Chuyen de RUT GON BIEU THUC Dung cho day va hoc onthi vao THPT

Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
(Dùng Cho dạy và học ôn thi vào THPT)

Các kiến thức cần nhớ
1) Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A+B)2 = A2+2AB+B2
(A-B)2 = Â2-2AB+B2
A2-B2 = (A-B)(A+B)
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)
2) Các công thức biến đổi căn thức:
A2 = A

(Với A0; B0)

AB = A . B

A
A
=
B
B

(Với A0; B>0)

A 2B = A

B

(Với A0; B0)

A B = A 2B
A2B

A B =A
1
=
B
B

AB

A
A B
=
B
B

(Với B0)

(Với A<0; B0)
(Với A.B0; B0)

(Với B>0)

C ( A mB )
C
=

A - B2
A B

(Với A0; A2B)

C( A m B)
C
=
A- B
A B

(Với A0; B0 và AB)

1


Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định

Bài tập
Bài 1

Cho biểu thức:

ổ a + aữ
ửổ a - a ữ
ử
ỗ
A =ỗ
1
+

1
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ố
ứố
ứ
a + 1ữ
a - 1ữ
a)
b)
c)
d)

Tìm các giá trị của a để A có nghĩa
Rút gọn A
Tìm a để A=-5; A=0; A=6
Tìm a để A3 = A

e) Với giá trị nào của a thì A = A
Bài 2:

Cho biểu thức:

Q=

1

1
x
+
+
2 x - 2 2 x + 2 1- x

a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa
b/ Rút gọn Q
c/ Tính giá trị của Q khi x =
d/ Tìm x để Q = -

4
9

1
2

e/ Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của Q nguyên.
Bài 3 Cho biểu thức:

x
2 x- 1
x - 1 x- x
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tìm x để P>0
P =

d) Tìm x để P = P

Bài 4

e) Giải phơng trình P = - 2 x
f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị của P nguyên
Cho biểu thức:

ổa +1
A =ỗ
ỗ
ỗ
ố a- 1

ửổ
a +1
ỗ
+ 4 aữ
ữ
ỗ aữ
ỗ
ứố
a- 1

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
2

1ử
ữ
ữ
ứ
aữ

Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
b) Tính giá trị của A khi a = 5 + 2 6 + 5- 2 6
5- 2 6

Bài 5

5+ 2 6

c) Tìm các giá trị của a để A > A
d) Tìm a để A=4; A=-16
e) Giải phơng trình: A=a2+3
Cho biểu thức:

ổa
1 ửổ
a- a a + aử
ữ
ữ
ỗ
với a>0; a1
M =ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ố2
2 a ứố a + 1
a - 1ứ
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M=-4
c) Tính giá trị của M khi a = 6 - 2 5 + 6 + 2 5
Bài 6

Bài 7

d) Chứng minh rằng M0 với a>0; a1
Cho biểu thức:

ộổ
ự
ửổ
ử
1- a a
1+ a a
ữ
ữ
ỗ
ỳ+ 1 với a>0; a1
K = ( 1- a2 ) : ờỗ
+
a
a
ữ
ữ

ỗ
ữỗ
ữ
ỗ 1- a
ỗ 1+ a
ờ
ỳ
ố
ứố
ứ
ở
ỷ
a) Rút gọn K
b) Tính giá trị của K khi a=9
c) Với giá trị nào của a thì K = K
d) Tìm a để K=1
e) Tím các giá trị tự nhiên của a để giá trị của K là số tự nhiên
Cho biểu thức:

Q=

x
1-

x

+

x
3- x

với x0; x1
+
1+ x
x- 1

a/ Rút gọn Q
b/ Chứng minh rằng Q<0 với x0; x1
c/ Tính giá trị của Q khi x =
Bài 8

20001 - 19999
20001 + 19999
+
20001 + 19999
20001 - 19999

Cho biểu thức:

ổ x
ử ổ3 x + 1 1ử
x + 9ữ
ữ
T =ỗ
+
:ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữvới x>0; x9

ỗ3 + x 9- x ữ
ỗx - 3 x - x ứ
ố
ứ ố
3


Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
a/ Rút gọn T

7+ 5
7- 5
+
7- 5
7+ 5

b/ Tinh giá trị của T khi x =
c/ Tìm x để T=2
d/ Với giá trị nào của x thì T<0
e/ Tìm xZ để TZ
Bài 9

Cho biểu thức:

L=

15 x - 11
3 x - 2 2 x +3
với x0; x1
x +2 x - 3

x- 1
x +3

a) Rút gọn L
b) Tính giá trị của L khi x = 2 + 3 + 2 - 3
2- 3
2+ 3
Bài 10

c) Tìm giá trị lớn nhất của L
Cho biểu thức:

A=

1
2-

x

+

x +3
6
x - 3 x- 5 x +6

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm x để A=1; A=-2
d) Tìm x để A = A
e) Tìm xZ để TZ

f) Tìm giá trị lớn nhất của A
Bài 11: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
a) A =

a b +b a
1
:
- ( a a - b b)
ab
a- b

b) B =

x y - y x ( x + y)2 - 4 xy
xy
x- y

ổ
a + ab + bử
ữ
ữ
:ỗ
với a>0; b>0; ab
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
a
+

b
ố
ứ

với x>0; y>0; xy

ử
ổ 2+ a
ửổ
a - 2ữ
a3 + a - a - 1ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗ
c) C = ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ốa + 2 a + 1 a - 1 ữ
ứỗ
a
ữ
ỗ
ố
ứ

4

với a>0; a1


Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
d) D =

2x
5 x +1
x + 10
+
+
x + 3 x +2 x + 4 x + 3 x +5 x +6

ổ
a a +b b
e) E = ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ố a+ b
f) F =

ử
2 b
ữ
ữ
abữ: ( a - b) +
ữ
a+ b

ứ

a a - 1 a a +1
+
a- a
a+ a

ổ
ỗ
aỗ
ỗ
ố

với a>0; b>0; ab

1 ửổ
a +1
a - 1ử
ữ
ữ
ỗ
+
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
a ứố a - 1
a + 1ứ

Email:
Website:

5

với x0

với a>0; a1