Đề thi HSG Toán lớp 7

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn Toán lớp 7
Thời gian làm bài :120 phút
Câu1. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức
19 3 9 4
9 10 10
2 .27 15.4 .9
6 .2 12
A
+
=
+
Câu 2. (4 điểm)
Chứng minh:
( )
1 2 3 100
3 3 3 3 120 ( )
x x x x
P x N
+ + + +
= + + + + ∈M
Câu 3. (4 điểm)
Cho hai hàm số
5 4
à
4 5
y x v y x
−
= =
a. Vẽ đồ thị hai hàm số trên trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.

b. Chứng minh rằng:đồ thị của hai hàm số trên vuông góc với nhau.
Câu 4. (4,5điểm). Cho ∆ABC cân,
µ
100A =
o
. Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho
·
·
10 , 20 .MBC MCB= =
o o
Trên tia đối của AC lấy điểm E sao cho CE = CB.
a. Chứng minh: ∆BME đều.
b. Tính
·
AMB
Câu 5. (4,5điểm). Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy I và K sao cho
2
3
BI BM=
và M là trung
điểm của IK. Gọi N là trung điểm của KC. IN cắt AC tại O. Chứng minh:
a. O là trọng tâm của ∆IKC.
b.
1
3
IO BC=
.
HẾT
ĐÁP ÁN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
Môn Toán lớp 7 (2009-2010)

Câu1: (3 điểm)
19 3 9 4 19 9 18 8 18 9
9 10 10 9 9 10 2 10 19 9
2 .27 15.4 .9 2 .3 3.5.2 .3 2 .3 .(2 5) 1
6 .2 12 2 .3 .2 (2 .3) 2 .3 .(1 6) 2
A
+ + +
= = = =
+ + +
(mỗi bước đúng 1điểm)
Câu 2: 4 điểm. (Phân tích đúng 1 bước 1điểm)

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 3 4 5 6 7 8 97 98 99 100
2 3 4 4 2 3 4 96 2 3 4
4 96
4 96
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 . 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3
3 .120 3 .120 3 .120
120. 3 3 3 120
x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x
x x x
P
+ + + + + + + + + + + +
+ +

+ +
+ +
= + + + + + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + + + +
= + + +
= + + + M
Câu 3: 4 điểm. Vẽ đồ thị 1điểm

a) (mỗi bảng 0,25điểm)
Đồ thị
5
4
y x=
là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm A(4;5) (0,25điểm)
Đồ thị
4
5
y x
−
=
là đường thẳng qua điểm O(0;0) và điểm B(5;-4) (0,25điểm)
b) Cần chứng minh
OA OB
⊥
Xét ∆OMA và ∆ONB có:

¶
µ
5
90 ( . . )

4
OM ON
M N OMA ONB c g c
MA NB
= =


= = ⇒ ∆ = ∆


= =

o
(1điểm)

·
·
·
·
·
·
·
90
à 90
AOM BON
BOA BON AON
m AOM AON

=


⇒ ⇒ = + =

+ =


o
o
(1điểm)
Vậy
OA OB
⊥
Câu 4: 4,5 điểm
a) Chứng minh ∆BME đều
∆ABC cân (gt),
µ
·
µ
100 40A ABC C= ⇒ = =
o o
(0,25đ)

CB CE BCE= ⇒ ∆
cân tại C (0,25đ)

µ
· ·
40 70C BEC EBC= ⇒ = =
o o
(0,25đ)

·
·
·
70 10 60EBM EBC MBC⇒ = − = − =
o o o
(1) (0,25đ)

·
·
·
40 20 20MCE BCE MCB= − = − =
o o o
(0,25đ)
Vì
·
·
20 ( . . )
CE CB
MCE MCB MCE MCB c g c
CM chung
=


= = ⇒ ∆ = ∆



o
(1đ)
ME MB EMB

⇒ = ⇒ ∆
cân tại M (2) (0,25đ)
Từ (1) và (2)
BME
⇒ ∆
đều. (0,25đ)
x
0 4
5
4
y x=
0 5
x
0 5
4
5
y x
−
=
0 -4
x
y
O
B
N
4
A
M
-4
5

5
b)
·
·
·
40 10 30ABM ABC MBC= − = − =
o o o
(0,25đ)
·
·
·
60 30 30ABE EBM ABM⇒ = − = − =
o o o
(0,25đ)
Vì
·
·
·
·
30 ( . . )
70
BE BM
ABE ABM ABE ABM c g c
BM chung
AMB AEB
=


= = ⇒ ∆ = ∆




⇒ = =
o
o
(1,25đ)
5. a) ∆IKC có MI =MK và NK= NC (gt) (0,5đ)
Nên CM và IN là hai trung tuyến. (0,25đ)
Mà CM cắt IN tại O nên O là trọng tâm. (0,25đ)
b) ∆AMI và ∆CMK có MI = MK (gt) (0,25đ)
¶
¶
1 2
M M=
(đđ); MA = MC (gt) (0,5đ)
Nên ∆AMI = ∆CMK (c.g.c) (0,25đ)
⇒

µ
µ
1
K I=
và AI = KC (1) (0,25đ)
∆ABC có I là trọng tâm
1
2
IE AI⇒ =
(2) (0,25đ)
Mặt khác
1

2
KN KC⇒ =
(3) (0,25đ)
Từ (1), (2) và (3)
⇒
KN = IE (0,25đ)
∆IBE và ∆KIN có KN = IE (cmt) (0,25đ)
µ
µ
µ
2 1
( )K I I= =
; IB =IK (0,25đ)
Nên ∆IBE = ∆KIN (c.g.c) (0,25đ)
IN BE
⇒ =
mà
1 1
2 2
BE BC IN BC= ⇒ =
(4) (0,25đ)
∆IKC có O là trọng tâm nên
2
3
IO IN=
(5) (0,25đ)
Từ (4) và (5)
2 1 1
.
3 2 3

IO BC BC⇒ = =
(0,25đ)