BOI DUONG HSG TOAN

NỘI DUNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

1


DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Bài 1: Cho biểu thức
1
1
a2 + 2
+
−
P=
2(1 + a ) 2(1 − a ) 1 − a 3
a) Rút gọn P.
b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
x 2 + y 2 + xy
Tính giá trị biểu thức : P =
xy - 1
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =

x-y
x+y

Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
P=

x +3
x + 2 x − 3 1- x
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
b) Chứng minh P ≤

1
2

2
3

Bài 5: Cho biểu thức
3a + 9a − 3
a +1
a −2
−
+
P=
a+ a −2
a + 2 1− a
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
P=

a +4 a-4 + a −4 a-4
8 16
1- +
a a2

a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức

a
1   1
2 
−
:
−
P = 

 
 a − 1 a − a   a + 1 a − 1
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
2


c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 8: Cho biểu thức
 4 x
8x   x − 1
2 
−
:
−
P = 
 
x 

2+ x 4−x x−2 x
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức

 
y
x + y 
x
 x − y - xy  : 
+
−
P= 
x + y   xy + y
xy − x
xy 

a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3
Bài 10: Cho biểu thức
 x + 1 x - 1 x 2 − 4x − 1  x + 2007


−
+
P= 

 x −1 x + 1

x
x 2 − 1 

a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Bài 11: Rút gọn P.
P=


 a + a 2 − b2 a − a 2 − b2
−

 a − a 2 − b2 a + a 2 − b2



 4 a 4 − a 2b 2
:

b2


Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
2
 x −2
x + 2   1 − x 



−
.
P= 
  2 
x
−
1
x
+
2
x
+
1



a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
2x
5 x +1
x + 10
+
+
P=
x +3 x +2 x +4 x +3 x +5 x +6
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P=

x+

4

3

2 − 3 .6 7 +4 3 −x

9 −4 5 . 2 + 5 + x

3


Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 15: Cho biểu thức
x2 − x
x2 + x
−
+x +1
x + x +1 x − x +1

P=

Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
Bài 16: Cho biểu thức
P=

x2 − x
2x + x 2(x −1)

−
+
x + x +1
x
x −1

a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P

c) Tìm x để biểu thức Q =
Bài 17:

2 x nhận giá trị là số nguyên.
P

Cho biểu thức
 2x x + x − x x + x 
x −1
x
⋅
−
+
P = 

x − 1  2x + x − 1 2 x − 1
x x −1

a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.

Bài 18:

Rút gọn biểu thức
3+ 5
3− 5
−
P=
10 + 3 + 5
10 + 3 − 5
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A =

4+ 7 − 4− 7

b) B =

4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

c) C =

4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5

Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P = x + 24 + 7 2 x − 1 + x + 4 − 3 2 x − 1
1
Với ≤ x ≤ 5.
2
Bài 21: Chứng minh rằng:
P = 2 3 + 5 − 13 + 48
6+ 2

là một số nguyên.
Bài 22:
Chứng minh đẳng thức:

4


1+

3
2

3
1+ 1+
2

+

1−

3
2

3
1− 1−
2

=1

Bài 23: Cho x = 3 5 2 + 7 − 3 5 2 − 7

Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x
1 + xy 1 − xy
Bài 24:
Cho E = x + y − x − y
Tính giá trị của E biết:
x=
y=

4 + 8. 2 + 2 + 2 . 2 − 2 + 2
3 8 − 2 12 + 20
3 18 − 2 27 + 45

Bài 25:

Tính P = 1 + 20072+

Bài 26:

Rút gọn biểu thức sau:

P=

1
+
1+ 5

20072 2007
+
2
2008

2008

1
1
+ ... +
5+ 9
2001 + 2005

Bài 27:
Tính giá rẹi của biểu thức:
3
P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng
x = 3 3+ 2 2 + 3 3− 2 2
y = 3 17 + 12 2 + 3 17 − 12 2
Bài 28:

 a +1

a −1
1 
−
+ 4 a  a −

Cho biểu thức A = 
a −1
a +1
a





a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4 − 15
Bài 29:
Cho biểu thức
A=

x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1) 
1 
⋅ 1 −

2
x
−
1


x − 4( x − 1)

a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Bài 30:
Cho biểu thức
P=

1+ 1− x
1− 1+ x
1
+

+
1− x + 1− x 1+ x + 1+ x
1+ x

a) Rút gọn P.
b) So sánh P với
Bài 31:

2
.
2

Cho biểu thức
5


P=

1

−

3

+

2

x +1 x x +1 x− x +1
a) Rút gọn P.

b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 32:

Cho biểu thức
2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
P=
a−5 a +6
a − 2 3− a
a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 33:
Cho biểu thức
x
2 x
1− x
−
−
P=
xy − 2 y x + x − 2 xy − 2 y 1 − x
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 34:
Cho biểu thức
x
2 x
1− x

−
−
P=
xy − 2 y x + x − 2 xy − 2 y 1 − x
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 35:
Cho biểu thức
 1
1 
2
1
+
+ +
P = 
y  x + y x
 x

1
:
y 

x3 + y x + x y + y 3
xy 3 + x 3 y

a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.

DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab.

Tính giá trị của biểu thức:

P=

Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy

a −b
a +b

x−y

Tính giá trị biểu thức E = x + y
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
6


yz xz xy
+
+
x2 y2 z 2
Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
 a  b  c 
P = 1 + 1 + 1 + 
 b  c  a 
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 .

Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức:
P = a 4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007
xy
x y
x3 y3
= −2 . Tính 3 + 3
Bài 8: Cho + = 1 và
a b
ab
a
b
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức

M=

P=

1
1
1
+
+
b 2 + c 2 − a 2 a 2 + c 2 − b 2 a 2 +b 2 − c 2

x4 y4
1

+
=
; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng:
a
b a+b
2
2
a) bx = ay ;

Bài 10: Cho

x 2008 y 2008
2
b) 1004 + 1004 =
a
b
(a + b)1004

Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:
1
1
1
+
+
=1
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + xz

Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:

a2
b2
c2
+
+
P=
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − b)(c − a )

Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:
b−c
c−b
a−b
2
2
2
+
+
=
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) a − b b − c c − a

7


Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
1

1

1

1

abc

Chứng minh rằng: p − a + p − b + p − c − p = p( p − a)( p − b)( p − c)
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh :
a
b
2( ab − 2)
+ 3
= 2 2
b −1 a −1 a b + 3
a b c
x y z
Bài 18: Cho + + = 1 và x + y + z = 0
a b c
x2 y 2 z 2
Tính giá trị biểu thức A = 2 + 2 + 2
a
b
c
a
b
c
+
+

=0
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và
b−c c−a a−b
a
b
c
Tính giá trị của P = (b − c) 2 + (c − a) 2 + (a − c)2
3

Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0.
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2.
x− y

Tính giá trị biểu thức: A = x + y
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy.
2 xy

Tính giá trị của phân thức A = − 6 x 2 + xy + y 2
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.
ax 2 + by 2 + cz 2
P=
bc ( y − z ) 2 + ac( x − z ) 2 + ab( x − y ) 2

Tính giá trị của biểu thức:

Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:
x3
y3
z3
+
+
P=
( x − y )( x − z ) ( y − x)( y − z ) ( z − y )( z − x)
x + y + z = 1
 2
2
2
Bài 27:
Cho  x + y + z = 1
 x3 + y 3 + z 3 = 1


Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 .
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:
P=

[a

]

− (b + c ) 2 (a + b − c)
(a + b + c ) (a − c) 2 − b 2
2

[

]

Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2.
8


Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:
 xy + y + z = 3

 yz + y + z = 8
 zx + x + z = 15


Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
 x 2 + y 2 + z 2 = 1
 3
 x + y 3 + z 3 = 1

Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003)
2+ 3+ 6+ 8+4
2+ 3+ 4
x− y
b) Tính giá trị biểu thức: Q = x + y

Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =

Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2.
a) So sánh a và b + c.
b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0
2) Tính A = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn
điều kiện x12 + x22 ≥ 10.
c > 0

Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện: 

( c + a ) < ab + bc − 2ac
2

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0.
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
 x1 − x 2 = 5

nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 

3
3
 x1 − x 2 = 35

Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.
9


Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm nếu

2b c
≥ +4
a a

Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
mãn: x12 - x22 =

5
9

Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:
1

1

S = x3 + x3
1
2
Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương
trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
3 x12 + 5 x1 x 2 + 3 x 22
A=
4 x1 x 23 + 4 x13 x 2

Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 = 6.
3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
x1 < 1 < x2.
Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) .
Tìm GTNN của M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
1 1 1
+ =
a b 2

CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0.
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
10


sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 ≥ 10.
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
E = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.
CMR: a2 + b2 là một hợp số.

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Giải phương trình:
Bài 1:
x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 .
Bài 2:

(x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3:
4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 4:
3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5:
(x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6:
(x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7:
a) (x + 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64
Bài 8:
a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0
c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0
Bài 9:
a) x4 = 24x + 32
b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0
5
3
x−8 + x −9 =1
Bài 10:
Bài 11:
Bài 12:

2x
7x
− 2
=1

3x − x + 2 3x + 5x + 2
4x 2
2
= 12
x +
( x + 2) 2
2

2

Bài 13:
Bài 14:

2

x2 − 4
 x −2
 x + 2
=0
20 
 − 5
 + 48 2
x −1
 x +1 
 x −1 
3x
7x
+ 2
= −4
a) 2

x − 3x + 1 x + x + 1
x 2 − 10 x + 15
4x
= 2
b) 2
x − 6 x + 15 x − 12 x + 15

11


Bài 15:

x 2 − 3x + 5 x 2 − 5 x + 5
1
− 2
=−
2
4
x − 4x + 5 x − 6x + 5
2
81x
= 40
a) x2 +
( x + 9) 2
x2
2
= 15
b) x +
( x + 1) 2

Bài 16:

40
 x −1  x −1 
a) 
 +
 =
9
 x   x −2

c)

2

2

2

2

5 x2 − 4
 x + 2  x −2
=0
b) 
 +
 −
2 x2 −1
 x +1   x −1 
8− x
8− x

x−
 = 15
c) x.
x −1 
x −1 
2

Bài 17:
Bài 18:
Bài 19:
Bài 20:
Bài 21:
Bài 22:
Bài 23:
Bài 24:
Bài 25:
Bài 26:
Bài 27:
Bài 28:

Bài 29:

 x −1
x +
 = 8( Đề thi HSG V1 2004)
 x 
x − 1 − 5 x − 1 = 3x − 2
3
x +1 + 3 7 − x = 2
2

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2

3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 +7 x + 7 = 2
a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0
c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0
(x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24
a) x3 - 6x + 4 = 0
b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0
a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0
b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0
x 2 48
 x 4
+ 2 − 10 −  = 0
3 x
3 x

a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3 + 1
( Đề thi HSG 1998)
x−5 −

x − 14

3+ x −5

=3

Bài 30:

x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)

Bài 31:

x4 + 4
− 5x = 0
x2 − 2

Bài 32:
Bài 33:

( Đề thi HSG V2 2003)

a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0
b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0
(x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
12


Bài 34:

a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x + 3
b) 3 x 3 + 8 = 2x2 - 6x + 4
4

c) 2 − x +
Bài 35:

Bài 36:

3

=2
2− x +3
x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0

Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m
a) Giải phương trình khi m = 5.
b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 37:
Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương
trình có nghiệm.
Bài 38:
Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0
Bài 39:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0.
Bài 40:
x2 + 9x + 20 = 2 3x + 10
Bài 41:
x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 +1
Bài 42:
x2 + x + 2006 =2006

DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1) Với a, b > 0 thì

a+b
≥ ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

2

Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
(a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ≥ (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: ab + cd ≤ ( a + c )( b + d )
Bài 4) CM bất đẳng thức:
a2 + b2 + c2 + d 2 ≥

( a + c) 2 + ( b + d ) 2

Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
b+c c+a a+b
2

Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:
1
1
1 1
+
+ ... +
>
n +1 n + 2
2n 2

Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b ≤ 2.
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a2 + b2 + c2 = 2 (2)
− 4 

CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn  ;0 khi biễu diễn trên trục số.
 3 
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.
CMR: 2a2 + 3b2 ≥ 5.
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1.
CM: a2 + 4b2 ≥

1
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003).
5

13


Bài 11) Chứng minh:

2− 2+ 2+ 2+ 2

<

2− 2+ 2+ 2

1
3

(Đề thi HSG 2001).

Bài 12) Chứng minh:
a) (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ≥ (ax + by)2
b) 0 < x − 2 + 4 − x ≤ 2
a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a a+b 2
1
1
1
+
+ ... +
Bài 14) Cho S = 1 +
.
2
3
100

Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:

CMR: S không là số tự nhiên.
1

1

4

Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR: x + y ≥ x + y . Dấu bằng xảy ra khi nào?
a+b+c
.
2
1
1
1
1 1 1
Cm: p − a + p − b + p − c ≥ 2 a + b + c 



b) Tam giác ABC có chu vi P =

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 16) a) CM x > 1 ta có:

x
x −1

≥2

b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: P =

a2
b2

+
b −1 a −1

Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

 1 1 1
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì  + +  ≥ 9 .
a

b

c

Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2.
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b ≤ 10.
Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab.
CMR:

8
≤ a2 + b2 ≤ 8 .
3

Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:
Bài 24) CMR nếu:
a) 1 ≤ a ≤ 5 thì 3 a − 1 + 4 5 − a ≤ 10

b) a + b ≥ 0; b + 1 ≥ 0; a + b = 2 thì a + 1 + b + 1 ≤ 2 2

1 1
2
+ +
≥3
a b a+b

14


Bài 25) Cho biểu thức P =
CMR: 0 < P <

3
x − x + x −1
4

3

−

32
với ∀x ≠ ±1 .
9

Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và

1
x + x − x −1

4

3

−

4
x − x + x − x2 + x −1
5

4

3

a
a a+k
< 1.Cmr : <
b
b b+k

b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
a
b
c
+
+
< 2.
b+c c+a a+b

Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.




1 
a 

1
b

Chứng minh rằng: 1 + 1 +  ≥ 9
(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)
Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:
 x y
x2 y2
+ 2 + 4 ≥ 3 + 
2
y
x
 y x

( Đề thi HSG V2 2006 - 2007)

DẠNG 6: CỰC TRỊ
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y.

Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P = 1 −
2 ( x + x + 1)



1 
1 
1− 2 ÷
2 ÷
x  y 

2

Bài 3) Cho P =

x2 + 1

. Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.

Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y ≥ 0, x + y = 10
Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1
x2 − x + 1
Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 2
x + x +1
Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2 − x
x y z
Bài 9) Tìm GTLN của P = y + z + x với x, y, z > 0.

Bài 10) Tìm GTLN của P = ( x − 1990) 2 + ( x − 1991) 2
Bài 11) Cho M = a + 3 − 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1
a) Tìm điều kiện của a để M được xác định.
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng.
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:

1
1
1
+
+
≥ 2 . Tìm GTNN của P = x.y.z.
1+ x 1+ y 1+ z

15


Bài 13) Tìm GTNN của P =

2
1
+
1− x x

Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P = x + 2y.
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3.
Tìm GTNN của E = x2 + 2y2.
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y ≤ 1. Tìm GTNN của biểu thức
1

2

P = x 2 + y 2 + xy + 4xy
x2 + x + 1
với x bất kỳ.

x2 + 1
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y ≤ 1. Tìm GTNN của biểu thức
1
2
A = x 2 + y 2 + xy

Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P =

2

2

1 
1

Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  x + ÷ +  y + ÷
x 
y

1
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy
 1  1 
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 1 + ÷1 + ÷
y
 x 

Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4.
2

2


1 
1
Tìm GTNN của biểu thức P =  x + ÷ +  y + ÷
y 
x


Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
2

2

2

1 
1 
1

E = a + ÷ + b + ÷ + c + ÷
a 
b 
c


Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
P = a 3 + b3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
Tìm GTNN của P =

1
1
+
a +1 b +1

x2 + y 2
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P =
x− y

Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của
1

P = 8(x4 + y4) + xy
Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1
Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x x + y y biết x + y = 1
x 2 − 2 x + 2000
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =
x2

16


17