Giáo án dạy thêm hình 6

Giáo án dạy thêm hình 6

A

Chủ đề 1 : Đoạn thẳng

I) Lý thuyết :
1) Điểm , đờng thẳng, đoạn thẳng là các hình quy ớc, không định nghĩa.
2) Tính chất :
1. T/c về sự xác định đờng thẳng : Có 1 và chỉ 1 đờng thẳng đi qua 2 điểm phân biệt.
2. Tính chất về thứ tự của 3 điểm trên đờng thẳng : Trong 3 điểm thẳng hàng, có 1 và chỉ 1
điểm nằm giữa 2 điểm còn lại.
3) Ba điểm thẳng hàng: Là 3 điểm cùng nằm trên 1 đờng thẳng.
4) Hai đờng thẳng phân biệt có 2 vị trí :
- Có 1 điểm chung : hai đờng thẳng cắt nhau
- Không có điểm chung nào : Hai đờng thẳng song song.
b

E

II) Bài tập :
D
a
BT 1 : Cho hình vẽ :
A
B
C
a) Kể tên các điểm thuộc đờng thẳng a, các
F
điểm không thuộc đờng thẳng a?
b) Trên hình vẽ có 3 điểm nào thẳng hàng?

c) Xác định giao điểm của hai đờng thẳng a và b?
d) Tìm các điểm nằm cùng phía đối với điểm A, các điểm nằm khác phía đối với điểm A?
Giải :
a) Các điểm thuộc đờng thẳng a : A, B, C, D
Các điểm không thuộc đờng thẳng a : E, F
b) Bộ 3 các điểm thẳng hàng là : A, B, C ; A, B, D ; A, C, D ; B, C, D ; E, A, F.
c) a b = { A}
d) Các điểm B và C nằm cùng phía đối với A, các điểm D và B nằm khác phía đối với A,
điểm E và F nằm khác phía đối với A .
BT 2 : Cho hai đờng thẳng cắt nhau. Nếu vẽ thêm đờng thẳng thứ cắt cả hai đờng thẳng trớc thì số giao điểm của các đờng thẳng thay đổi nh thế nào?
Giải
a) Trờng hợp đờng thẳng thứ 3 đi qua giao điểm
của hai đờng thẳng trớc thì số giao điểm không
thay đổi, vẫn là 1 giao điểm
b) Nếu đờng thẳng thứ 3 không đi qua giao điểm
của hai đờng thẳng trớc thì số giao điểm mới
là 3, tăng lên 2 giao điểm.
1

p

C
A

B

m
n

Giáo án dạy thêm hình 6

A
BT 3 : Cho 4 điểm A, B, C, D trong đó ba điểm
B C
D
A, B, C thẳng hàng, ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hỏi 4 điểm A, B, C, D có thẳng hàng
không ?
Giải :
Ba điểm A, B, C cùng thuộc 1 đờng thẳng
Ba điểm B, C, D cùng thuộc 1 đờng thẳng.
Vậy 4 điểm A,B, C,D cùng thuộc 1 đờng thẳng BC nên 4 điểm đó thẳng hàng.

BT 4 : Vẽ 5 điểm A, B, C, D , O sao cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, 3 điểm B, C, D thẳng
hàng, 3 điểm C, D, O không thẳng hàng.
O
a) Giải thích vì sao 3 điểm A, B, D thẳng hàng
b) Kẻ các đờng thẳng, mỗi đờng thẳng đi qua ít nhất 2 điểm trong
5 điểm nói
trên. Kể tên các đờng thẳng có trong hình vẽ ( Các đờng thẳng
trùng
nhau chỉ kể là 1 đờng thẳng)
m

A
B
C
D
Giải :
a)Hình vẽ : Ba điểm A, B, D cùng thuộc đờng thẳng BC

b) Các đờng thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD trùng nhau, ký hiệu là đờng thẳng a. Có 5 đờng thẳng OA, OB, OC, OD và m.

Bài tập 5 : Cho trớc 2 điểm A và B. trên cùng một hình hãy vẽ :
a) Đờng thẳng m đi qua A và B
b) Đờng thẳng n đi qua A nhng không đi qua B
c) Đờng thẳng p không có điểm chung nào đối với đờng thẳng m. Trên hình vẽ có hai
đờng thẳng nào song song, cắt nhau, vì sao?
Giải :
m

B

A

a)
b)

2


Giáo án dạy thêm hình 6
n

m

A

B

n

c) Hai đờng thẳng cắt nhau là :
m và n ; n và p vì hai đờng thẳng đó
có một điểm chung
Hai đờng thẳng song song là : m và p vì hai
đờng thẳng đó không có điểm chung.

m

A

B

p

Bài tập 6 :
a) Cho 5 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, cứ 2 điểm thì thì dựng đợc một
đoạn thẳng. Hỏi tất cả có mấy đoạn thẳng? Chỉ ra cách tính toán?
b) Giải bóng đá chuyên nghiệp ngoại hạng Anh có 12 đội tham gia thi đấu vòng tròn hai lợt
đi và về. Tính tổng số trận đấu?
A
Giải :
a) Cách 1 :
B
Từ điểm A dựng với 4 điểm B, C, D, E đợc 4 đoạn thẳng.
E
Từ điểm B dựng với 3 điểm C, D, E đợc 3 đoạn thẳng.
Từ điểm C dựng với 2 điểm D, E đợc 2 đoạn thẳng .
Từ điểm D dựng với 1 điểm E còn lại 1 đoạn thẳng
Tổng số đoạn thẳng là : 4 +3 +2 +1 = 10 đoạn thẳng

C
Công thức : có n điểm không thẳng hàng dựng đợc : n + (n -1) + (n
D
2) + (n 3) + ...+ 1 đoạn thẳng.
Cách 2 : Từ một điểm dựng đợc 4 đoạn thẳng với 4 điểm còn lại. Vậy tổng số đoạn thẳng
là : 5 . 4 = 20 đoạn thẳng. Nhng thực tế mỗi đoạn thẳng đã đợc tính đi tính lại 2 lần. Vậy
số đoạn thẳng thực tế dựng đợc là : 20 : 2 = 10 đoạn thẳng.
Công thức : có n điểm không thẳng hàng dựng đợc n.(n-1) :2 đoạn thẳng.
b) Theo công thức phần a cứ hai đội làm thành 1 trận đấu.
Có tổng số trận đấu lợt đi là 12 . 11 : 2 = 66 trận đấu.
Lợt về đấu tơng tự nh thế có 66 trận nữa. Tổng số trận đấu lợt đi và về là 66.2 = 132 trận
đấu.
Bài 7 : Cho trớc một số điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đờng
thẳng đi qua các cặp điểm. Biết tổng số các đờng thẳng vẽ đợclà 36. Tính số điểm cho trớc .
Giải
3


Giáo án dạy thêm hình 6

Theo công thức bài 6 ta có n.(n-1) :2 = 36 = > n(n 1) = 72 = 9.8
Vậy số điểm cho trớc là 9 điểm.

Chủ đề 2 : Tia
I ) Lý thuyết
1) K/n tia : Hình gồm điểm O và một phần đờng thẳng đợc chia ra bởi điểm O gọi là 1 tia
gốc O
2) Kn hai tia đối nhau:
x
y

- Hai tia chung gốc
O
- Tạo thành đờng thẳng
Hình vẽ :Ox và Oy là hai tia đối nhau
3) Hai tia trùng nhau:
- Hai tia chung gốc
x
y
A
O
- Nằm trên cùng 1 đờng thẳng
- Cùng hớng
Hình vẽ : OA và Oy là hai tia đối nhau
II) Bài tập
Bài tập 1 : Cho hình vẽ :
z
a) Kể tên những tia chung gốc O
b) Hai tia nào đối nhau
H
c) Hai tia nào trùng nhau
O
y
x
Giải
a) Các tia chung gốc O là : Ox, Oy, Oz
b) Hai tia nào đối nhau: Ox, Oy
c) Hai tia nào trùng nhau: OH và Oz

4

O

Giáo án dạy thêm hình 6

Bài tập 2 : Cho đờng thẳng xy. Lấy điểm O xy, điểm A xy và điểm B trên tia
Ay ( B khác A)
a) Kể tên các tia đối nhau, trùng nhau
x
A
y
B
M
b) Kể tên hai tia không có điểm chung
c) Gọi M là một điểm di động tên xy, xác định vị trí của điểm
M để
t
cho tia Ot đi qua M không cắt hai tia Ax và By
Giải
a) Các tia đối nhau là Ax và Ay, Bx và By. Các tia trùng nhau là AB và Ay, BA và Bx
b) Hai tia Ax và By không có điểm chung
c) Điểm M nằm giữa hai điểm A và B.
Bài tập 3 :
Vẽ hai đờng thẳng mn và xy cắt nhau tại O
a) Kể tên các tia đối nhau
b) Trên tia Ox lấy điểm P, trên tia Om lấy điểm E ( P và E khác O). Hãy tìm vị trí của Q
để điểm O nằm giữa P và Q. Tìm vị trí của F để hai tia OE, OF trùng nhau?
Giải :
a) Hình vẽ :
x

P
Hai tia đối nhau là Om và On
Ox và Oy.
m
E
O
F
n
b) Q thuộc Oy ( Q khác O)
F thuộc tia Om ( F khác O)
Q

Bài tập 4 :
Trên đờng thẳng xy lấy điểm O.Lấy điểm A
điểm M nằm giữa O và A . Giải thích vì sao:
a) Hai tia OA, OB đối nhau?
b) Điểm O nằm giữa hai điểm M và B?
Giải
x

A

M

O

y

trên tia Ox, điểm B trên tia Oy,

B

y

a) Điểm O nằm trên đờng thẳng xy nên Ox và Oy là hai tia đối nhau (1)
b) Điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy nên hai tia OA, Ox trùng nhau(2). Từ (1) và
(2) suy ra OA và OB đối nhau(3)
Điểm M nằm giữa hai điểm O và A nên hai tia OM và OA trùng nhau(4)
Từ (3) và (4) suy ra hai tia OM và OB đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm M và B.
Bài tập 5 :
5


Giáo án dạy thêm hình 6

Gọi O là 1 điểm của đờng thẳng xy, vẽ điểm A thuộc tia Ox, các điểm B và C thuộc tia Oy
sao cho C nằm giữa O và B.
a) Trên hình vẽ có bao nhiêu tia, bao nhiêu đoạn thẳng?
b) Kể tên các cặp tia đối nhau?
Giải :
O
C
B
A
a) Có 8 tia : Ax, Ay, Ox, Oy, Cx, Cy, Bx, By
b) Có 6 đoạn thẳng: AO, AC, AB, OC, OB, CB. x

y

Bài tập 6 :

Cho 5 điểm A, B, C, M, N sao cho : điểm C nằm giũa hai điểm A và B, điểm M nằm giữa
hai điểm A và C, điểm N nằm giữa hai điểm C và B. Khi đó :
a) Tia CM trùng với tia nào ? Vì sao?
b) Tia CN trùng với tia nào ? Vì sao?
c) Vì sao điểm C nằm giữa hai điểm M và N?
Giải :
a) Tia CM và CA trùng nhau
M
N
vì điểm M nằm giữa A và C
A
C
B
Cách 2 : Tia CM và CA trùng nhau
vì đó là hai tia chung gốc, cùng nằm trên 1 đờng thằng, cùng hớng.
b) Tia CN trùng với tia CB vì N nằm giữa hai điểm C và B
c) C nằm giữa A và B nên CA và CB là các tia đối nhau, mà M thuộc tia CA, N thuộc tia CB
nên C nằm giữa hai điểm M và N.

Chủ đề 3 : Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng. Khi nào AM + MB = AB
I ) Lý thuyết
1) Định nghĩa đoạn thẳng: Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất các điểm
nằm giữa hai điểm A và B.
2) Nhận xét : Mỗi đoạn thẳng có 1 độ dài, độ dài đoạn thẳng là 1 số dơng.
3) M nằm giữa hai điểm A và B <=> AM + MB = AB
4) Mở rộng:
a) Nếu AM + MB AB thì M không nằm giữa hai điểm A và B
b) Nếu M nằm giữa hai điểm A và B,
M
N

B
A
6


Giáo án dạy thêm hình 6

A

y

điểm N nằm giữa hai điểm M và B
thì AM + MN + NB = AB
c) Trên tia Ox, nếu OA< OB thì điểm A nằm giữa hai điểm
O và B
II) Bài tập
O
Bài tập 1 : Xem hình vẽ và trả lời câu hỏi
B
C
a) Hình này có mấy tia?
b) Hình này có mấy đoạn thẳng?
c) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau?
d) Vì sao có thể khẳng định tia Ox không cắt đoạn thẳng BC?
Giải
a) Có 12 tia là tia Ax, Ay, Bx,
x'
By, Cx, Cx, Ox, Ox, Oy, Oy
C
b) Có 8 đoạn thẳng là OA, OB,

A
O
B
OC, OD, AD, BC, AB, CD
x
c) Những đoạn thẳng không cắt nhau là OC và AD
AD và BC, AD và OB, BC và OA, BC và OD.
D
d) Tia Oy cắt đoạn thẳng Bc tại B. Vậy tia Ox là
tia đối của tia Oy nên không
y'
cắt đoạn thẳng BC.
Bài 2 : Cho 2 tia chung gốc Ox, Oy. Trên tia Ox lấy 2 điểm B và C sao cho B nằm giữa hai
O và C. Trên tia Oy lấy điểm A sao cho OA > OC.
a) So sánh OA và OB
b) So sánh OA OB với OA
Giải :
a) Vì B nằm giữa O và C nên OB < OC ,
mà OC < OA nên OB < OA hay OA > OB.
b) Vì OB > 0 nên OA OB < OA.
Bài 3 : Trên đờng thẳng a lấy 4 điểm E, F, G, H theo thứ tự đó. Giả sử EH = 7 cm, è = 2
cm, FG = 3 cm.
a) So sánh FG với GH?
b) Tìm những cặp đoạn thẳng bằng nhau?
Giải :
7cm
a) Điểm F nằm giữa hai
a
điểm E và G nên
H

F
G
E
EG = EF + FG
2 cm
3 cm
EG = 2 + 3 = 5 (cm)
Điểm G nằm giữa hai
điểm E và H nên EG + GH = EH.
7

x

y


Giáo án dạy thêm hình 6

Thay số tính đợc GH = 2 cm
Vậy FG > GH ( 3 cm > 2 cm)
b) EF GH 2 cm, EG = FH = 5 cm.
Bài 4 : Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E, trên tia đối của tia BA lấy
điểm F sao cho AE < BF. Hãy so sánh AF với BE.
Giải
E

A

B

F

Điểm B nằm giữa A và F nên AF = AB + BF (1)
Điểm A nằm giữa E và B nên BE = AB + AE (2)
Mà AE < BF nên từ (1) và (2) => AF < BE
Bài 5 : Cho 3 điểm A, B, C
a)Giả sử AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm. Hãy chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
b)Giả sử AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 4 cm. Hãy chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng.
Giải :
a) Vì AB + BC = CA ( do 2 cm + 3 cm = 5 cm) nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C
=> A, B , C thẳng hàng.
b) Do AB + BC AC nên điểm B không nằm giữa hai điểm A và C
tơng tự không có 2 điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại = > 3 điểm A, B , C không thẳng
hàng.
Bài 6 :
Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm O nằm giữa A và B. Lấy điểm I nằm giữa O và B
a) Giả sử AB = 5 cm, AO = 2 cm, BI = 2 cm. Tính OI
b) Giả sử AO = a, BI = b . Tìm điều kiện của a và b để AI = OB?
Giải
a) Vì O nằm giữa 2 điểm
5 cm
A và B nên AO + OB = AB
O
A
I
=> OB = AB AO
Thay số : OB = 5 cm 2 cm = 3 cm
2 cm
Tơng tự tính OI = 1 cm
b) Vì O nằm giữa A và B nên OA và OB là hai tia đối nhau

Điểm nằm giữa O và B nên OI và OB trùng nhau
Vậy OA và OI cũng là hai tia đối nhau
=> O nằm giữa hai điểm A và I nên AI = AO + OI (1)
* Vì I nằm giữa O và B nên OB = BI + OI (2)
Từ (1) và (2) => AI = BO <=> AO = BI <=> a = b
8

B

2 cm


Giáo án dạy thêm hình 6

Chủ đề 4 :

Dấu hiệu nhận biết điểm nằm giữa hai điểm,
trung điểm đoạn thẳng

I ) Lý thuyết
1) Đặt đoạn thẳng trên tia : Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ đợc 1 và chỉ 1 điểm M sao cho
OM = a ( đơn vị dài)
a
M

O

x

2) Một số dấu hiệu nhận biết điểm nằm giữa hai điểm :

1. Nếu O là gốc chung của hai tia đối nhau OA và OB thì O nằm giữa hai điểm A và B
A

B

O

2. Nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B
3. Trên tia Ox. Nếu OM < ON thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N
O

N

M

P

x

4.Trên tia Ox, OM < ON < OP thì điểm N nằm giữa hai điểm M và P
O

N

M

P

x

3) Trung điểm đoạn thẳng:
a) Định nghĩa : Trung điểm đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đạon thẳng và cách đều
hai đầu đoạn thẳng đó
1
2

b) Tính chất : Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA =MB = AB
c) Mỗi đoạn thẳng có 1 trung điểm duy nhất.
II ) Bài tập
Bài tập 1
Gọi M, N, P là 3 điểm trên tia Ox sao cho OM = 2 cm, ON = 3 cm, OP = 5 cm.
a) So sánh MN và NP?
b) Tìm những cặp đoạn thẳng bằng nhau có trong hình vẽ
Giải
5

O

M
2

3

N

P

9

x

Giáo án dạy thêm hình 6

a) *Trên tia Ox vì OM < ON ( 2 cm < 3 cm), nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N
=> OM + MN = OM
Thay số: 2 + MN = 3 => ON = 3 2 = 1 (cm)
*Trên tia Ox vì ON < OP ( 3 cm < 5 cm) nên điểm N nằm giữa hai điểm O và P
=> ON + NP = OP
Thay số : 3 + NP = 5 => NP = 5 3 = 2 (cm)
Vậy MN < NP ( 1 cm < 2 cm)
b) Trên tia Ox có OM < ON < OP ( 2 cm < 3 cm < 5 cm) nên điểm N nằm giữa hai điểm
còn lại
=> MN + MP = MP
Thay số MP = 1 + 2 = 3 (cm)
Vậy :OM = NP = 2 cm ;
ON = MP = 3 cm
Bài tập 2 :
Gọi A và B là 2 điểm trên tia Ox sao cho OA = 4 cm, OB = 6 cm. Trên tia BA lấy điểm C
sao cho BC = 3 cm. So sánh AB với AC?
Giải :
4cm

C

O

A

B

x

3cm
6cm

Trên tia Ox có OA < OB nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B . Tính đợc AB = 2 cm
Trên tia BC có AB < BC nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C. Tính đợc AC = 1 cm
Vậy AB > AC.
Bài tập 3
Cho A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = a cm (với a > 0) , AB = 2 cm. Tính OB?
Giải :
O

A

B

x

2 cm

a cm

a) Trờng hợp
điểm B nằm trên tia đối của tia AO.
Lúc này A nằm giữa hai điểm O và B nên OB = OA + AB = a + 2 (cm)
b) Trờng hợp điểm B nằm trên tia AO
- Nếu a > 2 cm thì điểm B nằm giữa A và O
a cm

O

B

A

x

2 cm
=> OB + BA =
OA . Tính đợc OB = a 2 )(cm)
- Nếu a = 2 cm thì điểm B trùng với O . Khoảng cách giữa hai điểm O và B là 0 cm
- Nếu a < 2 cm thì B không thuộc tia Ox mà thuộc tia đối của tia Ox.
Bài tập 4 :
10


y

N

Giáo án dạy thêm hình 6

Vẽ đoạn thẳng AM = 5 cm. Lấy 2 điểm E và F nằm giữa A và B
7 cm.
M
a) Chứng tỏ rằng điểm E nằm giữa hai điểm B
và F?
b) Tính EF?

Giải:
5 cm
O
a)
A

F

E

A
B

sao cho AE + BF =

B

x

Điểm E nằm giữa hai điểm A và B nên AE + BE = AB = 5 (cm).
Lại có theo đề bài AE + BF = 7 cm nên BE < BF => điểm E nằm giữa hai điểm B và F.
b) Tính EF:
Điểm E nằm giữa hai điểm B và F (Theo kết quả phần a) => FE + EB = BF.
Vì AE + BF = 7 cm nên AE + FE + EB = 7 (cm)
=> (AE + EB) + EF = 7 (cm)
=> AB + EF = 7 (cm)
=> 5 cm + EF = 7 (cm)
=> EF = 7 - 5 = 2 (cm).
Bài tập 5 :
Vẽ hai tia chung gốc Ox, Oy. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B ( Điểm A nằm giữa O và B).

Trên tia Oy lấy điểm M và N sao cho OM = OA, ON = OB
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm giữa O và N
b) So sánh AB với MN?
Giải :
a) Vì điểm A nằm giữa hai điểm O
và B nên OA < OB.
Mà OM < ON nên OM < ON
=> N nằm giữa hai điểm O và N
b) Ta có OB = OA + AB
=> AB = OB OA (1)
ON = OM + MN => MN = ON OM (2) .
Mà theo đề bài có OM = OA, ON = OB (3) . Từ (1) , (2) và (3) => AB = MN.
Bài tập về Trung điểm đoạn thẳng
Bài tập 6:
Cho 3 điểm M , N, O sao cho OM = 2 cm, ON = 2 cm và MN = 4 cm. Vì sao có thể khẳng
định O là trung điểm của đoạn thẳng MN?
2 cm
2 cm
Giải :
N
O
M
Vì OM + ON = MN ( Do 2 + 2 = 4
(cm))
4 cm
11


Giáo án dạy thêm hình 6

Nên O nằm giữa hai điểm M và N.
Lại có OM = ON nên điểm O cách đều hai đầu đoạn thẳng MN
=> O là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài tập 7 :
Trên tia Ox lấy 2 điểm A và M sao cho OA = 3 cm, OM = 4,5 cm. Trên tia Ax lấy điểm B
sao cho M là trung điểm của AB. Hỏi điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB
không? Vì sao?
Giải :
4,5 cm

O

A

M
/

B
/

x

3 cm

Trên tia Ox vì OA < OM ( do 3 cm < 4,5 cm) nên A nằm giữa hai điểm O và M.
=>OM = OA + AM. Tính đợc AM = 1,5 cm.
=> Vì M là trung điểm của đoạn AB nên M nằm giữa hai điểm A và B và AM = MB = 1,5
cm. AB = 2 AM = 3 cm.
Điểm A tia Ox nên AO và Ax là hai tia đối nhau. Mà B thuộc tia Ax nên AO và AB cũng
là hai tia đối nhau. => A nằm giữa hai điểm O và B. Lại có AO = AB = 3 cm nên A là trung

điểm của đoạn OB.
Bài tập 7 :
Trên đờng thẳng a lấy 6 điểm M, N , P , Q, R theo thứ tự đó . Biết MN = NO = OP = PQ =
QR. Tìm những điểm là trung điểm của đoạn thẳng có trong hình vẽ.
Giải :
M

N

O

P

Q

R

Vì N nằm giữa 2 điểm M, N và MN = NO nên N là trung điểm của MO.
Vì O nằm giữa 2 điểm N, P và NO = OP nên N là trung điểm của MO.
Tơng tự P là trung điểm của OQ, Q là trung điểm của PR. O là trung điểm của MQ, P là
trung điểm của NR.
Bài tập 8:
Cho đoạn thẳng AB = 6 cm. Lấy 2 điểm C và D thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = BD = 2
cm. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Giải thích vì sao M cũng là trung điểm của CD
b) Tìm trên hình vẽ các điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng?
Giải :

12

Giáo án dạy thêm hình 6
A

2 cm

C

M

2 cm

D

B

6 cm

AB
= 3 cm
2
Trên tia AM có AC < AM ( do 2 cm < 3 cm) nên điểm C nằm giữa hai điểm A và M.
=> AC + CM = AM => CM = AM AC = 3 2 = 1 (cm). Tơng tự tính đợc MD = 1 cm.
=> CM = MD = 1 cm (1)
Có M thuộc AB nên MA và MB là hai tia đối nhau.

a) Vì M là trung điểm của AB nên MA = MB =

C MA; D MB nên MC và MD cũng là hai tia đối nhau => M nằm giữa C và D. (2)
Từ (1) và (2) có M là trung điểm của đoạn thẳng CD.

b) C nằm giữa A và D, CA = CD = 3 cm nên C là trung điểm của AD.
Tơng tự D là trung điểm của CB.
Bài tập 9
Trên tia Ax lấy hai điểm O và B sao cho OA = 2 cm; AB = 5 cm. Gọi I là trung điểm của
OB . Tính AI?
Giải :
5 cm

B

O

A
2 cm

x

I

Trên tia Ax vì AO < AB ( 2 cm < 5 cm) nên O nằm giữa hai điểm A và B
=> AO + OB = AB. Tính đợc OB = 3 cm.
Vì I là trung điểm của OB nên I nằm giữa O và B. Khi đó IO và IB là hai tia đối nhau.
Mà O thuộc đoạn AI nên
OI = IB = OB/2 = 1,5 cm.

13


Giáo án dạy thêm hình 6

Chơng 2 : Góc
I) Lý thuyết:
1) Khái niệm về nửa mặt phẳng:
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Hình gồm đờng thẳng a và một phần đờng thẳng đợc chia ra bởi đờng thẳng a đợc gọi là
nửa mặt phẳng bờ a.
2) Góc : Là một hình gồm hai tia chung gốc.
Đỉnh O
Hai cạnh : Ox, Oy.
y

O
x

ã ; xOy
ã ; < xOy
Ký hiệu : xOy
3) Tên các loại góc:

O0 < góc nhọn < 900

900 < góc tù < 1800
4) Tia nằm giữa hai tia

Góc vuông = 900

Góc bẹt = 1800

Cách 1 : 3 tia chung gốc Ox, Oy; Oz. Lấy điểm M, N trên tia Ox và Oy. Nếu đoạn thẳng

MN cắt tia Oz thì tia Oz nằm giữa hai tia còn lại.
14


Giáo án dạy thêm hình 6
y
N
z
O
M

x

Cách 2 :
a

A

B

C

O

Ba điểm A, B, C cùng thuộc đờng thẳng a, điểm O nằm ngoài đờng thẳng a. Nếu điểm B
nằm giữa hai điểm A và C thì tia OB nằm giữa hai tia OA và OC.
Cách 3 : Mọi tia gốc O đều nằm giữa hai tia đối nhau Ox và Oy.
z

O

x

y

z

Cách 4 :

ã
ã
Nếu xOy
thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
+ ãyOz = xOz
y

O

x

Cách 5 : Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, nếu góc xOy < góc xOz thì tia
Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.
5) Hai góc kề nhau, phụ nhau, kề bù, kề phụ:
II) Bài tập :
BT 1 : Cho 4 điểm A, B, C, D thuộc đờng thẳng a sao cho điểm B nằm giữa hai điểm A và
C, điểm D nằm giữa hai điểm B và C, O là điểm nằm ngoài đờng thẳng a. Kẻ các tia OA,
OB, OC, OD.
a) Trên hình vẽ, kể tên các tia nằm giữa hai tia còn lại?
15

Giáo án dạy thêm hình 6

b) Có mấy tam giác trên hình vẽ?
Giải

a
A

B

D

C

O

a)Vì điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên tia OB nằm giữa hai tia OA và OC
Vì điểm D nằm giữa hai điểm B và C nên tia OD nằm giữa hai tia OB và OC.
Vì điểm B nằm giữa hai điểm A và D nên tia OB nằm giữa hai tia OA và OD.
Vì điểm D nằm giữa hai điểm A và C nên tia OD nằm giữa hai tia OA và OC.
b)Có 6 tam giác trên hình vẽ : OAB, OBD; ODC ; OAD; OBC ; OAC.
Bài tập 2 :
Cho 3 đoạn thẳng AB; AC và BC không cùng nằm trên một đờng thẳng. Một đờng thẳng a
đi qua B cắt AC tại M.
a) Tìm giao điểm của đờng thẳng a và đoạn thẳng AB.
b) Đờng thẳng a có cắt đoạn thẳng BC không? Vì sao?
c) Gọi tên 2 nửa mặt phẳng bờ a?
Giải
A
a

B

C

a) Giao điểm của đờng thẳng a và đoạn thẳng AB là A
b) Đờng thẳng a cắt đoạn thẳng BC tại B ? Vì có 1 điểm chung là B.
c) 2 nửa mặt phẳng bờ a là :
- Nửa mặt phẳng bờ a có chứa điểm A.
- Nửa mặt phẳng bờ a có chứa điểm C.
BT 3 : Vẽ 3 tia chung gốc OA, OB và OC, trong đó C nằm giữa A và B và đoạn AC nhỏ
hơn đoạn BC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
a) Trong 3 tia OA, OB và OC tia nào nằm giữa hai tia còn lại, vì sao?
b) Trong 3 tia OA, OC và OM tia nào nằm giữa hai tia còn lại, vì sao?
c) Trong 3 tia OC, OM và OB tia nào nằm giữa hai tia còn lại, vì sao?
Giải :
16


Gi¸o ¸n d¹y thªm h×nh 6
a

A

C

M

B

O

a) V× ®iÓm C n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B nªn tia OC n»m gi÷a hai tia OA vµ OB.
b) V× AC < BC nªn AC + AC < AC + BC
=> 2.AC < AB => AC <

1
AB => AC < AM ( do M lµ trung ®iÓm AB)
2

=> §iÓm C n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ M nªn tia OC n»m gi÷a hai tia OA vµ OM.
c) Trªn tia AB cã AC < AM < AB nªn ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm C vµ B
=> Tia OM n»m gi÷a hai tia OC vµ OB.

17