ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO 10 MÔN TOÁN (Sinh hoat CD cum 20 5 2011)

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

KẾ HOẠCH ÔN TẬP
1. Thời gian ôn tập:
6 tuần x 6 buổi x 2 tiết = 72 tiết
2. Thời lượng:
- Phần đại số: 30 tiết
- Phần hình học: 30 tiết
- Phần kiểm tra, chấm, trả bài kiểm tra: 12 tiết
PHẦN ĐẠI SỐ
Chủ đề 1: Căn bậc hai – căn bậc ba:

7 tiết

Chủ đề 2: Hàm số và đồ thị hàm số:

6 tiết

Chủ đề 3: Phương trình - Bất phương trình bậc nhất:

7 tiết

Hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn.
Chủ đề 4: Phương trình bậc hai một ẩn - Hệ thức Vi-ét:

6 tiết

Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình:

2 tiết

Chủ đề 6: Bất đẳng thức - Cực trị:

2 tiết

NỘI DUNG ÔN TẬP

Chủ đề 1: Căn bậc hai – Căn bậc ba.
I. Kiến thức cơ bản:
1. C¨n bËc hai:
* Điều kiện để căn thức có nghĩa:
A Có nghĩa khi A ≥ 0
* Các công thức biến đổi căn thức:
1)
2)
3)

 A, A ≥ 0
A2 = A = 
− A, A < 0
AB = A. B ( A ≥ 0; B ≥ 0)
A
=
B

A
B

( A ≥ 0; B > 0)

4)

A2 B = A B

5)
6)

A B = A2 B

( A ≥ 0; B ≥ 0)

2

A B =− A B

( A < 0; B ≥ 0)

AB

( AB ≥ 0; B ≠ 0)

7)

A 1
=
B B

( B ≥ 0)

Trang 1


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10
A
A B
=
( B > 0)
8)
B
B

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

C
C ( A mB )
=
A − B2
A±B

9)

C
C( A m B )
=
A − B2
A± B

( A ≥ 0; A ≠ B 2 )

( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B )

3. Căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a.
Kí hiệu là 3 a .

( a)
3

3

= 3 a3 = a

- Mỗi số thực a đều có duy nhất 1 căn bậc ba.
+ Căn bậc ba của số dương là số dương.
+ Căn bậc ba của số âm là số âm.
+ Căn bậc ba của số 0 là số 0.
- Nếu a < b thì 3 a < 3 b
Với a, b bất kì thì 3 a . 3 b = 3 a.b .
Với a, b bất kì thì

3

a 3a
=
(b ≠ 0)
b 3b

* Phần kiến thức cơ bản và 8 ví dụ sử dụng ở sách ôn tập từ trang 3 đến trang 6.
II. Bài tập vận dụng:

Dạng 1: Dạng toán tìm điều kiện xác định của biểu thức:
Bài 1.
a) 1 + 2 x
d)

b) 2 − x

−3
3x − 1

e)

x+2
+ − 2 + 2x
x−2

h) x 2 + x + 1
k) x 2 − 2
Dạng toán 2: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức:
Bài 2 và Bài 2, bài 4: Sách ôn tập vào 10.
Bài 5. Thực hiện phép tính.
1) 6 12 − 20 − 2 27 + 125
2) (5 6 − 4 10 + 7 30 ) : 2
3) (5 3 − 3 5 ) : 15
4)

2− 3

+

3+ 2

2+ 3
3− 2
5 2 −2 5
6
−
5)
5− 2
2 − 10
1
2
+
6) 2 +
5+2 6
8 + 2 15

Trang 2

c)

1
2x − 1

g) x 2 + 1


Đề cơng ôn tập vào 10

Tổ KHTN trờng THCS Đại Đồng

7) 7 2 2 18 + 18 128
8) 13 + 30 2 + 9 + 4 2
9)

3
3 +1 1



3
3 +1 +1

Dng toỏn 3: Tớnh giỏ tr ca biu thc.
Bi 6: Sỏch ụn tp vo 10 (Tr 11)
Dng toỏn 4: Chng minh ng thc.
Bi 7. Chng minh cỏc ng thc sau:
6 2 5
1

.
= 3
ữ
ữ
5 5 2
1 3
1
2 3
3
1

ữ:
+
=
b)
2
2 ữ
2 3
2 3 3
2+ 3
2 3
+
= 2
c)
2 + 2+ 3
2 2 3

a)

d)

a a +b b
ab =
a+ b

(

a b

)

2

(vi a > 0, b > 0)

Bi 8. Sỏch ụn tp Tr 11 (dnh cho HS khỏ gii)
Bi 16. Sỏch ụn tp Tr 13 (dnh cho HS khỏ gii)
Dng toỏn 5: Gii phng trỡnh vụ t.
Bi 9. Sỏch ụn tp Tr 12
Bi 10. Gii cỏc PT sau:
a) 2 x + 1 = 5a 3
b) x 2 + 2 x + 1 = 2 x 4
c) x 2 2 x + 1 = 3
Dng toỏn 6: Bin i biu thc hu t.
- S dng bi 11, bi 12, bi 14 (Sỏch ụn tp Tr12, 13)
* Ghi chỳ: Phn cõu hi trc nghim s sng ni dung sỏch ụn tp, cho HS lm vo 15
u gi hoc cui mi bui ụn tp.
III. Phn b sung:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:
1
1
+
3 2
3+ 2
1
1
B=

7 24 + 1
7 + 24 1

A=

Trang 3


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10
3+ 3
3− 3
C = (2 +
).(2 +
)
3 +1
1− 3

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

D = 15 − 6. 6 + 33 − 12. 6
E = 13 + 30. 2 + 9 + 4. 2
F=

(5 + 2. 6).(49 − 20. 6). 5 − 2. 6
9. 3 − 11. 2

Ví dụ 2: Cho M =

− a −a+6
3+ a

a) Rút gọn M
b) Tìm a để M ≥ 1

c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Giải
a) ĐK: a ≥ 0
M=

−a− a +6

=

(

( a + 3) 2 − a

) = 2−

a
a +3
Vậy với a ≥ 0 thì M = 2 - a
2 − a ≥ 1
 a ≤1
⇔
⇔
b) Để M ≥ 1 ⇔ 2 − a ≥ 1 ⇔ 
 a −2 ≥1
 a ≥3
0 ≤ a ≤ 1
Vậy M ≥ 1 ⇔ 
 a≥9
a +3

c) M = 2 - a ≤ 2 Vậy Max M = 2 ⇔ a = 0
VÝ dô 3: Chøng minh ®¼ng thøc:
a )2 2.( 3 − 2) + (1 + 2 2) 2 = 9
b)(4 + 15).( 10 − 6). 4 − 15 = 2
c) 2 + 3 + 2 − 3 = 6
d )  (2 + 3).(2 − 3)  : ( 5 − 2) = ( 5 + 2)

Bài tập vận dụng phần bổ sung
Bài 1: Rút gọn biểu thức
3+ 5
3− 5
−
P=
10 + 3 + 5
10 + 3 − 5
Bài 2: Rút gọn biểu thức
a) A = 4 + 7 − 4 − 7
b) B =

4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

c) C =

4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5
Trang 4

a ≤ 1
a ≥ 9


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Ví dụ 4: Cho biểu thức
 a − 25a
  25 − a
a −5
a + 2

− 1 : 
−
−
M = 

a
−
25
a
+
3
a
−
10
2
−
a
a
+

5

 

a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M < 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Giải
a) ĐK: a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25


M= 


M=
M=

(

a

(

a −5
−5
a +5

)(

(

)

(

25 − a
a +5

)(

a −2

)

+

a −5
a −2

−

a + 2

a + 5

 25 − a + a − 25 − a + 4 

a +5 a −2



a +5 a −2 
5
=

4−a
a +2


:


.
a +5 
−5

)

 
− 1 : 
a +5
 

a −5

(

)(

)(

)

)

Vậy với a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 thì M =
b) Để M < 1 ⇔

5

a +2
5
5
5− a −2
−1 < 0 ⇔
<0
<1 ⇔
a +2
a +2
a +2
(Vì a + 2 > 0 )
⇔ 3− a < 0
⇔ a >3⇔a>9

Vậy với a > 9; a ≠ 25 Thì M < 1
c) Để M đạt giá trị lớn nhất ⇔

5
a +2

lớn nhất ⇔ a + 2 nhỏ nhất

Vậy với a = 0 thì M đạt giá trị lớn nhất
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho biểu thức
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
P=
x +3
x + 2 x − 3 1- x
a) Rút gọn P
b)Tìm các giá trị của x sao cho P =
c) Chứng minh P ≤

1
2

2
3

Bài 2: Cho biểu thức
3a + 9a − 3
a +1
a −2
−
+
P=
a+ a −2
a + 2 1− a
a) Rút gọn P.

Trang 5

⇔ a =0


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 3: Cho biểu thức

a
1   1
2 
−
:
+
P= 

 
 a −1 a − a   a + 1 a −1
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 4: Cho biểu thức
 4 x
8x   x − 1
2 
+

:
−
P = 
 
x 
2+ x 4−x  x −2 x
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c)T ìm m để với mọi giá trị x >9 ta có m( x - 3)P > x + 1.
Bài 5: Cho biểu thức

y + xy   x
y
x + y 
:
+
−
P =  x +
x + y   xy + y
xy + x
xy 

a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 - 2 3
Bài 6: Cho biểu thức :

a) Rút gọn A.
b) Tìm x có giá trị nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức

P=

x+2
x +1
x +1
+
x x −1 x + x +1
x −1

a) Rút gọn P
b) Chứng minh: P <

1
với x ≥ 0 với x ≠ 1.
3

Bài 8: Cho biểu thức
 x −2
  1 − x 2
x
+
2
.

−
P = 
  2 
x
−
1

x
+
2
x
+
1



a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
Trang 6


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

c) Tìm GTLN của P.
Bài 9: Chứng minh giá trị của biểu thức
2x
5 x +1
x + 10
+
+
P=
x +3 x +2 x +4 x +3 x +5 x +6
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 10: Cho biểu thức
 x x +1 x −1

−
A = 
 x −1

 
: x +
x − 1  

x 
 với x > 0 và x ≠ 1
x − 1 

a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3
Bài 11: Cho biểu thức
 a+ b
a − b   a + b + 2ab 
+
 : 1+
1 − ab 
1 + ab  
 1 − ab

M= 

a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M với a =

2
2− 3

c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Bài 12: Cho biểu thức
P=

x2 − x
2x + x 2(x −1)
−
+
x + x +1
x
x −1

a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P

c) Tìm x để biểu thức Q =

2 x nhận giá trị là số nguyên.
P

Bài 13: Cho biểu thức
 2x x + x − x x + x 
x −1
x
⋅
−
+
P = 


x − 1  2x + x − 1 2 x − 1
x x −1

a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
Bài14:Chobiểuthức


x −1
−
 x+3 x −4

P = 

x + 1 x + 2 x + 1
:
+1
x −1
x − 1 

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của P
Trang 7


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Bài 15: Cho biểu thức
A=(

1
x −1

+

1
x +1

)2.

x2 −1
− 1− x2
2

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
c) Giải phương trình theo x khi A = -2
Bài 16: Cho biểu thức
A=(

2 x+x
x x −1

−


x +2 


) : 
x − 1  x + x + 1 
1

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x = 4 + 2 3
Bài 17: Cho biểu thức
A=

x +1

:

1

x x + x + x x2 − x

a) Rút gọn biểu thức A
b) Coi A là hàm số của biến x, vẽ đồ thị hàm số A
Bài 18: Cho biểu thức
1   1
1 
1
 1
A= 
+
−
÷: 
÷+

 1- x 1 + x   1 − x 1 + x  1 − x

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 19: Cho biểu thức
 a a −1 a a +1  a + 2
−
÷
÷: a − 2
a
−
a
a
+
a



M = 

a) Với giá trị nào của a thì M xác định
b) Rút gọn M
c) Với giá trị nguyên nào của a thì M có giá trị nguyên
Bài 20: Cho biểu thức
P=

1+ 1− a
1− 1+ a
1

+
+
1− a + 1− a 1+ a − 1+ a
1+ a

a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn dương với mọi a
Bài 21:Cho biểu thức

Trang 8


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10
 a +1

a −1
1 
−
+ 4 a  a −

A = 
a
−
1
a
+
1
a






Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

a) Rút gọn A.
b) Tính A với a=(4 + 15 )( 10 - 6 ) 4 − 15
Bài 22: Cho biểu thức
P=

a +3
a −1 4 a − 4
−
+
4−a
a −2
a +2

(a>0;a

≠ 4)

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi A = 9
Bài 23: Cho biểu thức
P=

1+ 1− x
1− 1+ x
1

+
+
1− x + 1− x 1+ x + 1+ x
1+ x

a) Rút gọn P.
b) So sánh P với

2
.
2

Bài 24: Cho biểu thức
1
3
2
−
+
P=
x +1 x x +1 x− x +1
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 25: Cho biểu thức
2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
P=
a−5 a +6
a − 2 3− a

a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
*

*
*

Chủ đề 2: Hàm số và đồ thị hàm số
I. Kiến thức cơ bản:
(Theo nội dung kiến thức cơ bản trong sách ôn tập trang 19, 20.)
1. Hàm số bậc nhất :
a. Dạng tổng quát: y = ax + b
(a ≠ 0 )
b. Tính chất :
+ Đồng biến nếu a > 0
+ Nghịch biến nếu a < 0
Trang 9


Đề cơng ôn tập vào 10

Tổ KHTN trờng THCS Đại Đồng

c. th : L mt ng thng ct trc tung ti im cú tung bng b, ct trc honh
ti im cú hong bng

b
.
a

d. S tng giao ca hai th hm s bc nht:
Cho hai hm s : y = ax + b (d)
y = ax + b (d)
+ Nu a a
(d) ct (d)
+ Nu a = a; b b (d) // (d)
+ Nu a = a; b = b (d) (d)
+ Nu a.a = -1
(d) (d)
2
2. Hm s y = ax (a0)
a. Tớnh cht :
+ Vi a > 0 : - Hm s ng bin nu x > 0
- Hm s nghch bin nu x < 0
+ Vi a < 0 : - Hm s ng bin nu x < 0
- Hm s nghch bin nu x > 0
b. th :
L mt ng cong (Parabol) nhn trc tung l trc i xng, tip xỳc vi trc
honh ti gc to .
+ Nm phớa trờn trc honh nu a > 0
+ Nm phớa di trc honh nu a < 0
c. S tng giao ca th hm s bc nht y = ax + b (d) vi th hm s y = ax2
(P):
+Nu (d) ct (P) ti hai im phõn bit pt hoành độ giao điểm của (d) và (P)
2
ax = ax+b cú hai nghim phõn bit
+ Nu (d) Tip xỳc (P) pt hoành độ giao điểm của (d) và (P) ax2 = ax + b cú
nghim kộp
+ Nu (d) v (P) khụng cú im chung a pt hoành độ giao điểm của (d) và (P)

2
x = ax+b vụ nghim
II. Mt s bi toỏn vớ d:
- Vớ d 1: Sỏch ụn tp trang 20.
- Vớ d 2: Sỏch ụn tp trang 20.
Bi toỏn 1: Lp phng trỡnh ng thng cú h s gúc k cho trc v i qua im
M (x0 ; y0):
Cỏch gii:
- Nờu dng phng trỡnh ng thng : y = ax + b
- Thay a = k v to im M (x0; y0) vo phng trỡnh ng thng tỡm b
Phng trỡnh ng thng cn lp
Vớ d 1:
Lp phng trỡnh ng thng i qua M (2;-3) v song song vi ng thng y = 4x
Gii
Trang 10


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng
y = ax + b (a ≠ 0)
song song với đường thẳng y = 4x  a = 4.
Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b  b = -11
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11
Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1;y1)và B (x2 ; y2 ):
 Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng ta ®îc hÖ pt :

 y1 = ax1 + b

 y2 = ax2 + b

+ Giải hệ phương trình tìm a và b
⇒ Phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ 2 : Lập phương trình đường thảng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4).
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b
Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b
(1)
Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2)
⇒ 1 – 2a = 3a – 4
⇒ 5a = 5  a = 1.
Thay a = 1 vào (1)  b = -1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x -1
Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong
y = a’x2 (P)
 Cách giải
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (a ≠ 0) (d)
+ Theo bài ra a = k
+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình:
a’x2 = kx + b có nghiệm kép  Δ = 0 (*)
Giải (*) tìm b
Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ 3: Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc
với parabol y = -x2
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:

y = ax + b. song song với đường thẳng y = 2x + 1  a = 2.
Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình :
- x2 = 2x + b có nghiệm kép
 x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép
 Δ’ = 1 – b ; Δ = 0  1 – b = 0  b = 1
Trang 11


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1
Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) và tiếp xúc với
đường cong y = a’x2 (P)
 Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Đi qua M (x0; y0) nên  y0 = a.x0 + b
(1)
2
+ Tiếp xúc với y = a’x nên phương trình :
a’x2 = ax + b có nghiệm kép  Δ = 0 (2)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b
 phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ 4 : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x2.
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b. Đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1)
Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình :
2x2 = ax + b có nghiệm kép

⇔ 2x2 – ax – b = 0 có nghiệm kép
⇒ Δ = a2 + 8b . Δ = 0 ⇔ a2 + 8b = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: -a + b = 2 (1)
a2 + 8b = 0 (2)
Từ (1) ⇒ b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được :
a2 + 8a + 16 = 0 ⇔ (a + 4)2 = 0  a = - 4
Thay a = - 4 vào (*) ta được b = - 2
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2
III. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1 : Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2
a) CMR hàm số nghịch biến trong (-∞; 0), đồng biến (0; +∞) với mọi m.
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua (1; 5)
Bài tập 2: Cho hàm số y = ax2 (P)
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua (-4; 8). Vẽ đồ thị trong trường hợp đó
b) Xác định a để đường thẳng y = 2x + 3 cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Bài 3: Cho hàm số y = 2x2
(P)
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Tuỳ theo m, hãy xác định số giao điểm của (P) với đường thẳn (d) có phương
trình:
y = mx – 1
d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) và đi qua A(0; -2)
1
2

Bài 4: Cho parabol y = x2

(P)

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; 3) và B(2; 6)
Trang 12


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

b)Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với (P)
Bài 5: Cho đường thẳng có phương trình :
2(m - 1)x + (m - 2)y = 2
(d)
a) Xác định m để đường thẳng cắt parabol y = x2 tại hai điểm phân biệt
b) CMR đường thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
Bài 6: Cho parabol y =

1 2
x
2

(P)

a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Xác định m để đường thẳng y = x – m cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm toạ độ
giao điểm với m = -2
c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua A (2; -1)
Bài 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + n
(d)
a) Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng (d) đi qua hai điểm A (-1; 2) và B (3;
-4)

b) Xác định m và n để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 1 - 2 và cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ là 2 + 2
Bài 8: Cho parabol y = ax2 (P)
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 8)
b) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = -x + 2 tiếp xúc với (P)
Bài 9: Cho parabol y = x2 – 4x + 3
(P)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và có hệ số góc k
b) CMR đường thẳng vừa lập luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của
k.
Bài 10: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx -1 d)
Hãy tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P). Khi đó hãy tìm toạ độ
tiếp điểm.
Bài 11: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – 1
a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?
b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi
giá trị của m
c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số. Xác định m và vẽ đồ thị của hàm số
ứng với m vừa tìm được
Bài 12: Cho hàm số y =

1 2
x và y = 2x – 2
2

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị
Bài 13: Cho hàm số y = -2x2 (P)
a) Vẽ đồ thị hàm số trên
b) Một đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm (0; -4), cắt trục hoành tại điểm (2; 0).

Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)
Trang 13


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10
1
Bài 14: Cho hàm số y = x2
2

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

(P)

a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = -x + m cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Xác định toạ độ giao điểm trong trường hợp m =

3
2

c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi qua A (1; -4). Tìm toạ độ
tiếp điểm
Bài 15: Cho hàm số y = 2x2
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các giá trị của x để 2x2 -3x + 5 < -x + 17

Chủ đề 3: Phương trình – Bất phương trình bậc nhất.
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
I. Kiến thức cơ bản:
1. Phương trình – Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn số:

- Sử dụng nội dung kiến thức và 3 ví dụ minh hoạ sách ôn tập trang 29 – 30.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Sử dụng nội dung kiến thức và 3 ví dụ minh hoạ sách ôn tập trang 34, 35, 36.
 ax + by = c
a ' x + b ' y = c '

 Dạng tổng quát : 

 Số các nghiệm của hệ:

a b
≠ ⇔ Hệ có nghiệm duy nhất
a ' b'
a b c
+ Nếu = ≠ ⇔ Hệ vô nghiệm
a ' b' c '
a b c
+ Nếu = = ⇔ Hệ có vô số nghiệm
a ' b' c '

+ Nếu

 Một số phương pháp giải hệ phương trình:
a. Phương pháp thế:
- Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn
(chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia
- Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y
- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x
KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được
Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :

2 x + 3 y = 6
 x+ y =3

a) 

(1)
(2)

Từ phương trình (2) ta có: x = 3 – y (*)
Thay x = 3 – y vào phương trình (1) ta được :
2(3 - y) + 3y = 6
6 – 2y + 3y = 6 ⇒ y = 0
Thay y = 0 vào phương trình (*) ta được : x = 3
Trang 14


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång
x = 3
y = 0

Vậy nghiệm của hệ là: 
 2x + y = 5
4 x − 5 y = 3

(1)
(2)

b) 

Từ phương trình (1) ta có : y = 5 – 2x (*)
Thay y = 5 – 2x vào phương trình (2) ta được :
4x – 5 (5 – 2x) = 3
4x -25 + 10x = 3
14x = 28 ⇒ x = 2
Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2 ⇒ y = 1
x = 2
y =1

Vậy nghiệm của hệ là : 

b. Phương pháp cộng :
- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn
- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử
- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại
KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau :
 x + 2 y = 14
− x + 3 y = −9

a) 

(1)
(2)

Cộng từng vế của hệ ta được : 5y = 5 ⇒ y = 1
Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được :
x + 2.1 = 14 ⇒ x = 12

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (12; 1)
− 3 x + 4 y = 11
 5x + 4 y = 3

(1)
(2)

b) 

Trừ từng vế của hệ ta được : -8x = 8 ⇒ x = −1
Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được:
5.(-1) + 4y = 3 ⇔ 4y = 8 ⇒ y = 2
 x = −1
y=2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
c. Chú ý :
 ax + by = c
a ' x + b ' y = c '

Với hệ phương trình 

+Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế
+Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ
+Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế
+ Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ± 1 và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm
BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’)
Trang 15

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

Chú ý 2 : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều
kiện α nào đó ta làm như sau:
+ Coi tham số như số đã biết
+ Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số
+ Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu thức chứa tham số
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau :
 4 x + 3 y = −1
3 x − 2 y = 12

a) 

(1)
(2)

Giải
8 x + 6 y = −2
9 x − 6 y = 36

Nhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với 3 ta được : 
Cộng từng vế của hệ ta được : 17x = 34 ⇒ x = 2
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được :
4.2 + 3y = -1
⇒ 3 y = −9 ⇒ y = −3

x=2
 y = −3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : 
5 x − 4 y = −6
3 x − 2 y = −4

(1)
(2)

b) 

Nhân phương trình (2) với 2 ta được :
5 x − 4 y = −6

6 x − 4 y = −8

Trừ từng vế của hệ ta được : -x = 2 ⇒ x = −2
Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được:
5.(-2) – 4y = -6
- 4y = 4 ⇒ y = −1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (-2; -1)
VÝ dô 4: Cho hệ phương trình:
 x − 2y = 0

mx − 3 y = 2

(1)
(2)

a) Giải hệ với m = -2
b) Tìm m để hệ có nghiệm dương

Giải
 x − 2y = 0
− 2 x − 3 y = 2

a) Với m = -2 ta có hệ : 

(1)
(3)

Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được:
-2.2y – 3y = 2 ⇒ y = −

2
4
thay vào (*) ⇒ x = −
7
7

Trang 16


Đề cơng ôn tập vào 10
4

x = 7
Vy nghim ca h l :
2
y =
7

Tổ KHTN trờng THCS Đại Đồng

b)T (1) ta cú : x = 2y (*) thay vo phng trỡnh (2) ta c:
m.2y 3y = 2 y (2m 3) = 2 y =

2
2m 3

4
2m 3
4
2m 3 > 0
x > 0

2m 3 > 0
h cú nghim
2
y > 0

>0
2m 3
3
m>
2
3
Vy vi m > thỡ h phng trỡnh cú nghim dng
2

Thay vo (*) ta c : x =

Ví dụ 5: Cho hệ phơng trình:
x y = 3

mx + y = m

Tìm giá trị của m để:
a) Hệ pt có nghiệm x=2; y= -1
b) Hệ pt có một nghiệm duy nhất
c) Hệ pt có vô số nghiệm
d) Hệ pt vô nghiệm
Giải
a) Thay x và y bằng các giá trị tơng ứng đã cho vào hệ pt
b) Hệ pt có một nghiệm duy nhất khi:
c) Hệ pt có vô số nghiệm khi :

1 1

m 1
m 1
1 1 3
=
= Không có giá trị nào của m để hệ pt
m 1 m

có vô số nghiệm

1 1 3
=
m = 1

m 1 m
(m 1) x + y = 3m 4
Ví dụ 6: Cho hệ phơng trình
x + (m 1) y = m

d) Hệ pt vô nghiệm khi :

a) Giải hệ pt với m =-1
b) Tìm giá trị của m để hệ pt có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = 3
Giải
a) Thay m = -1 vào hệ pt và giải
b) Coi m nh một số đã biết, giải hệ pt tìm nghiệm x và y theo tham số m
Trang 17


Đề cơng ôn tập vào 10

3m 2
m2
;y=
)
Vơí m 0; m 2 hệ pt có nghiệm ( x =
m
m
4m 4
= 3 m = 4 ( Thỏa mãn đk )
Theo đề bài có x + y = 3
m

Tổ KHTN trờng THCS Đại Đồng

Vậy với m = 4 thì hệ pt có nghiệm duy nhất thỏa mã đk x+ y = 3
Ví dụ 7: Cho hệ pt

mx y = 2

3 x + my = 5(m 0)

a) Giải hệ pt với m = 2
b) Tìm m để hệ pt có một nghiệm duy nhất thỏa mãn đk : x + y < 1
Giải
a) Thay giá trị của m vào hệ pt và giải
b) Coi m nh một số đã biết, giải hệ pt trình tìm nghiệm theo m
Hệ pt có nghiệm: ( x =

2m + 5
5m 6
;y= 3
)
2
m +3
m +3

7
33
m 2 7m + 4 > 0 (m )2 >
2
4
Theo đề bài có : x + y < 1
7 + 33

7 33
m>
;m <
2
2

Mt s bi tp t luyn
Bi 1: Gii cỏc h phng trỡnh sau:
2 x + 3 y = 8
3x y = 1

a)

7 x 5 y = 17
6 x + 5 y = 4

b)

12 x + 7 y = 5
9 x 5 y = 14

c)

Bi 2: Cho h phng trỡnh
2 x + 3 y = a

5x y = 1

a) Gii h phng trỡnh vi a = 2
b) Gii h vi a bt k

c) Tỡm a h cú nghim dng
Bi 3: Cho h phng trỡnh
4x 3y = 6

5 x + ay = 8

a) Gii h phng trỡnh vi a = 3
b) Tỡm giỏ tr ca a h co nghim õm duy nht
Bi 4: Cho h phng trỡnh
3 x + (m 1) y = 12

(m 1) x + 12 y = 24

a) Gii v bin lun h phng trỡnh
Trang 18


Đề cơng ôn tập vào 10

Tổ KHTN trờng THCS Đại Đồng

b) Tỡm m h cú mt nghim sao cho x < y
Bi 5: Cho h phng trỡnh
(a + 1) x y = 3

ax + y = a

a) Gii h vi a = 2
b) Xỏc nh giỏ tr ca a h cú nghim x + y > 0
Bi 6: Cho h phng trỡnh

2 x + (m 4) y = 16

(4 m) x 50 y = 80

a) Gii v bin lun h phng trỡnh
b) Tỡm m h cú mt nghim x +y >1
Bi 7: Cho h phng trỡnh
mx + my = 3

(1 m) x + y = 0

a) Gii h vi m = 2
Bi 8: Cho h phng trỡnh

b)Tỡm m h cú nghim õm

( a + b) x + ( a b) y = 1

(2a b) x + (2a + b) y + 2

a) Gii h vi a = 2 v b = 1
b) Tỡm tt c cỏc cp giỏ tr nguyờn ca a v b h cú nghim nguyờn
Bi 9: Cho h phng trỡnh:
ax + y = 3a 1

x + ay = a + 1

a) Gii v bin lun h phng trỡnh trờn
b) Tỡm giỏ tr nguyờn sao cho nghim ca h cú giá trị nguyờn
Bi 10: Cho h phng trỡnh:

2 x + ay = b + 4

ax + by = 8 + 9a

Xỏc nh a, b h cú nghim x = 3; y = -1

Ch 4: Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh v h phng trỡnh
- Dy theo ni dung kin thc, 2 vớ d v h thng bi tp trong sỏch ụn tp t trang 44 n
trang 47.

Ch 5: Phng trỡnh bc hai H thc Vi-ột.
I. Kin thc c bn:
- Dy theo ni dung kin thc v 6 vớ d trong sỏch ụn tp t trang 52 n trang 56.
1. Dng tng quỏt: ax2 + bx + c = 0 (a 0 )
Trong ú x l n, a, b, c l cỏc h s
2. Cụng thc nghim v cụng thc nghim thu gn:
Trang 19


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

a) Công thức nghiệm:
Với phương trình ax2 + bx + c = 0

(a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c
+ Δ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

+ Δ = 0 ⇒ Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =

−b
2a

+ Δ > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

−b+ ∆
2a

x1 =

−b− ∆
2a

b) Công thức nghiệm thu gọn:
Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Nếu b chẵn. Đặt b = 2b’, ta có
Δ’ = b’2 – a.c
+ Δ’ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm
+ Δ’ = 0 ⇒ Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =
+ Δ’ > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 =

− b'+ ∆ '
a

x1 =

− b'
a

− b'− ∆'
a

c) Cách giải phương trình bậc hai khuyết b và c.
- Phương trình: ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) là PT bậc hai khuyết c.
Cách giải: ax2 + bx = 0
x = 0
x = 0
b
⇔ x(ax + b) = 0 ⇔  ax + b = 0 ⇔ 
x=−

a


- Phương trình ax2 + c = 0 (a ≠ 0) là PT bậc hai khuyết b.
Ví dụ1: Giải phương trình x2 – 2 = 0 ⇔ x2 = 2 ⇒ x1 = 2 , x2 = - 2
Giải PT: - 4x2 + 1 = 0 ⇔ -4x2 = -1 ⇔ 4x2 = 1⇔ x2 =

1
1
1
⇒ x1 = , x2 = 4
2
2

Phương trình x2 + 2 = 0 : vô nghiệm.

Ví dụ 2: trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn số:
a) x3 + 3x + 5 = 0
b) x2 – 7 = 0
c) 2x2 – 3x + 1 = 0
d) x – 5 = 0
Đáp án : Phương trình : b, c là các phương trình bậc hai
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) 3x2 – 2x + 1 = 0
Trang 20


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

2

Δ = (-2) – 4.3.1 = 4 – 12 = - 8 ; Δ < 0
⇒ Phương trình vô nghiệm
b) 4x2 -12x + 9 = 0
Δ = (-12)2 -4.4.9 = 144 – 144 = 0
⇒ Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 =

12 3
=
8 2

c) -2x2 +5x + 3 = 0
Δ = 52 – 4 . (-2). 3 = 25 + 24 = 49; ∆ = 7
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

−5+7
1
=−
−4
2

x2 =

−5−7
=3
−4

3. Hệ thức vi ét – Áp dụng:
a) Định lý vi ét:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
x1 + x2 =
x1.x2 =

−b
a

c
a

b) Áp dụng : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
+ Nếu a + b + c = 0 th ì x1 = 1; x2 =

c
a

+ Nếu a – b + c = 0 th ì x1 = -1; x2 =

−c
a

+ Nếu có hai số x1, x2 sao cho
x1 + x2 = S; x1.x2 = P ( v ới P2 – 4S ≥ 0)
Thì x1, x2 là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0
Ví dụ 1: a) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 17 và tích của chúng bằng 72.
Giải
Gọi x1, x2 là hai số cần tìm. Ta có: x1 + x2 = 17
x1. x2 = 72
Vậy x1, x2 phải là nghiệm của phương trình : X2 – 17X + 72 = 0
Δ = (-17)2 - 4.72 = 289 – 288 = 1
x1 = (17+ 1) : 2 = 9;
x2 = (17 - 1) : 2 = 8
Vậy hai số cần tìm là 8 và 9
b) Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là -3 và 7.
Giải
Ta có : x1 + x2 = -3 + 7 = 4
x1 . x2 = -3 . 7 = -21
Vì 42 – 4 . (-21) ≥ 0
Vậy x1 , x2 là nghiệm của phương trình : x2 – 4x – 21 = 0
II. Bài tập vận dụng:
- Sử dụng các bài tập trong sách ôn tập trang 59, 60.
Trang 21

§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

* Bổ sung:
1. Bài tập về số nghiệm của phương trùnh bậc hai:
Với phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Δ = b2 – 4.a.c
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0 (Δ’ > 0)
+ Phương trình có nghiệm kép
⇔ Δ = 0 (Δ’ = 0)
+ Phương trình vô nghiệm
⇔ Δ < 0 (Δ’< 0)
 a = 0; b ≠ 0

 Chú ý: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có 1 nghiệm ⇔ a ≠ 0; ∆ = 0

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
a) x2 -3mx + m2 – 1 = 0
b) 2x2 + 4x – m = 0
Giải
2
2
2
a) Ta có : Δ = (-3m) – 4.( m – 1) = 9m – 4m2 +4
Δ = 5m2 + 4 > 0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b)Ta có : Δ = 42 – 4.2.(-m) = 16 + 8m
Δ = 16 + 8m > 0 ⇔ m > -2

Vậy với m > - 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 2 : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm kép.
a) (m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = 0
b) 15x2 – 90x + m = 0
Giải
a) ĐK để phương trình :
(m + 7)x2 – 2.(m-9)x – 7m + 15 = 0 là phương trình bậc hai thì : m+ 7 ≠ 0
⇒ m ≠ -7
Ta có:
Δ’ = (m - 9)2 + (m + 7). (7m - 15)
= m2 - 18m + 81 + 7m2 – 15m +49m – 105
Δ’ = 8m2 + 16m – 24 = 8 (m2 + 2m - 3)
Δ’ = 0 ⇔ (m2 + 2m - 3) = 0
⇒ m = 1 hoặc m = -3 (thoả mãn)
Vậy với m = 1 hoặc m= - 3 thì phương trình có nghiệm kép
b) Ta có :
Δ’ = 452 – 15m = 2025 – 15m
Δ’ = 0 ⇔ 2025 – 15m = 0 ⇒ m = 135
Vậy với m = 135 thì phương trình có nghiệm kép
Ví dụ 3: : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm
a) 3x2 – 2x + m = 0
b) x2 + mx + 3 = 0
Giải
Trang 22


§Ò c¬ng «n tËp vµo 10

Tæ KHTN trêng THCS §¹i §ång

2

a) 3x – 2x + m = 0
Để phương trình vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
Ta có : ∆' = 1 − 3m ; ∆' < 0 ⇔ 1 − 3m < 0 ⇒ m >
Vậy với m >

1
3

1
thì phương trình vô nghiệm
3

b) x2 + mx + 3 = 0
Để phương trình vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
Ta có: ∆ = m 2 − 4.3 = m 2 − 12
∆ < 0 ⇔ m 2 < 12 ⇒ − 12 < m < 12
Vậy với - 12 < m < 12 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
(m-4)x2 – 2(m - 2)x + m – 1 = 0
Giải
 a = 0

m − 4 = 0
⇔m=4




b ≠ 0
m − 2 ≠ 0


Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔  a ≠ 0 ⇔ 
m−4 ≠ 0
 ∆ ' = 0
(m − 2) 2 − (m − 4).(m − 1) = 0


2

2

Giải phương trình (*) ta được : m -4m + 4 – m + 5m -4 = 0
⇒m=0

Vậy với m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình : : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
 ∆ ≥ 0
a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔  c > 0
 a

 ∆≥0
 c
b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương ⇔  a > 0

− b > 0
 a


 ∆≥0
 c
c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm ⇔  a > 0

− b < 0
 a

d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0
Ví dụ : Xác định giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu:
a) x2 – 3x + m – 1 = 0
b) x2 – 2mx + 3 = 0
Giải
Trang 23

(*)


Đề cơng ôn tập vào 10

Tổ KHTN trờng THCS Đại Đồng

2

a) x 3x + m 1 = 0
phng trỡnh cú hai nghim cựng du :
0

c > 0
a

9 4m + 4 0
13


m


4
m 1 > 0
m > 1
13
Vy vi 1 < m
thỡ phng trỡnh cú hai nghim cựng du.
4
' 0
m 2 3 0
c

b) phng trỡnh cú hai nghim cựng du > 0
a
3>0

m 3

m 3

3. Bi tp: dng thnh lp mt h thc i xng gia cỏc nghim
Cho phng trỡnh : : ax2 + bx + c = 0
Cỏc h thc i xng vi hai nghim ca phng trỡnh bc hai thng gp :

a) x12 + x22

1

1

c) x + x
1
2

b) x13 + x23

..v..v

Cỏch gii
Bớc 1: Tìm điều kiện để pt bậc 2 đã cho có nghiệm x1 , x2
b

x1 + x2 = a
Bc2:Ap dụng hệ thức Vi-et tính tổng và tích 2 nghiệm
c
x1.x2 =
a


Bc 3:Bin i cỏc h thc i xng ny nh sau :
x12 + x22 = (x1 + x2 )2 2x1x2
x13 + x23 = (x1 + x2 )3 3x1.x2.(x1 + x2)
1 1
x +x

+
= 1 2
x1 x2
x1.x2

Bc 4: Thay tng v tớch hai nghim vo cỏc biu thc i xng
Vớ d : Cho phng trỡnh x2 + mx + 1 = 0
Gi x1, x2 l cỏc nghim ca phng trỡnh. Hóy tớnh:
a) x12 + x22
b) x13 + x23
Gii
Theo vi et ta cú : x1 + x2 = m ; x1.x2 = 1
a) M x12 + x22 = (x1 + x2 )2 2.x1.x2 = m2 - 2
b) x13 + x23 = (x1 + x2 )3 3x1.x2.(x1 + x2)
= m3 3.m
4. Bi tp dng tỡm m phng trỡnh cú hai nghim tho món mt h thc:
Cho phng trỡnh : : ax2 + bx + c = 0
+ Bc 1: Tỡm K phng trỡnh cú hai nghim

Trang 24


Đề cơng ôn tập vào 10

Tổ KHTN trờng THCS Đại Đồng

b

x1 + x2 = a
+ Bc 2: Nờu h thc vi et :

c
x1.x2 =
a


(1)
(2)

+ Bc 3: Nờu h thc ca bi toỏn (3)
+ Bc 4 : gii h gm 2 phng trỡnh sau ú thay vo phng trỡnh cũn li tỡm m.
Vớ d : Cho phng trỡnh: x2 (m + 5)x m + 6 = 0
Xỏc nh giỏ tr ca m nghim x1 , x2 ca phng trỡnh tho món h thc : 2x1 + 3x2 =
13
Giải
Tính biệt thức
= (m + 5) 2 4.(m + 6)
= m 2 + 10m + 25 + 4m 24
= m 2 + 14m + 1

H phng trỡnh cú nghim khi 0 m 2 + 14m + 1 0
m = 49 1 = 48

m1 = 7 + 48; m2 = 7 48
m 7 + 48
thỡ phng trỡnh cú nghim
m 7 48

Vy vi

(*)

Theo vi et ta cú :
x 1 + x2 = m + 5
(1)
Và x1.x2 = 6 m
(2)
Theo bi ra :
2x1 + 3x2 = 13
(3)
x1 + x2 = m + 5

(1)
(3)

Gii h phng trỡnh
2 x1 + 3 x2 = 13
Nhõn phng trỡnh (1) vi 2 ta c
2 x1 + 2 x2 = 2m + 10

2 x1 + 3 x2 = 13

Tr tng v ca h ta c : x2 = 3 2m thay vo phng trỡnh (1) ta c : x1 + 3 2m =
m + 5 x1 = 3m + 2
Thay x1 = 3m + 2 v x2 = 3 2m vo phng trỡnh (2) ta c
(3m + 2). (3 2m) = 6 m
9m 6m2 + 6 4m = 6 m
m = 0

6m2 6m = 0 m = 1 tho món K (*)

Vy vi m = 0 hoc m = 1 thỡ phng trỡnh cú hai nghim tho món :

2x1 + 3x2 = 13

5. Bi tp dng tỡm mt h thc liờn h gia hai nghim khụng ph thuc vo tham s:
Cho phng trỡnh : ax2 + bx + c = 0
Cỏch gii
+ Bc 1: Tỡm K phng trỡnh cú nghim ( 0 hoặc a.c < 0)
Trang 25