Chuyên đề Số chính phương

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1) Định nghĩa: Là số có dạng
2
,n n∈ ¢
.
2) Tính chất:
1. Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia
cho 8 dư 1
2. Nếu a=3k thì
( )
2
0 mod9a ≡
; Nếu
3a k≠
thì
( )
2
1 mod3a ≡
3. Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính
phương nào
4. Số chính phương không thể có tận cùng là 2, 3, 7, 8.
5. Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n
2
sẽ là số
chính phương.
6. Nếu a, b chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương.
HD: G/s ab= c
2
và gọi d=(a,c) suy ra a=a
1
d; c=c

1
d, (c
1
, d
1
)=1do đó ab=c
1
2
d
+ Do
( )
2 2
1 1 1 1 1
a d c c , 1b vi a c→ =M M
+ Do
( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 1
, , 1 ;
c
c d b c b vi b d b a b c a d
b
→ = = → = = =M M
7. Nếu một số chính phương chia hết cho p, p- nguyên tố thì số chính
phương đó chia hết cho p
2
. Do đó nếu một số a chia hết cho số nguyên
tố p nhưng số a không chia hết cho p
2

thì a không là số chính phương.
3) Bài tập
1. Chứng minh rằng tổng của hai số chẵn liên tiếp không chính phương.
HD:
( )
2 (2 2) 4 2 2 mod4n n n+ + = + ≡
2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 2 hoặc 3 số nguyên lẻ
không chính phương.
HD:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 mod 4
2 1 2 1 2 1 3 mod8
n k
n k l
+ + + ≡
+ + + + + ≡
3. Chứng minh rằng một số chẵn bất kì không phải là bội của 4 thì không
thể phân tích thành hiệu 2 số chính phương.
HD:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1k a b a b a b+ = − = − +
Do vế trái chẵn nên hai số a và b có cùng tính chẵn lẻ suy ra (a-b) và (a+b)
cùng chẵn. Khi đó vế phải chia hết cho 4.
4. Chứng minh phương trình 13x
2
+2 =y

2
không có nghiệm nguyên.
HD: + x và y cùng tính chẵn lẻ
+ Khi y chẵn:
( ) ( )
VP 0 mod4 ;VT 2 mod 4 ;≡ ≡
+ Khi y lẻ :
( ) ( )
VP 1 mod8 ;VT 7 mod8 ;≡ ≡
5. Tìm
n∈ ¥
để 2 8 5
n
n+ + là chính phương.
HD: +
( )
3 2 8 5 5 mod8
n
n n≥ → + + ≡
+ n=2: 25 là chính phương.
+ n=0 hoặc 1 thì không thoả mãn
6. Chứng minh rằng không tồn tại
n∈ ¥
để 24n+41 là chính phương.
HD: G/s 24n+41=t
2
+ Nếu t chia hết cho 3 thì 24n+41=3(8n+13)+2 không chia hết cho 3
+ Nếu t không chia hết cho 3 thì
( ) ( ) ( )
2

1 mod3 3 8 13 2 1 mod3t n≡ ⇒ + + ≡

7. Chứng minh không tồn tại
n
∈
¥
để 7.10
n
+4 là chính phương.
HD:
( )
7.10 4 2 mod3
n
+ ≡
8. Chứng minh rằng tích của 2 số tự nhiên khác không liên tiếp không
chính phương.
HD: có n
2
< n(n+1) < n
2
+2n+1 = (n+1)
2
9. Tìm
n
∈
¥
n
2
+ 3n là chính phương.
HD: Dễ thấy n = 0;1 đúng.

Ngoài ra, có n
2
+2n+1< n
2
+3n < n
2
+4n+4 hay (n+1)
2
< n
2
+3n< (n+2)
2
10.Tìm
n∈ ¥
để n
2
+ 3 chia hết cho 5.
11. Tìm
n
∈
¥
để n! + 97 là chính phương.
HD: Nếu
5n ≥
thì n!+97 có tận cùng là 7 nên không chính phương.
Nếu n = 4 thì 24+97 = 121= n
2
Nếu
0 3n≤ ≤
thì đều không thoả mãn.

12. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính
phương.
13.Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1994 hoặc 1995
được hay không?
HD: a)
( )
( ) mod3N S N≡
. Vì
( )
1994 2 mod3≡
nên nếu S(N)=1994 thì
( )
2 mod3N ≡
b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng
các chữ số của 1 số chính phương không thể bằng 1995.
14. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không
chính phương.
HD:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 1 1 2 5 2 5n n n n n n− + − + + + + + = + M
nhưng không chia hết
cho 25.
15. Chứng minh rằng không tồn tại
n
∈
¥
để n

2
+n+2 chia hết cho 3.
HD: G/s
n∃ ∈ ¥
để n
2
+n+2=3k khi đó n
2
+n+2-3k = 0 có nghiệm nguyên
dương
Có
( )
3 4 3 2k∆ = − +
là số chính phương. Điều này vô lí vì
( )
2 mod3∆ ≡
16. Gọi N=2.3.4…P
n
là tích của n số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng
cả 3 số N, N-1, N+1 đều không là số chính phương.
HD: Nếu N chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên N không chính phương.
Nếu N+1=k
2
thì k lẻ khi đó
N=(k-1)(k+1) 4!M
Nếu
( )
1 2 mod3N − ≡
th ì N-1 không chính phương.
17.Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ không chính phương.

18.Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì
chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6.
HD: xét (10n+b)
2
= 20n(5n+b) + b
2
; Với
9b ≤
chữ số hàng chục của
20n(5n+b) chẵn do đó chữ số hàng chục của b
2
lẻ nên b=4; 6.
19. Chứng minh rằng mọi số chính phương lẻ đều có chữ số hàng chục là
chẵn.
HD: Xét (10a+b)
2
= 20a(5a+b)+b
2
với b lẻ,
2
9 1;3;5;7;9 01;09;25;49;81b b b≤ ⇒ = ⇒ =
→
ĐPCM
20. Chứng minh rằng một số chính phương lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì
chữ số hàng trăm là chẵn.
HD: Xét (10a+5)
2
=100a(a+1)+25. Vì a(a+1) chẵn . Ta có ĐPCM.
21. Tìm
,x y∈ ¥

để 2
x
+ 5
y
chính phương.
HD: G/s
( )
2 2
2 5
y
k k+ = ∈ ¢
+ Nếu x=0 thì 1+5
y
=k
2
suy ra k chẵn
( )
1 5 2 mod 4
y
⇒ + ≡
+ Nếu
0x ≠ ⇒
k lẻ và k không chia hết cho 5.
• y=0:
( ) ( )
2
2
2 1 2 1 2 4 1 1, 3, 0
x x
k m m m m x y+ = = + ⇒ = + ⇒ = = =

•
0y ≠
, vì k không chia hết cho 5 nên
( )
2
1 mod5k ≡ ±
Từ giả thiết suy ra
( )
2 mod5
x
≡ ± ⇒
x chẵn, x=2n
Và từ giả thiết suy ra
( )
2 5
5 ( 2 ) 2 , ; ,
2 5
n a
y n n
n b
k
k k a b y a b
k

+ =
= + − ⇒ + = ∈

− =

¥

( )
1 1
2 5 5 1 5 1, 0 2 5 1
n b a b b n y
b hay a y
+ − +
⇒ = − ⇒ = = = ⇒ = −
+ Nếu y=2t thì 2
n+1
=25
t
-1 chia hết cho 3
+ Nếu y lẻ thì 2
n+1
=4(5
y-1
+5
y-2
+…+ 5+1)
nếu y>1 thì 5
y-1
+5
y-2
+…+5+1 lẻ.
Vậy y=1 suy ra x=2. Đáp số x=1; y=2.
22.Tìm 1 số có 2 chữ số biết:
a) Tổng của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương.
b) Hiệu bình phương của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số
chính phương.
HD:a)

( )
11 11ab ba a b+ = + M
, vì số chính phương chia hết cho 11 thì chia
hết cho 121 nên (a+b) chia hết cho 11. do đó a+b chia hết cho 11.
+)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
10 10 99 11ab ba a b b a a b− = + − + = − M
Vì 0<(a-b)<8,
2 2
2 18 11 9.11.11.( )a b a b ab ba a b≤ + ≤ ⇒ + = ⇒ − = −
chính
phương hay (a-b) chính phương, suy ra hoặc a-b=1 hoặc a-b=4
ĐS: số 65
23. Tìm số chính phương
abcd
biết
1ab cd− =
HD:
2
100 100(1 ) 100 101n abcd ab cd cd cd cd= = + = + + = +
( ) ( )
10 10 101n n cd⇒ − + =
.
Vì n<100 và 101 là nguyên tố nên n+10=101 suy ra n=91.
24.(VĐ Balan) Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên thoả mãn hệ
thức 2a

2
+a = 3b
2
+ b thì a - b và 2a + 2b+ 1 là các số chính phương.
HD: Có 2a
2
-2b
2
+a-b=b
2
(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b
2
.
Gọi d là ước dương của a-b và 2a+2b+1 thì d chia hết (2a+2b+1-2(a-
b)=4b+1).
Mặt khác (1)
2 2
(1) \ \ \1 1d b d b d d⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =
.
Vậy (a-b, 2a+2b+1)=1. Từ đó ta được ĐPCM
* Lưu ý: Từ gt suy ra (a-b)(3a+3b+1)=a
2
nên (3a+3b+1) là chính phương
25.(HSGQG 1995) Tìm p nguyên tố sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên
của p
4
là số chính phương.
HD: G/s 1+p+p
2
+p

3
+p
4
=n
2
. Dễ thấy 4p
4
+4p
3
p
2
<4n
2
<4p
4
+p
2
+4+4p
3
+4p+8p
2

hay
(2p
2
+p)
2
<(2n)
2
<(2p

2
+p+2)
2
suy ra 2n =2p+p+1 suy ra p=3.
26. Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên p, q là tổng của hai số chính
phương thì tích pq cũng là tổng của 2 số chính phương.
27. Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên m, n là tổng của 4 số chính
phương thì tích m.n cũng là tổng của 4 số chính phương.
HD: (a
2
+b
2
+c
2
+d
2
)(m
2
+n
2
+p
2
+p
2
)=(am-bm-cp-dq)
2
+
+(an+bm-cq+dp)
2
+(ap+bq+cm-dn)

2
+(aq-bp+cn-dm)
2
.
28. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 7 số nguyên liên tiếp
không chính phương.
29. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 9 số nguyên liên tiếp
không chính phương.
30. Tìm
a∈ ¥
để a
2
+a+1589 chính phương.
31. Chứng minh rằng nếu 8
n+1
và 24
n+1
là chính phương thì 8
n+3
là hợp số
32. Chứng minh rằng n
3
+1 không chính phương với mọi n lẻ và n>1.
33. Tìm
abcd
biết nó là một bội của 11 v à b+c = a, bc chính phương.
34. Chứng minh rằng nếu
1
2
ab cd=

thì
abcd
không chính phương
35. Tìm tất cả các số chính phương có dạng
1985A ab=
.
ĐS: 198025 và 198916
36. Tìm tấ cả các số tự nhiên a để số n=26a+17 là một số chính phương.
ĐS: a=26m
2
+22m+4 hoặc a=26m
2
+30m+8
37. Chứng minh rằng một số chính phương có số ước là một số lẻ và ngược
lại.
38. Chứng minh rằng nếu gấp đôi một số tự nhiên bằng tổng của 2 số chính
phương thì số tự nhiên đó cũng bằng tổng của 2 số chính phương.