Một số tính chất hình học của nhóm LIE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THẢO

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
CỦA NHÓM LIE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THẢO

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
CỦA NHÓM LIE
CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔPÔ
MÃ SỐ: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG


3

NGHỆ AN - 2014


MỤC LỤC
Trang

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ................................................................2
1.1. Đa tạp khả vi...........................................................................................3
1.1.1. Định nghĩa.......................................................................................3
1.1.2. Chú ý...............................................................................................3
1.1.3. Ví dụ................................................................................................4
1.1.3. Định nghĩa.......................................................................................6
1.1.4. Mệnh đề (xem [3])...........................................................................7
1.1.5. Định nghĩa.......................................................................................8
1.1.6. Nhận xét..........................................................................................9
1.1.7. Định nghĩa.....................................................................................10
1.1.8. Mệnh đề (xem [3])..................................................................10
1.1.9. Định nghĩa.....................................................................................10
1.1.10. Mệnh đề (xem [3]).......................................................................11
1.1.11. Nhận xét (xem [3])......................................................................11
1.1.12. Định lý (xem [5]).........................................................................12
1.2. Liên thông tuyến tính.......................................................................12
1.2.1. Định nghĩa.....................................................................................12
1.2.2. Ví dụ..............................................................................................12
1.2.3. Mệnh đề (xem [7]).........................................................................13
...............................................................................................................14
1.2.4. Mệnh đề (xem [3])................................................................14
1.2.5. Định lý (xem [5])...........................................................................14
1.2.6. Mệnh đề (xem [3]).........................................................................15

Chương II
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE......17
2.1. Nhóm Lie..............................................................................................17
2.1.1. Định nghĩa.....................................................................................17
2.1.2. Ví dụ..............................................................................................17
2.1.3. Nhận xét........................................................................................18
2.1.4. Định nghĩa ....................................................................................19
2.1.5. Mệnh đề (xem [4]).........................................................................19
2.1.6. Định nghĩa.....................................................................................20


5
2.1.7. Nhận xét........................................................................................20
2.1.8. Định nghĩa.....................................................................................20
2.1.9. Mệnh đề (xem [4])........................................................................21
2.1.10. Mệnh đề.......................................................................................22
2.2. Trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie............................................23
2.2.1. Định nghĩa.....................................................................................23
2.2.2. Ví dụ..............................................................................................23
2.2.3. Mệnh đề (xem [6])................................................................24
2.2.4. Mệnh đề (xem [1]).........................................................................24
2.2.5. Mệnh đề.........................................................................................25
2.2.6. Mệnh đề (xem [3]).........................................................................26
2.2.7. Nhận xét........................................................................................26
2.2.8. Ví dụ..............................................................................................27
2.3. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie.........................27
2.3.1. Định nghĩa.....................................................................................27
2.3.3. Mệnh đề.........................................................................................29
2.3.4. Hệ quả............................................................................................30
2.3.5. Định lý (xem [7])...........................................................................30

2.3.6. Bổ đề.............................................................................................31
2.3.7. Mệnh đề..................................................................................32
2.3.8. Ví dụ..............................................................................................33


1
LỜI NÓI ĐẦU
Nhóm Lie là một đối tượng của toán học hiện đại, nó là sự kết hợp giữa
các ngành giải tích, hình học và đại số. Do đó, nhóm Lie có nhiều ứng dụng
trong toán học, vật lý và các ngành khoa học kỹ thuật.
Lý thuyết về nhóm Lie đã được trình bày trong nhiều tài liệu tham khảo
(chẳng hạn [4], [6],…) của các nhà toán học trong và ngoài nước.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số các khái niệm và tính chất
cơ bản của nhóm Lie. Luận văn được mang tên: Một số tính chất hình học
của nhóm Lie.
Luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản về cấu trúc
khả vi, trường vectơ tiếp xúc và liên thông tuyến tính trên đa tạp. Chương này
được xem như là phần cơ sở cho việc trình bày ở chương 2.
Chương 1 được chia thành 2 mục:
1.1.

Đa tạp khả vi.

1.2.

Liên thông tuyến tính.

Chương 2: Một số tính chất hình học của nhóm Lie.

Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi
trình bày một số tính chất cơ bản về nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái
trên nhóm Lie, đạo hàm của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie và nhóm Lie
tác động trên đa tạp.
Chương 2 được trình bày trong 3 mục:
2.1. Nhóm Lie.
2.2. Trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie.
2.3. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại khoa Toán, trường
Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Hữu Quang. Tác giả
xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với sự hướng dẫn tận tình của thầy.


2
Nhân dịp hoàn thành luận văn này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy,
cô giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán,
khoa sau đại học Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, đã tạo điều
kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường
THPT Tân Kỳ 3, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, giúp đỡ tác
giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Vinh, tháng 10 năm 2014
Tác giả

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ


3
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về đa tạp

khả vi, bao gồm các định nghĩa và ví dụ về đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc,
trường vectơ trên đa tạp và một số tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính
trên đa tạp khả vi.
1.1. Đa tạp khả vi
Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết rằng M là một không gian tôpô
Hausdoff với cơ sở đếm được.
Như ta đã biết (xem [3]), một bản đồ của M ( hoặc hệ tọa độ địa phương
của M) đó là một cặp (U , ϕ ) ; trong đó U là một tập mở trong M và ϕ là một
phép đồng phôi từ U → V ; ở đây V là tập mở trong ¡ n .
• Hai bản đồ (U1 , ϕ1 ) và (U 2 , ϕ2 ) của M được gọi là phù hợp nếu ánh xạ

ϕ2ϕ1−1 là một vi phôi ( trong trường hợp U1 ∩ U 2 = ∅ , ta quy ước (U1 , ϕ1 ) và
(U 2 , ϕ2 ) là phù hợp).
• Một họ bản đồ

{ (U

α

, ϕα ) } α ∈I được gọi là một alat của M nếu hai bản đồ

bất kỳ của họ trên phù hợp và

UUα =

α ∈I

M.

1.1.1. Định nghĩa

+ Một atlat cực đại của M được gọi là một cấu trúc khả vi của M.
+ M được gọi là đa tạp khả vi n-chiều nếu trên M đã được trang bị một
cấu trúc khả vi.
1.1.2. Chú ý
+ Một atlat cực đại của M là một atlat không bị chứa trong một atlat nào.
+ Hai atlat của M được gọi là phù hợp nếu mỗi bản đồ của atlat này đều
phù hợp với một bản đồ bất kỳ của atlat kia. Rõ ràng hợp của hai atlat phù
hợp cũng là một atlat của M. Do đó theo nguyên lý cực đại thì trên M luôn tồn
tại cấu trúc khả vi.


4
+ Từ tính chất phù hợp của các bản đồ trong một atlat nên trong thực hành khi
cần chỉ ra một cấu trúc khả vi của M, ta thường chỉ ra một atlat có số bản đồ ít nhất.
+ Trên cùng M ta có thể trang bị được những cấu trúc khả vi khác nhau
để tạo thành các đa tạp khả vi khác nhau.
1.1.3. Ví dụ
2
3
2
2
2
Ta xét M = S = { A( x, y, z ) ⊂ ¡ ( x + y + z = 1} . Khi đó S 2 là một đa tạp

khả vi 2-chiều với cấu trúc khả vi sau đây:
U1 = {A( x, y, z ) ∈ S 2 | z > 0}
U 2 = {A( x, y, z ) ∈ S 2 | z < 0


V1 = {A '( x, y ) ∈ ¡ 2 | x 2 + y 2 < 1 V2 = {A '( x, y ) ∈ ¡ 2 | x 2 + y 2 < 1


;
ϕ1 : U1 → V1
ϕ 2 : U 2 → V2
 A( x, y, z ) a A '( x, y )
 A( x, y, z ) a A '( x, y )


U 3 = {A( x, y, z ) ∈ S 2 | y > 0}

V3 = {A '( x, z ) ∈ ¡ 2 | x 2 + z 2 < 1}
;

ϕ3 : U 3 → V3
 A( x, y, z ) a A '( x, z )


U 4 = {A( x, y, z ) ∈ S 2 | y < 0}

V4 = {A '( x, z ) ∈ ¡ 2 | x 2 + z 2 < 1}

ϕ 4 : U 4 → V4
 A( x, y, z ) a A '( x, z )


U 5 = {A( x, y , z ) ∈ S 2 | x > 0}

V5 = {A '( y, z ) ∈ ¡ 2 | y 2 + z 2 < 1}

;

ϕ5 : U 5 → V5
 A( x, y , z ) a A '( y, z )


U 6 = {A( x, y, z ) ∈ S 2 | x < 0}

V6 = {A '( y , z ) ∈ ¡ 2 | y 2 + z 2 < 1}

ϕ6 : U 6 → V6
 A( x, y, z ) a A '( y, z )


Thật vậy:
+) ( U1 , ϕ1 ) là một bản đồ của S 2 .
• Giả sử A( x1 , y1 , 1 − x12 − y12 ) ; B ( x2 , y2 , 1 − x22 − y22 ) ∈ U1 và ϕ1 ( A) = ϕ1 ( B)

khi đó :
x = x
ϕ1 ( x1 , y1 , 1 − x12 − y12 ) = ϕ2 ( x2 , y2 , 1 − x22 − y22 ) ⇒  1 2 ⇒ A ≡ B.
 y1 = y2
•

Với

( x, y ) ∈ V1

ϕ1 ( X ) = ϕ1 ( x, y, 1 − x 2 − y 2 ) = ( x, y ).

ta
(2)

có

(1)

X ( x, y, 1 − x 2 − y 2 ) ∈ V1

và


5
Từ (1) và (2) ta suy ra ϕ1 là song ánh.
• ϕ1 là phép chiếu từ U1 lên V1 nên ϕ1 là ánh xạ liên tục.

(3)

• Ta có

ϕ1−1 : V1 → U1 ,
( x, y ) a ( x, y, 1 − x 2 − y 2 ).

là liên tục vì các hàm tọa độ của nó liên tục.

(4)

Từ (3) và (4) ta thấy rằng ϕ1 là phép đồng phôi từ U1 → V1 , vậy ( U1 , ϕ1 ) là
một bản đồ của S 2 .
Chứng minh tương tự ta cũng có ( U i ,Vi ) là bản đồ của S 2 , ∀i = 2, 6 .
+) ( U1 , ϕ1 ) và ( U 3 , ϕ3 ) là phù hợp.
• Thật vậy, ở trên ta đã chỉ ra ( U1 , ϕ1 ) và ( U 3 , ϕ3 ) là các bản đồ của S 2 . Ta đặt

{

}

W = U1 ∩ U 3 = A( x, y, z ) ∈ S 2 | z > 0, y > 0 ≠ ∅ .

{

}

{

}

W1 = ϕ1 (W) = A′( x, y ) ∈ ¡ 2 | x 2 + y 2 < 1, y > 0 .
W3 = ϕ3 (W) = A′( x, y ) ∈ ¡ 2 | x 2 + z 2 < 1, z > 0 .

ϕ13 = ϕ3 o ϕ1−1 : W1 → W3 ,
( x, y ) a ϕ13 ( x, y ).

ϕ13 ( x, y ) = (ϕ3 o ϕ1−1 )( x, y ) = ϕ3 (ϕ1−1 ( x, y )) = ϕ3 ( x, y, 1 − x 2 − y 2 ) = ( x, 1 − x 2 − y 2 ) .

Ta nhận thấy ϕ13 là một song ánh.
• Ta đặt ϕ13 = ( f1 , f 2 ) sao cho
f1 : W1 → ¡ 2 ,
( x, y ) a x.
f 2 : W3 → ¡ 2 ,
( x, y ) a

1 − x2 − y 2 .

• Vì f1 , f 2 khả vi nên ϕ13 khả vi.
• Ta có


6
ϕ13−1 : W3 → W1 ,
( x, z ) a ( x, 1 − x 2 − z 2 ).

Khi đó ϕ13−1 khả vi. Chứng minh tương tự như trên ta thu được các cặp
còn lại: ( U i , ϕi ) và ( U j , ϕ j ) phù hợp ∀i, j ∈1, 6 .
6

+) Rõ ràng

UU
i =1

i

= S2 . W

Bây giờ ta xét các đa tạp khả vi M với cấu trúc khả vi { ( Uα , ϕα ) } α∈I và đa
tạp N với cấu trúc khả vi { ( U β ,ψ β ) } β ∈J . Ánh xạ liên tục f : M → N ; p a f ( p ) ,
−1
được gọi là khả vi tại p ∈ M nếu ψ β o f o ϕα khả vi tại ϕα ( p) ; với ∀ Uα chứa p

và ∀U β chứa f ( p) .
Ánh xạ f được gọi là khả vi trên M nếu f khả vi tại ∀p ∈ M .

1.1.3. Định nghĩa
+) Giả sử ρ : J → M ; t a ρ (t ) là cung khả vi ( J là khoảng mở trong ¡ và
ρ (t0 ) = p ).

Ánh xạ v : ℑ( p) → ¡ ; f a v( f ) =

d
f o ρ (t ) | t =t0 được gọi là véctơ tiếp xúc với
dt

ρ tại p (ở đây ℑ( p ) là tập hợp tất cả các hàm số khả vi tại p).

+) Mỗi véc tơ v tiếp xúc với cung ρ tại điểm p thì ta củng nói v tiếp
xúc với M tại p .
Ta kí hiệu:
Tp ( M ) = {v | v tiếp xúc với M tại p }.

Nhận xét:
+) Trong bản đồ ( U , ϕ ) của M, p ∈ U thì ϕ ( p) = ( p1 ,..., pn ) ∈ ¡ n . Ta nói
( p1 ,..., pn ) là tọa độ của p đối với (U , ϕ ) .

Như vậy, trong bản đồ ( U , ϕ ) thì đường cong ρ (t ) đi qua điểm p được
cho bởi ρ (t ) = ( x1 (t ),..., xn (t )) , với ( x1 (t0 ),..., xn (t0 )) = p .


7
∂

+) Với mỗi i ∈ { 1,..., n} thì ∂x | p ∈ Tp ( M ) .
i

Thật vậy:
Ta xét ρi : t a ( p1 ,..., p + t ,..., pn ), ρi (t = 0) = p , khi đó:
i

d
d
∂f
ρi o f |t =0 = f ( p1 ,..., pi + t ,..., pn ) |t =0 = 1.
|t =0 ; ∀f ∈ ℑ( M ) .
dt
dt
∂xi

vj ( f ) =
∂

Từ đó vi = ∂x | p .
i
Ta đưa vào Tp M hai phép toán :
(v1 + v2 )( f ) = v1 ( f ) + v2 ( f ) và (λ v)( f ) = λ (v ( f )); ∀λ ∈ ¡ , ∀f ∈ ℑ( p ) .

1.1.4. Mệnh đề (xem [3])
Tp ( M ) cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ n-chiều.

Chứng minh: +) Ta thấy rằng với hai phép toán trên Tp ( M ) là một
n


∂ 
không gian vectơ. Ở đây, ta chứng minh ei = | p  là cơ sở của Tp ( M ) .

∂xi i =1


Thật vậy: • ei ∈ Tp M ; ∀i = 1,..., n. (vì ei là vectơ tiếp xúc với đường cong
ρi : t a ( p1 ,..., pi + t ,..., pn ) tại p = ρ (t = 0); ở đây t ∈ J = (a, b) ⊃ 0) .
n

n

n

i =0

i =1

i =1

• ∑ λi ei = 0 ⇒ ∑ λi ei (x j ) = 0 ⇒ ∑ λi

∂
| p ( x j ) = 0 ⇒ λ j = 0; ∀j = 1,..., n ;
∂xi

Ở đây xj : M → R, x (x1,…,xn) a xj

.

n

 ∂ 

Vậy  | p  độc lập tuyến tính.
 ∂xi i =1

(1)

• Ta xét v ∈ Tp ( M ) , giả sử v tiếp xúc với ρ (t ) tại p = ρ (t0 ) ta có:
v( f ) =

n
d
d
∂f
f o ρ (t ) |t =t0 =
f ( x1 (t ),..., xn (t )) |t =t0 = ∑ xi′(t0 ).
|p
dt
dt
∂xi
i =1


8
n

= (∑ xi′(t0 ).
i =1

∂
| p )( f ); ∀f ∈ ℑ( M )
∂xi

n

⇒ v = ∑ xi′(t0 ).
i =1

n
∂
| p = ∑ xi′(t0 ).ei .
∂xi
i =1

(2)

n


∂ 
Như vậy ei = | p  là một hệ sinh của Tp ( M ) .
∂xi i =1

n


∂ 
Từ (1) và (2), ta thấy rằng ei = | p  là cơ sở của Tp ( M ) .
∂xi i =1


Do đó, dim Tp ( M ) = n.

Chú ý: Trong trường hợp M = ¡ n . Giả sử { 0, e1 ,..., en } là mục tiêu tự nhiên
n

của ¡

n

và vectơ gốc p là v p = ∑ vi ei . Khi đó:
i =1

n

n

i =1

i =1

v p ( f ) = ∑ vi ei ( f ) =∑ vi

n
∂
∂
| p ( f ); ∀f ∈ ℑ( p ) ⇒ v p = ∑ vi
|p .
∂xi
∂xi
i =1

Điều này chứng tỏ rằng mỗi vectơ thông thường có gốc p trong ¡

một vectơ tiếp xúc với đa tạp ¡

n

n

là

tại p và mỗi ei là một phép đạo hàm riêng

trên ¡ n .
1.1.5. Định nghĩa
Một trường vectơ tiếp xúc trên M là một ánh xạ
X :M →

UT M,
p

p∈M

p a X ( p) = X p ;

Trong đó X p ∈ Tp M .
Chú ý: +) Với mỗi trường vectơ tiếp xúc X và mỗi f ∈ ℑ( M ) , ta có X(f) là
một hàm số từ M → R, được xác định bởi X(f) (p) = Xp(f); ∀p ∈ Μ .
n

+) Trong hệ tọa độ địa phương ( Uα , ϕα ), ta có X ( f ) = ∑ X i
i =1

∂f
; ở đây X i
∂xi

là hàm số xác định trên Uα .
+) X được gọi là khả vi nếu X i khả vi i =1 ,..., n , ∀(Uα , ϕα ) .


9
Ta ký hiệu: B( M ) = { X | X là trường vectơ tiếp xúc khả vi trên M}. Hai
phép toán trên B( M ) được cho bởi:
X + Y : p a X p + Yp ; ∀p ∈ M và ϕ X : p a ϕ ( p ). X p ; ϕ ∈ ℑ( M ), ∀p ∈ M .

1.1.6. Nhận xét
a) B( M ) cùng với hai phép toán nói trên lập thành một môđun trên ℑ( M ) .
→
Thật vậy : +) Trường vectơ O của B( M ) là ánh xạ o : p a o ; ∀p ∈ M .

+) (ϕ ( X + Y )) p = ϕ ( p) ×( X + Y )
= ϕ ( p )( X p + Yp ) = ϕ ( p ) X p + ϕ ( p )Yp = (ϕ X ) p + (ϕY ) p
= (ϕ X + ϕY ) p ; ∀p ∈ M .
⇒ ϕ ( X + Y ) = ϕ X + ϕY .

+) Mỗi X∈ B(M),X : p a X p , đều có phần tử đối − X : p a − X p .
Thật vậy: X + (− X )) p = X p + (− X p ) = O p ; ∀p ∈ M .
⇒ X + (− X ) = 0.

Ta thấy rằng các tiên đề còn lại của môđun cũng được thỏa mãn.
b) Mỗi trường vectơ tiếp xúc X của M là một phép đạo hàm trên ℑ( M )
Thật vậy, với X ∈ B( M ) , ta có :

X : ℑ( M ) → ℑ( M ), f a

( X ( f )( p) := X p ( f ); ∀p ∈ M ).

X ( f ) ; với

+ )( X ( f + g ))(p) = X p ( f + g ) = X p ( f ) + X p ( g ) = X ( f )( p ) + X ( g )( p ); ∀p ∈ M .
⇒ X ( f + g ) = X ( f ) + X ( g ).

+) X (λ f )(p) = X p (λ f ) = λ ( X ( f ))( p); ∀p ∈ M ⇒ X ( λ f ) = λ X ( f ) , ∀λ ∈ ¡ .
+ ) X ( f .g )( p ) = X p ( f .g ) = f ( p ). X p ( g ) + g ( p ). X p ( f )
= ( f . X ( g ))( p ) + ( g . X ( f ))( p ); ∀p ∈ M .

⇒ X ( f .g ) = f . X ( g ) + g . X ( f ).


10
1.1.7. Định nghĩa
Giả sử X , Y ∈ B( M ) . Tích Lie của X , Y là một trường vectơ tiếp xúc trên
M được kí hiệu [ X , Y ] và được xác định:

[ X ,Y ]

( f ) = X (Y ( f )) − Y ( X ( f ); ∀f ∈ ℑ( M ).

1.1.8. Mệnh đề

(xem [3])

a) [ X , Y ] = − [ Y , X ] ; (tính phản xứng của tích Lie).

b) [ X , Y ] , Z  + [ Y , Z ] , X  + [ Z , X ] , Y  = 0; ∀X , Y , Z ∈ B( M ) ; (hệ thức Jacôbi
của tích Lie).
Chứng minh: Tính chất a) được suy ra từ định nghĩa tích Lie của hai
trường vectơ. Ở đây ta kiểm tra hệ thức Jacôbi của tích Lie.
∀f ∈ ℑ( M ), ta có:
+) [ X , Y ] , Z  ( f ) = ([ X , Y ] ( Z ( f )) − ( Z ([ X , Y ] ( f )) = [ X , Y ] ( Z ( f )) − Z ([ X , Y ] ( f ))
= X (Y ( Z ( f ))) − Y ( X ( Z ( f ))) − Z ( X (Y ( f ))) + Z (Y ( X ( f ))).

(1)

+ ) [ Y , Z ] , X  ( f ) = [ Y , Z ] ( X ( f )) − ( X ([ Y , Z ] ( f ))
= Y ( Z ( X ( f )) − Z (Y ( X ( f )) − X (Y ( Z ( f ))) + X ( Z (Y ( f ))).

(2)

+ ) [ Z , X ] , Y  ( f ) = [ Z , X ] (Y ( f )) − Y ([ Z , X ] ( f )) =
= Z ( X (Y ( f ))) − X ( Z (Y ( f ))) − Y ( Z ( X ( f ))) + Y ( X ( Z ( f ))).

(3)

Từ đó, [ X , Y ] , Z  + [ Y , Z ] , X  + [ Z , X ] , Y  = 0; ∀X , Y , Z ∈ B( M ) . W
1.1.9. Định nghĩa
Cho ánh xạ khả vi f : M → N ; p a f ( p) . Ánh xạ tiếp xúc tại p ∈ M , được
ký hiệu f∗ | p (v) : Tp M → T f ( p ) N và được xác định như sau: với v là vectơ tiếp
xúc với cung ρ (t ) ⊂ Μ tại p = ρ (t0 ) thì f∗ | p (v) là vectơ tiếp xúc với cung
f o ρ (t ) tại p′ = f ( p ) .


11
1.1.10. Mệnh đề (xem [3])

f∗ | p (v ) = J f | p [ v ] ở đây J f | p

n

v = ∑ vi
i =1

v1 
. 
 
là Jacôbi của f tại p và [ v ] = .  , với
 
. 
vn 

∂
| p′ .
∂xi

Chứng minh: Giả sử trong hệ tọa độ đia phương (Uα , ϕα ) của M,
ρ (t ) = ( x1 (t ),..., xn (t ) ) và trong hệ tọa độ địa phương (Vβ ,ψ β ) ,
f o ρ (t ) = y1 ( x1 (t ),..., xn (t )),..., yk ( x1 (t ),..., xn (t ))) . Ta có :
d
d
f o ρ (t ) |t =t0 = y1 ( x1 (t ),..., xn (t )),..., yk ( x1 (t ),..., xn (t ))) |t =t0
dt
dt
n
n


dyk 
∂y 
∂y1
 dy1
′
=
,...,
=  ∑ xi (t0 )
| p ,..., ∑ xi′ (t0 ) k | p ÷
÷
dt t =t0  i =1
∂xi
∂xi 
 dt
i =1
f ∗ | p (v ) =

 ∂y1 ∂y1   x1′ (t0 ) 

 ∂x ... ∂x  .


1
n



=J | v .
= ..............  .

f p [ ]





 ∂yk ... ∂yk  .

 ∂x1 ∂xn  p x ′ (t ) 
 n 0 

1.1.11. Nhận xét (xem [3])
a) f∗ | p : Tp M → T f ( p ) N là ánh xạ tuyến tính.
b) v′f ( p ) ( g ) = f∗ | p (v)( g ) = v( gf ), ∀g ∈ ℑ( N ) .
Thật vậy:
+) Nhận xét a) được suy ra từ mệnh đề 1.10.
+) Ta đặt f∗ | p (v) = v′f ( p ) , khi đó:
v′f ( g ) =

d
d
g o ( f o ρ (t ))t =t0 = ( g o f ) o ρ (t ))t =t0 = v( g o f ); ∀g ∈ ℑ( N ) .
dt
dt


12
Ta chú ý rằng trong trường hợp f là vi phôi, X ∈ B( M ) thì f∗ X là trường
vectơ tiếp xúc của N.
1.1.12. Định lý (xem [5])

Giả sử f : M → N ; p → f ( p ) là vi phôi khi đó, f∗ [ X , Y ] = [ f∗ X , f∗Y ]
Chứng minh:

[ f∗ X , f∗Y ]

( g ) = f∗ X ( f∗Y ( g ) − f ∗Y ( f ∗ X ( g )); ∀g ∈ ℑ( N )

= X ( f∗Y ( g )) − Y ( f∗ X ( g )) = X (Y ( gf )) − Y ( gf ) = [ X , Y ] ( gf )
= f∗ [ X , Y ] ( g ); ∀p ∈ M , ∀g ∈ ℑ( N ).

⇒ [ f∗ X , f∗Y ] = f∗ [ X , Y ] p ⇒ [ f∗ X , f∗Y ] = f ∗ [ X , Y ] .

1.2. Liên thông tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa
Một liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi M, đó là ánh xạ
∇ : B( M ) × B ( M ) → B ( M ) , ( X , Y ) a ∇ X Y sao cho:

1) ∇ X (Y + Z ) = ∇ X Y + ∇ X Z ; ∀X , Y , Z ∈ B( M ).
2) ∇ X +Y Z = ∇ X Z + ∇Y Z ; ∀X , Y , Z ∈ B( M ).
3) ∇ϕ X Y = ϕ∇ X Y ; ∀X , Y ∈ B( M ). ∀ϕ ∈ ℑ( M ) .
4) ∇ X (ϕY ) = X [ ϕ ] Y + ϕ∇ X Y ; ∀X , Y ∈ B( M ). ∀ϕ ∈ ℑ( M ) .
1.2.2. Ví dụ
1
n

a) Giả sử M = ¡ 3 , ta xét ∇ X Y = DX Y + X ∧ Y ; ∀X , Y ∈ B (¡ 3 ), n ∈ ¥ ∗ và D là
đạo hàm thông thường của các trường vectơ trong ¡ 3 . Khi đó ∇ là một liên
thông tuyến tính.
Thật vậy:
1

1
1
1)∇ X (Y + Z ) = DX (Y + Z ) + ( X ∧ (Y + Z )) = DX Y + DX Z + X ∧ Y + X ∧ Z
n
n
n

= ∇XY + ∇X Z .
1
n

1
n

1
n

2) ∇ X +Y Z = DX +Y Z + ( X + Y ) ∧ Z )) = DX Z + DY Z + X ∧ Z + Y ∧ Z = ∇ X Z + ∇Y Z


13
1
n

1
n

3) ∇ϕ X Y = Dϕ X Y + (ϕ X ∧ Y ) = ϕ ( DX Y + X ∧ Y ) = ϕ∇ X Y ; ∀ϕ ∈ ℑ(¡ 3 ) .
1
1

X ∧ (ϕY ) = X [ϕ ] ×Y+ϕ DX Y + ϕ ( X ∧ Y )
n
n
1
= X [ ϕ ] .Y + ϕ ( DX Y + X ∧ Y ) = X [ ϕ ] Y + ϕ∇ X Y ; ∀ϕ ∈ ℑ(¡ 3 ).
n
4)∇ X ( ϕY ) = DX ϕY +

b) Giả sử S là một mặt trong ¡ 3 . Ta đặt ∇ X Y = ( DX Y ) , ∀X , Y ∈ B( S ) ;
T

T
(Ở đây ( DX Y ) là thành phần tiếp xúc với S của DX Y ). Khi đó ∇ X Y là

liên thông tuyến tính trên S .
Thật vậy, ta có :
+) ∇ X (Y + Z ) = ( DX (Y + Z ))T = ( DX Y + DX Z )T = ( DX Y )T + ( DX Z )T = ∇ X Y + ∇ X Z .
+) ∇ X +Y Z = ( DX +Y Z ) = ( DX Z + DY Z ) = ( DX Z )T + ( DY Z ) = ∇ X Z + ∇Y Z .
T

T

T

+) ∇ϕ X Y = ( Dϕ X Y ) = ( ϕ DX Y ) = ϕ ( DX Y ) = ϕ∇ X Y .
T

T

T

+ )∇ X ϕY = ( DX ϕY ) = ( X [ ϕ ] .Y ) + ϕ ( DX Y ) = X [ ϕ ] .Y + ϕ ( DX Y )
T

T

T

T

= X [ ϕ ] .Y + ϕ∇ X Y .

1.2.3. Mệnh đề (xem [7])
Cho ∇ là liên thông tuyến tính trên M và ánh xạ song tuyến tính
:
S : B ( M ) × B ( M ) → B( M ) . Khi đó ∇
= ∇ + S cũng là một liên thông tuyến tính

trên M .
~

Chứng minh: Ta kiểm tra 4 tiên đề của một liên thông tuyến tính đối với ∇ .
Thật vậy, với mọi X , Y , Z ∈ B( M ) , ta có:
:

•) ∇ X ( Y + Z ) = ( ∇ + S ) X (Y + Z ) = ∇ X (Y + Z ) + S ( X , Y + Z )
= ∇ X Y + ∇ X Z + S ( X ,Y ) + S ( X , Z )
:

:

= ( ∇ X Y + S ( X ,Y )) + ( ∇ X Z + S ( X , Z )) = ( ∇ + S ) X Y + ( ∇ + S ) X Z = ∇ X Y + ∇ X Z.
:

•) ∇ X +Y Z = ( ∇ + S ) X +Y Z = ∇ X +Y Z + S ( X + Y , Z ) = ∇ X Z + ∇Y Z + S ( X , Z ) + S (Y , Z )
:

:

= (∇ X Z + S ( X , Z )) + ( ∇Y Z + S (Y , Z ) ) = ( ∇ + S ) X Z + ( ∇ + S ) Y Z = ∇ X Z + ∇Y Z .


14
+) Với ∀ϕ ∈ ℑ( M ) , ta có:
:

∇ϕ X Y = ( ∇ + S ) ϕ X Y = ∇ϕ X Y + S (ϕ X , Y ) = ϕ∇ X Y + ϕ S ( X , Y ) = ϕ (∇ X Y + S ( X , Y ))
:

= ϕ (∇ + S ) X Y = ϕ ∇ X Y .
:

•) ∇ X (ϕY ) = ( ∇ + S ) X (ϕY ) = ∇ X (ϕY ) + S ( X , ϕY ) = X [ ϕ ] Y + ϕ ( ∇ X Y + S ( X , Y ) )
:

= X [ϕ] Y +ϕ ∇X Y.

1.2.4. Mệnh đề (xem [3])
1 2
Giả sử ϕ ,ψ ∈ ℑ( M ) và ∇, ∇, là liên thông tuyến tính trên M . Khi đó,

1

2

∇ = ϕ ∇+ψ ∇ là liên thông tuyến tính trên M nếu và chỉ nếu ϕ +ψ = 1 .

Chứng minh:
+) Điều kiện cần: Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên M thì
∀X , Y ∈ B ( M ), f ∈ ℑ( M ) , ta có:
1

2

1

2

∇ X fY = ϕ ∇ X fY + ψ ∇ X fY = ϕ X [ f ] .Y + ϕ f ∇ X Y + ψ X [ f ] .Y + ψ f ∇ X Y
2
 1

= (ϕ +ψ ) X [ f ] .Y + f  ϕ ∇ X Y + ψ ∇ X Y ÷ = ( ϕ +ψ ) X [ f ] .Y + f ∇ X Y .



Mặt khác ∇ X fY = X [ f ] .Y + f ∇ X Y .

(1)

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ϕ +ψ = 1 .
+) Điều kiện đủ: Ta cần chứng minh ∇ là liên thông tuyến tính trên M
với ϕ +ψ = 1 .
Rõ ràng, ∇ thỏa mãn các điều kiện T1, T2, T3. Ở đây, ta kiểm tra T4. Với
1

2

1

2

f ∈ ℑ( M ), ∇ X fY = ϕ ∇ X fY + ψ ∇ X fY = ϕ X [ f ] .Y + ϕ f ∇ X Y + ψ X [ f ] Y + ψ f ∇ X Y
2
 1

= ( ϕ + ψ ) X [ f ] Y + f  ϕ ∇ X Y +ψ ∇ X Y ÷ = X [ f ] Y + f ∇ X Y .



Bây giờ ta xét vi phôi f : M → N . Với ∇ là liên thông tuyến tính trên M,
~ ~
ta đặt ( f∗∇) X% Y% = f∗ ( ∇ X Y ) ; ở đây X% = f∗ X , Y% = f∗Y ; ∀ X , Y ∈ B( N ) .

1.2.5. Định lý (xem [5])


15
f∗∇ là liên thông tuyến tính trên N .

Chứng minh:

(

)

•) ( f∗∇ ) X% Y% + Z% = f∗ ( ∇ X (Y + Z ) ) = f∗ ( ∇ X Y ) + f∗ ( ∇ X Z ) = ( f ∗∇ ) X% Y% + ( f ∗∇ ) X% Z% .
~
~
•) ( f∗∇ ) ϕ% X% Y% = f∗ ( ∇ϕ X Y ) = f∗ ( ϕ .∇ X Y ) = ϕ%.( f∗∇) X% Z% . Với ϕ = ϕ o f , ϕ ∈ ℑ( N ) .

•) ( f∗∇ ) ( X% +Y% ) Z% = f∗ ( ∇ X +Y Z ) = f ∗ (∇ X Z + ∇Y Z ) = ( f ∗∇ ) X% Z% + ( f∗∇ ) Y% Z% .

( )

•) ( f∗∇ ) X% . ϕ%Y% = f∗ (∇ X ϕY );

ϕ = ϕ% o f , ϕ% ∈ ℑ( N )

= f∗ ( X [ ϕ ] .Y + ϕ .∇ X Y ) = X% [ ϕ% ] .Y% + ϕ% ( f∗∇ ) X% Y%.

1.2.6. Mệnh đề (xem [3])
a) ( ∇ X Y ) phụ thuộc vào Y tại lân cận của điểm p .
b) (∇ X Y ) p Phụ thuộc X p tại từng điểm.
Chứng minh:
a) Trước hết ta chứng minh nếu Y |U = 0, U mở trong M thì ∇ X Y = 0 .
Thật vậy, với p ∈U , ta chọn f ∈ ℑ( M ) và tập đóng V trong M, sao cho
p ∈ V ⊂ U , f |V = 0 và f | ( M \ U ) = 1 khi đó f .Y = Y .

Ta có:

( ∇ X Y ) ( p) = ( ∇ X f .Y ) ( p) = ( X [ f ] .Y ) ( p) + ( f .∇ X Y ) ( p)
= X [ f ] ( p )Y ( p ) + f ( p ) ( ∇ X Y ) ( p ) = 0; ∀p ∈ U .
Ta giả sử:

(

)

(

)

Y |U = Y% |U ⇒ Y − Y% |U = 0 ⇒ ∇ X Y − ∇ X Y% |U = 0

(

)

⇒ ( ∇ X Y ) ( p ) = ∇ X Y% ( p ); ∀p ∈ U .
n

b) Giả sử X ( p) = 0, ( Uα , ϕα ) là bản đồ chứa p . Khi đó X = ∑ X i Ei , ở đây
i =1

{ Ei } là cơ sở của
Ta có:

B (Uα ) và X i ( p ) = 0, ∀i = 1, n .

16



n
 n

Y ÷( p ) =  ∑ X i ∇ Ei Y ÷( p ) = ∑ X i ( p) ∇ Ei Y ( p ) = 0 .
i =1
∑ X i Ei ÷
 i =1

 i=1


( ∇ X Y ) ( p) =  ∇

n

(

)

Mặt khác, nếu X ( p) = X% ( p) , thì ( X − X% ) ( p ) = 0.
Khi đó, ( ∇ X − X% Y ) ( p) = ( ∇ X Y ) ( p) − ( ∇ X% Y ) ( p) = 0 ⇒ ( ∇ X Y ) ( p) = ( ∇ X% Y ) ( p).


17

Chương II
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE
2.1. Nhóm Lie
2.1.1. Định nghĩa
Một tập hợp G ≠ φ được gọi là một nhóm Lie nếu thỏa mãn ba điều kiện
sau đây:
i) G là một đa tạp khả vi với hệ bản đồ { ( U α , ϕα ) } α∈ I .
ii) G là một nhóm với phép toán nhân: ϕ: G × G → G ; (a, b) a a.b .
iii) Các phép toán ϕ và ψ : G → G ; a a a −1 là các ánh xạ khả vi.
2.1.2. Ví dụ
a) Giả sử G = R n , với phép toán cộng thông thường. Khi đó R n là một nhóm.
• R n là một đa tạp khả vi với cấu trúc được xây dựng từ tập bản đồ

{ (U

α

= R n , ϕα = id )} .

• Các phép toán

ϕ: R n × R n → R n ; a(ai ), b (bi ) ,
(a, b) a a + b (ai + bi ) .
ψ: Rn → Rn ,
a( ai ) a − a (− ai ) .

ϕ và ψ là các ánh xạ khả vi. Như vậy R n là nhóm Lie.

{

}

b) Giả sử G = Gl(n, R ) = A(aij ) n | A |≠ 0, aij ∈ R} là nhóm nhân với phép
nhân hai ma trận.
•

G là một đa tạp khả vi với cấu trúc khả vi cảm sinh từ đa tạp
M n = { A(aij ) n A lµ ma trËn thùc} .

•

Các ánh xạ:


18
ϕ : Gl(n, R) × Gl(n, R) → Gl(n, R),

(
và

A( aij ), B (bij ) )

n


a AB = C  Cij = ∑ aik bkj ÷.
k =1



ψ : Gl(n, R ) → Gl(n, R) ,
A a A−1 .

Khi đó các ánh xạ ϕ và ψ là các ánh xạ khả vi.
2.1.3. Nhận xét
+ Mỗi a∈G ta chú ý tới các ánh xạ sau đây:
La : G → G
x a ax

Ra : G → G

;

x a xa

.

−1
−1
Khi đó ( La ) = La−1 và ( Ra ) = Ra −1 . Ta nhận thấy rằng La và Ra là các

vi phôi từ G → G . Ta gọi La và Ra tương ứng là các phép tịnh tiến trái và tịnh
tiến phải theo a trong G.
+ Giả sử F là tập đóng trong G. Khi đó aF đóng trong G; ∀a∈G .
Thật vậy, aF = La(F). Do La vi phôi bên La(F) đóng.
+ F mở trong G, U⊂ G . Khi đó U .F mở trong G.
(aF ) . Do aF = La(F) nên aF mở. Từ đó ta suy ra
Thật vậy, U .F = aU
∈U
U (aF ) mở trong G.

a∈U

+ Ta đặt ad a : G → G; x a axa −1; ∀x∈G . Khi đó ada là vi phôi trên G.

(

)

−1
Thật vậy: ad a ( x) = axa = La Ra −1 ( x ) .

Do La , Ra−1 là các vi phôi trên G nên ada là vi phôi trên G.
+ Với hai phần tử bất kỳ p, q∈G đều tồn tại a∈G , sao cho Ra ( p) = q .
Thật vậy: Ta xét a = p −1q . Khi đó Ra ( p) = p( p −1q ) = q .
Từ nhận xét này, ta thấy rằng một nhóm Lie G là một không gian thuần nhất.


19
2.1.4. Định nghĩa
Một tập con H ⊂ G được gọi là nhóm Lie con của G nếu thỏa mãn:
1) H là nhóm con của G.
2) H là một đa tạp con của G.
Ví dụ: G = R 3 là một nhóm Lie với phép cộng thông thường.
H = { ( x, y, o)∈ R 3 x, y∈ R} .
Khi đó H là một nhóm Lie con của G.
Thật vậy:
3
• H là nhóm con với phép cộng thông thường của G = R .
3

• H là đa tạp con với cấu trúc cảm sinh từ G = R .

2.1.5. Mệnh đề (xem [4])
Giả sử H là nhóm Lie con mở của G. Khi đó H đóng trong G.
Chứng minh:
Ta lấy y ∈ G \ H .
Khi đó yH ∩ H = φ .
Thật vậy, nếu có z ∈ ( yH ∩ H ) ⇒

 z∈H

 z ∈ yH .

⇒

z = y ×h; h∈ H .

⇒

y = z ×h −1 ∈ H ;

điều này mâu thuẫn với y ∉ H .
Theo giả thiết, H mở trong G, ta suy ra yH mở trong G. Do đó yH là lân
cận mở của y và yH ⊂ (G \ H ) .
Điều này chứng tỏ rằng G\H là tập mở trong G.
Như vậy H đóng trong G.



20
Từ mệnh đề trên, ta nhận thấy rằng, nếu G là một nhóm Lie liên thông
thì G không có một nhóm Lie con thực sự mở trong G.
2.1.6. Định nghĩa
Cho G và G’ là hai nhóm Lie và f là một ánh xạ từ G và G’. f được gọi
là đồng cấu Lie nếu f khả vi và f đồng cấu nhóm.
Một đồng cấu Lie f : G → G ' được gọi là đẳng cấu Lie nếu f song ánh.
2.1.7. Nhận xét
+ Với mỗi a∈G thì các ánh xạ ada, La, Ra là các đẳng cấu Lie.
+ Ta ký hiệu D = {f | f đẳng cấu Lie: G → G }. Khi đó D là một nhóm
với phép toán hợp thành các đẳng cấu Lie.
+ Giả sử ϕ là đẳng cấu Lie từ G vào G’.
Khi đó:

ϕ o La = Lϕ( a ) o ϕ; ∀a∈G .

Thật vậy, ta có:

(ϕ o La )( x) = ϕ(a.x)
= ϕ(a).ϕ( x)
= ( Lϕ( a ) o ϕ)( x); ∀x∈G.

⇒

ϕ o La = Lϕ( a ) o ϕ.

Bây giờ ta xét sự tác động của nhóm Lie lên đa tạp M.
2.1.8. Định nghĩa
Ta nói một nhóm Lie G tác động lên M nếu có ánh xạ
ϕ : G × M → M ; ϕ( g , x) a gx; g ∈G, x∈M .

thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ϕ là ánh xạ khả vi từ G × M vào M.
2) ex = x, ∀x∈M , ở đây e là đơn vị của G.
3) g1 ( g 2 x) = ( g1 g 2 ) x, ∀g1 , g 2 ∈G, ∀x∈M .
Ta ký hiệu: Với mỗi x∈G, S x := { g ∈G gx = x} . Sx được gọi là nhóm con
ổn định của x.