Khảo sát hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong môi trường nguyên tử khí Rb 5 mức năng lượng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
======

LÊ THỊ THANH HÀ

KHẢO SÁT HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
TRONG MÔI TRƯỜNG NGUYÊN TỬ KHÍ Rb 5 MỨC NĂNG LƯỢNG
CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
Mã số: 60 44 11 09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HUY BẰNG

\

VINH, 2013
Mục Lục

Trang


Mở Đầu
Chương I: TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG
LASER
1.1. Tương tác giữa nguyên tử với trường laser
1.1.1. Định nghĩa và tính chất của ma trận mật độ
1.1.2. Phương trình ma trận mật độ
1.2. Các hiệu ứng kết hợp do sự tương tác nguyên tử và trường
laser

1.2.1. Các trạng thái kết hợp và không kết hợp
1.2.2. Dao động Rabi
1.2.3. Tương tác giữa nguyên tử ba mức với trường laser
1.2.4. Bản chất vật lý về sự trong suốt cảm ứng điện từ
Kết luận chương I
Chương II: HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

2
4
5
5
8
10
10
11
17
20
22

TRONG MÔI TRƯỜNG NGUYÊN TỬ KHÍ Rb NĂM MỨC

23

NĂNG LƯỢNG
2.1. Phương trình ma trận mật độ của nguyên tử năm mức
2.2. Dẫn ra hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc
2.3. Khảo sát hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ
2.3.1. Khảo sát theo cường độ sáng của chùm laser điều khiển
2.3.2. Khảo sát theo độ lệch tần số của trường laser điều khiển
Kết luận chương II

Kết luận chung
Tài liệu tham khảo

23
28
30
33
35
36
37
38

2


MƠ ĐẦU
Hấp thụ và tán sắc là hai tham số cơ bản đặc trưng cho các tính chất
quang học của môi trường. Hai hệ số này có quan hệ nhân quả theo hệ thức
Kramer-Kronig và thường được biểu diễn tương ứng theo phần thực và phần
ảo của độ cảm điện χ. Trong lân cận miền phổ cộng hưởng, biên độ của các
hệ số này thay đổi mạnh theo tần số và quy luật thay đổi được quy định bởi
đặc trưng cấu trúc của các nguyên tử trong môi trường. Tuy nhiên, sự ra đời
của ánh sáng laser thì tính chất quang học của các nguyên tử có thể được thay
đổi một cách “có điều khiển”. Tiêu biểu cho điều này là sự tạo hiệu ứng trong
suốt cảm ứng điện từ (electromagnetically induced transparency). Đây là hiệu
ứng được đề xuất vào năm 1989 và kiểm chứng thực nghiệm vào năm 1991
bởi nhóm nghiên cứu ở Stanford. Hiệu ứng này là kết quả của sự giao thoa
giữa các biên độ xác suất của các kênh dịch chuyển trong nguyên tử dưới sự
kích thích kết hợp của một hoặc nhiều trường điện từ dẫn đến sự trong suốt
của môi trường đối với một chùm quang học nào đó.

Điều khiển sự hấp thụ và tán sắc dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm
ứng điện từ hiện đang được chú ý nghiên cứu trên cả hai phương diện lý
thuyết và thực nghiệm đối với các hệ nguyên tử khác nhau bởi có nhiều triển
vọng ứng dụng. Tiêu biểu là tạo các bộ chuyển mạch quang học, làm chậm
vận tốc nhóm của ánh sáng, xử lý thông tin lượng tử , tăng hiệu suất các quá
trình quang phi tuyến, phổ phân giải cao. Đặc biệt, sự ra đời của các kỹ thuật
làm lạnh nguyên tử bằng laser trong thời gian gần đây đã tạo ra các hệ nguyên
tử lạnh (nhiệt độ cỡ µK) mà ở đó chúng ta có thể bỏ qua các va chạm dẫn đến
sự biến đổi pha giữa các trạng thái lượng tử của điện tử và các hiệu ứng mở
rộng vạch phổ Doppler. Các nhà khoa học kỳ vọng điều này sẽ tạo một bước
đột phá trong ứng dụng vào chế tạo các thiết bị quang tử học có độ nhạy cao.
Để đạt được mục đích này, việc mô tả chính xác hệ số hấp thụ và hệ số tán
3


sắc là rất quan trọng.
Cấu hình cơ bản để nghiên cứu hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ
là các cấu hình 3 mức năng lượng. Khi đó, sự trong suốt quang học có thể
được tạo ra trong miền phổ rất hẹp (gọi là “cửa sổ”) xung quanh tần số cộng
hưởng. Để tăng khả năng ứng dụng của hiệu ứng này, các nhà khoa học đã
chú ý đến việc tạo ra nhiều cửa sổ trong suốt. Một phương án đã được đề xuất
là đưa thêm các trường laser điều khiển để kích thích thêm các trạng thái tham
gia quá trình giao thoa. Cách làm này mặc dù tạo ra nhiều cửa sổ trong suốt
tuy nhiên việc điều khiển đồng thời nhiều chùm sáng như vậy là rất phức tạp.
Theo một cách khác, nhóm nghiên cứu H. Wang và các cộng sự trong công
trình đã đề xuất sử dụng chỉ một chùm laser điều khiển để liên kết đồng thời
với 4 mức năng lượng theo cấu hình kích thích bậc thang. Cách làm này đã
tạo ra 3 cửa sổ trong suốt trong hệ nguyên tử Rb 85. Kết quả tính toán lý thuyết
của nhóm này mặc dù phù hợp tốt với các kiểm chứng thực nghiệm nhưng
không thuận lợi cho các ứng dụng khác nhau do các hệ số này chỉ được xác

định bằng phương pháp số tại một vài giá trị thông số của trường laser điều
khiển. Để khắc phục hạn chế này, chúng tôi đề xuất sử dụng phương pháp giải
tích đã được áp dụng cho các hệ nguyên tử 3 mức trong công trình và các
công trình của nhóm Quang học quang phổ tại trường Đại học Vinh cho hệ 3
mức, bốn mức vào hệ 5 mức này [6]. Theo đó, điều kiện cường độ chùm laser
dò yếu so với chùm laser điều khiển được đưa vào để đơn giản hóa quá trình
giải hệ phương trình ma trận mật độ của hệ nguyên tử.
Với lý do này chúng tôi chọn đề tài "Khảo sát hiệu ứng trong suốt
cảm ứng điện từ trong môi trường nguyên tử Rb 5 mức năng lượng" làm
đề tài luận văn thạc sỹ của mình.
Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu sự thay đổi hệ số hấp thụ và tán sắc của
hệ nguyên tử Rb85 cấu hình bậc thang năm mức.
Cấu trúc luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo,

4


bao gồm hai chương:
Chương 1: Trình bày cơ sở lý thuyết về tương tác giữa nguyên tử với trường
quang học dựa trên lý thuyết bán cổ điển. Tìm hiểu về hệ nguyên tử hai mức,
ba mức năng lượng từ đó rút ra bản chất vật lý của dao động Rabi, hiệu ứng
trong suốt cảm ứng điện từ (EIT) làm cơ sở để dẫn ra hệ số hấp thụ và tán sắc
của hệ nguyên tử năm mức cấu hình bậc thang.
Chương 2: Dẫn ra hệ số hấp thụ và tán sắc của nguyên tử Rb 85 cấu hình bậc
thang năm mức được kích thích kết hợp bởi trường laser dò có cường độ yếu
và laser điều khiển có cường độ mạnh. Từ đó, khảo sát ảnh hưởng của hệ số
hấp thụ và hệ số tán sắc theo các thông số của trường điều khiển.

5

CHƯƠNG I
TƯƠNG TÁC GIỮA NGUYÊN TỬ VỚI TRƯỜNG LASER
1.1. Tương tác của nguyên tử với trường laser
1.1.1 Định nghĩa và tính chất của ma trận mật độ:
Ma trận mật độ là một phương pháp dùng để tính giá trị kỳ vọng của
các toán tử ứng với các đại lượng vật lý cần đo trong trường hợp không biết
hàm sóng một cách chính xác.
Để đưa vào khái niệm ma trận mật độ, chúng ta xét một hệ lượng tử có


hàm sóng Ψ (r , t ) .




Hàm sóng Ψ (r , t ) được khai triển qua các hàm riêng U n (r ) với các
giá trị riêng C n (t ) :


Ψ ( r , t ) = ∑ C n (t ) U n ( r ) ,
n

(1.1)



ở đây, C n (t ) , U n (r ) tương ứng là trị riêng và hàm riêng của một toán tử A đặc
trưng cho một đại lượng vật lý nào đó, nghĩa là:



A U n (r ) = C n (t ) U n (r )


⇒ A Ψ (r , t ) = ∑ C n A U n (r ) .

(1.2)

n

Ký hiệu giá trị trung bình của đại lượng vật lý A trong trạng thái

Ψ (r , t ) là



A thì A = ψ ( r , t ) Aψ ( r , t ) , ta có:



Ψ (r , t ) A Ψ (r , t ) =

∑C

*
m

n,m






(t )C n (t ) U m (r ) A U n (r ) =∑ C m* (t ) U m (r ) A U n (r ) C n
n ,m

= ∑ Cm* (t ) Amn Cn (t ) ,
n ,m

như vậy,

A = ∑ C m* Amn C n
m ,n

(1.3)

Nếu ta không biết trạng thái chính xác của hệ thì sự thiếu thông tin này


sẽ được phản ánh trong độ bất định về giá trị của C n khai triển của Ψ (r , t ) .

6


Tuy nhiên, nếu có đầy đủ thông tin để tính được giá trị trung bình theo tập
hợp của C m* C n và được ký hiệu là C m* C n thì ta có thể tính được giá trị trung
bình của giá trị kỳ vọng, cụ thể giá trị trung bình của kỳ vọng một toán tử A
được xác định như sau:
A = ∑ Cm* Cn Amn
m,n

Ta ký hiệu:

(1.4)

ρ nm = C m* C n

(1.5)

Ma trận được tạo bởi các giá trị ρ nm được gọi là ma trận mật độ.
C m* C n Amn = ∑ ρ nm Amn = ∑ ( ρA) nm = Tr ( ρA)
Như vậy, A = ∑
m,n
m ,n
m,n

(1.6)

Do ρ nm = C m* C n nên ρ nm = ρ*nm , vì vậy ρ là ma trận tự liên hợp. Một kết
C m* C m = 1 . Kết quả này được suy ra từ điều
quả quan trọng khác là Tr ( ρA) = ∑
m

kiển chuẩn hóa. Chúng ta nhớ lại rằng theo quan điểm lượng tử thì tất cả các
thông tin về trạng thái của một hệ đã cho có thể được biểu diễn trong các số
hạng của giá trị kỳ vọng của các toán tử được chọn một cách thích hợp. Như
vậy, vấn đề cơ bản bây giờ là phải tính toán các giá trị kỳ vọng. Vì giá trị kỳ
vọng của bất cứ toán tử nào cũng có thể thu được bằng cách sử dụng phương
trình (1.6), nên ma trận mật độ chứa tất cả các thông tin cần thiết về hệ.
Kiểu lấy trung bình với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trung bình

theo tập hợp. Quá trình này có thể giải thích như sau: Người ta tạo ra một tập
hợp gồm N hệ đủ lớn sao cho các hệ này gần như đồng nhất với nhau, theo
mức độ mà các thông tin không đầy đủ có được cho phép. Sau đó, để các hê
này tiến triển theo thời gian, như vậy được đặc trưng bởi một hàm trạng thái:


Ψ j ( r ,t ) = ∑ C n( j ) ( t )U n ( r ) ,
n

víi j = 1,2,...., n , khi đó trung bình theo tập hợp của khi C m* C n sẽ được tính theo
công thức sau:

7


ρ nm ( t ) = Cm* ( t ) Cn (t ) =

1 N ( j )*
Cm ( t ) Cn( j ) ( t ) .
∑
N j =1

(1.7)

Trung bình theo tập hợp là trung bình trên cả N hệ.
Theo cách lý giải vật lý đó thì ma trận mật độ biểu diễn một số khía
cạnh xác suất của tập hợp đang xét với phần tử đường chéo là xác suất để một


trong các hệ đó ở trạng thái U n ( r ) . Các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng

trung bình theo tập hợp của C m* C n , nó có liên quan với lưỡng cực phát xạ của
tập hợp các hệ đang xét.
Chúng ta cũng có thể biểu diễn các hệ C m* C n ở trên đơn giản hơn là
các phần tử ma trận của toán tử Ψ Ψ được phản ánh thông qua các vecto cột
của hàm sóng Ψ .
u m Ψ Ψ u n = C m* C n .

(1.8)

ρ= Ψ Ψ .

Từ (1.5) và (1.8), ta được:

Như trên đã trình bày, trong cơ sở của { u n

(1.9)

}

toán tử mật độ được biểu

diễn bằng một ma trận, gọi là ma trận mật độ với các thành phần:
ρ nm = um ρ un = Cm* Cn .

Ở đây ta cần lưu ý rằng các phần tử ma trận ρ mn là hermic, tức là:
*
ρnm
= Cm* Cn = ρmn ↔ ρ + = ρ

(1.10)

Với những tính chất đặc trưng trên, toán tử ρ thỏa mãn đầy đủ các đặc
trưng trạng thái của một hệ lượng tử. Nói cách khác, toán tử mật độ ρ cho
phép chúng ta thu được các tiên đoán vật lý từ Ψ . Cụ thể là chúng ta có thể
diễn tả định luật bảo toàn xác suất, tính được giá trị trung bình của đại lượng
cần đo hay có thể diễn tả sự tiến hóa theo thời gian của hệ lượng tử thông qua
các yếu tố thành phần của ρ .

8


1.1.2. Phương trình ma trận mật độ:
Hàm sóng của mỗi hệ thỏa mãn phương trình Schrodinger:
i
⇒ ih∑
n


∂ Ψ (r , t )
∂t


= H Ψ( r , t )

(1.11)

∂Cn (t )


U n (r ) = ∑ Cn (t ) HU n (r ).

∂t
n

(1.12)


Nhân vô hướng hai vế phương trình (1.12) với U m (r ) , đồng thời dung


tính trực chuẩn của hàm U n (r ) ta có:
i





∂
Cn ( t ).U m ( r ).U n ( r ) = ∑ Cn ( t ).U m ( r ) H .U n ( r )
∂t
n
⇒ i ∑
n

∂Cn (t )
= ∑ Cn (t ) H mn .
∂t
n

(1.13)

Vì ρ nm (t ) = C m* (t )C n (t ) nên ta suy ra:
∂ρ nm (t )
∂C m*
∂C n
.
= Cn
+ C m*
∂t
∂t
∂t

(1.14)

Do tính tự liên hợp của H, phương trình (1.14) trở thành:
∂ρ i
= [ρ, H ] .
∂t 

trong đó:

(1.15)

[ρ , H ] = ρ H − H ρ.

Phương trình (1.15) là phương trình Liuvin cho ma trận mật độ, nó
được áp dụng để mô tả tương tác của hệ nguyên tử với trường bức xạ cũng
như để mô tả các quá trình phi tuyến khác.
Lý thuyết cơ sở của sự phát xạ và hấp thụ trong nguyên tử bao gồm
các cơ chế mở rộng vạch. Độ rộng vạch sinh ra từ phát xạ tự phát bằng độ mở
rộng vạch do phát xạ. Sự phân rã của nguyên tử có nhiều nguyên nhân như

quá trình phân rã do phát xạ tự phát (là quá trình các nguyên tử đang ở trạng
thái có mức năng lượng cao tự động nhảy xuống trạng thái có mức năng
lượng thấp hơn) và phân rã do va chạm.
Phương trình (1.15) chỉ đúng trong trường hợp lý tưởng nghĩa là khi

9


cường độ, pha và tần số của trường kích thích là hoàn toàn đơn sắc và các
mức năng lượng không suy biến và khi không chú ý đến phân rã của các trạng
thái. Thực tế do nhiều nguyên nhân, các thông số thường có thể thăng giáng
và các mức năng lượng của hệ có thể suy biến với một độ rộng phổ nào đó.
Sự mở rộng có thể do va chạm, do sự mở rộng tự nhiên, mở rộng Doppler...Vì
vậy, để khảo sát thực tế hơn, chúng ta phải bổ sung ảnh hưởng của các yếu tố
ảnh hưởng trên vào phương trình, tức là phải đưa thêm vào ma trận suy giảm
tương ứng với các thăng giáng, các quá trình phân rã. Khi đó phương trình
(1.15) trở thành:
dρ
i
= − [ H , ρ ] + Λρ .
dt
h

(1.16)

Trong đó, H là Hamiltonian toàn phần của nguyên tử, thông thường H
được biểu diễn như tổng hai phần: một phần mô tả tương tác giữa nguyên tử
với trường, phần còn lại đặc trưng cho Hamiltonian của nguyên tử khi không
có trường.
+ Trong gần đúng lưỡng cực ta có thể biểu diễn [6].


Hˆ = Hˆ 0 − dE .

(1.17)

Λ : là toán tử mô tả quá trình tích thoát do phân rã tự phát, va chạm...

ρ : là toán tử ma trận mật độ.

+ Khi xét đến sự tương tác của nguyên tử với một sóng điện từ, khi đó
Hamiltonian toàn phần của hệ là:
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ I .

(1.18)

Với Hˆ 0 : là Hamiltonian tự do; Hˆ I : là hamiltonian tương tác.
Phương trình (1.17), (1.18) sẽ được chúng tôi sử dụng và từng trường
hợp cụ thể ở các phần sau của luận văn.
1.2. Các hiệu ứng kết hợp do sự tương tác nguyên tử và trường laser

10


1.2.1 Các trạng thái kết hợp và không kết hợp
Trong hệ nguyên tử hai mức, dưới tác dụng của trường điều khiển thì
hai trạng thái của hệ sẽ thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên, nếu có thêm một
trường nữa cùng tác dụng thì mô hình nguyên tử hai mức không thể mô tả
được và ta phải sử dụng mô hình nguyên tử nhiều mức. Đó là hạn chế của
nguyên tử hai mức. Minh họa cho điều này là hệ nguyên tử ba mức được kích
thích bởi hai trường laser. Lúc đó, có thể xảy ra nhiều hiệu ứng thú vị mà ta

không thể quan sát được trong hệ nguyên tử hai mức. Tính chất quan trọng
mà dẫn tới sự khác biệt giữa các hệ ba mức hay nhiều mức với hệ hai mức là
sự liên kết giữa hai trường laser với tần số khác nhau. Một sự pha trộn các
nguyên tử hai mức khác nhau có thể cộng hưởng với nhiều hơn một trường
đơn sắc. Tuy nhiên, mỗi trường laser chỉ cộng hưởng với một loại nguyên tử
và thậm chí nếu cường độ là đủ cao để đẩy các nguyên tử ra xa trạng thái cân
bằng, thì mỗi trường laser không có ảnh hưởng lên nhau và do đó không có sự
liên kết giữa các chùm khác nhau. Mặt khác, trong hệ nguyên tử ba mức, hai
sóng laser với các tần số khác nhau có thể tương tác với cùng một nguyên tử.
Nếu chúng là đủ mạnh để đẩy hệ nguyên tử ra xa sự cân bằng, thì mỗi sóng
quang học có thể ảnh hưởng khác nhau – môi trường “trộn” các sóng.
Môi trường nguyên tử cho phép các cơ chế khác nhau để liên kết các
trường laser khác nhau mà chúng ta có thể phân loại thành các nhóm một cách
khái quát đó là các nhóm cơ chế “kết hợp” và “không kết hợp”. Trong trường
hợp liên kết kết hợp, các nguyên tử liên kết thông tin pha và biên độ giữa hai
chùm, trong khi đó chỉ có thông tin cường độ được liên đới trong trường hợp
không kết hợp.
Một thí dụ điển hình về cơ chế không kết hợp là bơm quang học,
trong đó một sóng bơm quang học mạnh (mũi tên đậm trong hình 1) làm di
chuyển độ cư trú ra xa dịch chuyển tới một dịch chuyển mà nó liên kết và do

11


đó làm tăng lên số các nguyên tử tương tác với chùm dò. Mặt khác các sự
tương tác kết hợp, trao đổi độ liên kết giữa các dịch chuyển khác nhau (trái
ngược với các độ cư trú).

Hình 1.1 Bơm quang học trong các hệ ba mức.
1.2.2. Dao động Rabi

Mô hình đơn giản nhất được sử dụng để minh họa tương tác nguyên
tử-trườnglà hệ nguyên tử hai mức năng lượng. Mặc dầu nguyên tử thực có vô
số mức năng năng lượng nhưng trong một số điều kiện nhất định ta có thể
xem nguyên tử gần đúng hai mức khi nó bị kích thích chỉ bởi một trường điện
từ và các quá trình dịch chuyển chỉ xảy ra trong phạm vi hai mức.
Trong sự mô tả bán cổ điển, trường bức xạ đặt vào nguyên tử được
mô tả bởi một sóng phẳng điện từ cổ điển,
E = E0 cos(ωt − kz ).

(1.19)

Mặt khác, nguyên tử thì được lượng tử hóa. Ở đây, chúng ta khảo sát hệ
nguyên tử hai mức có các trạng thái riêng E1 và E2 như mô tả trên hình 1.1.
Do bước sóng λ của sóng điện từ lớn hơn nhiều lần đường kính d của
nguyên tử nên pha của sóng điện từ không thay đổi bên trong thể tích của
nguyên tử vì kz = (2π / λ ) << 1 với z ≤ d . Do đó, chúng ta có thể bỏ qua các đạo
hàm riêng phần của biên độ trường. Đây được gọi là gần đúng lưỡng cực.
Trong hệ tọa độ với gốc tại tâm nguyên tử, chúng ta giả sử rằng kz ; 0
ở bên trong thể tích nguyên tử, và do đó biểu thức (1.19) có thể viết dưới
dạng:

12


E = E0 cos ωt =

E0 iωt
(e + e −iωt ).
2

(1.20)

Toán tử Hamilton toàn phần của hệ,
H = H0 + H I .

(1.21)

là tổng của Hamilton không nhiễu loạn H0 của nguyên tử tự do và Hamilton
tương tác HI.
Bằng cách sử dụng tính chất đầy đủ của hệ, 1 1 + 2 2 = 1 , chúng ta viết H0
dưới dạng:
H 0 = ( 1 1 + 2 2 ) H 0 ( 1 1 + 2 2 ) = hω1 1 1 + hω2 2 2 .

(1.22)

ở đây, chúng ta đã sử dụng H 0 1 = hω1 1 và H 0 2 = hω2 2 .
Tương tự, phần Hamilton HI biểu diễn sự tương tác của nguyên tử với trường
có thể được viết trong gần đúng lưỡng cực là:
H I = −exE (t )

= −e ( 1 1 + 2 2 ) x ( 1 1 + 2 2 ) E ( z , t )
= −(d12 1 2 + d 21 2 1 ) E (t ).

(1.23)

*
trong đó, d12 = d 21 = e 1 x 2 là phần tử ma trận của momen lưỡng cực điện.

Bây giờ, chúng ta mô tả trạng thái của hệ theo hình thức luận ma trận
mật độ như đã đưa ra ở trên. Trạng thái của hệ là tổ hợp tuyến tính của các

trang thái 1 và 2 , tức là Ψ = C1 1 + C2 2 . Khi đó, toán tử ma trận mật độ có
thể được viết là:
ρ = Ψ Ψ = [C1 (t ) 1 + C2 (t ) 2 ][C1* (t ) 1 + C2* (t ) 2 ]
2

= C1 1 1 + C1C2* 1 2 + C2C1* 2 1 + C2

2

2 2.

(1.24)

Các phần tử ma trận mật độ được lấy là,
2

ρ11 = 1 ρ 1 = C1 (t ) .

(1.25a)

2

ρ 22 = 2 ρ 2 = C2 (t ) .

(1.25b)

ρ12 = 1 ρ 2 = C1 (t )C2* (t ).

(1.25c)

13


ρ 21 = ρ12* .

(1.25d)
2

ρ 22 = 2 ρ 2 = C2 (t ) .

(1.25e)

Như vậy, dạng ma trận của toán tử mật độ là:
ρ
ρ =  11
 ρ 21

ρ12 
.
ρ 22 ÷


(1.26)

Rõ ràng, ρ11 và ρ22 là các xác suất mà nguyên tử ở trong trạng thái trên và
dưới, tương ứng. Còn các phần tử ma trận nằm ngoài đường chéo chính thì
xác định sự phân cực nguyên tử, tức là độ liên kết mức.
Trở lại Hamilton tương tác, bây giờ chúng ta viết lại dưới dạng các
phần tử ma trận như sau,
H I = −(d12 1 2 + d 21 2 1 ) E (t ) = −(d12 ρ12 + d 21 ρ 21 ) E (t ).

(1.27)

Như vậy, Hamilton toàn phần có dạng ma trận là:
−d12 E (t ) 
 hω1
H =
÷.
hω2 
 −d 21 E (t )

(1.28)

Sử dụng phương trình Liouville cho ma trận mật độ (1.12), chúng ta suy ra
các phần tử ma trận mật độ mô tả độ cư trú và độ liên kết mức như sau:
ρ& 11 =

idE
( ρ 21 − ρ12 ) − Γ1 ρ11 + Γ 2 ρ 22 .
h

ρ& 22 = −

idE
( ρ 21 − ρ12 ) − Γ 2 ρ 22 .
h

ρ& 12 = iω0 ρ12 +

idE

( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ12 .
h

ρ& 21 = −iω0 ρ 21 −

idE
( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ 21.
h

(1.29)
(1.30)
(1.31)
(1.32)

Giải các phương trình (1.35 – 1.38) trong gần đúng sóng quay, với cách đặt
ρ12 = ρ%12eiωLt , ρ 21 = ρ% 21e −iωLt , ta thu được kết quả [1]

ρ& 11 =

idE0
( ρ% 21 − ρ%12 − ρ%12 e 2iωLt + ρ% 21e −2iωLt ) − Γ1 ρ11 + Γ 2 ρ 22 .
2h

14

(1.33)


ρ& 22 = −

idE0 ~
( ρ 21 − ρ~12 − ρ~12 e 2iωLt + ρ~21e −2iωLt ) − Γ2 ρ 22 .
2

(1.34)

idE0
ρ&%12 = −iω L ρ%12 + iω0 ρ%12 +
1 + e −2iωLt ) ( ρ 22 − ρ11 ) − γ 21 ρ%12 .
(
2h

(1.35)

idE0 2iωLt
ρ&% 21 = iωL ρ% 21 − iω0 ρ% 21 −
( e + 1) ( ρ22 − ρ11 ) − γ 21ρ%21.
2h

(1.36)

Trong phép gần đúng sóng quay, bỏ qua các số hạng dao động nhanh e 2iω t và
L

e −2iω Lt ; ∆ = ω0 − ω L gọi là độ lệch tần số của tần số trường laser so với tần số

dịch chuyển quang học; Ω R =

d ab E0
gọi là tần số Rabi.

h

Ta tính lại các phần tử ma trận mật độ như sau:
ρ& 11 =

iΩ
( ρ% 21 − ρ%12 ) − Γ1 ρ11 + Γ 2 ρ 22 .
2

(1.37)

iΩ
ρ&% 21 = − ( γ 21 − i∆ ) ρ% 21 − ( ρ 22 − ρ11 ) .
2

(1.38)

iΩ
( ρ% 21 − ρ%12 ) − Γ 2 ρ22 .
2

(1.39)

ρ& 22 = −

ρ&%12 = − ( γ 21 + i∆ ) ρ%12 +

iΩ
( ρ22 − ρ11 ) .
2

(1.40)

Hệ các phương trình này cho phép chúng ta khảo sát các hiệu ứng do sự
tương tác giữa hệ nguyên tử và trường laser gây ra. Tuy nhiên, để nghiên cứu
một cách đầy đủ các hiệu ứng này xẩy ra trong các hệ thực thì chúng ta khảo
sát sự tương tác trong hệ nhiều mức. Một trong số hệ quả của nguyên tử hai
mức nổi bật là dao động Rabi.

15


 Dao động Rabi:
Mô hình nguyên tử hai mức có thể xem như là kết quả của sự lượng
tử hóa mô hình Lorentz – Lorenz cổ điển [2]. Ở đây, điện trường dao động
điều khiển các lưỡng cực và các điện tích được gia tốc của lưỡng cực dao
động có tác dụng giống như một nguồn phát sóng thứ cấp. Hai sóng lan
truyền cùng với nhau và sự giao thoa giữa chúng gây ra sự tắt dần, tức là sự
hấp thụ, cũng như sự dịch chuyển pha, tức là sự tán sắc. Về bản chất, mô hình
bán cổ điển mô tả tình trạng theo một cách rất tương tự: một sóng điện từ kích
thích các nguyên tử có tác dụng giống như lưỡng cực điện. Sự khác nhau chủ
yếu là chúng được mô tả theo cơ học lượng tử.

Hình 1.2. Mô hình nguyên tử hai mức tương tác với trường laser.
Nếu hệ nguyên tử hai mức thỏa mãn điều kiện dịch chuyển lưỡng cực tương
tác với trường laser có tần số ωc gần với dịch chuyển của nguyên tử ω12 như
trên hình 1.2 thì xảy ra dịch chuyển qua lại giữa hai mức này. Một trong
những hệ quả của nguyên tử hai mức tương tác với trường điện từ là độ cư trú
của mỗi trạng thái cũng dao động tuần hoàn với tần số Rabi (ký hiệu là ΩR)
được cho bởi biểu thức:

2

d E
2
Ω R = ∆12
+  12 ÷ .
 h 

(1.41)

trong đó ∆12 = ωc − ω12 là độ lệch tần số của trường laser so với tần số dịch

16


chuyển nguyên tử, d12 là phần tử ma trận momen lưỡng cực dịch chuyển giữa
hai trạng thái, còn E là cường độ điện trường của trường laser. Chúng ta có
thể minh họa sự thay đổi độ cư trú sau mỗi chu kỳ dao động như trên hình
1.2.
Chúng ta thấy rằng, khi độ lệch tần tăng thì tần số Rabi tăng và do đó
chu kì dao động Rabi T = 2π / Ω R giảm xuống. Tức là, khi tần số của trường
ngoài xa tần số cộng hưởng thì ảnh hưởng của trường lên sự thay đổi độ cư
trú là rất nhỏ và có thể bỏ qua. Còn trong sự cộng hưởng thì tần số dao động
Rabi tỉ lệ với cường độ trường laser, Ω R =

d12 E
.
h

thời gian

Hình 1.3. Sự thay đổi độ cư trú theo thời gian của nguyên tử hai mức dưới
tác động của trường ngoài sau một chu kì dao động Rabi.
1.2.3 Tương tác giữa nguyên tử ba mức với trường laser
Chúng ta sẽ sử dụng thuyết bán cổ điển để khảo sát sự tương tác giữa
nguyên tử và bức xạ điện từ. một sóng điện từ biến thiên theo thời gian và
không gian tương tác với nguyên tử. Để đơn giản, trước hết ta xét hệ nguyên
tử gồm ba mức năng lượng tham gia vào quá trình này. 1 là trạng thái cơ
bản, 2 là trạng thái kích thích và 3 là trạng thái có mức năng lượng cao
nhất và có tương tác lưỡng cực điện với 1 và 2 khác 0.

17


Khi nguyên tử cô lập, Hamiltonian trong phương trình (1.11) là toán
tử không phụ thuộc thời gian, phương trình sóng (1.11) có dạng:
ψ n ( r , t ) = exp( − iEn t /  )ψ n ( r ) .

(1.42)

ψ n ( r ) là phần không phụ thuộc thời gian của hàm sóng và thỏa mãn

phương trình trị riêng của năng lượng. Trạng thái của nguyên tử được mô tả
bởi phương trình (1.16) là trạng thái dừng, ở trạng thái dừng thì giá trị trung
bình của các đại lượng quan sát được không phụ thuộc thời gian. Từ điều kiện
đó, toán tử mô tả các hiện tượng quan sát được không phụ thuộc tường minh
vào thời gian.
Giả sử ba trạng thái | 1 , | 2 và | 3 tương ứng với ba hàm sóng ψ 1 ( r ) ,
ψ 2 ( r ) và ψ 3 ( r ) ứng với năng lượng E1, E2 và E3.

Từ (1.17), hàm sóng phụ thuộc thời gian tương ứng là:
Ψ1 ( r , t ) = exp ( −iE1t / h) ψ 1 (r ).
Ψ 2 ( r , t ) = exp ( −iE2t / h) ψ 2 (r ).

(1.43)

Ψ 3 ( r , t ) = exp ( −iE3t / h) ψ 3 (r ).

Hàm sóng Ψ (r , t ) mô tả trạng thái của nguyên tử và là tổ hợp tuyến
tính của các hàm sóng thành phần ψ 1 ( r ) , ψ 2 ( r ) và ψ 3 ( r ) tương ứng với các
trạng thái | 1 , | 2 và | 3 :
Ψ (r , t ) = C1Ψ1 (r , t ) + C2 Ψ2 ( r , t ) + C3Ψ3 (r , t ) ,

(1.44)

trong đó C1, C2 và C3 là các hệ số không phụ thuộc vào không gian.
Đưa vào hệ nguyên tử hai nguồn laser có tần số và cường độ thích
hợp, một nguồn liên kết có cường độ mạnh (Ec) được điều hưởng tần số để
kích thích nguyên tử từ trạng thái | 2〉 lên trạng thái | 3〉 và một chùm dò có
cường độ Ep yếu hơn nhiều so với chùm liên kết với tần số điều hưởng trong
dịch chuyển từ trạng thái | 1〉 (trạng thái cơ bản) lên trạng thái | 2〉 . Hệ nguyên
tử có ba trạng thái tham gia vào quá trình tương tác với hai trường laser ngoài

18


như trên là hệ nguyên tử ba mức cấu hình bậc thang. Trong đó, dịch chuyển
giữa | 1〉 và | 3〉 bị cấm theo quy tắc dịch chuyển lưỡng cực. Phương trình mô tả
tương tác của hai nguồn ánh sáng laser với hệ nguyên tử ba mức có dạng
(1.17). Trong trường hợp trường tương tác là laser, phương trình (1.17) trong

gần đúng sóng quay và trong hệ tọa độ quay với tần số bằng tần số của laser.
Ứng với hệ nguyên tử ba mức, ρ là toán tử ma trận mật độ cỡ (3x3):
 ρ11
ρ =  ρ 21
 ρ 31

ρ12
ρ 22
ρ 32

ρ13 
ρ 23  ,
ρ 33 

(1.45)

ρij là các phần tử ma trận mật độ, (i, j = 1,2,3)

ρij = Ci*C j phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và điều kiện ρij = ρ *ji

Trong khuôn khổ luận văn, chúng ta chỉ xét ở môi trường nguyên tử
được làm lạnh trong bẫy, do đó có thể coi mọi ảnh hưởng của hiệu ứng
Doppler, hiệu ứng do va chạm giữa các nguyên tử...là không đáng kể, ta chỉ
xét đến ảnh hưởng của quá trình phát xạ tự nhiên tức là ảnh hưởng của các
quá trình phân rã do phát xạ tự phát, phương trình (1.15) có dạng như sau:
dρ
i
= − [ H , ρ ] + γ 21 L21 ρ + γ 32 L32 ρ .
dt
h

(1.46)

Trong đó, Hamiltonian toàn phần của phương trình theo (1.18).
Do bước sóng λ của sóng điện từ lớn hơn nhiều lần đường kính d của
nguyên tử nên pha của sóng điện từ không thay đổi bên trong thể tích nguyên
tử. Do đó, bằng cách sử dụng tính chất đầy đủ của hệ, H 0 được viết dưới dạng:
H 0 = ( 1 1 + 2 2 + 3 3 ) H 0 ( 1 1 + 2 2 + 3 3 ).
= h ω1 1 1 + h ω2 2 2 + h ω3 3 3 .

(1.47)

ở đây, chúng ta đã sử dụng H 0 1 = h ω1 1 ; H 0 2 = h ω2 2 và H 0 3 = h ω3 3
Tương tự, phần Hamiltonian của H I biểu diễn sự tương tác với trường
có thể được viết trong gần đúng lưỡng cực là:

19


HI =

3

∑− d

i ≠ j =1

j + j i)=
ij Eij ( i

3

∑− d

i ≠ j =1

ij

Eij (σ ij + σ ji )

= − d 21E p (σ 21 + σ 12 ) − d32 Ec (σ 32 + σ 23 ) .

(1.48)

Lij là toán tử xác định đo quá trình phân rã tự phát.
Lij ρ =

1
( 2σ ji ρσ ij − σ ijσ ji ρ − ρσ ijσ ji ) .
2

(1.49)

σ ij = i j là toán tử mật độ cư trú khi i = j, và là toán tử lưỡng cực khi i ≠ j (i,j

= 1,2,3). Trong bài toán hệ nguyên tử ba mức, σ ij là toán tử ma trận (3 x 3),
cụ thể: Phần tử tại hàng i, cột j của ma trận có giá trị bằng 1 và các phần tử
còn lại đều bằng 0.
∆1 = ω p −ω 21

và ∆2 = ωc −ω32 tương ứng là độ lệch tần của chùm dò và

chùm liên kết so với tần số chuyển giữa các mức.
γ ij biểu thị tốc độ phát xạ tự phát từ mức i về mức j, (i, j =1,2,3),

γ ij =

Γi + Γ j
với Γi , Γ j tương ứng là tốc độ phân rã tự nhiên tại mức i và j.
2

1.2.4 Bản chất vật lí về sự trong suốt cảm ứng điện từ
Hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ là kết quả của giao thoa lượng tử
giữa các dịch chuyển trong nguyên tử (phân tử) dưới sự kích thích kết hợp
của các chùm laser. Do sự giao thoa này, môi trường sẽ trở nên trong suốt đối
với một chùm sáng (chùm dò) dưới sự điều khiển của một chùm sáng khác
(chùm liên kết).
Với mỗi chùm dò nhất định khi đi vào môi trường sẽ xảy ra hiện
tượng tán xạ. Do nhiều nguyên nhân nhưng nguyên nhân chính là do hệ
nguyên tử chuyển động và nhiệt độ là nguyên nhân quyết định vận tốc chuyển
động của hệ nguyên tử này. Với sự mở rộng Doppler tạo ra sẽ làm cho vận tốc
chuyển động của hệ nguyên tử thay đổi và kết quả là sẽ tạo được một tần số
thích hợp (cộng hưởng) khi đó hệ số hấp thụ của hệ nguyên tử sẽ giảm và môi

20


trường sẽ trở nên trong suốt hơn.
Trong cơ chế bẫy độ cư trú (bẫy độ cư trú là hiện tượng các trạng thái
của nguyên tử “bẫy” lại dưới tác dụng đồng thời của hai hay nhiều trường

quang học), các kênh giao thoa trong nguyên tử được tạo ra do cả hai trường
liên kết có các cường độ tương đương nhau. Nếu có một trường (ví dụ trường
thứ hai) mạnh hơn, sao cho Ω 2 ? Ω1 , thì chỉ có sự giao thoa được cảm ứng bởi
trường điều khiển thứ hai chiếm ưu thế. Điều này đẫn đến sự hấp thụ của
nguyên tử đối với trường thứ nhất bị triệt tiêu. Hiện tượng này được gọi là
hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ (EIT – Electromagnetically Induced
Transparency).
Trong hiệu ứng này, trường ứng với Ω 2 thường được gọi là trường
liên kết (kí hiệu là Ωc ), còn trường ứng với Ω1 được gọi là trường dò (ký hiệu
là Ω p ).
Trước đây đã có một số công trình nghiên cứu hiệu ứng trong suốt
cảm ứng điện từ cho các cấu hình ba mức năng lượng với một trường dò và
một trường điều khiển và kết quả là chỉ thu được một cửa sổ trong miền phổ
cộng hưởng. Để tăng khả năng ứng dụng này thì các nhà khoa học đã chú ý để
tạo ra nhiều cửa sổ trong suốt và một phương án được đề xuất là đưa thêm các
trường laser điều khiển để kích thích thêm các trạng thái tham gia vào quá
trình giao thoa. Cách làm này mặc dù tạo ra nhiều cửa sổ nhưng việc điều
khiển nhiều chùm sáng đồng thời như vậy là rất phức tạp.
Tuy nhiên để khảo sát hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ người ta
đưa ra một cách khác đơn giản hơn đó là chỉ sử dụng một chùm điều khiển
nhưng chọn hệ nguyên tử phù hợp để cùng một bước sóng ánh sáng có thể
liên kết được với nhiều mức năng lượng khác nhau. Thông thường tập trung
vào các nguyên tử kim loại kiềm như Rb, Cs...vì phổ điện tử của chúng đơn
giản và nằm trong vùng nhìn thấy nên có thể dùng laser thương mại làm

21


nguồn kích thích kết hợp. Tuy nhiên, khi nghiên cứu phổ của các kim loại
kiềm trong môi trường khí nóng hoặc ở nhiệt độ phòng thì ảnh hưởng của

hiệu ứng Doppler là đáng kể. Vì vậy phải nghiên cứu chúng trong phòng lạnh
(cỡ nK) mới thấy được hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ được điều khiển
rõ nét như thế nào.

22


KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Chương này đã dẫn ra phương trình ma trận mật độ theo lý thuyết bán cổ
điển cho trường hợp lý tưởng và khi xét đến các quá trình phân rã do va
chạm. Theo đó, sự tiến triển của hệ nguyên tử trong các trường laser có thể
được mô tả theo các phần tử ma trận mật độ tuân theo phương trình Liouvile.
Tùy thuộc vào số trạng thái (hay là số mức năng lượng) tham gia trong quá
trình tương tác với trường ngoài, ma trận mật độ sẽ có dạng đơn giản hoặc
phức tạp. Với hệ nguyên tử 2 mức năng lượng, ma trận mật độ sẽ có dạng
2x2 và độ cư trú của các mức sẽ dao động theo tần số Rabi. Với các hệ
nguyên tử nhiều mức, độ phức tạp sẽ tăng lên do có nhiều kênh dịch chuyển
xuất hiện.
Để nghiên cứu tính chất quang học của môi trường nguyên tử, chúng ta cần
giải phương trình Liouvile để tìm các phần tử ma trận mật độ, từ đó suy ra hệ
số hấp thụ và hệ số tán sắc của môi trường. Đây là hai thông số cơ bản đặc
trưng cho tính chất quang học của môi trường.

23


CHƯƠNG II
KHẢO SÁT HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
TRONG MÔI TRƯỜNG KHÍ NGUYÊN TỬ Rb 5 MỨC NĂNG LƯỢNG
2.1 Phương trình ma trận mật độ của nguyên tử năm mức

Xét hệ nguyên tử Rb85 cấu hình năm mức năng lượng tương tác với
hai trường laser (trường laser dò và trường laser điều khiển) có tần số thích
hợp và cường độ của trường điều khiển rất mạnh so với trường dò. Cả hai
laser này đều phát ở chế độ liên tục, đơn mode tương ứng với các tần số ω p và
ωc . Gọi ∆ p và ∆ c là các độ lệch tần số của chùm dò và chùm điều khiển với

các dịch chuyển nguyên tử như trên hình 2.1.

Hình 2.1 Sơ đồ các mức năng lượng của nguyên tử Rb85 được kích thích theo
giản đồ bậc thang.
(a): Sơ đồ kích thích; (b): Các mức năng lượng của nguyên tử Rb85
Đặt:

∆ p = ω p − ω21 là độ lệch tần của chùm dò,
∆ c = ωc − ω32 là độ lệch tần của chùm liên kết,

δ1 = ω4 − ω3 .
δ 2 = ω5 − ω3 .

24

(2.1)


Ký hiệu các trạng thái: 1 , 2 , 3 , 4 và 5 tương ứng với các mức
5S1/2(F =3), 5P3/2(F = 3), 5D5/2(F =4), 5D5/2(F =3) và 5D5/2(F =2) . Ở đây, F là
ký hiệu số lượng tử của mô men góc toàn phần của nguyên tử (bao gồm cả
spin hạt nhân và mô men góc toàn phần của điện tử hóa trị).
Do khoảng cách giữa các mức tinh tế này tương đối bé (nhỏ hơn 10
Mhz) nên chúng có thể được cảm ứng đồng thời bởi chùm sáng liên kết. Laser

dò kích thích dịch chuyển 1 → 2 còn laser điều khiển kích thích mức 2
lên nhóm hai mức gần nhau là 3 ; 4 và 5 (hình 2.1). Hai mức 3 và 4
sắp xếp cách nhau một khoảng phổ tương ứng là δ1 ; Hai mức 3 và 5 sắp
xếp cách nhau một khoảng phổ tương ứng là δ 2 ; [MHz].
Sự tiến triển theo thời gian của các trạng thái lượng tử dưới sự kích
thích kết hợp của chùm laser dò và laser liên kết có thể được mô tả thông qua
ma trận mật độ bởi phương trình Liouville:
∂ρˆ
i
= −  Hˆ , ρˆ  + Λρˆ .
∂t
h

(2.2)

Trong đó:
• ρˆ là toán tử mật độ cho hệ năm mức và được biểu diễn dưới dạng ma
trận 5 × 5 :
 ρ11
ρ
 21
ρ =  ρ31

 ρ 41
 ρ51

ρ12
ρ 22
ρ32
ρ 42

ρ52

ρ13
ρ 23
ρ33
ρ 43
ρ53

ρ14
ρ 24
ρ34
ρ 44
ρ54

ρ15 
ρ 25 
ρ35 
.
ρ 45 
ρ55 

(2.3)

Các phần tử nằm trên đường chéo ρii (i = 1, 2,3, 4,5) cho ta xác suất tìm thấy hạt
5

ở trạng thái i , do đó

∑ρ
i =1

ii

= 1 . Các phần tử nằm ngoài đường chéo ρij ( i ≠ j )

cho ta xác suất dịch chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j và phải thỏa

25