Giáo án dạy thêm phương trình lương giác-2008

Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng

Bài 1: Phơng trình lợng giác cơ bản
---oo0oo---
1. Ph ơng trình cơ bản
a.
( )
( )
msin,Zk
2kx
2kx
1mmxsin
=



+=
+=
=
b.
( )
( )
mcos,Zk
2kx
2kx
1mmxcos
=



+=

+=
=
c.
( )
Zkkxtgmtgx
+===
d.
( )
Zkkxgcotmgxcot +===
2.Luyện tập
Bài1: Giải các phơng trình sau:
1) 2sin(3x-
6

)-
03
=
2) cos






=

+
xx 4
5
2
cos
3
2

3)
5
7 tan 2 21 0
6
x


=
ữ

4)
2
cot 5 cot 3
3 6
x x


=
ữ ữ

5)

2
tan cot 2
4 3
x x


+ =
ữ ữ








<<

4
7
3

x
6)
( ) ( )
xx
=
00
54sin273sin
7)

sin 2 cos3 0
4
x x


+ + =
ữ

8)
0cos32sin
=
xx
9) tan(6x).tan(11x)=1
*Bài 2 :Tìm tất cả các nghiệm nguyên của các phơng trình
1)
2
cos( (3 9 160 800)) 1
8
x x x

+ + =
2)
2
cos( (3 9 80 40)) 1
10
x x x

+ =
*Bài 3:Tìm nghiệm dơng nhỏ nhất của các phơng trình:
1)

2 2
1
cos( ( 2 )) sin( ) 0
2
x x x

+ =

2)
( ) ( )
2 2
cos x cos (x+1) 0

=
Số 1
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Bài 2:
Phơng trình bậc hai đối với một
hàm số lợng giác
A.Các ph ơng trình cơ bản
(1):asin
2
(u(x))+bsin(u(x))+c=0
Đặt t=sin(u(x)) Đk :
1 1t
(2):acos
2
(u(x))+bcos(u(x))+c=0
Đặt t=cos(u(x)) Đk :
1 1t

(3):atan
2
(u(x))+btan(u(x))+c=0
Đặt t=tan(u(x))
(4):acot
2
(u(x))+bcot(u(x))+c=0
Đặt t=cot(u(x))
B.Chú ý:
2 2 2 2
2 2
cos 1 sin ; sin 1 cos
cos 2 1 2sin 2 cos 1
x x x x
x x x
= =
= =
C.Luyện tập:
Bài1:Giải các phơng trình sau:
1)
01sin2sin3
2
=++
xx
2)
2
3tan 4 3 tan 3 0x x + =
3)
02cos2cos2
2

=+
xx
4)
01sincos
2
=++
xx
5)
01cos2sin2cos
2
=++
xxx
6)
012sin4cos3
=+
xx
7)
2
cos 2 sin 2cos 1 0x x x+ + + =
8)
3cos 2 2(1 2 sin )sin 3 2 0x x x+ + + =
9)
2 2
cos (3 ) cos (3 ) 3cos( 3 ) 2 0
2 2
x x x

+ + =

10)

2
3
3cot 3
sin
x
x
= +


Bài 2:Giải các phơng trình sau:
1)
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
cos
x x x
x
+
=
2)
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin 2 1
x x x x x
x
+ + +
=


Bài 3:Giải phơng trình sau:

5sin 1 2 cosx x =
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Bài tập về nhà
Giải các phơng trình sau:
1)
cos 8 cos 0
4 8
x x
=
HD:
2
cos 2 cos 1
4 8
x x
=
Đáp số:
2 2
8arccos 16 ,
2
x k k


= + Z
2)
3
17sin( ) 17 cos(3 ) 0
2
x
x =
HD:

2
3
cos3 1 2sin
2
x
x =
Đáp số:
2 5 17 4 2 2 5 17 4
arcsin , arcsin ,
3 4 3 3 3 4 3
x k k x k k



= + = + ; Z Z
3)
2
4cos3 cos sin 2 0x x x+ =
HD:
2
2 2
2cos3 cos cos 2 cos 4 cos 4 2 cos 2 1
sin 2 1 cos 2
x x x x x x
x x
= + =
=
Đáp số:
1 1
, arccos ,

2 2 3
x k k x k k


= + = + Z Z
4)
1 sin 2 cos 4 1 2sin 2x x x =
HD:
2
( ) 0
( ) ( )
( ) [ ( )]
g x
f x g x
f x g x


=

=

Đáp số:
12
5
12
x k
k
x k

= +




= +


Z
5)
3 3
5 2 3
1 2 2
cos x sin x
sinx cos x
sin x
+

+ = +
ữ
+

(KA 2002)
HD:
3 3
cos
1 2 2

cos x sin x
sinx x
sin x
+
+ =
+
Đáp số:
2 ,
3
x k k


= + Z
6)
( )
1
x2sin1
1xcos223xsin2xcos
2
=
+
+
HD:
sin 2 2sin cosx x x
=

Đáp số:
2 ,
4
x k k

= + Z
(
2 , sin 2 1
4
x k k x


= + = Z n
(không tmđk ))
7) Tìm nghiệm









3;
2
x
:
xsin21
2
7
xcos3
2

5
x2sin
+=















+
Số 2
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Bài 3: Phơng trình bậc cao đối với một hàm
số lợng giác
A .Các ph ơng trình cơ bản
(1): asin
3
(u(x))+bsin
2
(u(x))+csin(u(x))+d=0 (
0a

)
Đặt t=sin(u(x)) Đk :
1 1t
(2): acos
3
(u(x))+bcos
2
(u(x))+ccos(u(x))+d=0 (
0a
)
Đặt t=cos(u(x)) Đk :
1 1t
(3): atan
3
(u(x))+btan
2
(u(x))+ctan(u(x))+d=0 (
0a
)
Đặt t=tan(u(x))
(4): acot
3
(u(x))+bcot
2
(u(x))+ccot(u(x))+d=0 (
0a
)
Đặt t=cot(u(x))
B.C hú ý
3 3

3 2
2 3
1) cos3 4cos 3cos 2) sin 3 3sin 4sin
3 tan tan 3cot 1
3) tan 3 4) cot 3
1 3 tan cot 3cot
x x x x x x
x x x
x x
x x x
= =

= =

C .luyện tập :
Bài1: Giải các phơng trình sau:
3 2
2
1) 4 cos (6 2 3)cos (4 3 3)cos 2 3 0
2) 4cos cos3 6cos 2(1 cos2 )
3) 4(sin 3 cos2 ) 5(sin 1)
4) cos3 3cos2 2(1 cos )
x x x
x x x x
x x x
x x x
+ + + =
= + +
=
+ = +

Bài 2:Giải các phơng trình sau:
3 2
3 2
1) 6 tan (3 2 3) tan (3 3) tan 3 0
2) cot 2cot 3cot 6 0
3) tan 3 tan 2
4) cot 3 cot 2 0
x x x
x x x
x x
x x
+ + + =
+ =
=
+ =
Bài 3:Giải các phơng trình sau:
1
1) 2 cos 2 8cos 7
cos
3
2) cos 6 2sin( 4 ) 3
2
x x
x
x x

+ =
= + +
2
3 4

3) 2 cos 1 3cos
5 5
x x
+ =
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Đáp án-bài3:
Bài1:
1) 2 2 ,
3 6
2) ,
2
x k x k k
x k k




= + = +
= +
Z
Z3
1 1
3) 2 ; arcsin( ) 2 ; arcsin( ) 2 ,
2 4 4
5 5
4) 2 ; arccos( ) 2 ,
4
x k x k x k k
x k x k k

= + = + = +

= = +
Z
Z
Bài2
1
1) ; arctan( ) ; 2 ,
4 2 6
2) arc cot( 2) ; ; ,
6 6
3) ; arctan( 2 1) ; arctan( 2 1) ,
4
4) ; arccot(1 2) ; arccot( 2 1) ,
4
x k x k x k k
x k x k x k k
x k x k x k k
x k x k x k k








= + = + = +

= + = + = +
= + = + = +
= + = + = + +
Z
Z
Z
Z
Bài3
1
1) 2 ; arccos( ) 2 ,
2
2) ,
x k x k k
x k k


= = +
=
Z
Z
5 1 21
3) 5 ; arccos( ) 5 ,
2 4
x k x k k


= = + Z
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
BàI TậP Về NHà
Giải các ph ơng trình sau:

2 2
2
3 2 2
3 2 3 2
1) cos (3 ) cos(2 ) cos 0 ( 2005)
3
2) sin 6 2cos(2 ) 3) sin 3 4 cos 4 3
2
4) 3sin 3cos 7sin cos 2 1 0 5) cos 3cos sin 2 8sin 0
6) 2 tan 5 tan 23 tan 10 0 7) 2cot cot 13cot 6 0
x x x KA
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x

=
= + = +
+ + = + =
+ + = =
HD và Đáp số:
1)
2 2
3 4 2
2
cos 6 1 cos 2 1
: cos 3 ;cos
2 2
1: cos 6 4 cos 2 3cos 2 4cos 2 3cos 1 0
1
2 : cos 2 cos 6 (cos 4 cos8 ) 2cos 4 cos 4 3 0 : ,

2 2
x x
HD x x
c x x x x x
k
c x x x x x x Kq x k

+ +
= =
= =
= + + = = Z
2)
3
3
: cos(2 ) cos(2 2 ) cos(2 ) cos( 2 ) sin 2
2 2 2 2
5 7
4sin 2 sin 2 0; : ; ; ; ,
2 12 12 12
HD x x x x x
k
x x Kq x x k x k x k k




+ = + = = =
= = = + = + = + Z
3)
2 3 2

1 cos 6
: sin 3 4 cos 2 16cos 2 3cos 2 3 0
2
1 9 57
: ; arccos( ) ,
6 2 4
x
HD x x x x
Kq x k x k k



= + =
+
= + = + Z
4)
3 2
1
: 3sin 5sin 7 sin 3 0 sin
3
1 1
: arcsin( ) 2 ; arcsin( ) 2 ,
3 3
HD x x x x
Kq x k x k k

+ + = =
= + = + Z
5)
3

3 2
1
:sin 2 cos (sin sin 3 ); sin 3 3sin 4sin
2
1 1 1
6sin sin 2sin 1 0 sin arcsin( ) 2 ; arcsin( ) 2 ,
3 3 3
HD x x x x x x x
x x x x x k x k k

= + =
+ + = = = + = + Z
6)
1 1
tan 2; tan ; tan 5 : arctan 2 ; arctan( ) ; arctan( 5) ,
2 2
x x x Kq x k x k x k k

= = = = + = + = + Z
7)
1
arc cot( 2) ; arc cot(3) ; arccot( )
2
x k x k x k

= + = + = +
Số 3:
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Bài 4: Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1)Ph ơng trình cơ bản:

2 2
sin cos ( 0)a x b x c a b+ = +
Chú ý:Công thức cộng,cung phụ nhau
a)CM:
2 2 2 2 2 2
sin cos ( 0)a b a x b x a b a b + + + +
b)Gpt:
2 2
sin cos ( 0)a x b x c a b+ = +
2)Ph ơng trình hệ quả
Hệ quả1:
2 2
sin cos ( 0)a x b x c a b = +
Hệ quả 2:
2 2
sin( ) cos( ) ( 0)a nx b nx c a b = +
Hệ quả 3:
2 2
2 2
2 2
2 2
sin( ) cos( ) sin( )
sin( ) cos( ) cos( )
sin( ) cos( ) sin( )
sin( ) cos( ) cos( )
a nx b nx a b ux
a nx b nx a b ux
a nx b nx a b ux
a nx b nx a b ux
+ = +

+ = +
= +
= +
2 2
( 0)a b+
Hệ quả 4:
sin( ) cos( ) sin( ) cos( )a nx b nx c ux d ux =
Đk:
2 2 2 2
0a b c d+ = +
Ph ơng pháp chung :Chia cả hai vế của phơng trình cho
2 2
a b+
rồi sử dụng công thức cộng và
cung phụ nhau đa về pt cơ bản:
( )
( )
( ) ( ) 2
sin( ( )) sin( ( )) ( )
( ) 2
( ) ( ) 2
cos( ( )) cos( ( )) ( )
( ) 2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
f x g x k
f x g x k
f x g x k

= +

=

= +

= +

=

= +

Z
Z
3)Luyện tập:
Bài Bài1: Giải các phơng trình sau:

3
1) 3sin 3 cos
2
x x

+ =

2) 3 cos9 sin 9 2x x+ =

3) cos 7 cos 5 3 sin 2 1 sin 7 sin 5x x x x x =

( ) ( )
4) 1 3 sin 1 3 cos 1x x+ + =

5) 3sin 2 4 cos(3 2 ) 5x x

+ + =

3
6) 4 sin 1 3sin 3 cos3x x x =

7) 2 2(sin cos ) cos 3 cos 2x x x x+ = +
Bài Bài 2:Giải các phơng trình sau:

1) sin 5 3 cos5 2sin17x x x+ =

2) 2sin (cos 1) 3 cos 2
3) 2( 3 sin cos ) 3sin 2 7 cos 2
4) 2(sin 3 cos ) 3 cos 2 sin 2
x x x
x x x x
x x x x
=
= +
+ =

Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm : ( m-1) sin9x+(3m-8)cos9x=13-2m
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Bài 4:
1) Chứng minh rằng

1
2cossin
1sincos2
2

++
++

xx
xx
2) Cho y
m
=
2sincos
1cos2
++
++
xx
mxm
Tìm m để max y
m
đạt giá trị nhỏ nhất
3) Cho y
m
=
2sincos
1cos2
++
++
xx

mxm
Tìm m để (max y
m
)
2
+(min y
m
)
2
=2
4) 4) u =
1sin
1sincos)1(

+
xm
xxm
, v =
1sin
1sincos)1(

+++
xm
xxm

Tìm m để maxu + min v =-6
Đáp án-bài4:
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Bài tập về nhà
Giải các ph ơng trình sau:

HD và đáp số
1)đa về hệ quả 3:
5 2 5
sin 2 3 cos 2 2cos : ; 2 ,
18 3 6
x x x Kq x k x k k


= = + = + Z
2)đa về hệ quả 3:
2 2
3 cos 2 sin 2 2sin 3 : 2 ; ,
3 15 5
k
x x x Kq x k x k


+ = = + = + Z
3)Chia hai vế cho 2:
2 3 2
: ; ,
18 3 10 5
k k
Kq x x k

= + = + Z
4)
7 2
: sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) : 2 ; ,

6 2 6 3 3 6 18 3
k
HD x x x x Kq x k x k


+ = = = = = + Z
5)
sin 2 3 cos 2 3( 3 cos sin )x x x x+ =
chia hai vế cho 2
3 sin( ) sin(2 )
3 3
x x

= +
Đặt t=
3
x



3 sin sin 2 : ; 2 ; 2 ,
3 6 2
t t Kq x k x k x k k


= = = = Z
6)
2 2
2
cos sin cos 2 ; : ( ); ,

3 3
x x x Kq x k x k x k k


= = + = + = Z
7)
3
5 2 2
sin 3 3sin 4sin : ; ,
18 3 6 3
k k
x x x Kq x x k

= = + = + Z
8)
35 53 59
; ;
84 84 84
x x x

= = =
9)
3
2 7 2
: 3sin 3 4sin 3 sin 9 : ; ,
18 9 54 9
k k
HD x x x Kq x x k

= = + = + Z

10)
1) 2 cos (sin 1) 3 cos 2
2) 2sin 3 sin 2 3 cos 2
3) 3 sin 4 cos 4 sin 3 cos
4) 3 sin( ) sin( ) 2sin 2 0
3 6
*5)3cos sin 2 3(cos 2 sin )
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x

=
=
=
+ + =
= +
2 2
3
6) cos 3 sin 2 sin 1
7) 3sin 3 cos 3 4sin 1
2 6
8) 3 sin 7 cos 7 2 ; ( ; ) ( 97)
5 7
x x x
x x x
x x x KTQD

= +

+ =
=
3
4 4
9) 3sin 3 3 cos 9 1 4sin 3
10) 4(sin cos ) 3 sin 4 2
x x x
x x x
= +
+ + =
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
4 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
: sin cos (sin cos ) 2sin cos 1 2sin cos
1 1
1 2(sin cos ) 1 2( sin 2 ) 1 sin 2
2 2
1 1 cos 4 1 cos 4 3 cos 4
1 ( ) 1
2 2 4 4
: ; ,
12 2 4 2
HD x x x x x x x x
x x x x
x x x
k k
Kq x x k

+ = + =
= = =

+
= = =
= + = + Z
Số 4:
BàI 5:PHƯƠNG TRìNH ĐẳNG CấP
A .Các ph ơng trình cơ bản:
2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
4 3 2 2 3 4 2 2
1) sin sin cos cos
2) sin sin cos sin cos cos 0
3) sin sin cos sin cos cos sin cos 0
4) sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos 0
a x b x x c x d
a x b x x c x x d x
a x b x x c x x d x e x f x
a x b x x c x x d x x e x f x g x h
+ + =
+ + + =
+ + + + + =
+ + + + + + + =
B.ph ơng pháp:
1) Cách 1:Sử dụng công thức hạ bậc
Cách 2:Xét hai trờng hợp
Trờng hợp 1:cosx=0 ta có hệ pt
2
cos 0
sin
x

a x d
=


=

Chú ý:
2 2
sin cos 1,x x x+ =
Trờng hợp 2: cosx
0

Chia hai vế cuả PT cho cos
2
x khác 0 ta đợc
2 2 2
tan tan (1 tan ) ( ) tan tan 0a x b x c d x a d x b x c d+ + = + + + =
Đặt t=tanx,phơng trình có dạng
(a-d)t
2
+bt+c-d=0 (1a)
Giải pt (1a) theo t suy ra
KN1:Có nghiệm t
o
0 0
tan arctan ,x t x t k k

= = + Z
KN2:pt(1a) vô nghiệm suy ra pt(1) vô nghiệm
2) Xét hai trờng hợp

Trờng hợp 1: cosx=0
Trờng hợp 2: cosx
0

Chia hai vế cuả PT cho cos
3
x khác 0
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
3) Xét hai trờng hợp
Trờng hợp 1: cosx=0
Trờng hợp 2: cosx
0

Chia hai vế cuả PT cho cos
3
x khác 0
4) Xét hai trờng hợp
Trờng hợp 1: cosx=0
Trờng hợp 2: cosx
0

Chia hai vế cuả PT cho cos
4
x khác 0
C.Luyện tập:
Bài 1:Giải các phơng trình sau:
2
1) 2 3 cos 6sin cos 3 3x x x+ = +
; ,
4 12

x k x k k


= + = + ;Z
2 2
2)sin 2 4sin cos cos 2 3cos 2 3 0x x x x x+ + =
; ,
2 8 2
k k
x x k

= = + Z
2 2
5 3
3)3sin (3 ) 2sin( ) cos( ) 5sin ( ) 0
2 2 2
x x x x


+ + + + =
5
; arctan( ) ,
4 3
x k x k k


= + = + Z
1
4) 3 sin cos
cos

x x
x
+ = ; ,
3
x k x k k


= = + Z
Bài 2:Giải các phơng trình sau:
3 2 3
1) 4sin sin cos 3sin 3cos 0x x x x x + =
; ,
4 3
x k x k k


= + = + Z
3 3
2)cos sin sin cosx x x x =
,
4
x k k


= + Z
3
3)cos3 2sin 3cos 3sin 0x x x x+ + =
,
4
x k k

= + Z
3
4)sin sin 2 sin 3 2cos cos3 3cosx x x x x x+ = + +
; arctan 2 ,
3
x k x k k


= + = + Z
5)1 3sin 2 2 tanx x+ =
3 17
; arctan( ) ,
4 4
x k x k k



= + = + Z
3 1
6) 2sin 2 3 cos
cos sin
x x
x x
+ = +
; ;
4 6
x k x k k

= + = + Z
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Bài tập về nhà
Giải các ph ơng trình sau:
HD và Đáp án:
1)
sin 2 2sin cos ; ; ,
4
x x x x k x k k


= = = + Z
2)
2
3
cos 2 1 2sin ; ; arctan( ) ,
3 9
x x x k x k k


= = + = + Z
3) Đk:
cos 0x
Chia hai vế của pt cho cosx Đs:
; arctan 5 ,
4
x k x k k

= + = + Z
4) Đs:
; ,
4 6
x k x k k


= + = + Z
5)
3
cos3 4cos 3cos ; ; arctan(1 2) ,
4
x x x x k x k k


= = + = + Z
6)
sin( ) sin( ( )) cos( ) cos ; cos( ) cos( ( )) sin( ) sin
2 2 2 2
x x x x x x x x

+ = = = + = = =
Đs:
,
4
x k k


= + Z
7) Đk:

cos 0x
Quy đồng mẫu số đa về pt cơ bản rồi chia hai vế của pt cho cos
3
x khác không
Đsố:
; ,
4 3
x k x k k


= + = + Z
8) HD:
2
sin( ) sin cos cos sin (sin cos )
4 4 4 2
x x x x x

+ = + = +
3 3 2 2 3
( ) 3 3 ; ( )
n n n
a b a a b ab b ab a b
+ = + + + =
Đs:
,
4
x k k


= + Z

9) Cách 1: Đặt
3 3 ; cos3 cos(3 ) cos( 3 ) cos3
3
t x x t x t t t


= + = = = =
Cách 2:
1 3 1
cos( ) cos cos sin sin cos sin (cos 3 sin )
3 3 3 2 2 2
x x x x x x x

+ = = =
3 3 2 2 3 3
( ) 3 3 ;cos3 4cos 3cosa b a a b ab b x x x = + =
2 2
2
3 3 2
2
3
1)sin sin 2 3cos 3
7
2) 4 3 sin cos 4cos cos 2
2
1
3) 4sin 6cos
cos
4)cos 4sin 3cos sin sin 0
5)cos3 12sin cos 3cos 4sin 0

6)sin( ) cos( ) 4sin
2 2
x x x
x x x x
x x
x
x x x x x
x x x x x
x x x

+ + =
+ =
+ =
+ =
+ + =
+ + =
2
3
3
3 3
2
7)sin (tan 1) 3sin (cos sin ) 3 0
8) 2 sin ( ) 2sin
4
9)8cos ( ) cos3
3
10) 2cos( ) sin 3 cos3
6
11)sin cos sin cos
12)cos 2 6sin cos 4sin 1

x x x x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x x x



+ = + =
+ =
+ =
+ =
+ =
=
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Đs:
; ; ,
6 3
x k x k x k k


= = + = + Z
10) Cách 1: Đặt
3 3 ;sin 3 sin(3 ) sin( 3 ) cos3 ;cos3 sin 3
6 2 2 2
t x x t x t t t x t

= + = = = = =
Cách 2:

3 1 1
cos( ) cos cos sin sin cos sin ( 3 cos sin )
6 6 6 2 2 2
x x x x x x x

+ = = =

3 3 2 2 3 3 3
( ) 3 3 ;cos3 4cos 3cos ; sin 3 3sin 4sina b a a b ab b x x x x x x = + = =
Đs:
5
; ; ,
6 12 2
x k x k x k k


= + = + = + Z
11) Đs:
,
2
x k k


= + Z
12) Đs:
; ,
4
x k x k k

= = + Z
Số 5
BàI 6:PHƯƠNG TRìNH Đối xứng
A.Các ph ơng trình cơ bản:
Pt cơ bản:
1) (sin cos ) sin cos 0
2) (sin cos ) sin cos 0
3) sin cos sin cos 0
4) sin cos sin cos 0
a x x b x x c
a x x b x x c
a x x b x x c
a x x b x x c
+ + + =
+ + =
+ + + =
+ + =
Hệ quả:
1) (sin cos ;sin cos ) 0
2) (sin cos ;sin cos ) 0
3) ( sin cos ;sin cos ) 0
4) ( sin cos ;sin cos ) 0
f x x x x
f x x x x
f x x x x
f x x x x
+ =
=
+ =
=

Chú ý:
1)sin cos sin sin( ) 2sin( )cos( ) 2 cos( )
2 4 4 4
x x x x x x

+ = + = =
2)sin cos sin sin( ) 2cos( )sin( ) 2 sin( )
2 4 4 4
x x x x x x

= = =
Ph ơng pháp:
1)Đặt
sin cos 2 cos( ) (1 )
4
x x t x t a

+ = =
Đk:pt (1a) có nghiệm là
2 2t
Từ
2
2 2 2
1
sin cos (sin cos ) 1 2sin cos sin cos
2
t
x x t x x t x x t x x

+ = + = + = =

Khi đó pt(1) có dạng:
2
2
1
( ) 0 2 2 0 (1 )
2
t
at b c bt at c b b

+ + = + + =
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Giải pt(1b) theo ẩn t và chọn nghiệm t=t
0
thoả mãn đk
2 2t

(1 )
0 0
0 0
2 cos( )[ cos( ) arccos( ) 2 ,
4 4 4
2 2
a
t t
t t x t x x k k


= = = = + Z
nếu pt(1b) không có nbghiệm tm đk thì pt(1) vô nghiệm
2)Đặt

sin cos 2 sin( ) (2 )
4
x x t x t a

= =
Đk:pt (2a) có nghiệm là
2 2t
Từ
2
2 2 2
1
sin cos (sin cos ) 1 2sin cos sin cos
2
t
x x t x x t x x t x x

= = = =
3) Đặt
sin cos 2 cos( ) (3 )
4
x x t x t a

+ = =
Đk:pt (3a) có nghiệm là
0 2t
Từ
2
2 2 2
1
sin cos ( sin cos ) 1 2sin cos sin cos

2
t
x x t x x t x x t x x

+ = + = + = =
4)Đặt
sin cos 2 sin( ) (4 )
4
x x t x t a

= =
Đk:pt (4a) có nghiệm là
0 2t
Từ
2
2 2 2
1
sin cos ( sin cos ) 1 2sin cos sin cos
2
t
x x t x x t x x t x x

= = = =
B.luyện tập:Giải các phơng trình sau:
1)sin cos 2sin cos 1 0
2)(1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2
3) 2cos( ) sin cos 1
4
4)sin 2 2 sin( ) 1
4

5)1 tan 2 2 sin
x x x x
x x x x
x x x
x x
x x


+ + =
+ + = +
=
+ =
+ =
3 3
3 3
6) sin cos 4sin 2 1
2
7) (1 sin cos )(sin cos )
2
8)sin cos 1 3sin cos
9) 2(sin cos ) 2 cos 2
5
10)sin( )sin(2005 ) 2sin 2sin( ) 2
2 2
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x

+ =
+ =
+ + =
+ =
+ + + =
Đáp án
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
1) 2 ; 2 ,
2
3
2) 2 ; 2 ; 2 ,
2 4
2 2
3) arccos( ) 2 ,
4 2
4) ; 2 ; 2 ,
4 2
5 11
5) 2 ; 2 ; 2 ,
12 12 4
x k x k k
x k x k x k k
x k k
x k x k x k k
x k x k x k k

= + = +
= + = + = +

= +
= + = + = +
= + = + = +
Z
Z
Z
Z
Z
6) ,
2
3 1
7) 2 ; arccos( ) 2 ,
4 4 2
8) 2 ; 2 ,
2
9) ,
4
10) 2 ; 2 ,
2
k
x k

x k x k k
x k x k k
x k k
x k x k k









=

= + = +
= + = +
= +
= = +
Z
Z
Z
Z
Z
Bài tập về nhà
Giải các ph ơng trình sau:
1) 6(sin cos ) sin cos 6 0
2) (1 sin 2 )(1 cos 2 ) 2
1 1
3) 2 2 sin( )

4 sin cos
4) sin cos sin cos 1
5) 3 sin cos 2sin 2 0
x x x x
x x
x
x x
x x x x
x x x

+ + =
+ + =
+ = +
+ + =
+ =
3 3
3 3 2
3 3 2
3 3
2 3 2 3
6) sin cos sin 2 sin cos
7) sin cos 1 sin 2
8) cos 2 sin 2 1 sin 4
9) sin cos cos 2
10) sin sin sin cos cos cos
x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x

+ = + +
+ = +
= +
=
+ + = + +
HD và Đáp án:
1)
3
2 ; 2 ,
2
x k x k k


= = +
Z
2)
HD:Đặt
sin 2 cos 2 2 cos(2 )
4
x x t x t

+ = =
Đs:
; ,
4
x k x k k


= = +
Z

3) Đk:
sin cos 0 sin 2 0x x x
Đs:
3
; ,
4 4
x k x k k


= + = +
Z
4)
2 ; 2 ; 2 ; 2 ,
2 2
x k x k x k x k k


= + = = + = +
Z
5) Pt vô nghiệm
6) HD:
3 3 3
sin cos (sin cos ) 3sin cos (sin cos )x x x x x x x x+ = + +
,
2
k
x k

= Z
7) HD: Đặt

sin cosx x t+ =
Đs:
2 ; 2 ,
2
x k x k k


= = + Z
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
8) HD:Đặt
sin 2 cos 2 2 sin(2 )
4
x x t x t

= =
Đs:
; ,
2
x k x k k


= = + Z
9) HD:
2 2
cos 2 cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x= = +
Đs:
; 2 ; 2 ,
4 2
x k x k x k k

= + = + = Z
10) HD:
2 2
3 3 2 2
sin cos (sin cos )(sin cos )
sin cos (sin cos )(sin sin cos cos ) (sin cos )(1 sin cos )
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
= +
= + + = +
Pt(10) có dạng:
(sin cos )(sin cos sin cos 2) 0x x x x x x + + + =
Đs:
,
4
x k k


= + Z
Số 6
BàI 7:Phơng trình lợng giác
sử dụng công thức hạ bậc
A.Chú ý
1.Công thức hạ bậc
2.Hằng đẳng thức
2 2 2
2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3

( ) 2 (1)
( )( ) (2)
( )( ) ( ) 3 ( ) (3)
( )( ) ( ) 3 ( ) (4)
a b a b ab
a b a b a b
a b a b a ab b a b ab a b
a b a b a ab b a b ab a b
+ = +
= +
+ = + + = + +
= + + = +
3.ví dụ:
4 4 2 2
4 4 2 2 2 2
6 6 2 2
6 6 3
8 8 4 2
1 1 1 3 1
1.sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
2 2 2 4 4
2.sin cos (sin cos )(sin cos ) cos 2
3 1 3 5 3
3.sin cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
4 4 4 8 8
1 3
4.sin cos cos 2 cos 2
4 4
1
5.sin cos sin 2 sin 2

8
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
+ = = + = +
= + =
+ = = + = +
=
+ =
3 3
1
3
6.sin cos3 cos sin 3 sin 4
4
x
x x x x x
+
+ =
B.Luyện tập: Giải các phơng trình sau:
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
4 4
6 6 2
6 6
8 8
8 8 2
4 4 6 6 2
1
1) sin cos sin 2

2
13
2) cos sin (1 sin 2 )
8
7
3)sin cos
16
17
4)sin cos
32
17
5)sin cos cos 2
16
6)4(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4 1
x x x
x x x
x x
x x
x x x
x x x x x
+ =
=
+ =
+ =
+ =
+ + =
2 2
3 3
4 4 4
2 2 2 2

6
2 2
21
7) sin 4 cos 6 sin(10 )
2
3
8)sin 2 cos 6 sin 6 cos 2
8
1
9)sin sin ( ) sin ( )
4 4 2
10)sin 3 cos 6 sin 5 cos 4 ( 2002)
11)32 cos 1 cos 6
2 1
12) cos cos (sin 1)
3 3 2
x x x
x x x x
x x x
x x x x KB
x x
x x x



= +
+ =
+ + + =
+ = +
= +

+ + + = +
ữ ữ

Đáp số:
1) ,
4
2) ; ,
4 2 6
x k k
x k x k k




= +
= + = +
Z
Z
3) ,
6 2
4) ,
8 4
5) ,
8 4
k
x k
k
x k
k

x k



= +
= +
= +
Z
Z
Z
6) ,
4 2
7) ; ,
2 20 10
5
8) ; ,
48 4 48 4
9) ,
10) ; ,
18 4
1 1
11) ; arccos( ) ,
2 2 4
5
12) 2 ; 2 ; 2 ,
2 6 6
k
x k
k
x k x k

k k
x x k
x k k
k k
x x k
x k x k k
x k x k x k k










= +
= + = +
= + = +
=
= =
= + = +
= + = + = +
Z
Z
Z
Z
Z
Z

Z
Đỗ Thế Nhất Trờng THPT Kẻ Sặt-Bình Giang-Hải Dơng
Bài tập về nhà
Giải các phơng trình sau:
4 4
6 6
6 6
8 8
4 4
1) sin cos 1 2sin
2 2
2) sin cos cos 4
3) 16(sin cos 1) 3sin 6 0
1
4) sin cos
8
1
5) sin cos ( )
4 4
x x
x
x x x
x x x
x x
x x

+ =
+ =
+ + =
+ =

+ + =
2 2 2 2
2 2 2
3 3
2
4 6
6) sin sin 3 cos 2 cos 4
7) sin cos 2 cos 3
8) 4sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos 4 3
4
9) cos cos( ) 0
3
10) cos cos 2 2sin 0
x x x x
x x x
x x x x x
x
x
x x x
+ = +
= +
+ + =
=
+ =
HD-Đáp án:
1)
,x k k

= Z
2)

,
2
k
x k

= Z
3) Đa về ptb3 ẩn là sin2x
Đs:
5
; ; ,
2 12 12
k
x x k x k k


= = + = + Z
4)
,
4 2
k
x k

= + Z
5) HD:
2 4 2
1 cos(2 )
1 sin( 2 ) 1 sin 2 1 cos 2
2
cos ( ) ;sin ( )
4 2 2 2 2

x
x x x
x x


+ +
+
+ = = = =
Đs:
; ,
4
x k x k k


= = + Z