Một số bài toán hay ôn tập cho đội tuyển Toán

Một số bài toán hay ôn tập cho đội tuyển Toán.
Bài 1. Cho các tam thức bậc hai f, g, h. Hỏi đa thức f(g(h(x))) có thể nhận tất cả
các giá trị 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 làm nghiệm hay không?
Bài 2. Hãy tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực, thỏa mãn hệ thức
P ( x ) + P ( x2 ) = ( P ( x ) ) + P ( − x )
2

với mọi x ∈ R.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu đa thức
P ( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 + ... + an

có n nghiệm thực đơn thì
ai2 >

n − i +1 i +1
.
.ai −1.ai +1 ; i = 1, 2..., n − 1
n −1
i

Bài 4. Hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x, y) của phương trình
1 1 1 1
+ = +
x y 3 xy

Bài 5. Có tồn tại hay không các số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn hệ thức
x2 + y2 + z 2 + 3 ( x + y + z ) + 5 = 0

Bài 6. Chứng minh rằng tồn tại 8 số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào
2
2

trong 8 số đó có thể biểu diễn được dưới dạng 7 x + 9 xy − 5 y , trong đó x và y là

các số nguyên.
Bài 7. Cho n là số nguyên dương. Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số (a 1, a2, …, a2n)
mà ai = + 1 với mọi i = 1, 2n và
2l

∑

i = 2 k −1

ai ≤ 2

với mọi i ≤ k ≤ l ≤ n
Bài 8: Tim tất cả các bộ số nguyên dương (x,y,z) thoả mãn đồng thời các điều
kiện sau:
i)

y là số nguyên tố;

ii)

z không chia hết cho y và 3;

iii)

x3 − y 3 = z 2 .