Chuyên đề 1. Rút gọn (Ôn=>10)

Câu 1 ( 3 điểm )
Cho biểu thức :
A=(

1
x −1

1

+

x +1

)2.

x2 −1
− 1− x2
2

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa . 2) Rút gọn biểu thức A .
phương trình theo x khi A = -2 .
Câu 2 ( 3 điểm )
Cho biểu thức : A = (

2 x+x
x x −1

Cho biểu thức : A =


x +2 


) : 
x − 1  x + x + 1 
1

−

a) Rút gọn biểu thức .
Câu 3 ( 3 điểm )

3) Giải

b) Tính giá trị của
x +1

:

A khi x = 4 + 2 3

1

x x +x+ x x − x

a) Rút gọn biểu thức A .
Câu 4 : ( 2,5 điểm )
 1

2

b) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .

1

 

1

1



1

+
−
Cho biểu thức : A= 
÷: 
÷+
 1- x 1 + x   1 − x 1 + x  1 − x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 5 ( 2,5 điểm )
 a a −1 a a + 1  a + 2
−
÷
÷:
 a− a a+ a  a−2

Cho biểu thức : A = 

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
Câu 6 ( 2 điểm )
Cho biểu thức : A =

1+ 1− a
1− 1+ a
1
+
+
1− a + 1− a 1+ a − 1+ a
1+ a

1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a .
Câu 7 ( 2 điểm )
1) Cho biểu thức : P =

a +3
a −1 4 a − 4
−
+
4−a
a −2
a +2

(a>0;a

≠ 4)

a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với a = 9 .
2) Cho phương trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số )
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại .
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13 + x23 ≥ 0
1
1
( x + )6 − ( x 6 + 6 ) − 2
x
x
Câu 8 Cho x > 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
.
1 3
1
3
(x + ) + x + 3
x
x

1


Câu 9 Cho biểu thức P = (

2
3+ x
2+ x 2− x
4x
+

):(
−
−
)
2− x x−2 x
2− x 2+ x x− 4

a) Rút gọn P
x−3
= −11 . Hãy tính giá trị của P.
4x2
2
5x
1
− 2
−
Câu 10 Xét biểu thức A = 1 − (
1+ 2x 4x − 1 1− 2x

b) Cho

):

a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị x để A = -1/2 .
Câu 11 Cho biểu thức

x −1
4x + 4x + 1
2

x+4 x−4 + x−4 x−4
16 8
− +1
x2 x

A=

a) Với giá trị nào của x thì A xác định.
b) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên.
Câu 12 Cho biểu thức P = (

x −1 x +1
x
1
2
−
):(
−
− 2 ).
x +1 x −1 1− x x +1 x −1

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng P < 1 với mọi giá trị của x ≠ ±1.
Câu 13 Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị không phụ thộc vào x
A= x+

3
4

2 − 3 .6 7 + 4 3 − x

9− 4 5. 2+ 5 + x

Câu 14 ( 3 điểm )
Cho biểu thức :
A=(

1
x −1

1

+

x +1

)2.

x2 −1
− 1− x2
2

2) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
3) Rút gọn biểu thức A .
4) Giải phương trình theo x khi A = -2 .
Câu 15 ( 3 điểm )
Cho biểu thức : A = (

2 x+x
x x −1

−


x +2 

) : 
x − 1  x + x + 1 
1

b) Rút gọn biểu thức .
c) Tính giá trị của A khi x = 4 + 2 3
Câu 16 ( 3 điểm )
Cho biểu thức : A =

x +1

:

1

x x +x+ x x − x
2

b) Rút gọn biểu thức A .
c) Coi A là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số A .
Câu 17 ( 2 điểm )
Tính giá trị của biểu thức :

P=

2+ 3
2 + 2+ 3

+

2− 3
2 − 2− 3

Câu 18: ( 2,5 điểm )
2


 1

1

 

1

1



1

+
−

Cho biểu thức : A= 
÷: 
÷+
 1- x 1 + x   1 − x 1 + x  1 − x
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 19 ( 2,5 điểm )
 a a −1 a a + 1  a + 2
−
÷
÷: a − 2
a
−
a
a
+
a



Cho biểu thức : A = 

a) Với những giá trị nào của a thì A xác định .
b) Rút gọn biểu thức A .
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên .
Câu 20 ( 2 điểm )
Cho biểu thức : A =

1+ 1− a

1− 1+ a
1
+
+
1− a + 1− a 1+ a − 1+ a
1+ a

1) Rút gọn biểu thức A .
2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a .
Câu 21 ( 2 điểm )
1) Cho biểu thức : P =

a +3
a −1 4 a − 4
−
+
4−a
a −2
a +2

(a>0;a

≠ 4)

a) Rút gọn P .
b) Tính giá trị của P với a = 9 .
2) Cho phương trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số )
a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn lại .
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13 + x23 ≥ 0
3) Rút gọn biểu thức : P =

x +1
x −1
2
−
−
( x ≥ 0; x ≠ 0)
2 x −2 2 x +2
x −1



x   1
2 x
−
Câu 22: Cho biểu thức P = 1 +
÷: 
÷− 1
x
+
1
x
−
1
x
x
+
x
−
x

−
1

 

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm cỏc giá trị nguyên của x để biểu thức P − x nhận giá trị nguyên.
Câu 23
 a + a 
a− a 
1.Cho P = 1 +
÷1 −
÷; a ≥ 0, a ≠ 1
a
+
1
−
1
+
a



a) Rút gọn P.
b) Tìm a biết P > − 2 .
c) Tìm a biết P = a .
1 − 2x )
1.Cho P = (

2

− 16x 2
1
; x≠±
2
1 − 4x
2
−2
a) Chứng minh P =
1 − 2x
3
b) TínhP khi x =
2
3


Câu 24 (2 điểm)
Cho biểu thức:
a+ a
 a− a

A = 
+ 1 ⋅ 
− 1 ; a ≥ 0, a ≠ 1 .
 a +1   a −1 

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm a ≥0 và a≠1 thoả mãn đẳng thức: A= -a2
Câu 25 (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức:

1− a a

1
M = 
+ a  ⋅
; a ≥ 0, a ≠ 1 .
 1− a
 1+ a

Câu 26 (2 điểm)
Cho biểu thức:

y
y  2 xy
:
S =
+
; x > 0, y > 0, x ≠ y .
 x + xy x − xy  x − y



1. Rút gọn biểu thức trên.
2. Tìm giá trị của x và y để S=1.
Câu 27 (2 điểm)
1

Cho biểu thức A =

x +1

+

x
x−x

; x > 0, x ≠ 1 .

1. Rút gọn biểu thức A.
2 Tính giá trị của A khi x =

1
2

Câu 28 . Cho biểu thức:

x +2
x − 2  x +1
⋅
Q = 
−
; x > 0, x ≠ 1 .

x
−
1
x
+
2
x

+
1
x


2
a. Chứng minh Q =
x −1

b. Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.

(
2. Chứng minh:

a− b

)

2

+ 4 ab a b − b a
⋅
= a−b
a+ b
ab

; a > 0, b > 0 .

Câu 29 (2 điểm)
Cho biểu thức:

 1
A = 
−
 x

  x +2
 : 
−
x − 1   x − 1
1

x +1 
 ; x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4 .
x − 2 

1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A = 0.
Câu 30 : (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức:
5 3
1
−
2
3

x+ x 
x− x
2 +
⋅2 −
 ; x ≥ 0, x ≠ 1




x +1  
x − 1 


Câu 31 (2 điểm)
4


x x +1

A=

Cho biểu thức:

; x ≥0

x − x +1

1. Rút gọn biểu thức.
2. Giải phương trình A=2x.
3. Tính giá trị của A khi x =

1
3+ 2 2

.

1. Rút gọn biểu thức
A=

a +1
a2 −1 − a2 + a

+

1

+

a −1 + a

a3 − a
a −1

; a > 1.

Cho biểu thức: F= x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1
1. Tìm các giá trị của x để biểu thức trên có nghĩa.
2. Tìm các giá trị x≥2 để F=2.
Câu 32 (2 điểm):
Cho biểu thức: N =

a
ab + b

+

b
ab − a

−

a+b
ab

với a, b là hai số dương khác nhau.
1. Rút gọn biểu thức N.
2. Tính giá trị của N khi: a = 6 + 2 5 ; b = 6 − 2 5 .
Câu 33 (2,5 điểm):
Cho biểu thức: T =

x+2
x x −1

+

x +1
x + x +1

−

x +1
; x > 0, x ≠ 1 .
x −1

1. Rút gọn biểu thức T.
2. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và x≠1 luôn có T<1/3.

Câu 34 (2 diểm):
Tìm a và b thoả mãn đẳng thức sau:
1+ a a
 a+ a
1
2


 1+ a − a  ⋅ 1− a = b − b + 2



Câu 35.(2 điểm)
Rút gọn các biểu thức sau:
1.

P=

2. Q =

m−n
m− n

+

m + n + 2 mn

; m, n ≥ 0 ; m ≠ n.

m+ n

a 2 b − ab 2
a− b
:
; a > 0 ; b > 0.
ab
a+ b

Câu 36 (2 điểm)
Cho biểu thức: M =

1− x
1− x

−

1−

( x)

3

1+ x + x

; x ≥ 0; x ≠ 1.

1. Rút gọn biểu thức M.
2. Tìm x để M ≥ 2.
Câu 37
Cho A=

x−2 x+3 +4
x − x − 3 − 3x + x 2 + x 2 − 9

−

1
x + x−3

1. Chứng minh A<0.
2. tìm tất cả các giá trị x để A nguyên.
5


Câu 38.
Cho A =

36 x 4 − (9a 2 + 4b 2 ) x 2 + a 2 b 2
9 x 4 − (9 a 2 + b 2 ) x 2 + a 2 b 2

1. Rút gọn A.
2. Tìm x để A=-1.
Câu 39.
− x 2 − 3x + 1
Cho 2
x + 2x + 1

1. Tìm x để A=1.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ( nếu có ) của A.
CÂU 40 Rút gọn biểu thức : P =

x +1
x −1
2
−
−
( x ≥ 0; x ≠ 0)
2 x −2 2 x +2
x −1



a
+
3
a
+
2
a
+
a
 :  1 + 1 ÷
−
Cõu 1. Cho biểu thức P = 
 a +2
a −1   a +1
a −1
a −1



a) Rút gọn P.
1
a +1
b) Tìm a để −
≥1
P
8
Cõu 5. Cho hai số dương x, y thỏa món điều kiện x + y = 1. Hóy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
1
1
+
thức A = 2
.
2
x +y
xy
Cõu 2.
 x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1 
−
−
−
1.Cho biểu thức B = 
÷: 
÷
x +1 x −1  x −1
x −1 
 x −1
a) Rút gọn B.

b) Tínhgiá trị của B khi x = 3 + 2 2 .
c) Chứng minh rằng B ≤ 1 với mọi giá trị của x thỏa món x ≥ 0; x ≠ 1 .

 1
  1
+ 1 − a ÷: 
+ 1÷
1.Cho M = 
 1+ a
  1− a2

a) Tìm tập xỏc định của M.
b) Rút gọn biểu thức M.
3
c) Tínhgiá trị của M tại a =
.
2+ 3
câu 1: (1,5 điểm)
Cho biểu thức:

(

)(

A=

x 2 − 4x + 4
4 − 2x

)

1. Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
2. Tính giá trị của biểu thức A khi x=1,999
Bài 4: Rút gọn:

(x
a)

2

−4
2

)

4
với x ≠ 2.
x − 4x + 4
2

6


 a a +b b a b −b a
−
a− b
 a+ b

b) 

  a− b
÷
÷:  a + b ÷
÷ (với a; b ≥ 0 và a ≠ b)
 


Bài 4: Rút gọn:
a)

x2 + x +
2x +1

1
4

1
với x ≠ −
2

 ab + b 3
ab + a 3  2 a − 2 b
−
÷:
b) 
với a, b ≥ 0; a ≠ b
a −b
a +b
a+ b ÷




bài 1(1,5 điểm):

x
y
z
+
+
= 1.
y+z z+x x+ y
x2
y2
z2
+
+
Hãy tính giá trị của biểu thức sau: A =
y+z z+x x+ y
Với x, y, z thoả mãn:

7