SỬ DỤNG PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC ĐỂ DẬY HỌC SINH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phép suy luận Toán Học trong dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 và
Chuyên đề cho 12Toán

"Sử dụng phép suy luận Toán học để dạy học
sinh chứng minh bất đẳng thức"
I- Lý do chọn đề tài:
1- Chúng ta đang cố gắng ngày một hoàn thiện phơng pháp dạy học có
hiệu quả cao. Đó là phơng pháp phát huy tích cực của học sinh, dạy học lấy
học sinh làm trung tâm. Chính vì thế ngay từng bài tập nhỏ ngời thầy giáo cần
biết giúp cho học sinh biết khai thác từng khía cạnh nhỏ, phát triễn thành
nhiều bài toán khác nhau mang ý nghĩa tích cực.
2- Việc suy nghĩ lao động nghiêm túc để thiết kế cho một tiết lên lớp sẽ
không cho phép thầy nói, hỏi tuỳ tiện. Do vậy buộc học sinh phải suy nghĩ,
phải làm việc, phải hoạt động một cách tích cực và tự giác mang tính chất
sáng tạo - không thể sử dụng quá mức loại câu hỏi mà toàn thể học sinh chỉ
việc trả lời đồng thanh: có, không, đúng, sai ... Mà cần phải có hệ thống câu
hỏi có tính chất khai thác và phát triễn một cách logíc từ đó có quyết định
phải đi theo hớng nào? phơng pháp nào? bắt đầu từ đâu và giải quyết nh thế
nào?
3- Một lý do cần biết là đại đa số học sinh cha quen kết hợp các công
cụ toán học để giải toán, học đai số chỉ biết đại số, học hình học hay lợng
giác thì chỉ biết hình học hay lợng giác cũng nh bất đẳng thức là bất đẳng
thức chứ không phối hợp và phát triển đợc với tính cách có hệ thống - không
có thói quen kết hợp và nhìn nhận dới nhiều góc độ dẫn tới nhiều hạn chế về
phơng pháp, lúng túng trớc nhiều bài toán mà đáng ra cách giải của nó không
phải là khó.
Vì vậy! để học sinh đợc suy nghĩ, đợc làm việc phải chăng là mục đích
cao nhất của quá trình dạy học; mà đặc biệt là học sinh biết tìm tòi đầy đủ các
khía cạnh của bài toán; phát triển bài toán một cách có trình tự, có khoa học
thích nghi với xu thế phát triển.
Chính vì thế tôi chọn đề tài " Sử dụng phép suy luận Toán học

để dạy học sinh chứng minh bất đẳng thức "
II- Nội dung:
1) Xuất phát từ những bài tập của sách giáo khoa hớng dần học sinh tập
phân tích theo hớng:
- Chứng minh cái gì?
- Xuất phát từ đâu?
- Chứng minh nh thế nào?
- Sau đó khai thác bài toán theo hớng nếu trong bài toán thay đổi các
dữ kiện hay các từ thì nội dung bài toán có thay đổi không?. Hãy nêu lên bài
toán mới.
- Ngoài phơng pháp này ta có thể đa ra phơng pháp khác của bài toán,
giáo viên có thể hớng dẫn phơng pháp t duy cho học sinh.
- Phải đòi hỏi học sinh tự mình phân tích nội dung bài toán để xây
dựng đợc cái đã cho cái phải tìm, từ đó tìm ra đờng lối giải bài toán. Từ đó có
thể đa ra hớng phát triển bài toán hay mở rộng bài toán.
Từ một bài toán đơn giản nếu biết phân tích, tổng hợp cũng có thể cho
một bài toán mới đầy thú vị.
Sau đây là một số bài toán có đợc bằng cách khai thách bất đẳng thức
thông dụng sau:
1/
a2+b2 2ab;
a,b R
(1)
a+b
ab
2

Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
1

Phép suy luận Toán Học trong dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 và
Chuyên đề cho 12Toán

2/

a+b
ab
2

3/

a+b+c 3
abc
3

a,bR+
a,b,cR

(2)

(3)

* Từ (1) sẽ có hai bất đẳng thức tơng tự:
b2+c2 2bc;
c2+a2 2ca.
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế ta có:
Bài toán 1: Với a,b,c R. Chứng minh rằng: a2+b2+c2 ab+bc+ca
Từ (2) ta cũng có bất đẳng thức tơng tự:
b + c 2 bc ; c + a 2 ca

b + c 2 bc ; c + a 2 ca ;

Nhân ba đẳng thức trên vế theo vế ta có:
Bài toán 2: Cho a, b, c 0.Chứng minh rằng:
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
* Từ bài toán 1, nếu ta thay a bởi 1/a; thay b bởi 1/b, c bởi 1/c (a.b.c0) ta có:
Bài toán3: Chứng minh rằng:
1 1 1 a+b+ c
a,b,c0
+ +
a 2 b2 c 2
abc
* Mặt khác từ (1) suy ra: 2a2+2b2 a2+2ab+b2 = (a+b)2
a2+b2
Tơng tự:

( a + b) 2

2

Cũng từ đó ta lại có:

a2 + c2

a 2 + b2



2

( a + b)
2

;

(a,b0)

2
2
(a + c); b 2 + c 2
(b + c )
2
2

Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
2


Phép suy luận Toán Học trong dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 và
Chuyên đề cho 12Toán
Bài toán 4: Cho a,b,c 0. Chứng minh rằng:
a 2 + b2 + b2 + c2 + c 2 + a 2
a
Lại có: 1+a2 2a, aR
1 + a2
a
1
b
1
c

;
;

2
2
1+ a
2
1+ b
2 1 + c2

2 (a + b + c)
1

2
1
2

Dẫn đến:
Bài toán 5: Với a,b,cR, ta có:
a
b
c
3
+
+

2
2
2
1+ a 1+ b 1+ c

2
ab
a +b

a +b
4

Lại viết lại công thức (2) dới dạng: (a+b)2 4ab
Tơng tự:
bc bb++cc ca
c+a
bc
b+c
bc

;
;
;;


4
b+c
4
bb++cc
44 c + a

Nên có:

a+b+c
ab

bc
caab a +bcb + c ca
;
+
+ a + c + b + c + c + a
2
a+b b+c c+a
2

(a,b,c>0)

Lại thử "Xâm nhập" vào biểu thức a3+b3 xem sao?
Ta có: a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b).
Suy ra: a3+b3+abc ab(a+b+c)
Hay
Tơng tự:

1
1

3
a + b + abc ab(a + b + c)
3

1
b + c + abc
3

Từ đó ta có:

3



1
1
1

; 3 3
bc(a + b + c) c + a + abc ca(a + b + c)

1
1
1
1
+ 3
+ 3

3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3

Bằng cách biến đổi hợp lý, ta thu đợc:
Bài toán 6: Cho a,b,c>0 ta có:
a/
b/

ab

bc
ca
a+b+c
+
+

a +b b+c c+a
2
1
1
1
1
+ 3
+ 3

3
3
3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
3

abc
ở Công thức (3) ta có:a+b+c 3 333abc
Tơng tự ta có đẳng thức cho ba số dơng:

1 1 1
; ;
a b c

Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình

3


Phép suy luận Toán Học trong dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 và
Chuyên đề cho 12Toán
1 1` 1
1 1 1
1
Nên có: (a + b + c)( + + ) 9
+ + 33
a b c
a b c
abc

Nếu thay a bởi a+b, thay b bởi b+c, thay c bởi c+a ta có:
1
1
1
9
+
+
)
a+b b+c c+a
2
a
b
c
3

+

+
)
b+c c+a a+b
2

(a + b + c)(

Từ đó ta đợc: .

Bài toán 7: Với a,b,c>0 ta có:
1
a

1
b

1
c

a/ (a + b + c)( + + ) 9
b/

a
b
c
3
+
+
)
b+c c+a a+b

2

Lại nhân hai vế của bất đẳng thức 7b) với a+b+c>0 ta có:
a2
b2
c2
3
+
+
+ (a + b + c) (a + b + c )
b+c c+a a+b
2

Và đợc:
Bài toán 8: Cho a,b,c>0 ta có:
a2
b2
c2
1
+
+
(a + b + c)
b+c c+a a+b 2

Nếu cho a+b+c = 1 "ngụy trang" bởi:b+c = a-1; c+a = b-1; a+b = c-1 ta có bài
toán sau:
Bài toán 9: Cho ba số dơng a,b,c sao cho:a+b+c=1
Chứng minh rằng:
a2
b2

c2
1
+
+

1 a 1 b 1 c 2

Nh vậy chỉ cần thay đổi một chút dữ liệu, ta có thể có kết quả đẹp. Trong sách
đại số lớp 10, phần bài tập ta có bài toán:
3(a2+b2+c2) (a+b+c)2; a,b,cR ta suy ra đợc:
3
(a + b + c)2

> 0;
2 2(a 2 + b 2 + c 2 )

Với a2+b2+c20

Vì vậy bài toán 7b) ta có:
Bài toán 10: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
a
b
c
(a + b + c) 2
+
+

b + c c + a a + b 2( a 2 + b 2 + c 2 )

Việc khai thác một bài toán đơn giản bằng các phép biến đổi thích hợp

trong quá trình giảng dạy là một "chất men" kích thích hứng thú học tập, sự
tìm tòi và sáng tạo của học sinh. Đồng thời giúp học sinh biét suy luận tìm ra
lời giải khoa học và hợp lý, thể hiện đợc sự thông minh và sáng tạo.
Cho học sinh phát hiện nguồn gốc các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho ba số không âm x,y,z thoả mản:x+y+z=1.
Tìm giá trị lớn nhất của: A=xy+yz+zx
Bài toán 2: Cho ba só x,y,z thoả mản: (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1
Tìm giá trị lớn nhất của : B= x + 2 y + 3z 8

Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
4


Phép suy luận Toán Học trong dạy Bất đẳng thức cho lớp 10 và
Chuyên đề cho 12Toán
Bài toán 3: Cho hai số thoả mãn:

{

0x3
0 y4

Tìm giá trị lớn nhất của: C = (3-x)(4-y)(2x+3y)
III- Tính thực tiễn của đề tài:
- Đề tài giúp cho học sinh phát huy đợc trí lực học sinh một cách tích
cực và tự giác.
- Thực hiện đợc quá trình tìm cái mới trong một bài toán và nhận biết
đợc sự xuất hiện của bài toán này phải chăng là một sự xuất phát từ bài toán
quen thuộc đợc mở rộng ra hay khái quát lên.
- Học sinh bớc đầu làm quen đợc phơng pháp luận khoa học - Tự

nghiên cứu khoa học một cách tinh tế và hợp lí cũng nh có hiệu quả.
- Trên cơ sở một số suy luận toán học có lí mà học sinh biết tổng hợp
và phân tích vấn đề đã khái quát hoá hay cụ thể hoá vấn đề.
- Biết kết hợp phơng pháp luận để giải toán và nghiên cứu toán học.
Đề tài không chỉ dừng lại ở các bài tập về bất đẳng thức mà có thể phát
triển trong nhiều phân môn khác và đợc áp dụng cho nhiều đối tợng đặc biệt
là đối tợng học sinh khá thích tìm tòi và sáng tạo
Trong quá trình làm đề tài không thể tránh khỏi sơ suất và thiếu sót
mong các cấp có thẩm quyền cũng nh các bạn đọc góp ý để bổ sung cho đề
tài đợc tốt hơn có hiệu quả cao hơn..
Đồng Hới, ngày 05 tháng 3 năm 2012
Ngời viết đề tài

Tạ Quốc Khánh
ý Kiến tổ chuyên môn

ý kiến của hội đồng khoa học của trờng tHPT Chuyên
quảng bình


Tạ Quốc Khánh, tổ Toán, Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
5