Tư liệu bài giảng luyện thi vào lớp 10 THPT chuyên toán

Tư liệu bài giảng luyện thi vào lớp 10 THPT chuyên toán (09-10)
ĐỀ SỐ I: (22 – 04 – 2010)
Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức P =

(

a−

b

)

2

a+

+ 4 ab
b

:

ab
a b−b a

a/ Xác định a ; b để biểu thức có nghĩa và hãy rút gọn P.
b/ Tính giá trị của P khi a = 15 − 6 6 + 33 − 12 6 và b = 24 .
Hướng dẫn:
a) P có nghĩa khi a > 0 ; b > 0 và a ≠ b
P=

a − 2 ab + b + 4 ab

a+

b

⋅

ab ( a −

b)

=

ab

(

b

a+

b

(3 − 6 )

b) Với a = 15 − 6 6 + 33 − 12 6 =

)

a−
2

2

+

⋅( a −

(3 − 2 6 )

b) = a − b
2

=

= 3 − 6 + 3 − 2 6 = 3 − 6 + 2 6 − 3 = 6
Với b = 24 = 2 6
Do đó P = a − b = 6 − 2 6 = − 6
Bài 2 : (2 điểm)
x + my = 3m

a/ Cho hệ phương trình 

2
mx − y = m − 2

Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 − 2x − y > 0.
b/ Giải phương trình x2 − x −
Hướng dẫn:

1

1
+ 2 − 10 = 0
x
x

x + my = 3m

Cho hệ phương trình 

a)

(1)

2

mx − y = m − 2

(2)

Từ(1) ta có x = 3m − my (3). Thay (3) vào (2): m(3m − my) − y = m-2 − 2.
⇔ 3m2 − m2y − y = 2(m2 + 1) ⇔ (m2 + 1)y = 2(m2 + 1)
2(m 2 + 1)
Vì m + 1 > 0 với mọi m nên y =
= 2.
m2 + 1
2

Thay y = 2 vào (3) ta có x = 3m − m.2 = m.
Vậy nghiệm (x ; y) của hệ phương trình là (x = m ; y = 2)
Để x2 − 2x − y > 0 thì m2 − m − 2 > 0 ⇔ (m − 1)2 − ( 3 )2 > 0

⇔ (m − 1 − 3 ).(m − 1+ 3 ) > 0
m

m
⇔ 
m

m

−1 − 3 > 0
−1+ 3 > 0
−1 − 3 < 0
−1 + 3 < 0

m

m
⇔ 
m

m

>1+ 3
> 1− 3
<1+ 3

m >1+ 3

⇔ 

 m < 1 − 3

<1− 3

Vậy khi m > 1 + 3 hoặc m < 1 − 3 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 − 2x − y >
0.
1
1
+ 2 − 10 = 0 (1). Điều kiện x ≠ 0.
x
x
1
1
1
1
Phương trình (1) ⇔ (x2 + 2 ) − (x + ) − 10 = 0 ⇔ (x2 + 2 + 2 ) − (x + ) − 12 = 0
x
x
x
x

b) Giải phương trình x2 − x −

Trang 1


1
x

1

x

⇔ (x + )2 − (x + ) − 12 = 0 (*).
1
x

Đặt y = x + . Phương trình (*) trở thành : y2 − y − 12 = 0 ⇒ y1 = − 3 ; y2 = 4.
Với y = − 3 ⇒ x +
Với y = 4 ⇒ x +

1
3+ 5
3− 5
= − 3 ⇔ x2 + 3x + 1 = 0 ⇒ x1 =
; x1 =
x
2
2

1
= 4 ⇔ x2 − 4x + 1 = 0 ⇒ x3 = 2 +
x

3 ; x4 = 2 −

3

Các giá trị của x vừa tìm được thỏa mãn x ≠ 0.
Vậy nghiệm số của (1) là : x1 =

3+ 5
3− 5
; x1 =
; x3 = 2 +
2
2

3 ; x4 = 2 −

3

Bài 3 : (2 điểm)
Một ô tô đi quãng đường AB dài 80 km trong một thời gian đã định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô
chạy nhanh hơn dự định 10 km/h, quãng đường còn lại ô tô chạy chậm hơn dự định 15 km/h. Biết
rằng ô tô đến B đúng giờ quy định. Tính thời gian ô tô đi hết quãng đường AB.
Hướng dẫn :
Gọi x (km/h) là vận tốc dự định của ô tô đi từ A đến B ( x> 15)
Thời gian ô tô dự định đi từ A đến B

80
(h)
x

Vận tốc ô tô khi đi ba phần tư quãng đường AB là x + 10 (km/h)
Thời gian ô tô đi ba phần tư quãng đường AB là

60
(h)
x + 10

Vận tốc ô tô khi đi một phần tư quãng đường AB là x − 15 (km/h)

20
(h)
x − 15
60
20
80
Ô tô đến B đúng giờ quy định nên ta có phương trình :
+
=
x + 10
x − 15
x

Thời gian ô tô đi một phần tư quãng đường AB là

⇔

3
1
4
+
= ⇔ 3x(x − 15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x − 15)
x + 10
x − 15
x

⇔ 4x2 − 35x = 4x2 − 20x − 600 ⇔ 15x = 600 ⇒ x = 40 (thỏa mãn điều kiện)
Do đó vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h.

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 80 : 40 = 2 (giờ).
Bài 4 : (3 điểm)
Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, C ≠ B). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng AB, kẻ tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I ≠ A), tia vuông
góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.
y
x
1/ Chứng minh:
a/ Tứ giác CPKB nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
K
b/ AI.BK = AC.BC
1
P
c/ ∆ APB vuông.
I
2/ Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C sao cho diện
tích của tứ giác ABKI đạt giá trị lớn nhất.
2
1
Hướng dẫn:
O2
1. a/ P nằm trên đường tròn tâm O1
01
đường kính IC ⇒ IPC = 900
1
1
1
2

Trang 2A

C

B


Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù)
⇒ CPK = 900
Do đó CPK + CBK = 900 + 900 = 1800
Nên CPKB nội tiếp đường tròn tâm O2
đường kính CK.
b/ Vì ICK = 900 ⇒ C1 + C2 = 900
∆ AIC vuông tại A ⇒ C1 + A1 = 900
⇒ A1 + C2 và có A = B = 900
Nên ∆ AIC
∆ BCK (g.g)
⇒

AI
AC
=
⇒ AI . BK = AC . BC (1)
BC BK

c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt cùng chắn cung PC)
Trong (O2) có B1 = K1 (gnt cùng chắn cung PC)
Mà I2 + K1 = 900 (Vì ∆ ICK vuông tại C)
⇒ A1 + B1 = 900, nên ∆ APB vuông tại P.
2/ Ta có AI // BK ( vì cùng vuông góc với AB, nên ABKI là hình thang vuông..
Do đó SABKI =

1
.AB.(AI + BK)
2

Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi. Suy ra SABKI lớn nhất ⇔ BK lớn nhất
Từ (1) có AI . BK = AC . BC ⇒ BK =

AC . BC
.
AI

Nên BK lớn nhất ⇔ AC . BC lớn nhất.
Ta có

(

AC −

BC

)

2

≥ 0 ⇒ AC + BC ≥ 2 AC . BC ⇔

AC . BC ≤

AC + BC

2

AB
AB2
⇔ AC . BC ≤
.
2
4
AB
AB2
Vậy AC . BC lớn nhất khi AC . BC =
⇔ AC = BC =
⇔ C là trung điểm của AB.
2
4

⇔

AC . BC ≤

Vậy SABKI lớn nhất khi C là trung điểm của AB.
Bài 5 : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008
Hướng dẫn:
Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008.
• Cách 1 :
Từ 1003x + 2y = 2008 ⇒ 2y = 2008 − 1003x ⇒ y = 1004 −

1003x
2

1003x
2008
>0 ⇒x<
2
1003
2008
Suy ra 0 < x <
và x nguyên ⇒ x ∈ {1 ; 2}
1003
1003
Với x = 1 ⇒ y = 1004 −
∉ Z nên x = 1 loại.
2
1003. 2
Với x = 2 ⇒ y = 1004 −
= 1 ∈ Z+ nên x = 2 thỏa mãn.
2

Vì y > 0 ⇒ 1004 −

Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = 2 ; y =1.
• Cách 2 :
Vì x ; y là các số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 ⇒ 1003x < 2008
⇒x<

2008
< 3 . Do x ∈ Z+ ⇒ x ∈ {1 ; 2}
1003

Trang 3

Với x = 1 ⇒ 2y = 2008 − 1003 = 1005 ⇒ y =

1005
∉ Z+ nên x = 1 loại.
2

Với x = 2 ⇒ 2y = 2008 − 2006 = 2 ⇒ y = 1 ∈ Z+ nên x = 2 thỏa mãn.
Vậy x ; y nguyên dương phải tìm là x = 2 ; y =1.
ĐỀ SỐ2 :(26 – 04 – 2010)
Bài 1 : (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10.
a/ Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b/ Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x 1 ; x2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x12 + x22 + x1x2 khi m thay đổi.
Bài 2 : (2 điểm)
a/ Giải phương trình :
x + 15 + 8 x − 1 +

x + 3+ 4 x −1 = 6

b/ Chứng minh rằng : Với mọi a ; b không âm ta có
a3 + b3 ≥ 2ab ab .
Khi nào xảy ra dấu đẳng thức?
Bài 3 : (2 điểm)
Một phòng họp có 360 ghế ngồi, được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau.
Nhưng do số người đến dự họp là 400 nên đã phải kê thêm mỗi hàng một ghế ngồi và thêm một hàng
như thế nữa mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu ở trong phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có
bao nhiêu ghế ngồi.

Bài 4 : (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R). Gọi H là giao điểm hai đường cao BD và CE
của tam giác ABC.
a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn này.
b/ Vẽ đường kính AK của đường tròn (O ; R). Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng.
c/ Giả sử BC =

3
AK. Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R.
4

Bài 5 : (1 điểm)
x2 − x − 1
Cho y =
, Tìm tất cả giá trị x nguyên để y có giá trị nguyên.
x +1

Gợi ý và cách giải:
Bài 1:
a/ Hoành độ giao điểm của Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số của
phương trình: x2 = 4mx + 10 ⇔ x2 − 4mx − 10 = 0 (1)
Phương trình (1) có ∆’ = 4m2 + 10 > 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó
Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = − 10
F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2 − 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2 − x1x2 = 16m2 + 10 ≥ 10
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 16m2 = 0 ⇔ m = 0.
Vậy GTNN của F = 10 khi m = 0.
Bài 2:
a/ Giải phương trình: x + 15 + 8 x − 1 + x + 3 + 4 x − 1 = 6 Điều kiện x ≥ 1
⇔

x − 1 + 2 x − 1. 4 + 16 +

x − 1+ 4 +

x − 1 + 2 x − 1.2 + 4 = 6 ⇔

(

x − 1+ 4

)

2

+

x −1 + 2 = 6

⇔ 2 x − 1+ 6 = 6 ⇔

x − 1 = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Trang 4

(

x −1 + 2

)

2

=6 ⇔


Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.
2
b/ Với a , b ≥ 0 ta có: a − b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2 ab
Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 − ab) = (a + b).[(a + b)2 − 3ab] ≥ 2 ab [(2 ab )2 − 3ab]
⇒ a3 + b3 ≥ 2 ab (4ab − 3ab) = 2 ab .ab = 2ab ab
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Vậy với mọi a, b không âm ta có a3 + b3 ≥ 2ab ab .
Bài 3:
Gọi x (hàng) là số hàng ghế ban đầu trong phòng họp (x nguyên, dương)

(

Do đó

)

360
(ghế) là số ghế ban đầu của mỗi hàng .
x

x + 1 (hàng) là số hàng ghế lúc dự họp trong phòng họp
Do đó

400

(ghế) là số ghế lúc dự họp của mỗi hàng
x +1

Khi dự họp mỗi hàng kê thêm một ghế ngồi, ta có phương trình :
400
360
−
= 1 ⇔ x2 − 39x + 360 = 0.
x +1
x

Giải phương trình được x1 = 24 ; x2 = 15. Cả hai giá trị của x đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy ban đầu trong phòng họp có 24 hàng ghế, mỗi hàng có 15 ghế ngồi.
Hoặc ban đầu trong phòng họp có 15 hàng ghế, mỗi hàng có 24 ghế ngồi.
Bài 4:
a/ Ta có BD và CE là hai đường cao cua ∆ABC
A
Nên BEC = BDC = 900
D
Suy ra BCDE nội tiếp đường tròn.
b/ Ta có BH // CK (cùng vuông góc với AC).
E
O
Và CH // BK (cùng vuông góc với AB).
H
Nên BHCK là hình bình hành.
C
F
B
I

Do đó hai đường chéo BC và HK giao nhau tại
trung điểm của mỗi đường.
K
Mà I là trung điểm của BC ⇒ I cũng là trung điểm
củaHK .Nên H, I, K thẳng hàng.
c/ Gọi F là giao điểm của AH và BC.
AB BF
=
⇒ AB. KC = AK. BF
AK KC
AC CF
=
Và ∆ ACF ∽ ∆ AKB (g.g) ⇒
⇒ AC. KB = AK. CF
AK KB

Ta có ∆ ABF ∽ ∆ AKC (g.g) ⇒

(1)
(2)

Cộng (1) và (2) theo vế ta có: AB. KC + AC. KB = AK. BF + AK. CF
= AK.(BF + CF) = AK.BC
Mà BC =

3
3
3
3
AK ⇒ AB. KC + AC. KB = AK. AK = AK2 = .(2R)2 = 3R2

4
4
4
4

Bài 5:

1
x2 − x − 1
Với x ≠ − 1 ta có y =
=x−2+
.
x +1
x +1
1
Với x ∈ Z thì x + 2 ∈ Z. Để y ∈ Z thì
∈ Z ⇒ x + 1 ∈ {− 1 ; 1}
x +1

• x + 1 = − 1 ⇒ x = − 2 (thỏa mãn điều kiện).
• x + 1 = 1 ⇒ x = 0 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy y có giá trị nguyên khi x = − 2 ; x = 0 .
Trang 5


Đề số 3 (28 – 04 – 2010)
Câu I: (3 điểm)
1) Giải các phương trình sau:

a) 5.x − 45 = 0 b) x(x + 2) – 5 = 0

2

x
2
b) Điểm M

2) Cho hàm số y = f(x) =
a) Tính f(-1) ;
Câu II: (2 điểm)
1) Rút gọn biểu thức


4   a −1

(

)

2;1 có nằm trên đồ thị hàm số không ? Vì sao ?

a +1 

−
P =  1 − ÷. 
÷ với a > 0 và a ≠ 4.
a −2÷
 a   a +2

Câu III: (1 điểm)

Tổng số công nhân của hai đội sản xuất là 125 người. Sau khi điều 13 người từ đội thứ nhất sang đội thứ

hai thì số công nhân của đội thứ nhất bằng

2
số công nhân của đội thứ hai. Tính số công nhân của mỗi đội
3

lúc đầu.
Câu IV: (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O. Lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại 2
điểm B, C (AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt D,
E (AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.
1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
2) Gọi M là giao điểm thứ hai của đường thẳng FB với đường tròn (O). Chứng minh DM ⊥ AC.
3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2.
Câu V: (1 điểm)Cho biểu thức :
B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008.

Tính giá trị của B khi x =

1
.
2

2 −1
2 +1

ĐÁP ÁN VÀ BÀI LÀM
Câu I:

1) a) 5.x − 45 = 0 ⇔ 5.x = 45 ⇔ x = 45 : 5 ⇔ x = 3.
b) x(x + 2) – 5 = 0 ⇔ x2 + 2x – 5 = 0
∆ ’ = 1 + 5 = 6 ⇒ ∆ ' = 6 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1,2 = −1 ± 6 .
2) a) Ta có f(-1) =
b) Điểm M

(

(−1) 2 1
= .
2
2

)

x2
2;1 có nằm trên đồ thị hàm số y = f(x) =
. Vì f
2

Câu II:



4   a −1
a +1 
a−4
−
.
=

÷
÷
a
a −2
  a +2

1) Rút gọn: P =  1 − ÷. 
a

(

) (

)

(

)(

a−4

a

2

) ( a + 1) (
( a − 2) ( a + 2)

a −1

a −3 a + 2 − a +3 a + 2
−6 a −6
=
= a −4.
=
.
a

( 2)

( 2)
=

a

1
2

2) ĐK: ∆ ’ > 0 ⇔ 1 + 2m > 0 ⇔ m > − .
Theo đề bài : ( 1 + x12 ) ( 1 + x 22 ) = 5 ⇔ 1 + ( x1x 2 ) + x12 + x 22 = 5
2

⇔ 1 + ( x1x 2 ) 2 + ( x1 + x 2 ) − 2x1 x 2 = 5 .
2

Trang 6

a −2 −

2

= 1.
a +2

)


Theo Vi-ét : x1 + x2 = 2 ; x1.x2 = -2m.
⇒ 1 + 4m2 + 4 + 4m = 5 ⇔ 4m2 + 4m = 0 ⇔ 4m(m + 1) = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = -1.
Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = 0 (t/m).
Vậy m = 0.
Câu III:
Gọi số công nhân của đội thứ nhất là x (người). ĐK: x nguyên, 125 > x > 13.
Số công nhân của đội thứ hai là 125 – x (người).
Sau khi điều 13 người sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất còn lại là x – 13 (người)
Đội thứ hai khi đó có số công nhân là 125 – x + 13 = 138 – x (người).
Theo bài ra ta có phương trình : x – 13 =

2
(138 – x)
3

⇔ 3x – 39 = 276 – 2x ⇔ 5x = 315 ⇔ x = 63 (thoả mãn).
Vậy đội thứ nhất có 63 người.
Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người).
Câu V:
2 −1 1
=
2 +1 2

1
Ta có x =
2

(

(

)

2 −1

)(

2 +1

2

)

2 −1

=

2 −1
.
2

⇒ x2 = 3 − 2 2 ; x3 = x.x2 = 5 2 − 7 ; x4 = (x2)2 = 17 − 12 2 ; x5 = x.x4 = 29 2 − 41 .
4

8
16
32
29 2 − 41
17 − 12 2
5 2 −7
2 −1
Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2 = 4.
+ 4.
- 5.
+ 5.
-2
32
16
8
2
29 2 − 41 + 34 − 24 2 − 25 2 + 35 + 20 2 − 20 − 16
·
=
= -1.
1) Ta có FAB
= 900 (Vì FA ⊥ AB).
8
·
BEC
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường
Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 =
·
tròn (O)) ⇒ BEF

(-1)2 + 2008 = 1 + 2008 = 2009
= 900
·
·
Câu IV:
⇒ FAB
+ FEB
= 1800 .
F

Vậy tứ giác ABEF nội tiếp (vì có tổng hai
góc đối bằng 1800).
2) Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên
1
·
·
» . Trong đường tròn
AFB
= AEB
= sđ AB
2
1
·
·
» .
= BMD
= sđ BD
(O) ta có AEB
2
·

·
Do đó AFB
. Mà hai góc này ở vị
= BMD

E

D

A

O

B

C

trí so le trong nên AF // DM. Mặt khác AF
⊥ AC nên DM ⊥ AC.

M

µ =E
µ = 900 . Do đó hai tam giác ACF và ECB đồng dạng
3) Xét hai tam giác ACF và ECB có góc C chung , A

⇒

AC EC
=

⇒ CE.CF = AC.CB (1).
CF CB

µ = ADB
·
·
·
Tương tự ∆ ABD và ∆ AEC đồng dạng (vì có BAD
chung, C
).
= 1800 − BDE

⇒

AB AE
=
⇒ AD.AE = AC.AB (2).
AD AC

Từ (1) và (2) ⇒ AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2.
Trang 7


Bi tp lm chi !!!

Câu 1: (2 điểm) cho biểu thức
x y
x + y x3 y
2y
.

P=
+

x y + y x x y y x x + y x y

Chng minh P luôn nhận giá trị nguyên vơí mọi x,y thoả mãn điều kiện

Trang 8


x> 0,y> 0,và xy
Câu 2: (3 điểm )
1) Giải PT:

3

x + 1 + 3 x + 2 = 1 + 3 x 2 + 3x + 2

2) Tìm x,y là các số nguyên thảo mãn đẳng thức x 2 - xy y +2 = 0
Câu 3 : (3 điểm ) .
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và C là điểm chính giữa của cung AB. Gọi K là trung điểm của
đoạn thẳng BC. Đờng thẳng đi qua hai điểm A và K cắt (O)tại điểm M ( MA ) . Kẻ CH vuông góc với AM
tại H . Đơng thẳng OH cắt đờng thẳng BC tại N , đờng thẳng MN cắt (O) tại D (DM ) .
1)

CM : Tứ giác BHCM là hình bình hành.

2)

CM: OHC và OHM bằng nhau .

3)

CM : 3 điểm B,H,D thẳng hàng
Câu 4: ( 1 điểm ).
Tìm tất cả các nghiệm nhỏ hơn -1 của PT

x2
x +
=8
( x + 1) 2
2

Câu 5 :( 1điểm )
Cho a,b là các số không âm thoả mãn a 2 + b 2 2 > Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M = a 3b( a + 2b) + b 3a (b + 2a )
HếT

S GD- T LONG AN K THI TUYN SINH LP 10 NM HC 2007-2008
Mụn thi: Toỏn
Ngy thi: 27/6/2007
CHNH THC
Thi gian lm bi: 30 phỳt (khụng k phỏt )
PHN THI TRC NGHIM:
1. Hai ng
v y = mx 3m 7 song song vi nhau khi giỏ tr ca m l:
a/1
b/ 2
c/ 2
d/ 1

2
x
,
x
2. Phng tỡnh bc hai 3x 4 x + m cú hai nghim 1 2 tho x1 = 3x2 thỡ giỏ tr ca m l:
a/ m = 3
b/ m = 4
c/ m = 1
d/ m=2
thng: y = (2 m2 ) x + m 5

3. Phng trỡnh

x +1 x + 2 x + 3 x + 4
+
=
+
2007 2006 2005 2004
b/ x = 2007

cú nghim l:

a/ x = 2007
c/ x = 2008
d/ x = 2008
4. Cho hm s y = ax2 , cú im E(2;-2) thuc th hm s. im no sau õy l im thuc th
hm s trờn?
1

a/ A(1; 2 )

1

b/ B(1; 2 )

1

c/ C( 2 ;1)

1

d/ D( 2 ;1)

5. th hm s y = ax +b i qua hai im A(1;-1) , B(2;1) thỡ giỏ tr ca a v b l:
a/ a = -2; b = 3 b/ a = -2; b = -3 c/ a = 2; b = 3
d/ a =2;b = -3
2
6. Phng trỡnh bc hai x ( 1 + 2 ) x + 2 = 0 cú hai nghim l:
a/ 2; 1
b/ 2;1
c/ 2;1
d/ 2; 1
Trang 9


1

7. Giá trị của biểu thức
a/ 4

7−4 3

1

+

7+4 3

b/ -4

8. Hệ phương trình

c/

 x 2007 − y = 1

 x + y = 2007

bằng:
d/

2− 3

có nghiệm duy nhất là:

a/ ( 1; 2007 − 1)
b/ ( 2007 − 1;1)
c/ ( 2007;1)
9. Cho hàm số y = ( 1 + 2007 ) x + 2008 , khi x bằng x = 1 −
a/ 2

b/ -2
c/ −2 2007
10. 2006 − 2007x xác định khi
2007

a/ x ≥ 2006

b/

x≤

2+ 3

2007
2006

c/

x≤

d/ ( 1; 2007 )
2007 thì giá trị của y là:
d/ 2 2007

2006
2007

d/

x≥

2006
2007

11.Cho đường tròn (O; 5 cm), dây AB = 8 cm. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến dây AB. Độ dài
đoạn thẳng OH là:
a/ 4 cm
b/ 3 cm
c/ 1 cm
d/ 2 cm
12.Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 4 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5 cm. Số điểm
chung của đường thẳng a và đường tròn (O) là:
a/ 1
b/ 3
c/ 0
d/ 2
ˆ
ˆ
B
=
2
C
13.Một hình thang ABCD (AB // CD) có
thì số đo của Bˆ là:
0
0
0
a/ 80
b/ 100
c/ 120

d/ 600
14.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 AC . Ta có sin Bˆ bằng:
a/

3
3

b/

3
2

c/

2
2
Aˆ = 800 .

1

d/ 2

15.Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và
Số đo của Cˆ bằng:
0
0
0
a/ 80
b/ 60
c/ 120

d/ 1000
16.Biết O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và AB=BC=AC. Số đo của góc AOB bằng:
a/ 900
b/ 1200
c/ 600
d/ 300
17.Một hình trụ có bán kính đáy 2 cm, chiều cao 6 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là:
a/ 24π cm 2
b/ 96π cm2
c/ 12π cm 2
d/ 48π cm 2
18.Biết điểm A thuộc đường tròn đường kính BC. Khi đó số của góc BAC bằng:
a/ 900
b/ 300
c/ 1800
d/ 600
19.Biết độ dài đường tròn là 12π cm. Vậy diện tích hình tròn đó bằng:
a/ 36π 2 cm 2
b/ 24π cm 2
c/ 144π cm 2
d/ 36π cm 2
20.Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
a/ Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b/ Trong một đường tròn, dây nào nhỏ hơn thì dây đó gần tâm hơn.
c/ Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó nhỏ hơn.
d/ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây âý
PHẦN THI TỰ LUẬN
Câu 1: (1,5 điểm)


x  

Cho biểu thức A = 1 + x + 1 ÷÷: 


1

  x −1

−


÷ với x ≥ 0 và x ≠ 1
x x + x − x −1 ÷


a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tính giá trị của biểu thức A khi
c/ Tìm giá trị của x để A > 1

2 x

x = 4+2 3

Trang 10


Câu 2: (1,5 điểm)
Cho hai hàm số: y = x2 và y = –x +2
a/ Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng một mặt phẳng toạ độ .

b/ Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị đó.
Câu 3: (1 điểm)
Cho phương trình bậc hai x2 + (m – 2)x – (m2 +1)=0
a/ Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn luôn có 2 nghiệm với mọi m.
b/ Xác định m để hai nghiệm của phương trình đã cho thoả hệ thức x12 + x2 2 = 10
Câu 4: (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 4 cm. Lấy điểm C trên đường thẳng AB sao cho B là
trung điểm của đoạn thẳng OC. Kẻ các tiếp tuyến CD, CE của đường tròn (O) tại M và N.
a/ chứng minh tứ giác CDOE là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác này.
b/ chứng minh tam giác CDE là tam giác đều.
c/ Chứng minh CD2 = CM.CN.
d/ Tính đọ dài cung DOE và diện tích hình tròn ngoại tiếp tư giác.
ĐỀ 5 Bài 1( 2,0 điểm) Các câu dưới đây,sau mỗi câu có nêu 4 phương án trả lời ( A,B,C,D)
Bài 2( 1,5 điểm)


Cho biểu thức P = 1 −


x
 x + 2 x +1
với x ≥ 0
÷:
x − x +1  x x +1

1. Rút gọn P
2. Tìm x để P < 0.
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 + 2mx + m – 1 = 0

1. Giải phương trình khi m = 2
2. Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt,với mọi m. Hãy xác định m để phương
trình có nghiệm dương.
Bài 4 ( 3,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O.Kẻ đường thẳng
vuong góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O;R) tai M và N.Gọi S là giao điểm của 2
đường thẳng BM và AN.Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đường
thẳng AB và AM lần lượt tại K và H. Hãy chứng minh:
1. Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM
2. KM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).
3. Ba điểm H,N,B thẳng hàng.
Bài 5 ( 1,5 điểm)
2
 xy − 6 = 12 − y
1. Giải hệ phương trình 
2
 xy = 3 + x
2.Giải phương trình x + 3 .x4 = 2x4 – 2008x + 2008.

ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Trang 11


Ngy thi: 25/06/2008
Bi 1: (2 im)
x
2x
8

+
=
x 2 + x + 1 x 2 + 2x + 1 15
2 x y + y x = 3 4 y 3
2) Gii h phng trỡnh:
2 y x + x y = 3 4x 3
Bi 2: (2 im)
1) Cho cỏc s dng a, b, c tha món a2 + b2 + c2 = 20 v ab + bc + ca 8.
Chng minh rng: 0 < a + b + c 6
2) Cho s nguyờn dng n. Chng minh rng nu A = 2 + 2 28n 2 + 1 l s nguyờn thỡ A l s
chớnh phng.
Bi 3: (2 im)
1)
Cho cỏc s thc x, y, z tha iu kin: x + y + 2z = 3. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P =
2x2 + 2y2 z2
2)
Cho phng trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) cú hai nghim s l x 1 v x2 tha món ax1 + bx2 + c
= 0.
Tớnh giỏ tr ca biu thc: A = a2c + ac2 + b3 3abc + 3
Bi 4: (4 im)
Cho hai ng trũn (O1; R1) v (O2; R2) vi R1>R2 ct nhau ti hai im A v B sao cho s o
gúc O1AO2 ln hn 900.Tip tuyn ca ng trũn (O1) ti A ct ng trũn (O2) ti C khỏc A, tip
tuyn ca ng trũn (O2) ti A ct ng trũn (O 1) ti D khỏc A. Gi M l giao im ca AB v
CD.
BA BC AC
=
=
1) Chng minh:
BD BA AD
2) Gi H, N ln lt l trung im ca AD, CD. Chng minh tam giỏc AHN ng dng vi tam

giỏc ABC.
MC
3) Tớnh t s
theo R1 v R2.
MD
4) T C k tip tuyn CE vi ng trũn (O 1) (E l tip im, E khỏc A). ng thng CO 1 ct
ng trũn (O1) ti F (O1 nm gia C v F). Gi I l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn ng
thng EF v J l trung im ca AI. Tia FJ ct ng trũn (O 1) ti K. Chng minh ng
thng CO1 l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc AKC.
1) Gii phng trỡnh:

gii ngy 1-05-2010

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau :
P=

2 x +3 2

+

2x 6

2x + 2 x 3 2 6
2x + 2 x + 3 2 + 6
Bài 2: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:
2 x 2 y 2 = 1
a)
xy + x 2 = 2
Bài 3: Chứng minh rằng :

b) 1 x + 4 + x = 3

Trang 12


(

1

31+ 2

+

) 5(

1
2+ 3

1

+

) 7(

3+ 4

)

++

1

2007
4015 2007 + 2008 2009

(

)



Bài 4 : BC là dây cung không là đờng kính của đờng tròn tâm O . Một điểm A di động trên cung lớn
BC sao cho tâm O luôn nằm trong tam giác ABC, các đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt
nhau tại H.
a) Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng
b) Gọi A' là trung điểm của BC, chứng minh AH = 2OA'
c) Gọi A1 là trung điểm của EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA'
d) Chứng minh rằng R(EF + FD + DE) = 2SABC từ đó tìm vị trí của A để tổng (EF + FD + DE) lớn
nhất.
Bài 5 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2

Bài 1: (2,5 điểm)
2 x +3 2
=
Có : A = 2 x + 2 x 3 2 6
A=
Tơng tự có:

(

x

(

2 x +3 2

) (

2 +2 3 2 +2

)

cho 0,25 điểm

2 x +3 2
2 +2 x 3

)(

cho 0,25 điểm

)

2x 6

B=

P N, HNG CHM

=

(

2x 6

)(

2x + 2 x + 3 2 + 6
x +3 2+ 2
Từ đó Tập xác định là x 0 và x 9

Ta có P = A+B =

2+2

)(

cho 0,25 điểm

2x 6

+

) ( x + 3)(2 + 2 )
(2 x + 3 2 )( x + 3) + ( 2 x 6)( x 3)
=
( x + 3)( x 3)(2 + 2 )

=

(

2 x +3 2

cho 0,25 điểm

)

x 3

cho 0,5 điểm

2 x + 6 x + 3 2 x + 9 2 + x 2 6 x 3 2 x + 18

=

( x + 9) ( 2 +
( x 9) ( 2 +

( x 9) ( 2 +

) = x+9
2) x 9

2

2

Cho 0,25 điểm

x+9
Với x 0 và x 9
x9
Bài 2 ( 4,5 điểm)
2
2
2 x y = 1
a, Từ hệ

xy + x 2 = 2
Vậy

Cho 0,25 điểm

)

P=

2
2
2
3x 2 xy 2 y 2 = 0 (*)
xy +x = 4 x 2 y
2 1
x =
đợc :
hệ này vô nghiệm
2
x 2 = 2

Cho 0, 25 điểm

- Nếu y = 0 ta
cho 0,25 điểm

Trang 13


2

x
x
- Nếu y 0 ta có : (*) 3 2 = 0
y
y
x
2

y =1
x= y
x = y

3

hay
2
2
x

2x y 2 = 1
2

2 x y 2 = 1

y = 3

ta đợc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1)
Hệ sau vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là x = y = 1 hoặc x = y = -1
Phơng trình tơng đơng với : (vì cả 2 vế đều không âm)

cho 0,25 điểm

Giải hệ đầu

b) Điều kiện

-4x1

5 + 2 4 3x x 2 = 9
4 3x x 2 = 2
x(x + 3) = 0
trình có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = -3
Bài 3 : (3điểm)
Ta có với n 1 thì
2
2 n +1 n
=
( 2n + 1) n + n + 1

4n 2 + 4n + 1
<

(

(

)

2 n +1 n

)=1

(



4- 3x - x2 = 4 x2 +3x = 0
x = 0 hoặc x = -3

)

cho 0,5 điểm

1

cho 0,5 điểm
n
2 n( n + 1)
n +1

Từ đó ta có :
1
1
2
+
++
Sn =
( 2n + 1) n + n + 1
31+ 2 5 2 + 3
1
2
2
= 1
1
< 1cho 0,75 điểm
n +1
4n + 4
n 2 + 4n + 4
2
n
= 1cho 0,5 điểm
=
n+2 n+2
n
Vậy Sn <
cho 0,25 điểm
n+2
2007
áp dụng cho n = 2007 ta có S2007 <
là điều phải chứng minh ( 0,5 điểm)

2009
Bài 4 : Hình vẽ đúng cho 0,25 điểm

(

) (

)

(

x

A
F

B

)

A1

E

H O
D A'

C
K

a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC.
Có E, F cùng nhìn BC dới một góc vuông nên E, F cùng thuộc đờng tròn đờng kính BC
Cho 0,25 điểm
góc AFE = góc ACB (cùng bù góc BFE)
cho 0,25 điểm
AEF đồng dạng ABC (g.g)
cho 0,25 điểm
b) Vẽ đờng kính AK
Có BE AC (gt)

Trang 14

Vậy phơng


KC AC (Vì góc ACK = 90 0 )
cho 0,25 điểm
BE // KC
cho 0,25 điểm
Tơng tự CH // BK
cho 0,25 điểm
Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành
cho 0,25 điểm
HK là đờng chéo nên đi qua trung điểm A' của đờng chéo BC. H, A', K thẳng hàng.
cho 0,25 điểm
Xét tam giác AHK có A'H = A'K
OA = OK
cho 0,25 điểm
Nên OA' là đờng trung bình
AH = 2 A'O

cho 0,25 điểm
c, áp dụng tính chất: nếu 2 tam gác đồng dạng thì tỉ số giữa 2 trung tuyến tơng ứng, tỉ số giữa 2 bán kính
các đờng tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng nên ta có:
cho 0,25 điểm
AA
'
R
AEF đồng dạng ABC
=
cho 0,25 điểm
AA1
R'
Trong đó R là bán kính của đờng tròn tâm O
R' là bán kính đờng tròn ngoại tiếp AEF
cho 0,25 điểm
cũng là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF
cho 0,25 điểm
AH
R. AA 1 = R'. AA' =
.AA'
cho 0,5 điểm
2
2OA'
= AA'.
= AA'. OA'
cho 0,25 điểm
2
Vậy R.AA1 = AA'. OA'
cho 0,25 điểm
d,

Trớc hết ta chứng minh OA EF
vẽ tiếp tuyến Ax của đờng tròn tâm O
Ta có OA Ax
cho 0,25 điểm
Vì góc xAB = Góc BCA
mà góc BCA = góc EFA (cmt)
góc EFA = góc xAB
cho 0,25 điểm
EF// Ax
cho 0,25 điểm
OA EF
cho 0,25 điểm
Chứng minh tơng tự có OB DF và OC ED
Ta có S ABC = S OEAF + S OFBD +S ODCE
1
1
1
= OA. EF + OB. FD + OC.DE
cho 0,25 điểm
2
2
2
1
= R( EF + FD + DE ) (vì OA = OB = OC = R)
2
R (EF + FD + DE) = 2 S ABC
cho 0,25 điểm
2 S ABC
R
Nên EF + FD + DE lớn nhất S ABC lớn nhất

cho 0,25 điểm
1
Lại có S ABC = BC.h (h là đờng vuông góc hạ từ A đến BC) S ABC lớn nhất h lớn nhất
2
ABC là tam giác cân A là điểm chính giã của cung AB lớn.
cho 0,25 điểm
Bài 5: (3 điểm)
Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2 nên ta có: 0 < a; b, c 1 (cho 0,25 điểm)
a - 1 0 ; b - 1 0; c-1 0
cho 0,25 điểm
( a -1) (b -1) (c -1) 0
( ab - a - b +1) ( c -1) 0
cho 0,25 điểm

abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 1 0
cho 0,25 điểm

2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) 2
cho 0,25 điểm
EF + FD + DE =

Trang 15


2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 2
cho 0,25 điểm
2
2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c)
2
cho 0,5 điểm

2
2
2
2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc) 2 (cho 0,25 điểm)
2abc + a 2 + b 2 + c 2 2 (đpcm)
cho 0,25 điểm

T GII 5-05-2010
Cõu 1: Gii cỏc phng trỡnh v h phng trỡnh sau:
a) 2x2 + 3x 5 = 0 (1)
b) x4 3x2 4 = 0 (2)
2x + y = 1
3x + 4y = 1

c)

(a)
(b)

(3)

Cõu 2: a) V th (P) ca hm s y = x2 v ng thng (D): y = x 2 trờn cựng mt cựng
to .
b) Tỡm to cỏc giao im ca (P) v (D) cõu trờn bng phộp tớnh.

mt h trc

Cõu 3: Thu gn cỏc biu thc sau:
a) A = 7 4 3 7 + 4 3
x +1

x 1 x x + 2x 4 x 8

(x > 0; x 4).
ữ
ữ.
x

4
x
+
4
x
+
4
x



b) B =

Cõu 4:
Cho phng trỡnh x2 2mx 1 = 0 (m l tham s)
a) Chng minh phng trỡnh trờn luụn cú 2 nghim phõn bit.
b) Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh trờn. Tỡm m x12 + x22 x1x 2 = 7 .
Cõu 5: T im M ngoi ng trũn (O) v cỏt tuyn MCD khụng i qua tõm O v hai tip tuyn MA,
MB n ng trũn (O), õy A, B l cỏc tip im v C nm gia M, D.
a) Chng minh MA2 = MC.MD.
b) Gi I l trung im ca CD. Chng minh rng 5 im M, A, O, I , B cựng nm trờn
mt ng
trũn.

c) Gi H l giao im ca AB v MO. Chng minh t giỏc CHOD ni tip c ng trũn. Suy ra
AB l phõn giỏc ca gúc CHD.
d) Gi K l giao im ca cỏc tip tuyn ti C v D ca ng trũn (O). Chng minh A, B, K thng
hng.
MT S BI TON LUYN THI VO LP CHUYấN, CHN HAY V KHể
1. Chứng minh 7 là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd) 2 (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x 2 + y2.
4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

a+b
ab .
2

bc ca ab
+ +
a+b+c
a
b
c

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a 3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a + b > a b

Trang 16

9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x 3 | = | 1 x | b) x2 4x 5
c) 2x(2x 1) 2x 1.
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ?
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

1
x 4x + 9
2

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
a) 7 + 15 v 7
b) 17 + 5 + 1 v
c)

23 2 19
v
3

27

d)

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn

3 2 v

45

2 3

2 nhng nhỏ hơn

3

19. Giải phơng trình : 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 21 = 5 2x x 2 .
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

1
1
1
1
+
+ .... +
+ ... +
.
1.1998
2.1997

k(1998 k + 1)
1998 1
1998
Hãy so sánh S và 2.
.
1999

21. Cho S =

22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phơng thì
23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :

x y
+ 2
y x
x 2 y2 x y
b) 2 + 2 ữ + ữ 0
x y x
y
a)

x 4 y4 x 2 y2 x y
c) 4 + 4 ữ 2 + 2 ữ+ + ữ 2 .
x y
x y x
y

24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :
a)
1+ 2

b) m +

3 với m, n là các số hữu tỉ, n 0.
n

25. Có hai số vô tỉ dơng nào mà tổng là số hữu tỉ không ?
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng :

x y
x 2 y2
+ 2 + 4 3 + ữ.
2
y
x
y x

x 2 y2 z2 x y z
27. Cho các số x, y, z dơng. Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 + + .
y
z
x
y z x

28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
29. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + .. + an)2 n(a12 + a22 + .. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b 2.

Trang 17

a là số vô tỉ.


[ x ] + [ y] [ x + y] .

31. Chứng minh rằng :

1
.
x 2 6x + 17
x y z
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = + +
với x, y, z > 0.
y z x
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :

a
là số vô tỉ.
b
a
b) a + b và
là số hữu tỉ (a + b 0)
b
a) ab và

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)

a
b
c
d
+
+
+
2
b+c c+d d+a a +b
39. Chứng minh rằng [ 2x ] bằng 2 [ x ] hoặc 2 [ x ] + 1
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :

40. Cho số nguyên dơng a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; a + 15n. Chứng minh rằng
trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

A= x 2 3

B=

1
x 2 + 4x 5

C=

1

x 2x 1

D=

1
1 x2 3

E= x+

2
+ 2x
x

G = 3x 1 5x 3 + x 2 + x + 1

42. a) Chứng minh rằng : | A + B | | A | + | B | . Dấu = xảy ra khi nào ?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : M = x 2 + 4x + 4 + x 2 6x + 9 .
c) Giải phơng trình : 4x 2 + 20x + 25 + x 2 8x + 16 = x 2 + 18x + 81
43. Giải phơng trình : 2x 2 8x 3 x 2 4x 5 = 12 .
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

A = x2 + x + 2

E=

B=

1

G=

2x + 1 + x

45. Giải phơng trình :

1
1 3x

C = 2 1 9x 2

x
+ x2
x 4

D=

1
x 2 5x + 6

H = x 2 2x 3 + 3 1 x 2

2

x 2 3x
=0
x 3

46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x + x .
47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = 3 x + x

3 +1
b) 5 13 + 4 3 v
2
n+1 n (n là số nguyên dơng)

48. So sánh : a) a = 2 + 3 v b=
c)

n + 2 n + 1 v

3 1

49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : A = 1 1 6x + 9x 2 + (3x 1) 2 .
50. Tính : a)

42 3

b)

d) A = m 2 + 8m + 16 + m 2 8m + 16

11 + 6 2

c)

27 10 2

e) B = n + 2 n 1 + n 2 n 1 (n 1)
Trang 18

8 41

51. Rút gọn biểu thức : M =

45 + 4 41 + 45 4 41

.

52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x y) 2 + (y 2) 2 + (x + y + z) 2 = 0
53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 25x 2 20x + 4 + 25x 2 30x + 9 .
54. Giải các phơng trình sau :

a) x 2 x 2 x 2 = 0

b) x 2 1 + 1 = x 2

d) x x 4 2x 2 + 1 = 1

c) x 2 x + x 2 + x 2 = 0

e) x 2 + 4x + 4 + x 4 = 0

h) x 2 2x + 1 + x 2 6x + 9 = 1

g) x 2 + x 3 = 5

i) x + 5 + 2 x = x 2 25

k) x + 3 4 x 1 + x + 8 6 x 1 = 1

l) 8x + 1 + 3x 5 = 7x + 4 + 2x 2

55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR:
56. Rút gọn các biểu thức :

a) 13 + 30 2 + 9 + 4 2

b) m + 2 m 1 + m 2 m 1

57.

c) 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 2 + 2 + 3
Chứng minh rằng

2+ 3 =

58. Rút gọn các biểu thức :

a) C =

6+2

(

a)

)

(

6 3+ 2

)

b)

17 + 12 2 v

2 +1

60. Cho biểu thức : A = x x 2 4x + 4
a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau : a) 11 2 10

c)

b) D =

2

6 + 20 v 1+ 6

d) 227 30 2 + 123 + 22 2

6
2.
+
2

2

6 + 3+ 2 62

59. So sánh :

x 2 + y2
2 2.
xy

b)

c)

96 2 6 .
3

28 16 3 v 3 2

9 2 14

3 + 11 + 6 2 5 + 2 6
2 + 6 + 2 5 7 + 2 10

62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c 0. Chứng minh đẳng thức :
63. Giải bất phơng trình :

1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +

2
a
b c
a b c

x 2 16x + 60 < x 6 .

64. Tìm x sao cho : x 2 3 + 3 x 2 .
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A =
67. Cho biểu thức : A =

x + x 2 2x
x x 2 2x



1

b) B =

x 2x 1

x x 2 2x
x + x 2 2x

.

Trang 19

16 x 2
+ x 2 8x + 8 .
2x + 1


a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : 0,9999....9 (20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số : n + n + 2 v 2 n+1 (n là số nguyên dơng), số nào lớn hơn ?
72. Cho biểu thức A = 7 + 4 3 + 7 4 3 . Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính : ( 2 + 3 + 5)( 2 + 3 5)( 2 3 + 5)( 2 + 3 + 5)
74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

3+ 5 ;

3 2 ; 2 2 +3

75. Hãy so sánh hai số : a = 3 3 3 v b=2 2 1 ;
76. So sánh

2 + 5 v

5 +1
2

4 + 7 4 7 2 và số 0.
2+ 3+ 6+ 8+4

.
2+ 3+ 4

77. Rút gọn biểu thức : Q =

78. Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 . Hãy biểu diễn P dới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : x 1 y 2 + y 1 x 2 = 1 .
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A = 1 x + 1 + x .
81. Tìm giá trị lớn nhất của : M =

(

a+ b

)

2

với a, b > 0 và a + b 1.

82. CMR trong các số 2b + c 2 ad ; 2c + d 2 ab ; 2d + a 2 bc ; 2a + b 2 cd có ít nhất hai số dơng
(a, b, c, d > 0).
83. Rút gọn biểu thức : N = 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18 .
84. Cho x + y + z = xy + yz + zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, , an > 0 và a1a2aan = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)(1 + an) 2n.
86. Chứng minh :

(

a+ b

)

2

2 2(a + b) ab

(a, b 0).

87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành một tam giác thì các đoạn thẳng
có độ dài a , b , c cũng lập đợc thành một tam giác.

(x + 2) 2 8x
88. Rút gọn : a) A = ab b a
b) B =
.
2
x
b
b
x
2
a +2
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có :
2 . Khi nào có đẳng thức ?
a2 +1
2

90. Tính : A = 3 + 5 + 3 5 bằng hai cách.

3 7 +5 2
v 6,9
b)
5
2+ 3
2 3
+
92. Tính : P =
.
2 + 2+ 3
2 2 3
91. So sánh : a)

93. Giải phơng trình :

13 12 v

7 6

x + 2 + 3 2x 5 + x 2 2x 5 = 2 2 .
Trang 20


94. Chứng minh rằng ta luôn có : Pn =

1.3.5...(2n 1)
1
<
; n Z+
2.4.6...2n

2n + 1

95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì
96. Rút gọn biểu thức :

A=

a+ b

a2
b2 .
+
b
a

x 4(x 1) + x + 4(x 1)
1
.1
ữ.
2
x

1


x 4(x 1)

a b+b a
1
(a, b > 0 ; a b)

:
=ab
ab
a b
14 7
a + a a a
15 5
1
b)
+
= 2
c) 1 +
ữ:
ữ1
ữ = 1 a (a > 0).
1

2
1

3
7

5
a
+
1
a

1

97. Chứng minh các đẳng thức sau : a)

98. Tính : a)


c)


; b) 2 3 + 5 13 + 48 .

5 3 29 6 20


28 16 3 ữ. 7 + 48 .

99. So sánh : a) 3 + 5 v 15
b) 2 + 15 v 12 + 7
16
c) 18 + 19 v 9
d)
v 5. 25
2
7 + 48

100. Cho hằng đẳng thức :

a + a2 b
a a 2 b (a, b > 0 và a2 b > 0).
a b =

2
2
áp dụng kết quả để rút gọn : a)

c)

2+ 3
2 + 2+ 3

+

2 3
2 2 3

; b)

3 2 2
17 12 2



3+ 2 2
17 + 12 2

2 10 + 30 2 2 6
2
:
2 10 2 2
3 1

101. Xác định giá trị các biểu thức sau :

a) A =

b) B =

xy x 2 1. y 2 1
xy + x 2 1. y 2 1

a + bx + a bx
a + bx a bx

với x =
với x =

1
1
1
1
a + ữ, y = b + ữ
2
a
2
b

(a > 1 ; b > 1)

2am
, m < 1.
b ( 1 + m2 )

2
102. Cho biểu thức P(x) = 2x x 1
2

3x 4x + 1

a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
103. Cho biểu thức A =

x +24 x 2 + x +2+4 x 2
.
4 4
+1
x2 x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:

a) 9 x 2

b) x x (x > 0)

c) 1 + 2 x
Trang 21

d) x 5 4


e) 1 2 1 3x

g) 2x 2 2x + 5

105. Rút gọn biểu thức : A =

4 + 10 + 2 5 + 4 10 + 2 5

(

109. Tìm x và y sao cho :

2x x + 3

94 42 5 94 + 42 5 .

c)

a + b a b = 2 a a2 b

108. Rút gọn biểu thức : A =

1

5 3 + 5 48 10 7 + 4 3

107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b 0 ; a
a)

i)

x + 2x 1 x 2x 1 , bằng ba cách ?

106. Rút gọn các biểu thức sau : a)

b)

h) 1 x 2 + 2x + 5

)

b

a + a2 b
a a2 b
a b =

2
2

b)

x + 2 2x 4 + x 2 2x 4

x+y2 = x + y 2

( a + c)

2

2
+ ( b + d) .

110. Chứng minh bất đẳng thức :

a 2 + b 2 + c2 + d 2

111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh :

a2
b2
c2
a+b+c
.
+
+

b+c c+a a+b
2

112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :

a)

a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5

113. CM :

(a

2

+ c2 ) ( b2 + c2 ) +

b)

(a

2

a +b + b+c + c+a 6 .

+ d 2 ) ( b 2 + d 2 ) (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 0.

114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x + x .
115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =

(x + a)(x + b)
.
x

116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x 2 + 3y2 5.
117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x .

118. Giải phơng trình :

x 1 5x 1 = 3x 2

119. Giải phơng trình :

x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 2

120. Giải phơng trình : 3x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + 7x + 7 = 2
121. Giải phơng trình : 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 2x x 2
122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

3 2

;

2 2+ 3

123. Chứng minh x 2 + 4 x 2 .
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phơng pháp hình học :
a 2 + b 2 . b 2 + c 2 b(a + c) với a, b, c > 0.
125. Chứng minh (a + b)(c + d) ac + bd với a, b, c, d > 0.
126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập đợc thành một tam giác thì các đoạn thẳng
có độ dài a , b , c cũng lập đợc thành một tam giác.

(a + b) 2 a + b
+
a b + b a với a, b 0.
2
4

a
b
c
128. Chứng minh
+
+
> 2 với a, b, c > 0.
b+c
a+c
a+b
127. Chứng minh

129. Cho x 1 y 2 + y 1 x 2 = 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.

Trang 22


130. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2 x 1 + x + 2 x 1
131. Tìm GTNN, GTLN của A = 1 x + 1 + x .
132. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2 + 1 + x 2 2x + 5
133. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2 + 4x + 12 x 2 + 2x + 3 .

(

134. Tìm GTNN, GTLN của : a) A = 2x + 5 x 2

b) A = x 99 + 101 x 2

135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn

)

a b
+ = 1 (a và b là hằng số dơng).
x y

136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.

xy yz zx
+ +
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
z
x
y
x2
y2
z2
138. Tìm GTNN của A =
biết x, y, z > 0 , xy + yz + zx = 1 .
+
+
x+y y+z z+x
137. Tìm GTNN của A =

139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) A =
b) B =

(

a+ b

) +(
4

a+ c

) +(
4

(

)
d) +(

a+ b
4

a+

2

với a, b > 0 , a + b 1

b+ c

với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.
141. Tìm GTNN của A =

b

c
+
c+d a+b

) +(
4

b+ d

) +(
4

c+ d

)

4

với b + c a + d ; b, c > 0 ; a, d 0.

142. Giải các phơng trình sau :

a) x 2 5x 2 3x + 12 = 0
d) x 1 x + 1 = 2

b) x 2 4x = 8 x 1

e) x 2 x 1 x 1 = 1

h) x + 2 4 x 2 + x + 7 6 x 2 = 1

g) x + 2x 1 + x 2x 1 = 2
i) x + x + 1 x = 1

k) 1 x 2 x = x 1

l) 2x 2 + 8x + 6 + x 2 1 = 2x + 2

m) x 2 + 6 = x 2 x 2 1

n) x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5

( x 1) ( x 2 3x + 5 )

o) x 1 + x + 3 + 2

c) 4x + 1 3x + 4 = 1

= 4 2x

p) 2x + 3 + x + 2 + 2x + 2 x + 2 = 1 + 2 x + 2 .

q) 2x 2 9x + 4 + 3 2x 1 = 2x 2 + 21x 11

(

143. Rút gọn biểu thức : A = 2 2 5 + 3 2

)(

144. Chứng minh rằng, n Z+ , ta luôn có : 1 +
145. Trục căn thức ở mẫu : a)
146. Tính : a)

1
1+ 2 + 5

5 3 29 6 20

(

147. Cho a = 3 5. 3 + 5

)(

)

18 20 + 2 2 .

(

)

1
1
1
+
+ .... +
> 2 n +1 1 .
2

3
n
1
b)
.
x + x +1

b) 6 + 2 5 13 + 48

)

c)

5 3 29 12 5

10 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.

Trang 23


148. Cho b =

32 2
17 12 2



3+2 2
17 + 12 2

. b có phải là số tự nhiên không ?

149. Giải các phơng trình sau :

a)

(

)

c)

( 5 x)

3 1 x x + 4 3 = 0

b)

5 x + ( x 3) x 3
5x + x 3

=2

150. Tính giá trị của biểu thức : M =

(

)

3 1 x = 2

(

)

3 +1 x 3 3

d) x + x 5 = 5

12 5 29 + 25 + 4 21 12 5 + 29 25 4 21

1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n 1 + n
1
1
1
1
152. Cho biểu thức : P =

+

... +
2 3
3 4
4 5
2n 2n + 1
151. Rút gọn : A =

a) Rút gọn P.

b) P có phải là số hữu tỉ không ?

1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4
100 99 + 99 100
1
1
1
154. Chứng minh : 1 +
+
+ ... +
> n.
2
3

n
155. Cho a = 17 1 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 17a3 a2 + 18a 17)2000.
156. Chứng minh : a a 1 < a 2 a 3 (a 3)
1
157. Chứng minh : x 2 x + > 0 (x 0)
2
158. Tìm giá trị lớn nhất của S = x 1 + y 2 , biết x + y = 4.
153. Tính : A =

159. Tính giá trị của biểu thức sau với a =
160. Chứng minh các đẳng thức sau :

(

) ( 10 6 ) 4 15 = 2
5 ( 3 + 5 ) ( 10 2 ) = 8 d)

3
1 + 2a
1 2a
.
: A=
+
4
1 + 1 + 2a 1 1 2a

a) 4 + 15

c) 3

b) 4 2 + 2 6 =

7 + 48 =

Chứng minh các bất đẳng thức sau :

2
2

(

2

(

3 +1

)

)

3 + 1 e) 17 4 9 + 4 5 = 5 2 161.

5+ 5 5 5
+
10 < 0
5 5 5+ 5


5 +1

5 1
1
c)
+
+ 2 ữ 0, 2 1,01 > 0
ữ 3 4
3
1 + 5 + 3 1 + 3 5

2 + 3 1
2 3
3
3 1
d)
+
+
+ 3 2 > 0

ữ
2+ 6
2 6 2 6 2+ 6
2
27 + 6 > 48

a)

2+2

e)
h)

(

3+

b)

2 1 +
5+

2 2

)

7

(

2 1 > 1,9

)

3+ 5+ 7 <3

g)
i)

17 + 12 2 2 > 3 1
2 + 2 + 3 2 2
< 0,8

4

Trang 24


1
< 2 n 2 n 1 . Từ đó suy ra:
n
1
1
1
2004 < 1 +
+
+ ... +
< 2005
2
3
1006009
2+ 3+ 4
3
163. Trục căn thức ở mẫu : a)
.
b)
3
2+ 3+ 6+ 8+4
2+ 2 + 3 4
3+ 2
3 2
164. Cho x =
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.

v y=
3 2
3+ 2
2002
2003
+
> 2002 + 2003 .
165. Chứng minh bất đẳng thức sau :
2003
2002
x 2 3xy + y 2
166. Tính giá trị của biểu thức : A =
với x = 3 + 5 v y = 3 5 .
x+y+2
6x 3
= 3 + 2 x x2 .
167. Giải phơng trình :
x 1 x
1
168. Giải bất các pt : a) 3 3 + 5x 72
b)
10x 14 1 c) 2 + 2 2 + 2x 4 .
4
162. Chứng minh rằng : 2 n + 1 2 n <

169. Rút gọn các biểu thức sau :

a) A = 5 3 29 12 5
c) C =

b) B = 1 a + a(a 1) + a

x + 3 + 2 x2 9

a 1
a

x 2 + 5x + 6 + x 9 x 2

d) D =

2x 6 + x 2 9
3x x 2 + (x + 2) 9 x 2
1
1
1
1
E=

+
...
1 2
2 3
3 4
24 25
1
170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =
.
2 3 x2
2

1
171. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
với 0 < x < 1.
+
1 x x
172. Tìm GTLN của : a) A =

x 1 + y 2 biết x + y = 4 ;

b) B =

y2
x 1
+
x
y

173. Cho a = 1997 1996 ; b = 1998 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
174. Tìm GTNN, GTLN của : a) A =
175. Tìm giá trị lớn nhất của
176. Tìm giá trị lớn nhất của
177. Tìm GTNN, GTLN của
178. Tìm GTNN, GTLN của
179. Giải phơng trình :

1
5+2 6x

2

b) B = x 2 + 2x + 4 .

A = x 1 x2 .

A = | x y | biết x2 + 4y2 = 1.
A = x3 + y3 biết x, y 0 ; x2 + y2 = 1.
A = x x + y y biết
x + y = 1.

1 x + x 2 3x + 2 + (x 2)

x 1
= 3.
x2

180. Giải phơng trình : x 2 + 2x 9 = 6 + 4x + 2x 2 .
181. CMR, n Z+ , ta có :

1
1
1
1
+
+
+ ... +
< 2.
2 3 2 4 3
(n + 1) n

Trang 25