Bài giải đề thi HSG lớp 12 Bình ĐỊnh

Lê Quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát

Bài giải Đề thi tỉnh bình định lớp 12 (22/10/2010)
Bài 1. Giải hệ phương trình:
,
Giải :
Biến đổi hệ : (x+y)2-z(x+y)+z2 -3=0 (1) , (x-y)2 -z(x-y)+1=0 (1)
Hệ có nghiệm x,y  z2-4(z2-3) ≥ 0 , z2-4 ≥ 0  z=2,z=-2
i)
z=2 ta có x+y=1 , x-y=1  x=1,y=0
ii)
z=-2 , ta có x+y=- 1 , x-y =-1  x=-1,y=0
Hệ có hai nghiệm (1,0,2) , (-1,0,-2)
Bài 2. Tìm a để phương trình sau có nghiệm
Giải : Ta có x=0 , x=-1 không phải là nghiệm của phương trình
Biến đổi phương trình về dạng : x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1=a(x4+2x3+x2 )
1
 3 1  2 1 
x + 3 ÷+ 3  x + 2 ÷+ 6( x + ) + 7

x + 3x + 6x + 7x + 6x + 3x + 1 
x  
x 
x
=
 a=
4
3
2
1
x + 2x + x

x+ +2
x
3
1
t + 3t 2 + 3t + 1 (t + 1)3
Đặt t= x + , t < −2, t ≥ 2 . Phương trình trở thành a =
=
x
t+2
t+2
3
(t + 1)
Đặt f(t)=
, t < −2, t ≥ 2
t+2
3(t + 1) 2 (t + 2) − (t + 1)3 (t + 1) 2 (2t + 5)
5
=
f’(t)=
, f’(t)=0  t = − <-2
2
2
2
( t + 2)
( t + 2)
27
Lập bảng biến thiên , kết luận a ≥
4
6

5

4

3

2

Bài 3. Chứng minh rằng với

và nguyên dương thì
Giải : Xét hàm số f(x)=x (1-x), x thuộc (0,1)
f’(x)=2nx2n-1-(2n+1)x2n=x2n-1[2n-(2n+1)x]
2n

f’(x)=0 x=

2n
thuộc (01)
2n + 1

lập bảng biến thiên trên (0,1)

2n

2n

2n
2n   2 n 
1

 2n  
)=
=> f ( x) ≤ f (
÷ 1 −
÷= 
÷ .
2n + 1  2n + 1   2n + 1   2n + 1  2 n + 1

Áp dụng định lý lagrang cho f(t)=lnt liên tục trên [2n,2n+1]
1
1
>
c 2n + 1
2 n +1
1
2n 
1

<
 ln(2n + 1) − ln 2n >
=> (2n + 1)(ln 2n − ln(2n + 1)) < −1 => 
÷
2n + 1
e
 2n + 1 

 tồn tại số c thuộc (2n , 2n+1) sao cho f(2n+1)-f(2n)=

2n

2n 
1
 
÷ .
 2n + 1 

2n + 1

<

1
=>đpcm
2ne

Bài 4. Cho tứ giác lồi ABCD có AB=BC=CD=a. Chứng minh
Giải : SABCD=SABC+SACD
Hạ BH vuông góc với AC , vì AB=BC=a nên AC=2AH
Đặt góc BAC =x nhọn

.


Lê Quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát

SABC=AH.BH =x2sinxcosx , SACD ≤ AH.CD=x2cosx
 SABCD ≤ x2(cosx +sinxcosx)
Xét f(x) =cosx +sinxcosx , x nhọn
f’(x) =-sinx +cos2x =-2sin2x-sinx+1 , f’(x)=0  sinx=-1 , sinx =1/2
Vì x nhọn nên ta có x=300
Giá trị lớn nhất của f(x) là

3a 2 3
SABCD ≤
=> đpcm
4

3 3
4