Chuyên đề hệ pt => Ôn 10

Chuyªn ®Ị: hƯ ph¬ng tr×nh
C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
1) HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
- §Þnh nghÜa: Cho hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax+by=c vµ a'x+b'y=c'. Khi ®ã ta cã hƯ hai
ìï ax + by = c
(1)
ï
ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: í
(I)
ïï a ' x + b ' y = c '(2)
ỵ
- NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy cã nghiƯm chung (x0; y0) th× (x0; y0) ®ỵc gäi lµ nghiƯm cđa hƯ (I)
- NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiƯm chung th× ta nãi hƯ v« nghiƯm
2) Quan hƯ gi÷a sè nghiƯm cđa hƯ vµ ®êng th¼ng biĨu diƠn tËp nghiƯm
Ph¬ng tr×nh (1) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d)
Ph¬ng tr×nh (2) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d')
2 NÕu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm duy nhÊt
3 NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ v« nghiƯm
4 NÕu (d) trïng (d') th× hƯ v« sè nghiƯm.
3) HƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng:
Hai hƯ ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiƯm
4) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ, ph¬ng ph¸p céng.
a) Quy t¾c thÕ: Quy t¾c thÕ dïng ®Ĩ biÕn ®ỉi mét hƯ ph¬ng tr×nh thµnh hƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng.
+ Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ®· cho ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia råi thÕ vµo ph¬ng
tr×nh thø hai ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi (chØ cßn 1 Èn).
+ Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy ®Ĩ thay thÕ cho ph¬ng tr×nh thø hai trong hƯ (ph¬ng tr×nh thø
nhÊt còng thêng ®ỵc thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia cã ®ỵc ë bíc 1).
b) Quy t¾c céng ®¹i sè: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình
thành hệ phương trình tương đương.
+ Bíc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ cđa hƯ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi.
+ Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét trong h¸i ph¬ng tr×nh cđa hƯ (vµ gi÷a

nguyªn ph¬ng tr×nh kia)
Lu ý: Khi c¸c hƯ sè cđa cïng mét Èn ®èi nhau (hc b»ng nhau) th× ta céng (hc trõ) hai vÕ cđa
hƯ. Khi hƯ sè cđa cïng mét Èn kh«ng b»ng nhau còng kh«ng ®èi nhau th× ta chän nh©n víi sè
thÝch hỵp ®Ĩ ®a vỊ hƯ sè cđa cïng mét Èn ®èi nhau (hc b»ng nhau).
Bµi tËp
Lo¹i 1: Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p céng, ph ¬ng ph¸p thÕ.
ìï 2x + 3y = - 2
ìï 4x + 3y = 6
ìï 9x + 8y = 6
ï
ï
ï
Bµi 1
a) í
b) í
c) í
ïï 3x - 2y = - 3
ïï 2x + y = 0
ïï 2x - y = 2
ỵ
ỵ
ỵ
ìï x - 6y = 17
ìï 7x + 4y = 74
ìï x - 3y = 6
ï
ï
ï
d) í
e) í

f) í
ïï 5x + y = 23
ïï 3x + 2y = 32
ïï - 2x + 6y = - 12
ỵ
ỵ
ỵ
Bµi 2
Bµi 3:

ìï x y
ïï + - 2 = 0
a) í 3 4
ïï 5x - y = 11
ïỵ

ìï a b
ïï + = - 1
b) í 5 3
ïï 4a - 5b - 103 = 0
ïỵ

ìï x 2 - y 3 = 1
ìï ( 2 - 1)x - y = 2
ïï
ï
a) í
b) ïí
ïï x + y 3 = 2
ïï x + ( 2 + 1)y = 1

ïỵ
ïỵ
ìï (x 5 - (1 + 3)y = 1
ï
e) ïí
ïï (1 - 3)x + y 5 = 1
ïỵ

Bµi 4:
1

ìï x
ïï = y
c) í 2 3
ïï x + y - 10 = 0
ïỵ

ìï x 2 - 3y = 1
ï
c) ïí
ïï 2x + y 2 = - 2
ïỵ
ìï 5x 3 + y = 2 2
ï
f) ïí
ïï x 6 - y 2 = 2
ïỵ


ỡù 6(x + y ) = 8 + 2x - 3y

ù
ùù 5(y - x ) = 5 + 3x + 2y
ợ

a) ớ

ỡù (x - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3)
ù
ùù (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1)
ợ

b) ớ

ỡù (x - 2)(y + 1) = xy
ù
ùù (x + 8)(y - 2) = xy
ợ

c) ớ

Loại 2: Hệ phơng trình gồm một ph ơng trình bậc nhất, một ph ơng trinh không
phải bậc nhất.
ỡù x - y + 1 = 0
ù
a) ớ 2
2

ỡù x - 5y = - 1
ù
b) ớ 2

2

ùù 2x - xy + 3y - 7x - 12y + 1 = 0
ùợ
ỡù x 2 + y 2 - 2x - 2y - 23 = 0
ù
c) ớ
ùù x - 3y - 3 = 0
ùợ

ùù x + y - 3xy + x + y = 10
ùợ
ỡù 3x 2 + 6xy - x + 3y = 0
ù
d) ớ
ùù 4x - 9y = 6
ùợ

Loại 3: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.
Dạng thứ nhất:
ỡù 1 1
ùù =1
ùù x y
a) ớ
ùù 3 4
ùù + = 5
ùợ x y
ỡù 1 1
ùù + = 1
ùx y

24
d) ùớ
ùù 2
3
ùù =
y
ùợ x
ỡù 8
1
ùù =1
ùù x y + 12
g) ớ
ùù 1
5
=3
ùù +
ùợ x y + 12
ỡù 7x 2 + 13y = - 39
ù
j) ớ 2
ùù 5x - 11y = 33
ùợ
ỡù 3 x + 2 y = 6
ù
n) ùớ
ùù x - y = 4, 5
ùợ

Dạng thứ hai:
ỡù 2x

y
ùù
+
=2
ùù x + 1 y + 1
a) ớ
ùù x
3y
+
=- 1
ùù
ùợ x + 1 y + 1
ỡù x
x
ùù =1
ùù y y + 12
d) ớ
ùù x
x
=2
ùù
ùợ y + 12 y
ỡù x + y
xy
5
ùù
+
=
ù xy
x+y

2
g) ùớ
ùù x - y
xy
10
+
=
ùù
x- y
3
ùợ xy

ỡù 6 5
ùù + = 3
ùx y
b) ùớ
ùù 9 10
=1
ùù y
ùợ x
ỡù 1
1
ùù
+
=2
ùù x - 2 y - 1
e) ớ
ùù 2
3
=1

ùù
ùợ x - 2 y - 1
ỡù 4
9
ùù
+
=- 1
ùù 2x + 1 y - 1
h) ớ
ùù 3
2
13
=
ùù
6
ùợ 2x + 1 y - 1

ỡù 1 1 1
ùù + =
ùx y
4
c) ùớ
ùù 10 1
=1
ùù y
ùợ x
ỡù 4
5
ùù
+

=2
ùù x - 3 y + 1
f) ớ
ùù 5
1
29
+
=
ùù
ùợ x - 3 y + 1 20
ỡù 1
1
ùù
+
=2
ùù x - 1 y - 2
i) ớ
ùù 2
3
=1
ùù
ùợ y - 2 x - 1
ỡù 3 x - y = 5
ỡù 2x 2 + 3y 2 = 36
ỡù 3x 2 + y 2 = 5
ù
ù
ù
k) ớ 2
l) ớ 2

m) ùớ
2
2
ùù 3x + 7y = 37
ùù x - 3y = 1
ùù 2 x + 3 y = 18
ùợ
ùợ
ùợ
ỡù 7
4
5
ùù
=
ỡù x + 3 - 2 y + 1 = 2
ùù x - 7
3
ù
y+ 6
o) ùớ
p) ớ
ùù 2 x + 3 + y + 1 = 4
ùù
5
3
1
+
=2
ùợ
ùù

6
y+ 6
ùùợ x - 7
ỡù
4
5
ùù
+
=- 2
ùù 2x - 3y 3x + y
b) ớ
ùù 3
5
= 21
ùù
ùợ 3x + y 2x - 3y
ùỡù 3
6
=- 1
ùù
2x - y x + y
ù
e) ớ
ùù 1
1
=0
ùù
ùợ 2x - y x + y
ùỡù 2x
3y

+
=1
ùù
y- 1 x- 1
ù
h) ớ
ùù 2y
5x
=2
ùù
ùợ x - 1 y - 1

ỡù
7
5
9
ùù
=
ùx- y+ 2 x + y- 1 2
c) ùớ
ùù
3
2
+
=4
ùù
ùợ x - y + 2 x + y - 1
ùỡù
4
5

5
=
ùù
x + y - 1 2x - y + 3 2
f) ùớ
ùù
3
1
7
+
=
ùù
ùợ x + y - 1 2x - y + 3 5
ỡù 6
2
ùù
+
=3
ùù x - 2y x + 2y
i) ớ
ùù 3
4
+
=- 1
ùù
ùợ x - 2y x + 2y

Loại 4: Hệ hai phơng trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích
đợc thành nhân tử.
2

ỡù x + y + xy + 1 = 0
ù
a) ớ 2
2

ỡù (x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = 0
ù
b) ớ
c)
2

ỡù (2x + 3y - 2)(x - 5y - 3) = 0
ù
ớ
ùù x + y - x - y = 22
ùù xy + y + 3y + 1 = 0
ùù x - 3y = 1
ợ
ợ
ợ
ỡù (x + y + 2)(2x + 2y - 1) = 0
ỡù (x + y )2 - 3(x + y ) + 2 = 0
ỡù (x - 1)2 - (y + 1)2 = 0
ù
ù
ù
d) ớ 2
e) ớ

f) ớ
2
ùù 3x + 32y + 5 = 0
ùù x - y - 5 = 0
ùù x + 3y - 5 = 0
ợ
ợ
ợ
ỡù (x + y )2 - 4(x + y ) = 12
ỡù (x - y )2 - (x - y ) = 6
ù
ù
g) ớ
b) ớ 2
ùù (x - y )2 - 2(x - y ) = 3
ùù 2(x + y 2 ) = 5xy
ùợ
ùợ

Loại 5: Hệ phơng trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y .
ỡù x 2 - 4xy + y 2 = 1
ù
a) ớ 2
ùù y - 3xy = 4
ùợ
ỡù 3x 2 + y 2 = 5
ù
d) ớ 2
ùù x - 3y 2 = 1
ùợ

ỡù x 2 + 4xy - 2y 2 = 3
ù
g) ớ 2
ùù 2x - xy + 3y 2 = 4
ùợ
ỡù x 2 + y 2 = 25 - 2xy
ù
j) ớ
ùù y (x + y ) = 10
ùợ

ỡù x 2 - xy + y 2 = 21
ù
b) ớ 2
ùù y - 2xy + 5 = 0
ùợ
ỡù 2x 2 + 3y 2 = 36
ù
e) ớ 2
ùù 3x + 7y 2 = 37
ùợ
ỡù x 2 + 3xy = 54
ù
h) ớ
ùù xy + 4y 2 = 115
ùợ
ỡù (x + y )(x 2 + y 2 ) = 5
ù
k) ớ
ùù (x - y )(x 2 - y 2 ) = 3

ùợ

Loại 6: Hệ phơng trình đối xứng loại 1 .
ỡù x + y + xy = 7
ù
a) ớ 2
ùù x + y 2 + xy = 13
ợ
ỡù xy = x + y + 17
ù
d) ớ 2
ùù x + y 2 = 65
ợ
ỡù xy = 10
ù
g) ớ 2
ùù x + y 2 = 29
ợ
ỡù x + y + xy = - 1
ù
) ớù 2
2
ùùợ x y + y x = - 6
ỡù xy (x + 2)(y + 2) = 9
ù
m) ớ 2
ùù x + y 2 + 2(x + y ) = 6
ùợ
ỡù x 2 + y 2 + xy = 1
ù

o) ớ 3
ùù x + y 3 = x + y
ùợ
ỡù x + y + xy = 5
ù
q) ớ 2
ùù x + y 2 + xy = 7
ùợ
ỡù x 2 + y 2 = 52
ùù
t) ùớ 1 1
ùù + = 5
ùùợ x y
12
ỡù x 3 + y 3 = 9
ù
x) ớ 2
ùù x + y 2 = 5
ùợ

ỡù 3x 2 + 5xy - 4y 2 = 38
ù
c) ớ 2
ùù 5x - 9xy - 3y 2 = 15
ùợ
ỡù x 2 + 2xy + 3y 2 = 9
ù
f) ớ 2
ùù 2x + 2xy + y 2 = 2
ùợ

ỡù 2x 2 - y 2 = 1
ù
i) ớ
ùù xy + x 2 = 2
ùợ
ỡù (x + y )(x 2 - y 2 ) = 45
ù
l) ớ
ùù (x - y )(x 2 + y 2 ) = 85
ùợ

ỡù x + xy + y = 5
ỡù x 2 + y 2 + x + y = 8
ù
ù
b) ớ 2
c) ớ 2
2
ùù x + y = 5
ùù x + y 2 + xy = 7
ùợ
ùợ
ỡù x + y = 8
ỡù x + + y - xy = - 17
ù
ù
e) ớ
f) ớ 2
ùù xy - 12 = 0
ùù x + y 2 = 34

ợ
ợ
ỡù xy = 15
ỡù x 2 + xy + y 2 = 4
ù
ù
h) ớ 2
i) ớ
2
ùù x + y = 34
ùù x + xy + y = 2
ợ
ợ
ỡù x 2 + y 2 - x - y = 102
ỡù 3(x + y ) = xy
ù
ù
k) ớù
l) ớù 2
2
ùùợ xy + x + y = 69
ùùợ x + y = 160
ỡù x 2 + y 2 + 2x (y - 3) + 2y (x - 3) + 9 = 0
ù
n) ớ
ùù 2(x + y ) - xy + 6 = 0
ùợ
ỡù x (x + 1) + y (y + 1) + xy = 17
ù
p) ớ

ùù (x + 1)(y + 1) = 8
ợ
ỡù xy + x + y = 11
ỡù xy + x + y = 7
ùù
ùù
r) ớ 6 6
s) ớ x y 10
ùù + + xy = 11
ùù + =
ùùợ x y
ùùợ y x
3
ỡù
ỡù
1
ùù x + 1 = - 1
ùù y +
=- 5
ùù
ùù
x+y
2x - y
u) ớ
v) ớ
ùù x
ùù x
=- 2
=6
ùù

ùù
ùợ x + y
ùợ 2x - y
ỡù x y + y x = 30
ỡù x + y = 7
ù
ù
y) ớ 3
z) ùớ
3
ùù x + y = 133
ùù x x + y y = 35
ùợ
ùợ

Loại 7: Hệ phơng trình đối xứng loại 2.
3


ìï 2x = y 2 - 4y + 5
ìï y 2 = 2x + 3
ìï x 2 - 2y 2 = 7x
ï
ï
ï
a) í
b) í 2
c) í 2
d)
ïï 2y = x 2 - 4x + 5

ïï x = 2y + 3
ïï y - 2x 2 = 7y
ïî
ïî
ïî
ìï x 2 = 2 - y
ìï x 3 - 2y = 4
ìï 2x 2 - 3x + 2 = y 2
ï
ï
ï
e) í 2
f) í 3
g) í 2
ïï y = 2 - x
ïï y - 2x = 4
ïï 2y - 3y + 2 = x 2
ïî
ïî
ïî
ìï x 3 = 2y - x
ìï x 3 = 13x - 6y
ìï y 2 = x 3 - 4x 2 + 3x
ï
ï
ï
i) í 3
j) í 3
k) í 2
ïï y = 2x - y

ïï y = 13y - 6x
ïï x = y 3 - 4y 2 + 3y
ïî
ïî
ïî

Lo¹i 8: HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ba ph ¬ng tr×nh ba Èn.
ìï x + y + z = 1
ïï
a) ïí x + 2y + 4z = 8
ïï
ïï x + 3y + 9z = 27
î
ìï x + y + 2z = 4
ïï
d) ïí 2x - 3y + 3z = 6
ïï
ïï x - 3y + 4z = 7
î
ìï x
ïï = y = z
g) í 4 7 - 6
ïï 4x + 3y - 2z = 24
ïïî
ìï x - 2 y + 1 z
ïï
=
=
j) í 3
4

7
ïï 4x - y - z = 3
ïïî
ìï 1
ïï +
ïï x
ïï
1
n) ïí +
ïï y
ïï 1
ïï +
ïïî x

1
=1
y
1
=2
z
1
=5
z

ìï x + 3y + z = - 2
ïï
q) ïí x - y + 2z = 9
ïï
z = 3x
ïï

î

ìï x + y + z = 12
ïï
b) ïí 2x - 3y + z = 12
ïï
ïï x + y - 2z = 5
î
ìï 2x - y + 3z = 4
ïï
e) ïí 3x - 2y + 2z = 3
ïï
ïï 5x - 4y = 2
î
ìï x
ïï = y = z
h) í 5 7 3
ïï 2x - y + 4z = 30
ïïî
ìï x + y = 4
ïï
k) ïí y + z = 7
ïï
ïï x + z = 5
î
ìï 2x 2
ïï
=y
ïï 1 + x 2
ïï

2y 2
=z
o) ïí
ïï 1 + y 2
ïï
2
ïï 2z = x
ïï 1 + z 2
î
ìï x = 2 + z
ïï
r) ïí y = 2 + 3z
ïï
ïï - 3x - 2y + z = - 2
î

ìï 2x 2 - 3xy = y 2 - 3x - 1
ï
í 2
ïï 2y - 3xy = x 2 - 3y - 1
ïî
ìï x 3 = 5x + y
ï
h) í 3
ïï y = 5y + x
ïî
ìï x 3 - 2y = 1
ï
l) í 3
ïï y - 2x = 1

ïî

ìï x + 2y + 3z = 1
ïï
c) ïí 3x + y + 2z = 3
ïï
ïï 2x + 3y + z = - 2
î
ìï 2x + y + 3z = 2
ïï
f) ïí - x + 4y - 6z = 5
ïï
ïï 5x - y + 3z = - 5
î
ìï 4x + 3y - 2z = - 1
ïï
i) í x
ïï = y = z
ïî 6 - 10 - 2
ìï x + y = 16
ìï x + y = 25
ïï
ïï
ï
y
+
z
=
28
l) í

m) ïí y + z = 30
ïï
ïï
ïï x + z = 22
ïï x + z = 29
î
î
ìï 3xy = 2(x + y )
ïï
p) ïí 5yz = 6(y + z )
ïï
ïï 4xz = 3(z + x )
î

Lo¹i 9: HÖ ph¬ng tr×nh hçn hîp.
ìï x y - 1 + y x - 1 = xy
ï
b) ïí
ïï (x - 1) y + (y - 1) x = 2 y
ïî
ìï x + y = (3 - x )3
ïï
ìï x 2 + z 2 = 9
ïï
ïï (2z - y )(y + 2) = 9 + 4y
ï y 2 + t 2 = 16
d) í
e) ïí 2
ïï
ïï x + z 2 = 4x

ïï xt + yz ³ 12
ïï
î
ïïî z ³ 0
ìï xy + xz = x 2 + 2
ïï
2
ï
g) í xy + yz = y + 2
ïï
ïï xz + yz = z 2 + 2
î

ìï x + 1 + x + 3 + x + 5 = y - 1 +
ï
a) ïí
ïï x + y + x 2 + y 2 = 80
ïî
ìï 2
2
2
2
ïï x + y = x 1 - y + y 1 - x
c) í
ïï 3x - 4y = 5
ïî
ìï x + xy + y = 1
ïï
f) ïí y + yz + z = 3
ïï

ïï z + zx + x = 7
î

y- 3+

4

y- 5