Đề thi thử ĐH môn Toán chuyên Tràn Phú Hải Phòng có đáp án

wWw.VipLam.Info
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – THÁNG 12/2010
Môn thi: TOÁN HỌC – Khối A, B
Thời gian: 180 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I:

x+2
( C) .
x−2
1. Khảo sát và vẽ ( C ) .
Cho hàm số y =

2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( −6;5 ) .
Câu II:
π

1. Giải phương trình: cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷.
4

3
3
 x + y = 1
2. Giải hệ phương trình:  2
2
3
 x y + 2xy + y = 2

Câu III:
Tính I =

π
4

dx

∫ cos x ( 1 + e )

−

π
4

2

−3x

Câu IV:
Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng 2. Với
giá trị nào của góc α giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất?
Câu V:
Cho a, b,c > 0 : abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1
+
+
≤1

a + b +1 b + c +1 c + a +1
Câu VI:
1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A ( 1;0 ) , B ( −2;4 ) ,C ( −1; 4 ) , D ( 3;5 ) và đường
thẳng d : 3x − y − 5 = 0 . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích
bằng nhau.
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:
 x = −1 + 2t
x y −1 z + 2

d1 : =
=
;
d 2 : y = 1 + t
2
−1
1
z = 3

Câu VII:
20 C02010 21 C12010 2 2 C22010 23 C32010
22010 C 2010
2010
A=
−
+
−
+ ... +
Tính:
1.2
2.3

3.4
4.5
2011.2012


wWw.VipLam.Info
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN 2
Câu I:
1. a) TXĐ: ¡ \ { 2}
b) Sự biến thiên của hàm số:
-) Giới hạn, tiệm cận:
y = −∞, lim y = +∞ ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng.
+) xlim
→2
x →2
+) lim y = lim y = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.
−

x →−∞

+

x →+∞

-) Bảng biến thiên :
4
y' = −
< 0 ∀x ≠ 2
2
( x − 2)

c) Đồ thị :
-) Đồ thị cắt Ox tại ( −2;0 ) , cắt Oy tại ( 0; −1) , nhận I ( 2;1) là tâm đối xứng.

2. Phương trình đường thẳng đi qua A ( −6;5 ) là ( d ) : y = k ( x + 6 ) + 5 .
(d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :


wWw.VipLam.Info

4
x+2

x+2

−
× x + 6) + 5 =
k
x
+
6
+
5
=
2 (
(
)


x−2
x−2


 ( x − 2)
⇔


4
4
k = −
k = −
2
2


( x − 2)
( x − 2)

Suy ra có
2
−4 ( x + 6 ) + 5 ( x − 2 ) = ( x + 2 ) ( x − 2 )
4x 2 − 24x = 0
 x = 0;k = −1


⇔
⇔
⇔
4
4
k
=

−
 x = 6;k = − 1
k
=
−
2
2


4
( x − 2)

( x − 2)


x 7
2 tiếp tuyến là : ( d1 ) : y = − x − 1; ( d 2 ) : y = − +
4 2
Câu II:
π

1. cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷
4

⇔ 2cos x cos 2x = 1 + sin 2x + cos2x
⇔ 2cos 2 x + 2sin x cos x − 2cos x cos 2x = 0
⇔ cos x ( cos x + sinx − cos2x ) = 0

⇔ cos x ( cos x + sinx ) ( 1 + sinx − cosx ) = 0


π
 x = + kπ
2

cos x = 0
π


⇔ cos x + sinx = 0 ⇔  x = − + kπ
4
1 + sinx − cosx = 0


 
π
1
sin  x − 4 ÷ = −
2

 
π

x
=
+ kπ

π

2
x

=
+ kπ


π
2
 x = − + kπ


π

4
⇔
⇔  x = − + kπ
4
 x − π = − π + k2π


 x = k2π
4
4


π 5π

x − =
+ k2π

4 4

wWw.VipLam.Info

1 3
1 1 3 3

2x
+
=
2
x
−
y
+
(
)

 − ÷=  − ÷

y x


y x x y
2. 
⇔
2y + 1 = 3
2x + 1 = 3


x y

y x
x = y

4( x − y)

2 ( x − y ) = −
xy

  xy = −2
⇔
⇔
1
3
2x + =
2x + 1 = 3


y x
y x
x = y

x = y = 1
 2x + 1 = 3

 x = y = −1

x x
⇔ 
⇔ 
2

 y=−
x = 2, y = − 2

x
 
 x = − 2, y = 2

x 3
 2x − =
2 x
 
Câu III:
d ( x2 )
xdx
11
1 1 dt
I=∫ 4
=
=
2
2 ∫0 ( x 2 ) 2 + x 2 + 1 2 ∫0 t 2 + t + 1
0 x + x +1
1

3

11
dt
12
du

= ∫
=
2
∫
2 0  1 2  3 
2 1 2  3 2
2 u +
÷
÷
t + ÷ +
 2  2 
 2 
3
3 dy
 π π
tan y, y ∈  − ; ÷ ⇒ du =
×
Đặt u =
2
2 cos 2 y
 2 2
1
π
3
π
u = ⇒ y = ;u = ⇒ y =
2
6
2
3

π
π
3
dy
3
1
1 3
π
2
⇒I= ∫
=
dy =
∫
2 π cos 2 y ×3 × 1 + tan 2 y
3π
6 3
(
)
6
6
4
Câu IV:
Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:


wWw.VipLam.Info

·
SMN
= α,d ( A; ( SBC ) ) = d ( N; ( SBC ) ) = NH = 2

S

NH
2
4
=
⇒ SABCD = MN 2 =
sin α sin α
sin 2 α
tan α
1
SI = MI.tan α =
=
sin α cosα
1
4
1
4
⇒ VSABCD = × 2 ×
=
2
3 sin α cosα 3.sin α.cosα
sin 2 α + sin 2 α + 2cos 2α 2
sin 2 α.sin 2 α.2cos 2α ≤
=
3
3
1
⇒ sin 2 α.cosα ≤

3
2
VSABCD min ⇔ sin α.cosα max
⇒ MN =

⇔ sin 2 α = 2cos 2α ⇔ cosα =
Câu V:
Ta có:
a+b=

(

3

)(
ab (

a+3b

⇒ a + b +1 ≥

3

1
⇒
≤
a + b + 1 3 ab

(

)

a 2 − 3 ab + 3 b 2 ≥ 3 ab

3

a + 3 b + 1 = 3 ab

)

1
a+ b+ c
3

C

D
N
M

I
A

B

1
3

3

3

H

3

)

=

(

3

3

a+3b

)

c
a+ b+3c

suy ra OK!
Câu VI:
1. Giả sử M ( x; y ) ∈ d ⇔ 3x − y − 5 = 0.

)

a + 3 b + 3 abc = 3 ab

3

3

(

3

(

3

a+3b+3c

) Tương tự


wWw.VipLam.Info
AB = 5,CD = 17
uuur
uuur
AB ( −3;4 ) ⇒ n AB ( 4;3) ⇒ PT AB : 4x + 3y − 4 = 0
uuur
uuur
CD ( 4;1) ⇒ n CD ( 1; −4 ) ⇒ PT CD : x − 4y + 17 = 0

SMAB = SMCD ⇔ AB.d ( M;AB ) = CD.d ( M;CD )

4x + 3y − 4
x − 4y + 17

= 17 ×
⇔ 4x + 3y − 4 = x − 4y + 17
5
17
3x − y − 5 = 0
⇒
 4x + 3y − 4 = x − 4y + 17
 3x − y − 5 = 0

3x + 7y − 21 = 0
7 
⇔
⇒ M1  ;2 ÷, M 2 ( −9; −32 )
 3x − y − 5 = 0
3 

 5x − y + 13 = 0
⇔ 5×

2. Gọi M ∈ d1 ⇒ M ( 2t;1 − t; −2 + t ) , N ∈ d 2 ⇒ N ( −1 + 2t ';1 + t ';3 )
uuuur
⇒ MN ( −2t + 2t '− 1; t + t '; − t + 5 )
uuuur uur
MN.u1 = 0
2 ( −2t + 2t '− 1) − ( t + t ' ) + ( − t + 5 ) = 0
⇔
 uuuur uur
2 ( −2t + 2t '− 1) + ( t + t ' ) = 0
MN.u1 = 0
−6t + 3t '+ 3 = 0

⇔
⇔ t = t' =1
−
3t
+
5t
'
−
2
=
0

uuuur
⇒ M ( 2;0; −1) , N ( 1;2;3 ) , MN ( −1;2;4 )
⇒ PT MN :

x − 2 y z +1
= =
−1
2
4

Câu VII:
20 C02010 21 C12010 2 2 C22010 23 C32010
2 2010 C 2010
2010
A=
−
+
−

+ ... +
1
2
3
4
2011
Ta có:


wWw.VipLam.Info

2k C k2010
( −2 ) 2010! = ( −2 ) 2010!
=
( −1)
( k + 1) k!( 2010 − k ) !( k + 1) ( k + 1) !( 2010 − k ) !
k

k

k

1
( −2 ) 2011!
1
k +1
+1
=
×
=−

×( −2 ) C k2011
2011 ( k + 1) !( 2011 − k − 1) !
4022
k

1 
1
2
2011

× ( −2 ) C12011 + ( −2 ) C 22011 + ... + ( −2 ) C 2011
2011 
4022 
1 
1
2011
0
=−
× ( −2 + 1) − ( −2 ) C02011  =
 2011
4022 

⇒A=−