Chuyên đề tốt nghiệp một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành chuyên đề này, tôi xin chân thành cảm ơn:
Ban giám hiệu Trường Đại học Tây Nguyên, lãnh đạo khoa Khoa học Tự nhiên
và Công nghệ đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi thực hiện và hoàn thành tốt khóa
luận này.
Quý thầy cô trong Bộ môn Toán, cùng toàn thể quý thầy cô giáo Trường Đại
học Tây Nguyên đã dạy dỗ và truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong
suốt quá trình học tập tại trường.
Thầy ThS. Mai Quốc Vũ, Bộ môn Toán, khoa Khoa học Tự nhiên và Công
nghệ, Trường Đại học Tây Nguyên, người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt cho
tôi những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong quá trình học tập cũng như quá
trình hoàn thành khóa luận này. Thầy đã giúp tôi củng cố lại các kiến thức cơ sở
đồng thời bổ sung thêm các kiến thức mới làm nền khi tôi mới bước vào làm khóa
luận. Trong suốt quá trình thực hiện khóa luận, thầy luôn định hướng, góp ý, sửa
chữa những chỗ sai giúp tôi đi đúng hướng.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tập thể lớp SP
Toán K10 đã giúp đỡ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập
và hoàn thành khóa luận này.
Đắk Lắk, tháng 4 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Văn Thiện

1


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

1

MỤC LỤC

3

Mở đầu

5

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ . . . . . . . .
1.1.1 Các phép tính về lũy thừa với số mũ thực
1.1.2 Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm số ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Điều kiện đủ để có hàm số ngược . . . . .
1.2.3 Đồ thị của hàm số ngược . . . . . . . . . .
1.3 Tóm tắt về hàm số lôgarit . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Các phép tính về lôgarit . . . . . . . . . .
1.3.4 Công thức đổi cơ số . . . . . . . . . . . . .
1.4 Một số kiến thức khác . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Bất đẳng thức Cô-si . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki . . . . . .
1.4.3 Bất đẳng thức Bernoulli . . . . . . . . . .
1.4.4 Định lí rolle . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

8
8
8
8
9
9
10
10
10
10
11
11
11
12
12
12
12
12

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

14
2.1 Phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2


2.2
2.3

2.4

2.1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giải và biện luận nghiệm của phương trình lôgarit có chứa tham số
Bất phương trình lôgarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Phương pháp mũ hóa và đưa về cùng cơ số . . . . . . . . .
2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Phương pháp hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Giải và biện luận nghiệm của bất phương trình lôgarit có chứa
tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
18
24
27
28

31
34
34
35
36
38
39
40

Kết luận

44

TÀI LIỆU THAM KHẢO

45

3


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

1.
2.
3.
4.
5.
6.

R - tập các số thực.

T - tập giá trị của hàm số.
L - loại.
V N - vô nghiệm.
V T - vế trái.
V P - vế phải.

4


MỞ ĐẦU
1. Đặt vấn đề
Lôgarit là phát minh của Nê-pe (J. Napier hay J. Neper 1550 – 1617) – một
điền chủ và nhà thần học Xcôt-len. Nê-pe rất đam mê toán học và ông coi toán
học là niềm vui giải trí của mình. Trong vòng 20 năm trời, những lúc rảnh rỗi,
Nê-pe đã phát triển lí thuyết lôgarit và ông đã trình bày vấn đề này trong một
cuốn sách viết bằng chữ La-tinh in năm 1614 với đầu đề “Mô tả một bảng Lôgarit
kì diệu” ( từ “lôgarit” có gốc từ những từ Hi Lạp: logos nghĩa là tỉ lệ, arithmos
nghĩa là số). Ông hi vọng phát minh của mình sẽ giúp đơn giản hóa nhiều phép
tính trong thiên văn, đó là những phép tính đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.
Thực tế, lôgarit của Nê-pe đã làm cuộc cách mạng trong thiên văn và trong
nhiều lĩnh vực toán học bằng cách thay thế việc thực hiện “phép tính nhân, chia,
tính căn bậc hai, căn bậc ba của những số lớn mà bên cạnh việc tiêu phí thời
gian một cách tẻ nhạt, người ta còn hay bị nhầm lẫn” bằng thực hiện các phép
tính cộng, trừ đơn giản những số tương ứng. Phát minh của Nê-pe là một phương
thức tiết kiệm thời gian đơn giản.
Ở Việt Nam, một số tài liệu liên quan đến giải toán Lôgarit nói chung cũng
như phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit nói riêng có thể kể
đến như: Ngô Viết Diễn, Phương pháp chọn lọc giải toán hàm số mũ và lôgarit,
2004; Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán mũ – lôgarit, 2012;
Nguyễn Phú Khánh, Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề giải tích 12,

2012. . .
Phương trình và bất phương trình lôgarit là một nội dung tương đối khó và
đóng vai trò quan trọng trong chương trình giải tích lớp 12, là một nội dung
không thể thiếu trong các kì thi quốc gia quan trọng và đặc biệt là kì thi đại học
hàng năm. Nhưng chương trình phổ thông vẫn chưa cung cấp được một hệ thống
các phương pháp giải đầy đủ, để các em học sinh có một tài liệu tương đối đầy
đủ về các phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit dùng để
ôn thi để chuẩn bị tốt cho các kì thi quan trọng. Do đó, chuyên đề này là một
tài liệu cần thiết đối với giáo viên và học sinh, tác giả hi vọng chuyên đề này sẽ
là tài liệu tham khảo đối với những người quan tâm đến chuyên đề phương pháp
giải phương trình và bất phương trình lôgarit, đặc biệt là dành cho các học sinh
THPT, là tài liệu hữu ích để các em ôn luyện thi đại học.

5


2. Mục tiêu của đề tài
• Làm rõ các phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit.
• Vận dụng các phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit để
giải hầu hết các dạng phương trình và bất phương trình lôgarit.

3. Ý nghĩa khoa học
Chuyên đề này sẽ giúp cách nhìn tổng quan hơn về các dạng và các phương
pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit.

4. Ý nghĩa thực tiễn
Tác giả hi vọng chuyên đề này sẽ là tài liệu tham khảo đối với những người
quan tâm đến chuyên đề phương pháp giải phương trình và bất phương trình
lôgarit, đặc biệt là dành cho các học sinh THPT, là tài liệu hữu ích để các em ôn
luyện thi đại học.

5. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu
• Sưu tầm tài liệu qua sách, báo, internet...
• Sử dụng các phương pháp: phân tích, so sánh, khái quát hóa, tổng kết kinh
nghiệm.

6. Giới hạn của đề tài
• Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến các phương pháp giải phương trình và
bất phương trình lôgarit. Trình bày về các phương pháp giải phương trình
và bất phương trình lôgarit.
• Nội dung của khóa luận được trình bày trong 2 chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất của lũy
thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit và một số kiến thức cần thiết khác cho nội
dung chính của đề tài: Bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacốpki, ...
Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit
Đây là chương chính của chuyên đề. Trong chương này chúng tôi trình bày
6


các phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit, giải và biện
luận nghiệm của phương trình và bất phương trình lôgarit có chứa tham số.
Chuyên đề này trình bày về các phương pháp giải phương trình và bất phương
trình lôgarit hiện nay đã được nghiên cứu và ứng dụng trong phổ thông, là kết
quả của quá trình sưu tầm, đọc sách báo và tài liệu tham khảo của các tác giả
liên quan.
Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit đã được nghiên
cứu và được các tác giả khác trình bày rất chi tiết trong [1]; [2]; [3]; ... Ở đây tôi
chỉ xin trình bày và hệ thống lại một cách rõ rành hơn, đồng thời bổ sung những
ví dụ đặc sắc và sát thực, là tài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh trung

học phổ thông học học tập tốt và phần nào giúp các thầy cô giáo làm tốt công
tác giảng dạy.
Mặc dù tác giả đã dành nhiều tâm huyết cho chuyên đề này, song sự sai sót là
điều khó tránh khỏi. Chúng tôi rất mong nhận được sự phản biện và góp ý quý
báu của quý độc giả để chuyên đề được hoàn thiện hơn.

7


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất của lũy
thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit và một số kiến thức cần thiết khác nhằm làm cơ
sở để giải quyết các bài tập ở chương 2.

1.1
1.1.1

∗
∗
∗
∗
∗

Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ
Các phép tính về lũy thừa với số mũ thực

ax ay = ax+y
ax

= ax−y
y
a x
(ab) = ax bx
y
(ax ) = axy
a x ax
= x
b
b

Chú ý 1.1.1

1) Nếu a < 0, ax chỉ xác định ∀x ∈ Z
2) Với n ∈ Z, n ≤ 0 thì an có nghĩa ⇔ a = 0.
1.1.2

Hàm số mũ

a) Định Nghĩa
Định nghĩa 1.1.1 Hàm số mũ cơ số a (a > 0) là hàm số được xác định bởi công

thức:
f : R → (0; +∞)
x → y = f (x) = ax

8


b) Các tính chất:

*
Hàm số y = ax có tập xác định là R.
*
Hàm số y = ax có tập giá trị là (0; +∞).
*
Hàm số y = ax liên tục tại mọi điểm x ∈ R.
*
ax > 0, ∀x ∈ R.
*
Nếu a = 1 hàm số y = ax không đổi trên R: y = 1.
*
a > 1: Hàm số y = ax đồng biến trên R.
*
0 < a < 1: Hàm số y = ax nghịch biến trên R.
c) Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi a > 0 :
1. aM = aN
2. a > 1 Ta có:
aM > aN
ax > 1
0 < ax < 1
3. 0 < a < 1
aM > aN
ax > 1
0 < ax < 1

⇔

M, N tùy ý nếu a = 1.
M = N nếu a = 1.

⇔
⇔
⇔

M >N
x > 0.
x < 0.

⇔
⇔
⇔

M < N.
x < 0.
x > 0.

d) Công thức đổi cơ số.
Từ hàm số mũ cơ số a đổi sang hàm mũ cơ số b ta có công thức:
ax = bxlogb a
(ĐK:a = 1, b = 1).

1.2
1.2.1

Hàm số ngược
Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm số:

f :X→R

x → y = f (x)
với tập xác định X và tập giá trị T = {y ∈ R, ∃ x ∈ X|f (x) = y}.
Nếu với mọi giá trị y ∈ Y , có một và chỉ một x ∈ X sao cho f (x) = y, tức là
phương trình f (x) = y với ẩn x có nghiệm duy nhất thì bằng cách cho tương ứng
mỗi y ∈ Y với phần tử duy nhất x ∈ X đó, ta xác định được hàm số:
g:X→R
y → x = g(y), (x : f (x) = y).
9


Hàm số g xác định như vậy được gọi là hàm số ngược của hàm số f . Khi đó
kí hiệu y = g(x) là hàm số ngược của hàm số y = f (x).
Nhận xét 1.2.1

(i) Về mặt hình học, khi xét đồ thị của hàm số y = f (x), thì rõ ràng nếu mỗi
đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm (0, y) với y ∈ Y , đều cắt đồ
thị hàm số thị hàm số tại duy nhất một điểm, thì hàm số y = f (x) có hàm số
ngược.
(ii) Từ định nghĩa hàm số ngược ta suy ra:
•Tập xác định của hàm số ngược y = g(x) là tập giá trị của hàm số y = f (x).
•Tập giá trị của hàm số ngược y = g(x) là tập xác định của hàm số y = f (x).
1.2.2

Điều kiện đủ để có hàm số ngược

Định lý 1.2.1 Mọi hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định của nó

đều có hàm số ngược.
1.2.3

Đồ thị của hàm số ngược

Định lý 1.2.2 Trong hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy đồ thị của hai hàm số ngược

nhau y = f (x) và y = g(x) là đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất
(y = x).

1.3
1.3.1

Tóm tắt về hàm số lôgarit
Định nghĩa

Định nghĩa 1.3.1 Hàm số lôgarit cơ số a (a > 0, a = 1) là hàm số xác định bởi

công thức:
f : (0; +∞) → R
x → y = loga x.
Trường hợp riêng:
+ Lôgarit cơ số 10 được gọi là lôgarit thập phân. Ta thường viết log10 b là lg b
hoặc log b.
lg b = α ⇔ b = 10α .
+ Lôgarit cơ số e được gọi là lôgarit tự nhiên. Ta thường viết loge b là ln b.
ln b = α ⇔ b = eα .
10


Nhận xét 1.3.1 Ta có hàm số mũ và hàm số lôgarit là hai hàm số ngược nhau,

nên từ đó ta có các tính chất sau của hàm số lôgarit:

1.3.2

Tính chất

•
•
•
•
•

Hàm số y = loga x có tập xác định là (0; +∞) .
Hàm số y = loga x có tập giá trị là R.
Hàm số y = loga x liên tục tại mọi điểm x > 0.
Nếu a > 1: hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞) .
Nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến trong khoảng (0; +∞) .
Từ tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit ta suy ra các đẳng thức
và bất đẳng thức sau
Với a > 0, a = 1 ta có:
1.




loga M = loga N ⇔ 

2. Với a > 1 :

M =N
N >0

loga M
loga M
loga M
3. Với 0 < a < 1 : loga M
loga M
loga M
1.3.3

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

< loga N
>0
<0
< loga N
>0
<0

0 < M < N.
M > 1.
0 < M < 1.
M > N > 0.
0 < M < 1.
M > 1.

Các phép tính về lôgarit

Giả sử a > 0, a = 1; b > 0. Ta có công thức sau đây:
a)
loga (AB) = loga A + loga B. (A, B > 0)
Mở rộng: loga (A1 .A2 ...An ) = loga A1 +loga A2 +...+loga An .
0)
A
b)
loga B
= loga A − loga B. (A, B > 0)
α
c)
loga b = αloga b .
(α ∈ R).
√
n
1
d)
loga b = n loga b.
1.3.4

(A1 , A2 , ..., An >

Công thức đổi cơ số

Giả sử a, b dương và khác 1; c, x > 0 ta có:
a)
loga b.logb c = loga c.
Hệ quả: loga1 a2 .loga2 a3 ...logan−1 an = loga1 an . (a1 , a2 , ...an > 0; a1 , a2 , ..., an−1 = 1).
11

logb c
.
logb a
1
loga b =
.
logb a
1
logaα x = loga x.
α
1
logab x = 1
1 . (x = 1).
+
loga x logb x

b)

loga c =

c)
d)
e)

1.4
1.4.1

Một số kiến thức khác

Bất đẳng thức Cô-si

Cho n số a1 , a2 , ..., an ≥ 0, ta có:
Dấu = xảy ra ⇔ a1 = a2 = ... = an .
1.4.2

a1 + a2 + ... + an
√
≥ n a1 a2 ...an .
n

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Cho a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn là các số thực tùy ý, ta có:
2

(a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn ) ≤ a21 + a22 + ... + a2n
dấu = xảy ra ⇔
1.4.3

a1
b1

=

a2
b2

= ... =

b21 + b22 + ... + b2n

an
bn .

Bất đẳng thức Bernoulli

Với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1, ta có:
r

(1 + x) ≥ 1 + rx
dấu = xảy ra ⇔ x = 0 ∨ r = 0 ∨ r = 1.
1.4.4

Định lí rolle

Định lý 1.4.1 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng

(a; b), ngoài ra f (a) = f (b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh cho định lí Rolle thu hẹp với giả thiết thêm là
hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (a; b).
Giả sử không tồn tại c ∈ (a; b) để f (c) = 0, tức là f (x) = 0 với mọi x ∈ (a; b).
Khi đó f (x) liên tục trên (a; b) nên f (x) không đổi dấu trên (a; b).
Không mất tính tổng quát, giả sử f (x) > 0 với mọi x ∈ (a; b). Mà f (x) liên tục
12


trên [a; b] nên f (x) đồng biến trên [a; b]. Suy ra f (a) < f (b) trái với giả thiết là
f (a) = f (b). Điều này chứng tỏ rằng giả sử ban đầu của chúng ta là sai, tức là
phải tồn tại c ∈ (a; b) để f (c) = 0. Vậy định lí được chứng minh.

Để ứng dụng giải toán ta có thể hiểu định lí rolle như sau: "Nếu hàm số f (x)
liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra nếu phương
trình f (x) = 0 có n nghiệm trên (a; b) thì phương trình f (x) = 0 có không quá
n + 1 nghiệm trong khoảng đó."

13


Chương 2

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Trong chương này chúng tôi trình bày các phương pháp giải phương trình
và bất phương trình lôgarit, bao gồm: phương pháp mũ hóa và đưa về cùng cơ số;
phương pháp đặt ẩn phụ (có đặt ẩn phụ toàn phần và không toàn phần); phương
pháp hàm số; phương pháp đồ thị và một số phương pháp khác. Trình bày phương
pháp giải và biện luận nghiệm của phương trình và bất phương trình lôgarit có
chứa tham số.

2.1

Phương trình lôgarit

Để giải một phương trình lôgarit thì nguyên tắc chung là ta đưa phương trình
cần giải về dạng phương trình lôgarit cơ bản, có dạng: loga x = b (a > 0, a = 1).
Phương trình lôgarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất là x = ab .
2.1.1

•

•
•

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Để giải phươngtrình ta đưa về một trong ba dạng sau:
 0loga f (x) = b ⇔ 
.
f (x) 
= ab
 0loga f (x) = loga g(x) ⇔ 
f (x) = g(x) > 0

 0 < f (x) = 1
logf (x) g(x) = b ⇔ 
b
g(x) = [f (x)]

14


Ví dụ 2.1.1.1 Giải phương trình :

logx (2x2 − 7x + 12) = 2
Giải:











logx (2x2 − 7x + 12) = 2 ⇔ 







(2.1)

x>0
x=1
2x2 − 7x + 12 > 0
2x2 − 7x + 12 = x2








x>0

x=3
⇔ x=1
⇔

x=4

 x2 − 7x + 12 = 0
Vậy phương trình (2.1) có nghiệm là: x = 3; x = 4..

Ví dụ 2.1.1.2 Giải phương trình:

log(x+3) 3 −
Giải:




(2.2) ⇔ 

√

x2 − 2x + 1 =

1
2

(2.2)



 −3 < x = −2
0 < (x + 3) = 1
√
√
√
⇔
 3 − |x − 1| = x − 3
3 − x2 − 2x+1 = x + 3

(2.2a)






x≥1
1≤x≤4
√
⇔
2
4
−
x
=
x
+
3
(4
−

x)
=x+3

√
 1≤x≤4
9 − 29
⇔ 2
⇔x=
.
2
x − 9x + 13 = 0


 −3 < x = 2
 x > −2
√
+ Nếu x < 1 thì hệ (2.2a) ⇔ 
⇔ 2
2+x= x+3
x + 3x + 1 = 0
√
−3 + 5
⇔x=
2
√
√
9 − 29
−3 + 5
Vậy phương trình (2.2) có nghiệm là: x =
; x=

.
2
2
Ví dụ 2.1.1.3 Giải phương trình:
+ Nếu x ≥ 1 thì hệ (2) ⇔ 

log4 {2log3 [1 + log2 (1 + 3log2 x)]} =

1
2

(1)

Giải:
Điều kiện: x > 0.
(2.3) ⇔ 2log3 [1 + log2 (1 + 3log2 x)] = 2 ⇔ log3 [1 + log2 (1 + 3log2 x)] = 1
15

(2.3)


⇔ 1 + log2 (1 + 3log2 x) = 3 ⇔ log2 (1 + 3log2 x) = 2 ⇔ 1 + 3log2 x = 4
⇔ log2 x = 1 ⇔ x = 2.
Vậy phương trình (2.3) có nghiệm là x = 2.
Ví dụ 2.1.1.4 Giải phương trình:

log2 x + log4 x + log8 x = 11

(2.4)

Giải:
Điều kiện: x > 0.
1
1
(2.4)⇔ log2 x + log22 x + log23 x = 11 ⇔ log2 x + log2 x + log2 x = 11
2
3
11
⇔ log2 x = 11 ⇔ log2 x = 6 ⇔ x = 64.
6
Vậy phương trình (2.4) có nghiệm là x = 64.
Ví dụ 2.1.1.5 Giải phương trình:

√
3
2
log4 (x + 1) + 2 = log√2 4 − x + log8 (x + 4)
Giải:
Điều kiện:





(2.5)

−4 < x < 4
x = −1
(2.5*)

(2.5)⇔ log2 |x + 1| + 2 = log2 (4 − x) + log2 (x + 4)
⇔ log2 4 |x + 1| = log2 16 − x2 ⇔ 4 |x + 1| = 16 − x2
(2)

x=2
+ x ≥ −1 ⇒ (2) ⇔ x2 + 4x − 12 = 0 ⇔ 
x = −6
Kết hợp với điều kiện (a) ta được x = 2. 
√
x
=
2
−
2
6
2
√
+ x < −1 ⇒ (2) ⇔ x − 4x − 20 = 0 ⇔ 
x=2+2 6
√
Kết hợp với ĐK (a) ta được x = 2 − 2 6.
√
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là: x = 2; x = 2 − 2 6.
Lưu ý 2.1.1.1 Nếu phương trình có dạng loga f (x)+logb f (x) = logc f (x)+logd f (x)

có các cơ số a, b, c, d biểu diễn được lũy thừa qua nhau thì ta chú ý công thức
1
đổi cơ số logaα b = loga b để đưa chúng về cùng cơ số.
α
Ví dụ 2.1.1.6 Giải phương trình:

log2 x + log3 x + log4 x = log20 x
16

(2.6)


Giải:
Điều kiện: x > 0

(a)

logc b
= logc b.loga c ta có:
logc a
(2.6)⇔ log2 x + log2 x.log3 2 + log2 x.log4 2 = log2 x.log20 2
⇔ (1 + log3 2 + log4 2 − log20 2) log2 x = 0 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Áp dụng công thức đổi cơ số: loga b =

Lưu ý 2.1.1.2 Nếu phương trình có dạng loga f (x)+logb f (x) = logc f (x)+logd f (x)

mà có các cơ số a, b, c, d không biểu diễn được qua lũy thừa. Khi đó ta dùng công
thức đổi cơ số để đưa chúng về cùng một cơ số và áp dụng các phép toán trên
lôgarit để giải.
Ví dụ 2.1.1.7 Giải phương trình:

√
1
6
log2 (3x − 4) .log2 x3 = 8 log2 x

3
Giải:










2

2 2

+ log2 (3x − 4)

(2.7)

6

(3x − 4) > 0

2
 3x − 4 = 0
(3x − 4) > 0
(a)
⇔
⇔ 0 < x = 43 .

Điều kiện:  3

x
>
0
x
>
0



√


x>0
2
6
1
2
(2.7)⇔ log2 |3x − 4| .3log2 x = 8 log2 x + [2log2 (3x − 4)]
3
2
2
2
⇔ 6log2 |3x − 4| .log2 x = 2(log2 x) + 4(log2 |3x − 4|)
2
2
⇔ (log2 x) − log2 |3x − 4| .log2 x + 2(log2 |3x − 4|) − 2log2 |3x − 4| .log2 x = 0
⇔ log2 x (log2 x − log2 |3x − 4|) − 2log2 |3x − 4| (log2 x − log2 |3x − 4|) = 0
⇔ (log

x − log2 |3x − 4|) (log2 x − 2log
|3x − 4|) = 0
 2
 2
log2 x = log2 |3x − 4|
log2 x − log2 |3x − 4| = 0
⇔
⇔
2
log2 x = 2log2 |3x − 4| = log2 |3x − 4|
log2 x − 2log2 |3x − 4| = 0




x
>0

x=1





x>0



 



x
=
3x
−
4
x=2
⇔   x = |3x − 4|
⇔ 
⇔




 x = −(3x − 4)

16


2




x = |3x − 4|
x=

2

9x − 25x + 16 = 0

9
16
Vậy phương trình (2.7) có 3 nghiệm là x = 1; x = 2; x = .
9
Nhận xét 2.1.1 Không được nhầm lẫn các phép biến đổi sau:
•
•

n

loga (f (x)) = nloga f (x) với n chẵn là phép biến đổi không tương đương.
2
1
loga f (x) = log2a f (x) = log2a f (x) là không thể xảy ra.
2
17


Bài tập tương tự:
x−1
1
+ log3 |x − 3|.
= log√3
2
2
2) log2 2x+1 − 5 = x.
3) log3 x + log4 x = log12 x.
1
x−1
= log6 (x − 1)2 .

4) 1 + log6
x+7
2
2
lg x − x + 10 − 1 − lg 4
5)
= lg 2.
log2 (3x + 2) − 2 −√
log2 5
√
6) log2 (8 − x2 ) + log 1 ( 1 + x + 1 − x) − 2 = 0
(ĐH KD 2011).
2
Hướng dẫn:
1) Đưa về cùng lôgarit cơ số 3.
2) Đưa về cùng lôgarit cơ số 2.
3) Tương tự ví dụ 6.
4) Đưa về cùng lôgarit cơ số 6.
5) Đưa về cùng lôgarit cơ số 10.
6) Đưa về cùng lôgarit cơ số 2.
1) log9 x2 − 5x + 6

2

2.1.2

Phương pháp đặt ẩn phụ

2.1.2.1

Đặt ẩn phụ toàn phần

Với việc đặt một biểu thức lôga nào đó bằng ẩn phụ, ta đưa bài toán đã cho
về phương trình đại số quen thuộc.
2.1.2.1.1

Đặt ẩn phụ đưa phương trình lôgarit về phương trình với một ẩn phụ

( theo

[2])
Ta có các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:
logka f (x) = tk
Dạng 1 : Nếu đặt t = loga f (x) với f (x) > 0 thì: 
1
 logf (x) a = , 0 < x = 1
t
Dạng 2 : Ta có alogb c = clogb a , do đó nếu đặt t = alogb f (x) thì t = f (x)logb a .
Tuy nhiên trong nhiều bài toán có chứa alogb f (x) , ta thường đặt ẩn phụ để được
t = logb f (x).




Ví dụ 2.1.2.1 Giải phương trình:

2log5 x − logx 125 = 1
Giải:
Điều kiện: 0 < x = 1
18

(2.8)


(2.8)⇔ 2log5 x − 3logx 5 − 1 = 0 
 log x = t = 0
1
− 1 = 0 ⇔  25
⇔ 2log5 x − 3
log5 x
2t − t − 3 = 0




log5 x = t = 0


1

log
x
=
−1
 
5

 x=
t
=

−1
⇔ 
⇔
5√
3 ⇔


log
x
=
3

5
x
=
5
5


2
t=
2
√
1
Vậy phương trình có nghiệm là x = ; x = 5 5.
5
Ví dụ 2.1.2.2 Giải phương trình:
log2 (2x − 1) .log 1 2x+1 − 2 = −2
2

Giải:
Điều kiện: x > 0.
(2.9)⇔ log2 (2x − 1). [−log2 2. (2x − 1)] = −2



⇔ log2 (2x − 1) [1 + log2 (2x − 1)] = 2 ⇔ 

(2.9)

t = log2 (2x − 1)
t2 + t − 2 = 0




t=

 



log2 (2x − 1)
x
2x − 1 = 2
log
(2
−
1)
=

1

2
⇔
⇔ x
⇔  t=1
1
x

log
(2
−
1)
=
−2
2 −1=

2

t = −2
4

x = log2 3
⇔

5
x = log2
4
5
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = log2 3; x = log2 .

4
Ví dụ 2.1.2.3 Giải phương trình sau:
2

log2x−1 2x2 + x − 1 + logx+1 (2x − 1) = 4
Giải:
Điều kiện:





0⇔
0 < 2x − 1 = 1

1
2


19

(a)

(2.10)


(2.10)
⇔ log2x−1 (x + 1) + 2logx+1 (2x − 1) − 3 = 0




 log
 log2x−1 (x + 1) = t = 0
(x + 1) = t = 0
⇔  2 2x−1
⇔
2
 t+ −3=0
t − 3t + 2 = 0

t



log
(x + 1) = t

  2x−1
log2x−1 (x + 1) = 1
⇔  t=1
⇔

log2x−1 (x + 1) = 2


t=2

x=2





x
=
2
x
+
1
=
2x
−
1
 x= 5

⇔
⇔
⇔


4x2 − 5x = 0
x + 1 = (2x − 1)2
4
x=0
5
So sánh với Đk (a) ta có nghiệm của phương trình là x = 2; x = .
4

2.1.2.1.2

Dùng ẩn phụ chuyển phương trình lôgarit thành một phương trình với hai ẩn

Phương pháp chung: Sử dụng hai ẩn phụ cho hai biểu thức lôgarit trong
phương trình và khéo léo biến đổi phương trình về phương trình tích.

phụ

Ví dụ 2.1.2.4 Giải phương trình sau:
2

log2 x(x − 1) + log2 x.log2 x2 − x − 2 = 0
Giải:
Điều kiện:











x x2 − 1 > 0
⇔ x > 1.
x>0
2
x −x>0

2

x2 − x
(2.11) ⇔ log2
+ log2 x.log2 x2 − x − 2 = 0
x
⇔ 2log2 x2 − x + log2 x − log2 x.log2 x2 − x − 2 = 0

 u = log x2 − x
2
Đặt: 
v = log2 x
Khi đó phương trình tương đương với:
2u + v − uv − 2 = 0 ⇔ (u − 1) (v − 2) = 0



⇔







log2 x2 − x = 1
u=1
x2 − x = 2
⇔
⇔

v=2
x=4
log2 x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2; x = 4.
20






x = −1(L)
x=2
x=4

(2.11)


2.1.2.1.3

Dùng ẩn phụ chuyển phương trình lôgarit thành hệ phương trình với hai ẩn

Phương pháp chung: Bằng việc sử dụng 2 ẩn phụ (giả sử là u, v), ta có
thể khéo léo đưa việc giải phương trình về việc giải một hệ phương trình, trong đó:
• Phương trình thứ nhất có được từ phương trình đầu bài.
• Phương trình thứ hai có được từ việc đánh giá mối quan hệ của u, v.
phụ

Ví dụ 2.1.2.5 Giải phương trình:

3 + log2 (x2 − 4x + 5) + 2 5 − log2 (x2 − 4x + 5) = 6
Giải:

(2.12)







x x2 − 1 > 0
Điều kiện:  x > 0
⇔ x > 1.


 x2 − x > 0

 u = 3 + log (x2 − 4x + 5)
2
Đặt: 
v = 5 − log2 (x2 − 4x + 5)
Khi
đó phương trình

 chuyển thành:

 u + 2v = 6
 u = 6 − 2v

 u = 6 − 2v
⇔
⇔
 u2 + v 2 = 8
 (6 − 2v)2 + v 2 = 8
 5v 2 − 24v + 28 = 0
 


 

 
 
 
 

 



 


u=2
3 + log2 (x2 − 4x + 5) = 2



u = 6 − 2v


 

v=2
5 − log2 (x2 − 4x + 5) = 2


 
 
2
2
⇔
⇔  v=2
2 − 4x + 5) =
 

u
=

3
+
log
(x



2
14


5


5

v=
 
14
14

5
2

v=
5 − log2 (x − 4x + 5) =
5
5


2
2
x − 4x + 5 = 2
log2 x − 4x + 5 = 1

⇔
⇔

 2
1
71
x − 4x + 5 = 71
log2 x2 − 4x + 5 = −

25
2 25


2
x − 4x + 3 = 0
x=1∨x=3
⇔
⇔
 2
1
x − 4x + 5 − 71 = 0
VN
2 25
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 1; x = 3; x = 2.
Nhận xét: Bài này ta có thể đặt ẩn phụ để đưa phương trình lôgarit đã cho về
phương trình chỉ chứa một ẩn phụ như sau:
Đặt: t = log2 x2 − 4x + 5 , −3 ≤ t ≤ 5. Khi đó:
√
√
(2.12) ⇔ 3 + st + 2 5 − t = 6 ⇔ 3 + t + 4 (5 − t) + 4 (3 + t) (5 − t) = 36
71
⇔4 (3 + t) (5 − t) = 3t + 13 ⇔ 25t2 + 46t − 71 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = − 25
+ Với t = 1 thì ta có log2 x2 − 4x + 5 = 1 ⇔ x2 − 4x + 5 = 2 ⇔ x = 1 ∨ x = 3.
1
2
+ Với t = 2, 84 thì ta có log2 x2 − 4x + 5 = − 71
25 ⇔ x − 4x + 5 = 71
2 25

21


⇔ x2 − 4x + 5 − 171 = 0 VN.
2 25
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 ∨ x = 3.
Ví dụ 2.1.2.6 Giải phương trình sau:

log22 x + log2 x = 1
Giải:

(2.13)




1
x>0
⇔
x
≥
.
 log x + 1 ≥ 0
2
2
Đặt: u = log2 x.
√
(2.13)⇔ u2+ u + 1 = 1
 u+1≥0
Điều kiện: 

⇔ −1 ≤ u ≤ 1.
1 − u2 ≥ 0
√
√
Đặt v = u + 1, với điều kiện 0 ≤ v ≤ 2; suy ra v 2 = u + 1
Khi
 đó phương trình được chuyển thành hệ:
 u2 = 1 − v
⇒ u2 − v 2 = − (u + v)
 v2 = 1 + u

u+v =0
⇔ (u + v) (u − v + 1) = 0 ⇔ 
u−v+1=0
2
+ Với v = −u ta√
được: u − u − 1 = 0
1− 5
√
√
 u=
1
−
5
1− 5

2√
2
⇔
⇔

log
x
=
⇔
x
=
2
2

1+ 5
2
(L)
u=
2
+ Với u − v + 1 = 0, ta được: u2 + u = 0


x=1
log2 x = 0
u
=
0
⇔
⇔
⇔

1
log2 x = −1
u = −1
x=

2
√
1
1− 5
Vậy phương trình có ba nghiệm là: x = 2 2 ; x = 1; x = .
2
Nhận xét: Ta có thể đặt ẩn phụ để đưa phương trình lôgarit trên thành một
phương trình với một ẩn phụ như sau:
Đặt t = log2 x ≥ 0. Khi đó:
(2.13) ⇔ t4 + t = 1 ⇔ t4 + t − 1 = 0. Đây là một phương trình bậc bốn mà giải
nó mất rất nhiều thời gian nên ta ưu tiên phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ
hai ẩn phụ như trên.
Điều kiện:

2.1.2.2
2.1.2.2.1

Đặt ẩn phụ không toàn phần
Dùng ẩn phụ chuyển phương trình lôgarit thành một phương trình với một ẩn

phụ nhưng hệ số vẫn chứa x

(theo [2])
22


Phương pháp chung: Ta lưu ý có những phương trình khi ta lựa chọn ẩn phụ
cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn
phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp. Khi đó
ta có thể để phương trình ở dạng: “Chứa ẩn phụ nhưng hệ số vẫn chứa x”. Trong

trường hợp này thường ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn
theo x) có biệt số ∆ là một số chính phương.
Ví dụ 2.1.2.7 Giải phương trình sau:

lg2 x2 + 1 + x2 − 5 . lg x2 + 1 − 5x2 = 0

(2.14)

Giải:
Đặt t = lg x2 + 1 , điều kiện t ≥ 0 vì x2 + 1 ≥ 1 nên lg x2 + 1 ≥ 0.
(2.14) ⇔ t2 + x2 − 5 t − 5x2 = 0

2
2
t=5
∆ = x2 − 5 + 20x2 = x2 + 5 ⇒ 
t = −x2
√
+ Với t = 5 ⇔ lg x2 + 1 = 5 ⇔ x2 + 1 = 105 ⇔ x = ± 9999.

 lg x2 + 1 = 0
2
2
2
+ Với t = −x ⇔ lg x + 1 = −x ⇔  2
⇔ x = 0.
x =0
√
Vậy phương trình có ba nghiệm là: x = ± 9999; x = 0.
2.1.2.2.2

Dùng ẩn phụ chuyển phương trình lôgarit thành một hệ phương trình với một

(theo [2]).
Phương pháp chung: Bên cạnh phương pháp đặt ẩn phụ trên, ta có thể sử
dụng phương pháp “chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn là một ẩn phụ và
ẩn x” bằng cách thực hiện theo các bước sau:
Bước 1 : Biến đổi phương trình về dạng: f [x, ϕ (x)] = 0.
Bước 2: Đặt t = ϕ (x), ta biến đổi phương trình thành hệ:
 t = ϕ (x)
 f (x, t) = 0

ẩn phụ và một ẩn x

Ví dụ 2.1.2.8 Giải phương trình sau:

3log3 1 +

√

x+

√
3

x = 2log2

(2.15)

Giải:

Điều kiện: x > 0.
√
√
√
Đặt: t = 3log3 (1 + x + 3 x) = 2log2 x, suy ra phương trình (2.15) được viết
23


lại
dạng:
 dưới√
 2log
x=t




2

√
t
x = 22
√
√
3
1 + x + 3 x = 3t

⇔
√
√

3log3 (1 + x + 3 x) − t = 0

 x = 2t
(1)
√ t
√ t
√ t
⇔
2 + 32 = 33
(2)
1+
√
t
Chia hai vế của (2) cho 3 3 ta được:


1
√
3
3

t

+

√
t
2
√
3

3

+

√
t
3
2
√
3
3

= 1.

(3)

Ta thấy: Vế trái là hàm nghịch biến, hơn nữa t = 12 là nghiệm của (3).
Áp dụng định lí: Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b), nếu f (x) là hàm
đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) và tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0 thì
x = c là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = 0 trên (a; b)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 212 .
Bài tập tương tự:
√
4
1) log2 3 x + 3 log2 x = .
3
2) log23 (x + 1) + (x − 5) log3 (x + 1) − 2x + 6 = 0.
3) log3x+7 9 + 12x + 4x2 + log2x+3 6x2 + 23x + 21 = 4.
Hướng dẫn:
1) Đặt t = 3 log2 x, đưa phương trình lôgarit về phương trình với một ẩn phụ.

2) Đặt ẩn phụ không toàn phần: đặt t = log3 (x + 1).
3) Tương tự ví dụ 10.
2.1.3

Phương pháp hàm số

2.1.3.1

Giải phương trình logarit bằng việc sử dụng tính chất liên tục của hàm số

(theo [2])
Phương pháp chung: Cho phương trình f (x) = 0, để chứng minh phương
trình có k nghiệm phân biệt trong [a; b], ta áp dụng định lí sau:
Định lý 2.1.1 (định lí hàm số liên tục)

Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a)f (b) < 0, thì tồn tại ít nhất
một điểm c(a; b) sao cho f (c) = 0.
Khi đó ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn các số a < T1 < T2 < ... < Tk−1 < b chia đoạn [a; b] thành k
khoảng thỏa mãn:

24








f (a).f (T1 ) < 0
.
...



 f (T
k−1 ).f (b) < 0
Bước 2: Kết luận.
Ví dụ 2.1.3.1 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:

log2 (2x + 1) = 2x−1
Giải:
1
Điều kiện: 2x + 1 > 0 ⇔ x > − .
2
(2.16) ⇔ log2 (2x + 1) − 2x−1 = 0.

(2.16)

(1)

1
Xét hàm số f (x) = log2 (2x + 1) − 2x−1 liên tục trên TXĐ là − ; +∞ .
2
1
3
Ta có: f (0) = − ; f (1) = log2 3 − 1 = log2 .
2
2

Suy ra f (0).f (1) < 0 nên (2) có 1 nghiệm x0 ∈ (0; 1).
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.
2.1.3.2

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình lôgarit

Phương pháp chung: Ta sử dụng các tính chất sau:
Tính chất 1. Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a; b) thì phương trình
f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b).
Phương pháp áp dụng
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f (x) = k.
Bước 2: Xét hàm số y = f (x).
Dùng lập luận khẳng định hàm số là đơn điệu (giả sử đồng biến).
Bước 3: Nhận xét:
+ Với x = x0 ⇔ f (x) = f (x0 ) = k, do đó x = x0 là nghiệm.
+ Với x > x0 ⇔ f (x) > f (x0 ) ⇔ f (x) > k, do đó phương trình vô nghiệm.
+ Với x < x0 ⇔ f (x) < f (x0 ) ⇔ f (x) < k, do đó phương trình cũng vô
nghiệm.
Bước 4: Kết luận: Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Tính chất 2 . Nếu hàm f tăng trong khoảng (a; b) và hàm g là hàm hằng hoặc
là một hàm giảm trong khoảng (a; b) thì phương trình f (x) = g(x) có nhiều nhất
một nghiệm thuộc khoảng (a; b) (do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a; b) : f (x0 ) = g(x0 ) thì
đó là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) = g(x)).
Tính chất 3 . Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a; b) thì:
f (u) = f (v) ⇔ u = v, ∀u; v ∈ (a; b) .
25