De thi HSNK Toan lớp 7 TXPT 2011

UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 7
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.0 điểm)
Cho

a c
= chứng minh rằng:
c b

a)

a 2 + c2 a
=
b2 + c 2 b

b)

b2 − a 2 b − a
=
a2 + c2
a

Bài 2:(2,0 điểm)
Xét tổng gồm n số hạng

Sn = 1 +

1
1
1
+
+L+
với n ∈ ¥ * .
1+ 2 1+ 2 + 3
1+ 2 +L+ n

Chứng minh rằng Sn < 2
Bài 3: (2.0 điểm)
Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư
với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển
động trên bốn cạnh là 59 giây
Bài 4: (2.0 điểm)
µ = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong
Cho tam giác ABC cân tại A có A
tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC
Bài 5: (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC cân tại A, µA = 800 . Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao
·
·
cho IBC
= 100 , ICB

= 300 . Tính ·AIB

UBND TX PHÚ THỌ

HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS


PHÒNG GD&ĐT

Bài

NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 7

Đáp án

a c
Bài 1: (2.0 điểm): Cho = chứng minh rằng:
c b
2
2
a +c
a
b2 − a2 b − a
=
a) 2 2
b) 2 2 =
b +c
b
a +c

a
2
2
a ( a + b) a
a c
a)
a +c
a 2 + a.b
Từ = suy ra c 2 = a.b , khi đó 2 2 = 2
= b( a + b ) = b
c b
b +c
b + a.b
2
2
2
2
b)
a +c
a
b +c
b
Theo câu a) ta có: 2 2 = ⇒ 2 2 =
b +c
b
a +c
a
2
2
2

2
b +c
b
b +c
b
từ 2 2 = ⇒ 2 2 − 1 = − 1
a +c
a
a +c
a
2
2
2
2
b +c −a −c
b−a
b2 − a2 b − a
=
=
hay
.
Vậy
a2 + c2
a
a2 + c2
a

Điểm

0.75

0.25
0.5
0.5

Bài 2:(2,0 điểm) Xét tổng gồm n số hạng
Sn = 1 +

1
1
1
+
+L+
với n ∈ ¥ * . Chứng minh rằng Sn < 2
1+ 2 1+ 2 + 3
1+ 2 +L+ n

Ta có với mọi k là số nguyên dương thì:
1
2
1 
1
=
= 2 −
÷
1 + 2 + L k k (k + 1)
 k k +1
Thay lần lượt k = 1, 2L n ta được tổng

0.75

1
1 
1 
2
 1 1 1

sn = 2  1 − + − + L −
÷ = 2 1 −
÷= 2 −
n +1
n n +1
 2 2 3
 n +1
*
Vì n ∈ ¥ nên Sn < 2

0.75

0.5
Bài 3: (2.0 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận
tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh
là 59 giây
Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
0.25
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s
0.5
5.x = 4. y = 3.z và x + x + y + z = 59
Ta có:
x y z x + x + y + z 59

= = =
=
= 60
hay: 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 59
5 4 3 5 5 4 3 60
1
1
Do đó: x = 60. = 12 ; y = 60. = 15 ;
5
4

0.5
1
z = 60. = 20
3

0.5

Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m)
0.25
0
µ
Bài 4: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 20 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm
trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC


a)

-Vẽ hình, ghi GT, KL đúng
Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)
·
·
suy ra DAB
= DAC
·
Do đó DAB
= 200 : 2 = 100

0.5 điểm

A

20 0

0.5 điểm

M

D

C
B
tại A, mà µA = 200 (gt) nên ·ABC = (1800 − 200 ) : 2 = 800
0.25
·
∆ DBC đều nên DBC
= 600
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ·ABD = 800 − 600 = 200 .

0.25
Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·ABM = 100
Xét tam giác ABM và BAD có:
·
·
= ·ABD = 200 ; ·ABM = DAB
= 100
AB cạnh chung ; BAM
0.25
Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
0.25
0
Bài 5: (2.0 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, µA = 80 . Ở miền trong tam giác lấy điểm I
·
·
sao cho IBC
= 100 , ICB
= 300 . Tính ·AIB

b)

∆ ABC cân

Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường
thẳng BC, chứa điểm A dựng tam giác
đều BCE.
Vì ∆ ABC cân tại A, µA = 800 nên
·ABC = ·ACB = 500 ⇒ ·ABE = ·ACE = 100 và
điểm A thuộc miền trong ∆ BCE.

Dẽ dàng chứng minh được
∆ ABE = ∆ ICB (g. c. g)
⇒ BA = BI ⇒ ∆ ABI cân tại B, ta có

0.5
E

0.5
A

0.5
I

0

140
·
·
=
= 700
= 50 − 10 = 40 ⇒ AIB
ABI
2
0

0

0

B

Hình vẽ đẹp, chính xác

C

0.5