chuyen de he pt

§Ỉng Ngäc D¬ng – THCS Giao Hµ - Giao Thủ - Nam §Þnh
Chuyªn ®Ị: hƯ ph¬ng tr×nh
C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
1) HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
- §Þnh nghÜa: Cho hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax+by=c vµ a'x+b'y=c'. Khi ®ã ta cã hƯ hai
ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
(1)
' ' '(2)
ax by c
a x b y c
ì
+ =
ï
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
ỵ
(I)
- NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy cã nghiƯm chung (x
0
; y
0
) th× (x
0
; y
0
) ®ỵc gäi lµ nghiƯm cđa hƯ (I)

- NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiƯm chung th× ta nãi hƯ v« nghiƯm
2) Quan hƯ gi÷a sè nghiƯm cđa hƯ vµ ®êng th¼ng biĨu diƠn tËp nghiƯm
Ph¬ng tr×nh (1) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d)
Ph¬ng tr×nh (2) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d')
- NÕu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm duy nhÊt
- NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ v« nghiƯm
- NÕu (d) trïng (d') th× hƯ v« sè nghiƯm.
3) HƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng:
Hai hƯ ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiƯm
4) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ, ph¬ng ph¸p céng.
a) Quy t¾c thÕ: Quy t¾c thÕ dïng ®Ĩ biÕn ®ỉi mét hƯ ph¬ng tr×nh thµnh hƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®-
¬ng.
+ Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ®· cho ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia råi thÕ vµo ph¬ng
tr×nh thø hai ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi (chØ cßn 1 Èn).
+ Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy ®Ĩ thay thÕ cho ph¬ng tr×nh thø hai trong hƯ (ph¬ng tr×nh
thø nhÊt còng thêng ®ỵc thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia cã ®ỵc ë bíc 1).
b) Quy t¾c céng ®¹i sè: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành
hệ phương trình tương đương.
+ Bíc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ cđa hƯ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ĩ ®ỵc mét ph-
¬ng tr×nh míi.
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hái phơng trình của hệ (và giữa
nguyên phơng trình kia)
L u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hoặc trừ) hai vế
của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với
số thích hợp để đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).
Bài tập
Loại 1: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng, phơng pháp thế.
Bài 1
a)

2 3 2
3 2 3
x y
x y
+ = -ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
- = -
ù
ù
ợ
b)
4 3 6
2 0
x y
x y
+ =ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
c)

9 8 6
2 2
x y
x y
+ =ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
d)
6 17
5 23
x y
x y
- =ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
e)

7 4 74
3 2 32
x y
x y
+ =ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
f)
3 6
2 6 12
x y
x y
- =ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
- + = -
ù
ù
ợ
Bài 2

a)
2 0
3 4
5 11
x y
x y
ỡ
ù
+ - =
ù
ùù
ớ
ù
- =
ù
ù
ù
ợ
b)
1
5 3 3
4 5 10 0
a b
a b
ỡ
ù
ù
+ = -
ù
ù

ớ
ù
ù
- - =
ù
ù
ợ
c)
2 3
10 0
x y
x y
ỡ
ù
=
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - =
ù
ù
ù
ợ
Bài 3:
a)
2 3 1
3 2
x y

x y
ỡ
ù
- =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
b)
( 2 1) 2
( 2 1) 1
x y
x y
ỡ
ù
- - =
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ
c)
2 3 1

2 2 2
x y
x y
ỡ
ù
- =
ù
ù
ớ
ù
+ = -
ù
ù
ợ
d)
2 3 1
3 2
x y
x y
ỡ
ù
- =
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ

e)
( 5 (1 3) 1
(1 3) 5 1
x y
x y
ỡ
ù
- + =
ù
ù
ớ
ù
- + =
ù
ù
ợ
f)
5 3 2 2
6 2 2
x y
x y
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
- =
ù

ù
ợ
Bài 4:
a)
6( ) 8 2 3
5( ) 5 3 2
x y x y
y x x y
ỡ
+ = + -
ù
ù
ù
ớ
ù
- = + +
ù
ù
ợ
b)
( 1)( 2) ( 1)( 3)
( 5)( 4) ( 4)( 1)
x y x y
x y x y
ỡ
- - = + -
ù
ù
ù
ớ

ù
- + = - +
ù
ù
ợ
c)
( 2)( 1)
( 8)( 2)
x y xy
x y xy
ỡ
- + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - =
ù
ù
ợ
Loại 2: Hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất, một ph ơng
trinh không phải bậc nhất.
a)
2 2
1 0
2 3 7 12 1 0
x y
x xy y x y
ỡ - + =

ù
ù
ù
ớ
ù
- + - - + =
ù
ù
ợ
b)
2 2
5 1
3 10
x y
x y xy x y
ỡ - = -
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - + + =
ù
ù
ợ
c)
2 2
2 2 23 0
3 3 0
x y x y

x y
ỡ
+ - - - =ù
ù
ù
ớ
ù
- - =
ù
ù
ợ
d)
2
3 6 3 0
4 9 6
x xy x y
x y
ỡ
+ - + =ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
Loại 3: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.
Dạng thứ nhất:

a)
1 1
1
3 4
5
x y
x y
ỡ
ù
ù
- =
ù
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ù
ợ
b)
6 5
3
9 10
1
x y

x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
ù
ù
ợ
c)
1 1 1
4
10 1
1
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù

ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
ù
ù
ợ
d)
1 1 1
24
2 3
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=

ù
ù
ù
ù
ợ
e)
1 1
2
2 1
2 3
1
2 1
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
- -ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
- -
ù

ù
ợ
f)
4 5
2
3 1
5 1 29
3 1 20
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
- +ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
- +
ù
ù
ợ
g)
8 1

1
12
1 5
3
12
x y
x y
ỡ
ù
ù
- =
ù
+ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
+
ù
ù
ợ
h)
4 9
1
2 1 1
3 2 13

2 1 1 6
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ = -
ù
+ -ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
+ -
ù
ù
ợ
i)
1 1
2
1 2
2 3
1
2 1
x y
y x

ỡ
ù
ù
+ =
ù
- -ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
- -
ù
ù
ợ
j)
2
2
7 13 39
5 11 33
x y
x y
ỡ
+ = -
ù
ù
ù

ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
k)
2 2
2 2
2 3 36
3 7 37
x y
x y
ỡ
+ =ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
l)
2 2
2 2
3 5
3 1
x y
x y

ỡ
+ =ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
m)
3 5
2 3 18
x y
x y
ỡ
- =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
n)
3 2 6
4, 5
x y

x y
ỡ
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
o)
3 2 1 2
2 3 1 4
x y
x y
ỡ
ù
+ - + =
ù
ù
ớ
ù
+ + + =
ù
ù
ợ
p)
7 4 5

37 6
5 3 1
2
67 6
x y
x y
ỡ
ù
ù
- =
ù
ù - +
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
- +
ù
ù
ợ
Dạng thứ hai:
a)
2
2
1 1
3

1
1 1
x y
x y
x y
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
+ +ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ = -
ù
ù
+ +
ùù
ợ
b)
4 5
2
2 3 3
3 5
21
3 2 3

x y x y
x y x y
ỡ
ù
ù
+ = -
ù
- +ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
+ -
ùù
ợ
c)
7 5 9
2 1 2
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y
ỡ
ù
ù

- =
ù
- + + -ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
- + + -
ùù
ợ
d)
1
12
2
12
x x
y y
x x
y y
ỡ
ù
- =
ù
ù
+
ù

ù
ớ
ù
ù
- =
ù
+ù
ù
ợ
e)
3 6
1
2
1 1
0
2
x y x y
x y x y
ỡ
ù
ù
- = -
ù
- +ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =

ù
ù
- +
ù
ù
ợ
f)
4 5 5
1 2 3 2
3 1 7
1 2 3 5
x y x y
x y x y
ỡ
ù
ù
- =
ù
+ - - +ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ =
ù
ù
+ - - +
ù
ù

ợ
g)
5
2
10
3
x y xy
xy x y
x y xy
xy x y
+
ỡ
ù
ù
+ =
ù
+
ù
ù
ù
ớ
-ù
ù
+ =
ù
ù
-
ù
ù
ợ

h)
2 3
1
1 1
2 5
2
1 1
x y
y x
y x
x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
- -ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
- -
ù
ù
ợ
i)

6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y
ỡ
ù
ù
+ =
ù
- +ù
ù
ù
ớ
ù
ù
+ = -
ù
ù
- +
ù
ù
ợ
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
Loại 4: Hệ hai phơng trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái
phân tích đợc thành nhân tử.
a)

2 2
1 0
22
x y xy
x y x y
ỡ
+ + + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - - =
ù
ù
ợ
b)
2
( 2 1)( 2 2) 0
3 1 0
x y x y
xy y y
ỡ
+ + + + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ + + =

ù
ù
ợ
c)
(2 3 2)( 5 3) 0
3 1
x y x y
x y
ỡ
+ - - - =
ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
d)
2 2
( 2)(2 2 1) 0
3 32 5 0
x y x y
x y
ỡ
+ + + - =
ù
ù
ù

ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ
e)
2
( ) 3( ) 2 0
5 0
x y x y
x y
ỡ
+ - + + =ù
ù
ù
ớ
ù
- - =
ù
ù
ợ
f)
2 2
( 1) ( 1) 0
3 5 0
x y
x y
ỡ
- - + =ù

ù
ù
ớ
ù
+ - =
ù
ù
ợ
g)
2
2
( ) 4( ) 12
( ) 2( ) 3
x y x y
x y x y
ỡ
+ - + =ù
ù
ù
ớ
ù
- - - =
ù
ù
ợ
b)
2
2 2
( ) ( ) 6
2( ) 5

x y x y
x y xy
ỡ
- - - =ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
Loại 5: Hệ phơng trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không
chứa x, y.
a)
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy
ỡ
- + =
ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù

ù
ợ
b)
2 2
2
21
2 5 0
x xy y
y xy
ỡ
- + =
ù
ù
ù
ớ
ù
- + =
ù
ù
ợ
c)
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
ỡ
+ - =ù
ù

ù
ớ
ù
- - =
ù
ù
ợ
d)
2 2
2 2
3 5
3 1
x y
x y
ỡ
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
e)
2 2
2 2
2 3 36
3 7 37

x y
x y
ỡ
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
f)
2 2
2 2
2 3 9
2 2 2
x xy y
x xy y
ỡ
+ + =ù
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ

g)
2 2
2 2
4 2 3
2 3 4
x xy y
x xy y
ỡ
+ - =
ù
ù
ù
ớ
ù
- + =
ù
ù
ợ
h)
2
2
3 54
4 115
x xy
xy y
ỡ
+ =ù
ù
ù
ớ

ù
+ =
ù
ù
ợ
i)
2 2
2
2 1
2
x y
xy x
ỡ
- =ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
j)
2 2
25 2
( ) 10
x y xy
y x y
ỡ
+ = -ù

ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
k)
2 2
2 2
( )( ) 5
( )( ) 3
x y x y
x y x y
ỡ
+ + =ù
ù
ù
ớ
ù
- - =
ù
ù
ợ
l)
2 2
2 2
( )( ) 45
( )( ) 85

x y x y
x y x y
ỡ
+ - =ù
ù
ù
ớ
ù
- + =
ù
ù
ợ
Loại 6: Hệ phơng trình đối xứng loại 1 .
a)
2 2
7
13
x y xy
x y xy
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ

b)
2 2
5
5
x xy y
x y
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
c)
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy
ỡ
+ + + =ù
ù
ù
ớ
ù

+ + =
ù
ù
ợ
d)
2 2
17
65
xy x y
x y
ỡ = + +
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
e)
17
12 0
x y xy
xy
+ + - = -ỡ
ù
ù
ù
ớ

ù
- =
ù
ù
ợ
f)
2 2
8
34
x y
x y
ỡ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
g)
2 2
10
29
xy
x y
ỡ =
ù
ù

ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
h)
2 2
15
34
xy
x y
ỡ =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
i)
2 2
4
2
x xy y
x xy y
ỡ

+ + =ù
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ
Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định
)
2 2
1
6
x y xy
x y y x
ỡ + + = -
ù
ù
ù
ớ
ù
+ = -
ù
ù
ợ
k)
2 2
102
69

x y x y
xy x y
ỡ
+ - - =ù
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ
l)
2 2
3( )
160
x y xy
x y
ỡ
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
m)

2 2
( 2)( 2) 9
2( ) 6
xy x y
x y x y
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ + + =
ù
ù
ợ
n)
2 2
2 ( 3) 2 ( 3) 9 0
2( ) 6 0
x y x y y x
x y xy
ỡ
+ + - + - + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ - + =

ù
ù
ợ
o)
2 2
3 3
1x y xy
x y x y
ỡ
+ + =ù
ù
ù
ớ
ù
+ = +
ù
ù
ợ
p)
( 1) ( 1) 17
( 1)( 1) 8
x x y y xy
x y
ỡ
+ + + + =
ù
ù
ù
ớ
ù

+ + =
ù
ù
ợ
q)
2 2
5
7
x y xy
x y xy
+ + =
ỡ
ù
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ợ
r)
11
6 6
11
xy x y
xy
x y
ỡ
+ + =

ù
ù
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù
ù
ù
ợ
s)
7
10
3
xy x y
x y
y x
ỡ
+ + =
ù
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ù

ợ
t)
2 2
52
1 1 5
12
x y
x y
ỡ
+ =ù
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ù
ợ
u)
1
1
2
x
x y
x
x y
ỡ
ù

ù
+ = -
ù
+ù
ù
ớ
ù
ù
= -
ù
ù
+
ù
ợ
v)
1
5
2
6
2
y
x y
x
x y
ỡ
ù
ù
+ = -
ù
-ù

ù
ớ
ù
ù
=
ù
ù
-
ù
ợ
x)
3 3
2 2
9
5
x y
x y
ỡ
+ =ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
y)
3 3
7

133
x y
x y
ỡ + =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
z)
30
35
x y y x
x x y y
ỡ
+ =
ù
ù
ù
ớ
ù
+ =
ù
ù
ợ
Loại 7: Hệ phơng trình đối xứng loại 2.

a)
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x
ỡ
= - +
ù
ù
ù
ớ
ù
= - +
ù
ù
ợ
b)
2
2
2 3
2 3
y x
x y
ỡ
= +ù
ù
ù
ớ

ù
= +
ù
ù
ợ
c)
2 2
2 2
2 7
2 7
x y x
y x y
ỡ
- =ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
d)
2 2
2 2
2 3 3 1
2 3 3 1
x xy y x
y xy x y
ỡ

- = - -ù
ù
ù
ớ
ù
- = - -
ù
ù
ợ
e)
2
2
2
2
x y
y x
ỡ
= -ù
ù
ù
ớ
ù
= -
ù
ù
ợ
f)
3
3
2 4

2 4
x y
y x
ỡ
- =
ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ
g)
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x
ỡ
- + =
ù
ù
ù
ớ
ù
- + =
ù

ù
ợ
h)
3
3
5
5
x x y
y y x
ỡ
= +ù
ù
ù
ớ
ù
= +
ù
ù
ợ
i)
3
3
2
2
x y x
y x y
ỡ
= -
ù
ù

ù
ớ
ù
= -
ù
ù
ợ
j)
3
3
13 6
13 6
x x y
y y x
ỡ
= -
ù
ù
ù
ớ
ù
= -
ù
ù
ợ
k)
2 3 2
2 3 2
4 3
4 3

y x x x
x y y y
ỡ
= - +
ù
ù
ù
ớ
ù
= - +
ù
ù
ợ
l)
3
3
2 1
2 1
x y
y x
ỡ
- =ù
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ù
ợ

Loại 8: Hệ phơng trình bậc nhất ba phơng trình ba ẩn.
a)
1
2 4 8
3 9 27
x y z
x y z
x y z
ỡ
ù
+ + =
ù
ù
ù
ù
+ + =
ớ
ù
ù
ù
+ + =
ù
ù
ợ
b)
12
2 3 12
2 5
x y z
x y z

x y z
ỡ
ù
+ + =
ù
ù
ù
ù
- + =
ớ
ù
ù
ù
+ - =
ù
ù
ợ
c)
2 3 1
3 2 3
2 3 2
x y z
x y z
x y z
ỡ
ù
+ + =
ù
ù
ù

ù
+ + =
ớ
ù
ù
ù
+ + = -
ù
ù
ợ