Chuyên đề Số chính phương

Phần B : Giải quyết vấn đề
I- Những vấn đề cơ bản của số chính phơng
1.
Định nghĩa :
* Số chính phơng: Là một số viết đợc dới dạng bình phơng của một số tự nhiên khác.
VD: Có 9 = 32 , 25 =52
Các số 9 và 25 là bình phơng của các số tự nhiên của 3 và 5 nên 9 và 25 đợc gọi là các số chính
phơng.
2.
Một số tính chất:
* Tính chất 1 : Số chính phơng chỉ có thể tận cùng bởi 0;1;5 ;6 ;9 , không thể tận cùng bởi các
số 2; 3; 7;8.
* Tính chất 2 :
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phơng chỉ chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn,
không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Chứng minh:
Giả sử A = m2 và m = ax.by.cz trong đó a,b,c là các số nguyên tố khác nhau, còn x,y,z là các
số dơng.
Thế thì:
A = m2 = (ax.by.cz)2 = a2x.b2y.c2z
Từ tính chất này ta suy ra:
Số chính phơng chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
Số chính phơng chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
Số chính phơng chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
Số chính phơng chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
Tổng quát: Nếu số chính phơng A chia hết cho p2k+ 1 thì A chia hết cho p2k+2 (p là số nguyên tố k
N)
* Tính chất 3 :
Số lợng các ớc của một số chính phơng là số lẻ. Đảo lại, một số có số lợng các ớc là số lẻ thì số
đó là số chính phơng.
Chứng minh:

Thật vậy :
- Nếu A = 1 => A là số chính phơng có 1 ớc.
- Nếu A > 1 => A có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là
- A = ax.by.czthì số lợng các ớc của A là (x+1).(y+1).(z +1)
a, Nếu A là số chính phơng =>x,y,zlà số chẵn
=>x+1; y+1 ; z+1;là các số lẻ.
=> (x+1); (y+1) ; (z+1);là số lẻ.
Vậy số lợng các ớc của A là số lẻ.
b, Nếu A có số lợng các ớc là số lẻ tức là (x+1); (y+1) ; (z+1);là số lẻ
=> x+1; y+1 ; z+1;là các số lẻ.
=>x, y,z là các số chẵn.
Ta đặt x= 2m, y= 2n; z = 2p ( với m;n;p N)
Khi đó A= a2m b2nc2p= (am.bn.cp)2 nên A là số chính phơng.
* Tính chất 4 : Một số chính phơng có tận cùng là 5 thì số hàng chục là 2.
Chứng minh:
Giả sử A = a52 =(10a+ 5)2 = 100a2 +100a +25.
Vì chữ số hàng chục của 100a2 +100a là chữ số 0 nên chữ số hàng chục của A là 2.
* Tính chất 5 :
Một số chính phơng có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.
Chứng minh:
Giả sử A = a2 là một số chính phơng có chữ số tận cùng là 6 thì chữ số hàng đơn vị của a
chỉ có thể là 4 hoặc 6.
Nếu hai chữ số tận cùng của số a là b4.
Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 +80b +16.
Vì chữ số hàng chục của 100b2 +80b là chữ số chẵn nên chữ số hàng chục của b42 là số lẻ
Vậy số hàng chục của A là số lẻ.
Nếu hai chữ số tận cùng của a là b6 ta cũng chứng minh tơng tự.
* Tính chất 6:
Số chính phơng khi chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1.

Chứng minh:
Ta xét các trờng hợp sau:
- Nếu A = (3k)2 =9k2M3
- Nếu A = (3k +1)2=9k2 +6k + 1 chia cho 3 d 1
- Nếu A = (3k +2)2=9k2 +12k + 4 chia cho 3 d 1.
* Tính chất 7:
Một số chính phơng khi chia cho 4 chỉ có thể d 0 hoặc 1.
Chứng minh:
Thật vậy:
Nếu A = (2k)2 = 4k2 M4
Nếu A = (2k +1)2 =4k2 + 4k + 1chia cho 4 d 1.
Nh vậy theo tính chất này ta thấy:
Một số chính phơng chẵn thì chia hết cho 4.
Một số chính phơng lẻ thì chia cho 4 d 1.
Mặt khác ta có (2k+1)2 = 4k2 +4k +1
= 4k(k+1) +1
Mà tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2 nên 4k(k +1) M8.
Do đó ta có nhận xét sau:
Một số chính phơng lẻ thì chia cho 8 d 1.
Tơng tự nh các tính chất trên ta có thể chứng minh đợc một số chính phơng khi chia cho 5 chỉ
có thể d 0 hoặc d 1 hoặc d 4.
* Tính chất 8:
Giữa hai số chính phơng liên tiếp không có số chính phơng nào.
Thật vậy:
Nếu n là số tự nhiên và có số tự nhiên k thỏa mãn n 2 < k 2< (n+1)2
=>
n<
k Nếu n2< k2 < (n +2)2=> k2 = (n+1)2

* Tính chất 9 :
Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a, b là số chính phơng thì a, b đều là số
chính phơng.
* Tính chất 10:
Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phơng thì một trong hai số đó là số 0.
II. Một số dạng bài về số chính phơng.
1.
Chứng minh một số là số chính phơng.
Để chứng minh số A là số chính phơng, tùy từng bài toán ta lựa chọn phơng pháp nào cho phù
hợp . Sau đây là hai phơng pháp thờng dùng.
1.1.
Vận dụng định nghĩa về số chính phơng.
Theo phơng pháp này ta sẽ tìm cách biến đổi A thành bình phơng một số tự nhiên ( hoặc số
nguyên)
* Bài toán 1:
Cho a = 1115 và
b = 1119
n chữ số 1
n chữ số 1
Chứng minh rằng : ab +4 là số chính phơng.
Giải:
Ta có b = 1119 = 1115 +4 = a +4
n chữ số 1
n chữ số 1

ab +4 = a.(a+4) +4 = a2 +4a +4 = (a+2)2 = 11172
n chữ số 1
Vậy ab + 4 là số chính phơng
* Bài toán 2:
Chứng minh rằng : Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phơng.

Giải :
Thật vậy , ta gọi tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có dạng: n(n+1)(n+2)(n+3)
Khi đó A = n (n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n2 +3n +2)(n2+3n) +1
= (n+3n)2 +2(n2 +3n)+1
= (n2+ 3n +1)2
Vậy A là số chính phơng.


* Bài toán 3:
Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng : A-B là
một số chính phơng.
Giải:
100 chữ số 9
100
Ta có A = 111 = 99...9 = 10 1

9

9

100 chữ số 1

50
Tơng tự B = 222 = 2(10 1)

9

50 chữ số 2
2

100
50
100
50
50
=>A B = 10 1 2(10 1) = 10 2.10 + 1 = 10 1 = (33...3) 2

9

9

9



3



50 chữ
số 3
Cách 2:
B = 222 = 2.111
50 chữ số 1
50 chữ số 1
A = 111 = 111 000+ 111
100 chữ số 1
50 chữ số 1 50 chữ số 0 50 chữ số 1
= 111.1050+111
50 chữ số 1

50 chữ số 1
Đặt C = 111 =>9C = 999 +1
50 chữ số 1
50 chữ số 9
=>9C +1 = 999 +1
50 chữ số 1
50
=>9C+1=10
Khi đó : A = C. (9C +1) +C =9C2 +2C
B = 2C
A B = 9C2 +2C -2C = 9C2 =(3C)2 = (333)2
50 chữ số 3
Nhận xét: Nh vậy khi giải bài toán về số chính phơng mà tồn tại số có nhiều chữ số giống nhau
ta có thể đặt C = 111 và chú ý rằng :
n chữ số 1
10n = 999 +1 = 9C +1. Sau đó ta thay vào biểu thức
n chữ số 1
Từ bài toán 3 này ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:
* Bài toán tổng quát:
Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên A gồm 2k chữ số 1 và số tự nhiên B gồm k chữ số 2.
Chứng minh rằng : A-B là một số chính phơng.
* Bài tập áp dụng:
1, Cho hai số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm 2m chữ số 1, số B chỉ gồm m chữ số 4.
Chứng minh rằng : A +B +1 là một số chính phơng.
2, CMR : an+ an+1 là một số chính phơng với an = 1 +2 +3++n
3, CMR: 1+ 3+ 5+ 7+ + n là một số chính phơng(n lẻ)
4, Chứng minh các số say đây là số chính phơng.
a, A = 444 x 888
(n )
n chữ số 4

(n-1) chữ số 8
b, B = 111 888 +1
(n N)
2n chữ số1 n chữ số 8
5, Cho 3 số tự nhiên A = 444 ; B = 222 ; C = 888
2n chữ số 4
(n+1) chữ số 2
n chữ số 8
CMR : A +B +C + 7 là số chính phơng.
6, Cho a = 111 ; b = 1000 11
( n 2)
n chữ số 1
(n-2)chữ số 0
CMR : ab +4 là số chính phơng.


1.2.
Dựa vào tính chất đặc biệt (Tính chất 9 này)
Ta sẽ chứng minh tính chất đặc biệt : Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và ab là
một số chính phơng thì a và b đều là số chính phơng.
Chứng minh:
Giả sử (a,b) = 1 và a.b = c2( c N)
Khi đó ta sẽ chứng minh : a và b đều là các số chính phơng.
Gọi d = (a,c) a = a1.d ; c =c1.d ;(a1 ;c1) = 1
Mà a.b =c2 a1.d.b =(c1.d)2
a1.b = c12.d
(*)
Từ (*) suy ra ;
+, a1.b Mc12 => b Mc12 (1) vì (a1 ;c1) =1
+, c12.d M

b => c12 M
b (2) vì (a,c) =d mà (a;b) =1 nên (d;b) =1
2


Từ (1) và (2) => b =c Khi đó a= c ữ = d 2
c1
2
1

Nh vậy tính chất trên đợc chứng minh.
Sau đây là một số bài toán ta có thể áp dụng tính chất trên
* Bài toán:
Chứng minh rằng : Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn x2 +x = 2y2 +y thì :
A, x-y và x+ y +1 là các số chính phơng.
B, x- y và 2x +2y +1 là các số chính phơng.
Giải :
A, Ta có x2 +x = 2y2+y.
x2 y2 +x y = y2
(x y)(x+y+1)=y2 (1)
Nh vậy để chứng minh : x y và x +y +1 là các số chính phơng thì áp dụng tính chất đặc biệt
trên ta sẽ chứng minh : (x-y: x+ y +1) = 1.
Thật vậy , gọi d = (x-y; x +y+ 1)

x- y Md và x + y+1 )

( x+ y+1) (x y) Md

2y +1Md
Mặt khác từ (1) ta có y2 Md=> y Md(3)

Từ (2) và (3) suy ra 1 Md hay d = 1.
Vậy (x-y;x+y+1) = 1 thỏa mãn (1), theo tính chất 9 suy ra x- y và x +y +1 là các số chính phơng.
b, Từ giả thiết ta có x2 +x = 2y2 +y.
2(x2 y2) +x y = x2
(x y) (2x +2y +1) =x2
Chứng minh tơng tự phần a ta đợc (x y; 2x +2y +1) = 1
áp dụng tính chất 9 suy ra x y và 2x +2y +1 là các số chính phơng.
Theo cách chứng minh bài toán trên ta có thể áp dụng để chứng minh cho các bài toán sau:
1.Chứng minh rằng:
Nếu x và y là các số tự nhiên thỏa mãn 2x2 +x = 3y2+ y thì:
a, x y và 2x +2y +1 là các số chính phơng.
b, x y và 3x +3y +1 là các số chính phơng.
2. Chứng minh rằng :
Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn : 3x2 +x = 4x2 +y thì :
a, x y và 3x +3y +1 là các số chính phơng.
b, x y và 4x +4y +1 là các số chính phơng.
Từ các bài toán trên ta có thể chứng minh bài toán tổng quát sau:
* Bài toán tổng quát:
Nếu x, y là các số tự nhiên thỏa mãn nx2 +x = ( n +1)y2 +y
(n N) thì :
a, x y và nx +ny +1 là các số chính phơng.
b, x- y và (n +1)x + (n +1)y +1 đều là các số chính phơng.


2. Chứng minh một số không là số chính phơng.
Chúng ta đã biết cách chứng minh một số là số chính phơng. Vậy để chứng minh một số không
phải là số chính phơng ta làm thế nào? Một số là số chính phơng thì cần có những điều kiện gì?
Trả lời đợc những câu hỏi trên , chúng ta sẽ tìm ra hớng để giải quyết những bài toán Chứng
minh một sô không là số chính phơng.
Sau đây là một số giải pháp khi thực hiện dạng toán này.

2.1.Tìm số tận cùng.
Do số chính phơng bằng bình phơng của một số tự nhiên nên số chính phơng phải có chữ số tận
cùng là 0,1,4,5,6,9 không tận cùng bởi 2,3,7,8.
Nh vậy muốn chứng minh số A không phải là số chính phơng ta sẽ chứng minh số A có chữ số
tận cùng là 2, 3, 7 ,8.
Hay số A có một số lẻ chữ số 0 tận cùng ( do số chính phơng nếu chứa thừa số nguyên tố 2, 5
thì với số mũ chẵn , nên chứa một số chẵn số 0 tận cùng)
Dựa vào kiến thức trên, ta có thể giải quyết đợc bài toán sau đây:
* Bài toán 1:
Chứng minh số A = 11 +112+113+114+115+116+117không là số chính phơng.
Giải :
Ta thấy chữ số tận cùng của A là 7.
Mà số chính phơng chỉ có tận cùng là 0,1,4,5,6,9 không tận cùng bởi 2,3,7,8.
Vậy kết luận A không là số chính phơng.
Nhng một số có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9 đã chắc chắn là số chính phơng hay cha ? ta xét
bài toán sau:
* Bài toán 2
Chứng minh số 2006000 không là số chính phơng.
Giải :
Một số chính phơng tận cùng là số 0 phải chứa thừa số nguyên toos 2 và 5 với số mũ chẵn , do
đó nó phải tận cùng bởi một số chẵn chữ số 0. Vậy số 2006000 không là số chính phơng.
* Bài toán 3
Chứng minh rằng : B = 10100 + 5050 +1 không là số chính phơng.
Nhận xét :
Ta thấy B có tận cùng là 1. Vậy muốn chứng minh B không là số chính phơng ta phải làm nh thế
nào?
Khi đó ta cần chú ý một tính chất nữa của số chính phơng đó là:
Một số chính phơng chia hết cho số p 2k+1 thì phải chia hết cho p 2k+2 (p là số nguyên tố , k N)
Vậy lời giải bài toán 3 sẽ là : Ta thấy B chia hết cho 3 nhng không chia hết cho 9 ( vì tổng các
chữ số của số B bằng 3 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9) => B không phải là số chính phơng.

* Bài toán 4 :
Chứng minh số 20070 không là số chính phơng.
Giải :
- Cách 1: Theo bài toán 2 ta thấy số 20070 có tận cùng là một số lẻ chữ số 0 => 20070 không
là số chính phơng.
- Cách 2 : Ta thấy số 20070 chia hết cho 5( vì có tận cùng là 0) nhng không chia hết cho 25 ( vì
hai chữ số tận cùng không chia hết cho 25). Do đó số 20070 không là số chính phơng.
* Bài tập áp dụng :
1. Chứng minh rằng : Các số sau không là số chính phơng.
a, A = 5 + 52+ 53+ 52+ 54+ 55+ +5n
(n >0)
b, B = 20042005
c, C = 20062 -20052 + 20042- 20032
2. Chứng minh rằng : Tổng các bình phơng của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phơng.
3. Viết liên tiếp các số 1,2,3,42003,2004 thành hàng ngang theo thứ tự tùy ý.
CMR : Số tạo thành theo cách viết trên không thể là một số chính phơng.
1.2
Dựa vào việc xét số d trong các phép chia cho 3,4,5
* Bài toán 1:
CMR : Số A = 2224 không phải là số chính phơng.


Nhận xét: Thật vậy, nếu xét chữ số tận cùng ta thấy số A có tận cùng là 4, nh vậy không thể kết
luận đợc gì. Mà số A chia hết cho 2 và cũng chia hết cho 4( do hai chữ số tận cùng chia hết cho
4). Nh vậy, ta không thể áp dụng cách chứng minh ở dạng 1 vào bài toán này.
Chúng ta đã biết chứng minh một số chính phơng khi chia hết cho 3 có số d là 0 hoặc 1. Vậy A
chia cho 3 có số d nh thế nào? Khi đó ta có lời giải.
Giải:
Do số A có tổng các chữ số của nó là 104, số này chia cho 3 d 2.
Mà một số chính phơng khi chia cho 3 chỉ có số d là 0 hoặc 1.

Vậy A không phải là số chính phơng.
* Bài toán 2:
CMR : Tổng của ba số chính phơng liên tiếp không phải là số chính phơng.
Giải:
Gọi ba số chính phơng liên tiếp có dạng: (n-1)2,n2, (n+1)2.
Tổng của chúng là: A = (n-1)2+n2+ (n+1)2
A= 3n2 +2
Do A chia cho 3 d 2 nên A không là số chính phơng.
* Bài toán 3
CMR : Tổng của bốn số chính phơng liên tiếp không phải là số chính phơng.
Giải:
Gọi bốn số chính phơng liên tiếp có dạng (n-1)2,n2, (n+1)2, (n+2)2
Tổng của chúng là B =(n-1)2+n2+ (n+1)2+ (n+2)2
B = 4n2 +4n+6.
- Ta dễ dàng chứng minh đợc rằng một số chính phơng chia cho 4 chỉ có số d là 0 hoặc 1.
- Nh vậy số B = 4n2 +4n+6 = 4(n2 +n+1)+2 chia cho 4 d 2.
Vậy B không là số chính phơng.
* Bài toán 4 :
CMR : Tổng của 20 số chính phơng liên tiếp không phải là số chính phơng.
Giải:
Thật vậy:
Gọi A là tổng của 20 số chính phơng liên tiếp.
Theo bài 3 : Do tổng của 4 số chính phơng liên tiếp chia cho 4 d 2 . Nên tổng của 20 số chính
phơng liên tiếp chia cho 4 cũng d 2.
Vậy A không là số chính phơng.
* Bài toán 5
CMR: Tổng sau không là số chính phơng.
D = 20054 +20053 +20052 +2005 +52.
Nhận xét: Nếu số d trong phép chia cho 3, cho 4 ta không kết luận đợc gì. Mà ta biết rằng một
số chính phơng khi chia cho 5 chỉ có số d là 0 hoặc d 1 hoặc d 4.

Giải:
Do D chia cho 5 d 2. Mà một số chính phơng khi chia cho 5 chỉ có số d là 0 hoặc 1 hoặc 4. Nên
D không là số chính phơng.
* Bài toán áp dụng:
1. CMR tổng của 2 số chính phơng lẻ không là số chính phơng.
2. CMR các biểu thức sau không là số chính phơng.
a, n3 n +2.
b, n5 n+2
3. CMR các tổng sau không là số chính phơng.
a, A= 12 +22 +32++20032+20042.
b, B = 12 +22 +32++20032
c, C =20002 +20012+ 20032 +20042+20052+20062
2.3 Chứng minh số đó nằm giữa 2 số chính phơng liên tiếp .
Ta biết rằng giữa hai số chính phơng liên tiếp không có số chính phơng nào. Thật vậy , nếu n2<
k<(n +1)2 thì k không là số chính phơng.
Vận dụng kết quả trên ta sẽ giải quyết đợc các bài toán sau:
* Bài toán 1: Chứng minh rằng:
a, Tích của hai số nguyên dơng liên tiếp không là số chính phơng.
b, Tích của ba số nguyên dơng liên tiếp không là số chính phơng.
c, Tích của bốn số nguyên dơng liên tiếp không là số chính phơng.


Giải:
a, Xét tích của hai số nguyên dơng liên tiếp n(n+1);(n>0).
Do n2 < n(n+1)< (n+1)2.
Nên n(n+1) không phải là số chính phơng.
b, Xét tích của ba số nguyên dơng liên tiếp là (n-).n.(n+1); (n>1).
Ta có (n-1).n.(n+1) = n.(n2 -1).
Ta dễ dàng chứng minh đợc hai số nguyên dơng liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau nên (n2,
n2-1 ) =1 => (n2, n2-1 ) =1 =>n(n2-1) là số chính phơng khi cả hai thừa số n và n2- 1 đều là số

chính phơng.
Với mọi n>1 ta có (n -1) (n -1)< (n -1) (n +1)= n2-1hay (n-1)2 < n2 -1< n2=> n2 -1 không là số chính phơng.
Vậy n.(n2 -1) không là số chính phơng.
c, Xét tích của 4 số nguyên dơng liên tiếp là :
A = n(n+1)(n+2)(n+3)
(n N*)
A = n(n+3(n+1)(n+2)
A = (n2 +3n).(n2+3n+2)
A = (n2+3n)2 +2(n2 +3n)
Do (n2+3n)2<(n2+3n)2 +2(n2 +3n)< (n2+3n)2 +2(n2 +3n)+1
hay (n2+3n)2=> A không là số chính phơng.
* Bài toán 2:
Chứng minh rằng : Số có dạng 2006ab không là số chính phơng.
Giải :
Do 00(1)
Mà 4472 = 199809 < 200600
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 4472< 2006ab <4482
Vậy 2006ab không là số chính phơng.
* Bài toán 3:
Chứng minh rằng : Số có dạng n6 n4 +2n3 +2n2 (n N, n>1) không là số chính phơng.
Giải :
Xét n6 n4 +2n3 +2n2 = n2.(n4 n2 +2n +2)
= n2 .[(n2 -1)2 +(n+1)2]
= n2 .[(n2 -1)2 (n +1)2 +(n+1)2]
= n2.(n+1)2 .[(n-1)2+1]
Với mọi số tự nhiên n> 1 ta có:

(n-1)2 < (n-1)2+1 = n2 -2(n-1)=> (n-1)2+1 không là số chính phơng.
Vậy A không là số chính phơng.
* Bài toán áp dụng:
1, Chứng minh rằng với mọi số dơng n thì các biểu thức sau không là số chính phơng.
a, n2+3n +1
b, n4 +2n3 +2n2+2n +1.
2, CMR số sau không là số chính phơng.
2006acb.
2.4.Chứng minh số đó chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố số chính phơng chỉ chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn
không chứa số với số mũ lẻ.
Dựa vào tính chất này ta có thêm một cách chứng minh một số không phải là số chính phơng,
chỉ cần chỉ ra số đó chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
* Bài toán:
Chứng minh rằng : A = abc +bca +cab không là số chính phơng.
Giải:
Thật vậy : có A = 111(a+b+c ) = 3.37.(a+b+c)
Do một số là số chính phơng phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
Mà (a+b+c) không đồng thời chia hết cho 3 và 37.
Vì 3 a+b+c 27


Nªn A kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng.
* Bµi tËp ¸p dông:
Chøng minh r»ng c¸c sè sau kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng.
a, abab
b, abcabc
c, ababab