truyền với trường điện từ ngoài.
- Quá trình hấp thụ cộng hưởng: Ngoài bức xạ tự nhiên và bức xạ
cảm ứng, khi nguyên tử nằm trong trường điện từ ngoài và nguyên tử ở mức
năng lượng thấp n có thể hấp thụ một lượng tử năng lượng hν = E m − E n để
chuyển lên mức cao hơn m. Quá trình đó gọi là quá trình hấp thụ cộng
hưởng.
Khái niệm bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm ứng và hấp thụ cộng hưởng
lần đầu tiên được Einstein đưa vào trong vật lý.
Bây giờ ta xét một hệ nguyên tử đặt trong trường điện từ ngoài, giả sử
trường điện từ ngoài có mật độ phổ năng lượng điện từ là ρν
Khi đó mật độ năng lượng toàn phần của trường điện từ sẽ là:
∞

ρ ν = ∫ ρ(ν )dν
0

Khi hệ nguyên tử đặt trong trường điện từ có thể xẩy ra cả ba quá
trình: bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm ứng và hấp thụ cộng hưởng.
tn
Gọi dWmn là xác suất nguyên tử chuyển tự nhiên từ mức m về mức n

trong khoảng thời gian dt và bức xạ lượng tử năng lượng hν = E m − E n .


11
tn
Theo Einstein, ta có dWmn = A mn .dt

(1.1)

Trong đó A mn không phụ thuộc thời gian và mật độ phổ năng lượng
trường điện từ.
Cũng trong khoảng thời gian dt này do hệ nguyên tử đặt trong
trường điện từ nên nguyên tử có thể chuyển từ mức m về mức n do bức xạ
cảm ứng và bức xạ lượng tử năng lượng hν = E m − E n . Theo Einstein thì xác
suất của bức xạ cảm ứng dWmn tỷ lệ với mật độ phổ năng lượng của trường
dWmn = B mn .ρ ν .dt

điện từ nên, ta có:

(1.2)

Trong đó B mn không phụ thuộc thời gian và mật độ phổ năng lượng
trường điện từ.
Cùng với các quá trình bức xạ thì có thể có quá trình hấp thụ. Gọi
dWnm là xác suất hạt ở mức n hấp thụ lượng tử năng lượng hν = E m − E n rồi
chuyển lên mức m, trong khoảng thời gian dt. Theo Einstein, ta có :
dWnm = B nm ρ ν .dt

(1.3)

Trong đó B nm cũng không phụ thuộc thời gian và mật độ phổ năng
lượng trường điện từ.
Trong các công thức (1.1), (1.2) và (1.3) các hệ số A mn , B mn và B nm
được gọi là các hệ số Einstein.
Để tìm mối liên hệ giữa các hệ số Einstein ta khảo sát hệ hạt ở trong
trạng thái cân bằng nhiệt ở nhiệt độ T (trạng thái cân bằng nhiệt là trạng thái
ở đó có số lượng tử sinh ra do bức xạ bằng số lượng tử hấp thụ).
Gọi N m , N n lần lượt là số hạt ở m và mức n trong một đơn vị thể tích
của vật chất.
Đối với hệ lượng tử không suy biến đại lượng N m và N n được gọi là
mật độ cư trú của hạt ở mức m và mức n. Xét trong thể tích V của vùng mà
hạt chiếm và trong khoảng thời gian dt, ta có:


12
Số lượng tử bức xạ do quá trình bức xạ tự nhiên là:
tn
N m VdWmn
= N m VA mn dt

(1.4)

Số lượng tử bức xạ do quá trình bức xạ cảm ứng là :
N m VdWmn = N m VB mn ρ ν dt

(1.5)

Số lượng tử hấp thụ do quá trình hấp thụ cộng hưởng là :
N n VdWnm = N n VB nm ρ ν dt

1.6)

Đối với trạng thái cân bằng nhiệt thì số hạt chuyển lên mức m bằng số
hạt chuyển xuống mức n, tức là:
N m VA mn dt + N m VB mn ρ ν dt = N n VB nm ρ ν dt
⇔

N m (A mn + B mn ρ ν ) = N n B nm ρ ν

(1.7)

Với hệ hạt ta xét trên sẽ thỏa mãn phân bố Bolzoman, tức là số hạt ở
mức i trong một đơn vị thể tích vật chất được tính theo công thức:
Ni =

trong đó:

N

∑

 E 
g i exp − i 
 kT 

(1.8)

N là tổng số hạt trong một đơn vị thể tích vật chất.
g i là trong số thống kê của mức năng lượng (hệ hạt).

∑

là tổng thống kê,

N
 E 
=
g i exp − i  .
∑ ∑
i =1
 kT 

k là hằng số Bolzman, T là nhiệt độ tuyệt đối.
Để đơn giản, ta xét trường hợp không suy biến ( g i =1). Khi đó, từ
công thức (1.8) ta có số hạt trên mức m và số hạt trên mức n là:
Nm =

N

∑

N
 E 
 E 
exp − m  ; N n =
exp − n 
 kT 
 kT 
∑

thay các giá trị này vào (1.7) ta được:
 E 
 E 
( Amn + B mn .ρ ν ) exp − m  = B nm .ρ ν exp − n 
 kT 
 kT 

(1.9)


13
Khi T → ∞ , mật độ phổ năng lượng ρν tăng vô hạn. Như vậy khi T đủ
lớn ta có: B mn .ρ ν >> A mn .
 E 
 E 
Mặt khác, khi T → ∞ thì cả exp − m  và exp − n  đều bằng 1.
 kT 
 kT 
B mn .ρ ν = B nm .ρ ν

Bởi vậy, từ (1.9) ta có:

Suy ra mối liên hệ giữa các thông số Einstein B mn = B nm
ρν =

Thay (1.10) vào (1.9) ta có

ρν =

mà E m − E n = hν nên

Bây giờ ta xác định tỷ số

A mn
B mn

A mn
B mn

(1.10)

1
 E − En 
exp m
 −1
 kT 

1
 hν 
exp  − 1
 kT 

(1.11)

A mn
. Ta có, khi ở các tần số bé, tức là khi
B mn

hν << kT thì mật đổ phổ năng lượng được xác định công thức Relay:
8πν 2

ρ ν = 3 kT
c
Mặt khác, nếu
khi đó từ (1.11) ta có

hν
<< 1
kT
ρν =

thì

(1.12)
exp

hν
hν
≈1+
kT
kT

A mn kT
kết hợp với (1.12) ta có:
Bmn hν
A mn 8πν 2
= 3 hν
B mn
c

(1.13)

Công thức (1.10) và (1.13) không phụ thuộc vào bản chất của môi
trường hoạt. Thay (1.13) vào (1.11), ta nhận được công thức của Planck:
8πν 2
ρν = 3
c

hν
 hν 
exp  − 1
 kT 

(1.14)


14
8πν 2
Hệ số 3 là số dao động tử (số kiểu dao động) trong một đơn vị
c
thể tích. Từ đây ta có năng lượng trung bình trong một kiểu dao động
E (TB1) =

ρν
hν
2 =
8πν
 hν 
exp  − 1
3
c

 kT 

(1.15)

1.1.2. Đặc trưng của trạng thái không cân bằng. Khái niệm trạng
thái nghịch đảo mật độ cư trú
Ở phần trước ta đã khảo sát mối liên hệ giữa các hệ số Einstein trong
trạng thái cân bằng nhiệt. Nhưng đối với Laser các trạng thái vật lý thường
gặp lại là trạng thái không cân bằng.
Như chúng ta đã biết trạng thái không cân bằng là trạng thái nghịch
đảo mật độ cư trú . Trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú là khái niệm cơ bản
của điện tử học lượng tử. Khái niệm này, đã được nhiều tác giả đề cập đến
trong các tài liệu khác nhau [1,7,8,10,11,12]. Cũng như trong phần trước ta
xét hệ có hai mức năng lượng E m và E n ( E m > E n ). Như ta đã biết ở trạng thái
cân bằng nhiệt động không suy biến, mật độ cư trú của các hạt ở các mức là:
Nm =
Nn =
Vậy

Ta suy ra

N

∑
N

∑

 E 
exp − m 

 kT 

(1.16)

 E 
exp − n 
 kT 

(1.17)

Nm
 E − En 
= exp − m

Nn
kT 

T=

Em − En
N
k ln n
Nm

Vì E m > E n nên E m - E n > 0
Xét trong các trường hợp:

(1.18)

(1.19)

15
Nn
N
> 1 thì ln n > 0 suy ra T > 0 . Đây là điều kiện bình thường, có
Nm
Nm

+ Nếu

nghĩa là ở trạng thái cân bằng nhiệt động, mật độ hạt ở mức năng lượng cao
ít hơn mật độ hạt ở mức năng lượng thấp.
Nn
= 1 ⇒ T = +∞
Nm

+ Nếu
+ Nếu

Nn
N
< 1 thì ln n < 0 suy ra T < 0 . Trạng thái mà ở đó mức năng
Nm
Nm

lượng cao có mật độ hạt lớn hơn mật độ hạt ở mức năng lượng thấp.
Trạng thái có mật độ cư trú ở mức năng lượng cao lớn hơn mật độ cư
trú ở mức năng lượng thấp gọi là trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú. Trong
vật lý Laser có các cách gọi khác nhau: trạng thái nhiệt độ âm, trạng thái

nghịch đảo mật độ cư trú, trạng thái nghịch đảo độ tích lũy hoặc trạng thái
Laser là hoàn toàn tương đương, hay nói cách khác có bản chất như nhau
N m > N n . Trong luận văn này chúng ta thống nhất một tên gọi đó là trạng

thái nghịch đảo mật độ cư trú.
Một môi trường gồm các nguyên tử hai mức năng lượng rất khó tạo ra
được trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú. Giả sử có tạo ra được trạng thái
này thì xác suất dịch chuyển từ mức cơ bản lên mức kích thích và ngược lại
bằng nhau, do đó trạng thái này không tồn tại được lâu, mà quay về trạng
thái cân bằng ban đầu. Như vậy để có được trạng thái nghịch đảo mật độ cư
trú, chúng ta chỉ có thể tìm thấy trong các nguyên tử có ít nhất ba mức năng
lượng. Trong sơ đồ các mức năng lượng đó ít nhất.
Đặc trưng của trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú: trạng thái nghịch
đảo mật độ cư trú chỉ có thể nhận được đối với một số mức năng lượng nhất
định. Điều đó liên quan đến vấn đề: Muốn tạo nên trạng thái nghịch đảo mật
độ cư trú giữa hai mức năng lượng thì cần tốn một năng lượng nhất định,
vậy nếu số mức là vô hạn thì cần tốn một năng lượng vô hạn. Như vậy khái


16
niệm nhiệt độ âm của môi trường (mẫu) và trạng thái “nhiệt độ âm” là hoàn
toàn khác nhau. Ví dụ trong Laser Rubi, mẫu Rubi có nhiệt độ trong khoảng
nhiệt độ của Heli lỏng đến nhiệt độ của phòng. Nhưng trong khi đó giữa các
mức năng lượng vẫn có trạng thái “nhiệt độ âm”.
1.1.3. Điều kiện tự kích của laser
Một câu hỏi đặt ra là: Có thể đạt được sự bức xạ cảm ứng lớn hơn hấp
thụ cộng hưởng không? Có nghĩa là môi trường có khả năng khuếch đại bức
xạ điện từ khi nó truyền qua môi trường hay không?
Nếu N m VB mn ρ ν dt > N n VB nm ρ ν dt . Theo (1.10) ta có điều kiện để có
Nm > Nn

khuếch đại bức xạ là:

(1.20)

Điều kiện (1.20) nói lên rằng giữa mức m và mức n thiết lập sự nghịch
đảo mật độ cư trú, hay các mức m và n được đặc trưng bởi trạng thái nghịch
đảo mật độ cư trú.
Một môi trường trong đó tồn tại sự nghịch đảo mật độ cư trú gọi là
môi trường hoạt.
Trong phần trước ta xét trọng số thống kê bằng 1, nhưng nếu trọng số
g , và của mức n là ~
g . Theo công thức (1.10) ta
thống kê của các mức m là ~
m

n

~
g m B mn = ~
g n B nm

có:
thay B mn

(1.21)

~
g m A mn 8πhν 3
=

từ (1.13) vào (1.21) ta được: ~
gB
c3
n

thay cho (1.19) ta có:

T=

(1.21’)

nm

Em − En
 Nn / ~
gn 

k ln
~
N
/
g
 m m

(1.22)

Vậy để khuếch đại được sóng điện từ ta cần phải có:
Nm Nn
> ~
~

gm
gn

(1.23)


17
- Trong phần trước ta chỉ mới nói tới mật độ phổ bức xạ ρν , trong
thực tế ta còn gặp khái niệm cường độ bức xạ I( ν ) =

cρ ν
là số phôtôn trong
hν

khoảng tần số ν → ν + dν đi qua trong một đơn vị diện tích trong một đơn
~
vị thời gian, còn I = ∫ I(ν).dν là cường độ bức xạ toàn phần. Trong luận văn
này để thuận tiện ta gọi ~I và I(ν) là cường độ (nhưng cần lưu ý chỉ số ν ).
Giả sử sóng điện từ hầu như đơn sắc, với cường độ I lan truyền trong
môi trường dọc theo một hướng z nào đó. Sự thay đổi cường độ của sóng
trong môi trường được mô tả bởi phương trình:
~
~
dI = GI dz

(1.24)

với G gọi là hệ số khuếch đại lượng tử của môi trường hoạt, và cũng là đại
lượng cơ bản đặc trưng cho môi trường.
- Ta biểu diễn G qua tiết diện ngang của bức xạ cảm ứng là σ mn (ν) ,

và qua tiết diện ngang hấp thụ cộng hưởng là σ nm (ν) .
Ta có sự liên hệ giữa xác suất dịch chuyển cảm ứng với tiết diện
ngang bức xạ có dạng[8]:

dWmn = σ mn (ν)I(ν).dν

(1.25)

Lấy tích phân theo mọi tần số ta được:
Wmn = ∫ σ mn (ν)I(ν)dν

(1.25a)

Trong trường hợp bức xạ có phổ rất mảnh trong vùng tần số ν 0 , thì
trong vùng đó σ mn có thể xem là không đổi, có nghĩa là σ mn (ν) = σ mn (ν 0 ) và
đưa ra ngoài dấu tích phân ta được:
~
Wmn = σ mn (ν 0 ) ∫ I(ν)dν = σ mn (ν 0 ). I

(1.25b)

Hệ số khuếch đại lượng tử biểu diễn qua tiết diện bức xạ cảm ứng và
mật độ cư trú của mức theo công thức:


18
~


g


G ( ν ) = σ mn (ν) N m − ~m N n 
(1.26)
gn


g =~
g = 1) , công thức (1.26) có dạng
Khi không có suy biến ( ~
m

n

G ( ν ) = σ mn (ν)( N m − N n )

(1.26a)

Trong công thức (1.26) và (1.26a) các ký hiệu N m và N n là số hạt
trong một đơn vị thể tích trên mức m và mức n tương ứng, thứ nguyên của
chúng là [N] = L-3, do vậy hệ số khuyếch đại có thứ nguyên là [G] = L-1.
Từ công thức (1.26) và (1.26a) nếu N m > N n (không suy biến) hay
~
g
N m > N n ~m (có suy biến) thì G (ν) > 0 , và theo công thức (1.24) thì môi
g
n

trường khuếch đại được sóng điện từ khi truyền qua nó.
Mặt khác, ta lại thấy rằng khi sóng lan truyền qua môi trường thì
cường độ sẽ bị yếu đi do bị mất mát. Sự biến đổi cường độ đó được biểu

~
~
dI = −Gh I .dz

diễn qua:

(1.24a)

với G h là hệ số tiêu hao.
Do vậy ta có sự thay đổi của cường độ sóng khi đi qua môi trường:
~
~
dI = (G − Gh ) I .dz

Tích phân (1.27) ta được: I = I 0 exp[ ( G − Gh ) z ]

(1.27)
(1.28)

Từ (1.28) ta thấy rằng, để khuếch đại được sóng điện từ thì G không
những dương mà còn phải lớn hơn G h .
Cũng từ (1.28) ta thấy rằng, để tăng I thì phải tăng G hoặc tăng Z, việc
tăng G của một chất là rất khó, bởi vậy trong thực tế để khuếch đại cường độ
I người ta tăng z. Z\z sẽ được tăng khi kích thước môi trường hoạt tăng,
nhưng một Laser phải có một kích thước nhất định, nghĩa là Z không thể
tăng một cách tùy ý. Trong thức tế người ta tăng Z bằng cách cho ánh sáng
đi lại nhiều lần trong môi trường. Phương pháp này gọi là phương pháp phản
hồi dương (hộp cộng hưởng).

19
Giả sử có sóng điện từ I lan truyền dọc theo trục z và phản xạ ngược
trở lại từ hai gương 1 và 2. Gọi I10 là cường độ ánh sáng tại gương 1, I 2 là
cường độ ánh sáng khi đến gương 2, z là khoảng cách giữa hai gương, vậy
theo công thức (1.28) ta có:
I 2 = I 10 exp[ ( G − Gh ) z ]

(1.29)

Gọi r1 , r2 là hệ số phản xạ của gương 1 và 2, thì ta có cường độ ánh
sáng sau khi phản xạ lần thứ nhất qua gương 2 là
I 20 = I 2 .r2 = r2 I 10 exp[ ( G − Gh ) z ]

Gọi I1 là cường độ ánh sáng phản xạ từ gương 2 khi đến gương 1
ta có:

I 1 = I 20 exp[ ( G − Gh ) z ]

hay

I 1 = r2 I 10 exp[ 2( G − Gh ) z ]

(1.29.a)

Như vậy ta đã khảo sát trong một chu kỳ của cường độ sáng khi đi từ
gương 1 đến gương 2, sau đó lại phản xạ từ gương 2 về gương 1.

z

I10

I2

I1

I 20

2
1
Hình 1.1- Biểu diễn quá trình phản xạ ánh sáng giữa hai gương

Ta khảo sát tiếp vòng thứ hai, gọi I’ 10 là cường độ sóng phản xạ từ
gương 1 (lần thứ hai)
ta có:

I '10 = I 1 .r1 = r1 r2 I 10 exp[ 2( G − Gh ) z ]

(1.30)

Rõ ràng quá trình sẽ lặp lại giống như trên nếu thỏa mãn điều kiện:
I’10 = I10
Khi đó theo (1.30) ta có: r1 r2 exp[ 2( G − Gh ) z ] = 1
Từ (1.3) biến đổi ta được:

(1.31)


20
exp[ 2( G − Gh ) z ] =

1
1
⇔ exp[ 2( G − Gh ) z ] =
r1 r2
r1 r2

⇒ G = Gh +

1
1
ln
2 Z r1r2

(1.32)

Công thức (1.32) được gọi là điều kiện tự kích của Laser.
1.2. Điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong hệ 3
mức năng lượng
Khái niệm trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú là khái niệm cơ bản
trong vật lý Laser, và muốn khuếch đại được sóng điện từ khi truyền qua
môi trường thì phải tạo được trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú. Trong thực
tế có nhiều phương pháp tạo trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú, trong đó
phương pháp bơm tức dùng bức xạ bổ trợ là phương pháp phổ biến nhất [8].
Ta biết rằng dựa vào bước sóng dài ngắn khác nhau, người ta chia
sóng điện từ thành các loại sau:
Loại sóng

Bước sóng (m)
3.104 ÷ 10-4

Tần số (Hz)
104 ÷ 3.1012

10-3 ÷ 7,6.10-7
7,6.10-7 ÷ 3,8.10-7

3.1011 ÷ 4.1014
4.1014 ÷ 8.1014

Tia Rơn-ghen

3,8.10-7 ÷ 10-9
10-8 ÷ .10-11

8.1014 ÷ 3.1017
3.1016 ÷ 3.1019

Tia gamma

Nhỏ hơn 10-12

Lớn hơn 3.1019

Sóng vô tuyến điện
Tia hồng ngoại
Ánh sáng nhìn thấy
Tia tử ngoại

Mặt khác ngoài các tia Rơn-ghen, tia gamma, người ta chia thang sóng
điện từ còn lại ra làm 2 vùng:

- Vùng sóng vô tuyến: có bước sóng từ 10-3m trở lên.
- Vùng quang: có bước sóng từ 10-9m ÷ 10-3m
Sau đây ta sẽ xét phương pháp để thu được trạng thái nghịch đảo mật độ
cư trú trong 2 vùng đó.


21
1.2.1. Điều kiện thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong
vùng sóng vô tuyến
Ta xét hệ 3 mức năng lượng, dưới tác dụng của bức xạ bổ trợ
Trên hình 1.2 biểu diễn 3 mức năng lượng 1, 2, 3 tương ứng với các
giá trị năng lượng E1, E2, E3 (E1 < E2 < E3).

E

Dưới tác dụng bổEtrợ tạo nên các chuyển mức giữa các mức năng

E3

3
0 ta xét bức xạ
lượng. ỞT<
đây
chuyển mức giữa mức 1 và mức 3. Trong trạng

E2

T< 0 thỏa mãn phân bố
thái cân bằng nhiệt (T > 0), mật độ hạt trên các mức

E

Boltzman (đường liền nét trên hình 1.2), từ đó ta thấy mật độ hạt trên mức 1
E1
0

N

0 N 02
3

E2
là lớn nhất còn mật độ hạtE1trên mức 3 là bé nhất. Đường nét đứt trên hình1.2

0
0
0
0
0
o
N1sự
N
N
N
N
2
1
biểu
diễn
phân

bố
của
các
hạt
trên
các
mức
khi
T
<
0. Nếu
gọi N i là mật
b
a
3

N

o

N j là
Hình 1.2 – Biểu
diễn
sựmức
phâni bố
độmật
hạt trên
cáctrên
mức
trong

độ hạt
trên
và mật
độ hạt
mức
j ở trạng thái cân bằng nhiệt
trường hợp cân bằng và không cân bằng nhiệt[8]
động với nhiệt độ T.
Khi đó ta có:

 Ei − E j 
N io
 −

=
exp
N oj
kT 


Trong vùng sóng vô tuyến ta có[8]:

(1.33)

Ei − E j
<< 1 . Chỉ khi nhiệt độ
kT

rất thấp và tần số đủ cao, thì biểu thức trên gần đến 1. Thật vậy, ví dụ khi
nhiệt độ đủ thấp, T = 4,2 0 K , ta thử xem đối với những tần số nào sẽ thỏa

22

mãn

Ei − E j
kT

tần số: ν =

= 1. Ta dễ dàng nhận thấy rằng, đẳng thức đó thỏa mãn với các

Ei − E j
η

=

kT
= 8,8.1010 Hz (λ = 3,3mm) nghĩa là đối với tần số


cao.
Từ điều kiện

chuổi ( e

hν
kT

≈1+

Ei − E j
kT

<< 1 , ta phân tích hàm exp (−

Ei − E j
kT

) thành

hν
) và giữ lại số hạng đầu tiên, sẽ nhận được:
kT
N 30
E − E1
= 1− 3
0
N1
kT

(1.34)

N 02
E − E1
=1− 2
0
N1
kT

(1.35)

Bây giờ ta xem xét ở điều kiện nào thì xuất hiện trạng thái nghịch đảo
mật độ cư trú giữa các mức 3 - 2 hay 2 - 1.
Giả sử trong hệ 3 mức, có sự tác dụng của bức xạ bổ trợ với tần số
đúng bằng khoảng tần số giữa mức 1 và mức 3.
Để đơn giản ta coi:
- Ở biên độ của tín hiệu đủ lớn thì mật độ hạt trên mức 1 và mức 3 là như
nhau.
- Mật độ hạt ở mức 2 ở thời điểm đó chưa thay đổi.
Nếu N1, N2, N3 là mật độ hạt của các mức khi có tín hiệu bơm, thì điều
ta giả thiết ở trên có nghĩa là:
N1 = N 3 =

từ (1.34) ta có:

N 10 + N 30 N 10
=
2
2


N0 
1 + 30 
N1 


 E − E1 
N1 = N 3 = N10 1 − 3


2kT 


(1.36)


23
Còn N2 vẫn giữ nguyên như cũ và được xác định bởi công thức (1.35).
Nếu ta cần tạo nên trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú giữa các mức 3
và 2 thì nhất thiết phải có: N3 > N2.
Từ (1.36) và (1.35) ta có: 1 −

E 3 − E1
E − E1
>1− 2
2kT
kT
E 2 − E1 >

hay:

E 3 − E1
2

(1.37)

Vậy rõ ràng để thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú giữa mức
3 và mức 2 thì cần có mức 2 nằm gần mức 3 hơn mức 1(Hình 1.2a).
Tương tự nếu ta muốn tạo ra trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú giữa mức 2

và mức 1, thì mức 2 phải nằm gần mức 1 hơn mức 3(Hình 1.2b). Thật vậy từ
(1.35) và (1.36) để có N2 > N1, phải có:
E 2 − E1 <

E3 − E1
2

(1.38)

Trong các tính toán trên đây, ta đã bỏ qua các chuyển mức “không
quang học” hay “không bức xạ” như thăng giáng Spin-mạng, bức xạ
nhiệt.v.v. Trong thực tế thì các chuyển mức “không quang học” có ảnh
hưởng lớn đến cơ chế trên đây. Tiếp theo ta sẽ khảo sát thực tế này.
kq
Giả sử ký hiệu ωij - xác suất của các chuyển mức “không quang học” từ

mức i sang mức j.
3

kq
ω13

W13

ωkq
23

W23

kq

ω12

2

kq
ω32
W32

1

kq
ω31
W31

ωkq
21

Hình 1.3 Sơ đồ biểu diễn các mức năng lượng và
các chuyển mức


24

Từ hình 1.34 ta có hệ phương trình, nói lên sự thay đổi hạt trên các
mức:
 dN 3
kq
kq
kq
 dt = − N 3 ( ω32 + ω31 ) − N 3 ( W31 + W32 ) + N 2 (ω23 + W23 )


+ N1 (ω13kq + W13 )

 dN 2
kq
kq
kq
kq
 dt = − N 2 ( ω23 + ω21 ) − N 2 W23 + N1ω12 + N 3ω32 + N 3 W32

 dN1 = − N ( ωkq + ωkq ) − N W + N ωkq + N ωkq + N W
1
12
13
1
13
3 31
2 21
3
31
 dt

(1.39)

Trong các phương trình (1.39) với W 31 và W13 là các xác suất
chuyển mức của hạt từ mức 3 về mức 1 và ngược lại dưới tác động của bức
xạ bổ trợ nên W31 = W13. Mặt khác như ta đã biết các hệ số Einstein đối với
các chuyển mức đó là như nhau. Tương tự ta có W 23 = W32. Ngoài ra ta còn
lưu ý, ví dụ như phương trình thứ nhất cho ta sự thay đổi mật độ trên mức 3
 dN 

là  3  được xác định bởi hai quá trình:
 dt 
- Quá trình làm tăng mật độ hạt trên mức 3 (các hạt chuyển từ mức khác đến
mức 3) được xác định bởi các thành phần mang dấu (+).
- Quá trình giảm mật độ hạt trên mức 3 (các hạt chuyển từ mức 3 đến các
mức khác) được xác định bởi các thành phần mang dấu (-).
Ta giải các phương trình (1.39) ở điều kiện dừng, tức là:
dN1 dN 2 dN 3
=
=
= 0 , và xác định N1, N2 và N3.
dt
dt
dt
Như ta đã biết: N1+ N2 + N3 = N = const

(1.40)

Xét phương trình 3 của (1.39) ta có :
− N1 ( ω12kq + ω13kq + W13 ) + N 2 ωkq21 + N 3 ( ω31kq + W13 ) = 0
Rút N3 từ (1.40) thay vào (1.41) ta có

(1.41)


25
− N1 ( ω12kq + ω13kq + ω31kq + 2 W13 )

+ N 2 ( ω 21kq − ω31kq − W13 ) + N( ω31kq + W13 ) = 0

(1.42)

kq
Nếu như xác suất W13 lớn hơn rất nhiều so với xác suất ωij (có
kq
nghĩa là W13 >> ωij ) thì phương trình (1.42) có dạng:

− 2 N1W13 − N 2 W13 + NW13 = 0
Sau khi chia phương trình này cho W13, ta sẽ được:
2N1 + N2 = N

(1.43)

Kết hợp (1.43) và (1.40) ta có: -N1 + N3 = 0
Hay là:

N1 = N3

(1.44)

kq
Đẳng thức (1.44) ta thu được khi coi W13 >> ωij , hay nói cách khác

là bơm phải đủ lớn để có thể không tính đến các quá trình liên quan đến việc
các trạng thái cân bằng nhiệt động ở trong hệ.
Từ (1.43) ta rút N2 rồi thay vào (1.40) ta tìm được N1 có dạng:
W23 + ωkq21 + ωkq23
N1 = N
3W23 + 2ωkq23 + 2ωkq21 + ω12kq + ω32kq

(1.45)

Thay N1 và (1.43) ta có N2:
W32 + ω32kq + ω12kq
N2 = N
3W32 + 2ωkq23 + ω32kq + 2ωkq21 + ωkq21

(1.45a)

Bây giờ ta tìm điều kiện nghịch đảo mật độ cư trú giữa mức 3 và mức 2
ωkq23 − ω32kq + ωkq21 − ω12kq
N 3 − N 2 = N1 − N 2 = N
3W23 + 2ωkq23 + 2ωkq21 + ω12kq + ω32kq
kq
kq
Ta coi mối liên hệ giữa ωik và ωki được biểu diễn:

 hν 
ωikkq = ωkqki exp − ki 
 kT 

(1.46)