Dạng toán rèn kỹ năng ôn thi vào 10

căn bậc hai

Chuyên đề 4:

1.
3. Loại III: Chứng minh đẳng thức
4. Loại IV: Chứng minh bất đẳng thức
5. Loại V: Bài toán rút gọn tổng hợp

A. kiến thức cần nắm vững
1. Định nghĩa CBHSH:

x 0

x = a 2
x =



(

a

)

2

Bài

=a

A.khi. A 0
A2 = A =
A.khi. A < 0

4.

A.B =

A. B

5.

A
=
B

A
B

7.
8.

A
=
B

Bài 2: Cho biểu thức A1 =

( ĐK: A 0; B 0 )

AB

A
A B
(ĐK: B > 0 )
=
B
B
C
C
=
.( A m B )
A B A B

b)

x + 1 x 1 2
x
1

+
: 2

x 1 x + 1 x 1 x 1 x + 1

(ĐK: AB 0; B 0 )

a) Rút gọn biểu thức A3
b) Tính giá trị của A3 khi x = 3 + 8
d) Tìm giá trị của x khi A3 = 5

(ĐK: A 0; B 0 ; AB)

2
x2

c)

4
x+3

d)

a a 1

b) x 2 4

c)

x2
x+3

d)

e) x 2 4 + 2 x 2
f) 3 x + 3 + x 2 9
g) x + x + 1
h) x + 4 + x 1
2/ Loại II: Thực hiện phép tính

a a + 1 a + 2

:

Bài 4: Cho biểu thức A4 =
a2
a

a
a
+
a


a) Với những giá trị nào của a thì A4 không xác định ?
b) Rút gọn biểu thức A4
c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A4 có giá trị
nguyên?
d) Tìm x để A4 > 1

5
x +6
2

2. Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x?
a) ( x 1)( x 3)

( x 1) 2 4
(2 x + 1) 2 ( x + 2) 2

Bài 3: Cho biểu thức A3 =

B. Một số dạng bài tập
1/ Loại I: Tìm TXĐ của biểu thức
1. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a) 2 x + 3

thức

a) Hỏi rằng khi nào A2 xác định ?
b) Rút gọn biểu thức A2
c) Tìm giá trị của x khi A2 = 5
d) Tìm giá trị của x để A2 > 0

(ĐK: B 0 )

AB
1
=
2
B
B

biểu

Rút gọn biểu thức A1
Tính giá trị của biểu thức A1 khi x = 7 + 4 3

( ĐK: A 0; B > 0 )

6. A2 .B = A . B

Cho

1
1 1
1
1
A1 =
+
:

+
1 x 1 + x 1 x 1 + x 1 x

2. A tồn tại ( xác định, có nghĩa) khi A 0
Chú ý: A 0 với mọi A 0
3.

1:

2+ x
5 x

Bài 5: Cho biểu thức A5 =

x +1
10
5
+

+
2
x+3 6 x x x2

a) Tìm điều kiện của x để A5 xác định ?
b) Rút gọn biểu thức A5
c) Tìm giá trị của x để A5 > 0
d) Tìm giá trị nguyên của x để A5 có giá trị nguyên
1


x

Bài 6: Cho biểu thức B1 =

x 1



2x x

2a a 2
Bài 11: Cho biểu thức C1 =
a+3

x x

a) Rút gọn biểu thức B1
b) Tính giá trị của biểu thức B1 khi x = 3 + 8
c) Hỏi rằng với giá trị nào của x thì B1 > 0? B1 < 0? B1=0?

Bài 7: Cho biểu thức B2 =

a +3
2 a 6



a)
b)
c)
d)
Bài

3 a
2 a +6

x

1

a) hỏi rằng khi nào thì biểu thức C2 xác định?
b) Rút gọn biểu thức C2



2 x

c) Biết rằng khi

:

Bài 8: Cho biểu thức B3 = 1 +
x 1 x x + x x 1
x
+
1



a) Rút gọn biểu thức B3
b) Tính giá trị của biểu thức B3 khi x = 4 + 2 3; x = 19 8 3
c) Tìm giá trị của x sao cho B3 > 1? B3 > 3?
d) Tìm giá trị của x khi B3 = 7


x

1



a và b

a +1

1
x 1 x

+

1
x 1 + x

a) Tìm điều kiện đối với x để B5 xác định ?
b) Rút gọn biểu thức B5
c) Tính giá trị của biểu thức B5 khi x =

+

a 1 1+ a



a) Rút gọn biểu thức C3
b) Tính giá trị của biểu thức C3 khi a = 27 + 10 2

:

+

Bài 9: Cho biểu thức B4 =

x

1
x

x

x + 1 x 1

a) Rút gọn biểu thức B4
b) Tính giá trị của biểu thức B4 khi x = 3 + 2 2
c) Giải phơng trình B4 = 5

Bài 10: Cho biểu thức B5 =

a 1
= thì C2 = 1. Hãy tìm các giá trị của
b 4

a + a a a 1 a
:
+ 1.1
Bài 13: Cho biểu thức C3 =


2

1

Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C1 xác định?
Rút gọn biểu thức C1
Tìm giá trị của a để C1 = 1
Khi nào C1 có giá trị dơng? giá trị âm?
12:
Cho
biểu
thức

a
a
a
a a
:

C 2 =
+

a + b a + b + 2 ab
b

a
a
+
b




a) Tìm điều kiện đối với a để B2 xác định ?
b) Rút gọn biểu thức B2
c) Hỏi rằng với giá trị nào của a thì B2 > 1? B2 < 1
d) Tìm các giá trị của a để B2 = 4


a2 a+2
4a 2

+
2
a
+
2
a

2
4

a



Bài 14: Cho biểu thức C 4 = a 3 a 2b ab 2 + b 3
3

2

2

3

a + a b ab b

a) Rút gọn biểu thức C4
b) Tính giá trị của biểu thức C4 khi a = 3; b = 2
c) Với giá trị nào của a và b thì C4 = 1

x3 x

1
2
1
1

x+2
Bài 15: Cho biểu thức C5 = x 3 +
: x 1
:
x 1
x 1 x


d) Tìm giá trị của tỉ số giữa a và b để sao cho C 4 =

x 1

53

a)
b)
c)
d)

92 7

d) Tìm giá trị của x khi B5 = 4? B5 = 16?

e) Tìm giá trị nhỏ nhất của B5
f) Tìm các giá trị nguyên dơng của x để B5 có giá trị
nguyên
2

Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C5 xác định?
Rút gọn biểu thức C5
Tính giá trị của biểu thức C5 khi x = 6 + 20
Tìm các giá trị nguyên của x để C5 có giá trị nguyên


Bài 16: Cho biểu thức B =
a) Rút gọn biểu thức B

a) Rút gọn biểu thức L

x+2
5
1
2
+
x+3 x + x6 2 x

b) Tính giá trị của biểu thức B biết x =

b) Tính giá trị của biểu thức L khi
Bài

2

a
a
M =
+ 2
2
a+b b a
2

2+ 3

c) Tìm các giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên
Bài 17: Cho biểu thức C =
a)
b)
c)
d)

Rút gọn biểu thức C
Tính giá trị của biểu thức C khi x = 3 + 2 2
Tìm giá trị của x để 3C = 1
Tìm các số m thoả mãn: Có số x < 0 sao cho C = m

biểu

thức

a

a
:

2
2
a + b a + b + 2ab
3

a 1
= thì M = 1
b 2
a
b
a+b
+

ab + b
ab a
ab

c) Tìm giá trị của a và b trong trờng hợp
Bài 24: Cho biểu thức N =

a) Rút gọn biểu thức N
b) Tính
giá
trị
của

2+ x
4x 2
2 x x 2 3x

: 2
2

Bài 18: Cho biểu thức D =
3
2 x x 4 2 + x 2x x

biểu

thức

N

khi

a = 4 + 2 3 ;b = 4 2 3
a a +1
c) CMR: nếu =
thì N có giá trị không đổi
b b+5
(2 x 3)( x 1) 2 4(2 x 3)
Bài 25: Cho biểu thức
( x + 1) 2 ( x 3)

a) Rút gọn biểu thức D
b) Tính giá trị của biểu thức D khi |x -5| = 2

2
Bài 19: Cho biểu thức E = 4 x 1 + (22 x + 1)( x 1)

9x 4

a) Rút gọn biểu thức E
b) Tìm x để E > 0

Cho
2

a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của biểu thức M khi a = 1 + 2 ; b = 1 2

1 x 3
1 + x3

:
+ x .
x
1+ x

1 x

x(1 x 2 ) 2
1 + x2

23:

a
= 2
b

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 3 + 2 2
c) Tìm giá trị của x để P > 1
Bài
26:
Cho
biểu

2
Bài 20: Cho biểu thức F = x 9 2 (4 x 2)( x 3)
x 6x + 9

a) Rút gọn biểu thức F
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho F là một số
nguyên

x 1
1
8 x 3 x 2
: 1

Q =

+


9
x

1

3
x

1
3
x
+
1
3
x
+
1




x +1 x 1 1
x
2


+ 2
:

x 1 x + 1 x + 1 1 x x 1

Bài 21: Cho biểu thức G =

a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 6 + 2 5

a) Rút gọn biểu thức G
b) Tính giá trị của biểu thức G khi x = 4 + 2 3
c) Tìm giá trị của x để G = -3

c) Tìm x khi Q =

2

2
2


Bài 22: Cho biểu thức L = a 2 + b2 : a + b + a . a + b a
a b a b b a b b

3

6
5

thức


Bài
R=

27:
2 a +3 b
ab + 2 a 3 b 6

Cho


biểu

thức

b) Tính giá trị của biểu thức Y khi x = 1 + 2

6 ab
ab + 2 a + 3 b + 6

a) Rút gọn biểu thức R



Bài 33: Cho biểu thức M =

a) Xác định x để M tồn tại
b) Rút gọn biểu thức M
c) CMR: Nếu 0 < x < 1 thì M > 0
d) Tìm giá trị lớn nhất của M
e) Tìm x thuộc Z để M là số nguyên
Bài
34:
Cho

b + 10
a 9

b) Cho R =
. CMR: =
b 10
b 10
b + 81
a
c) CMR nếu R =
thì khi đó là một số nguyên chia
b 81
b

hết cho 3

Bài 28: Cho biểu thức S = x 3 +


1
1
: x 1

x 1
x 1

x y
Q=
+
x y


a) Rút gọn biểu thức S

b) Tìm giá trị của x để S > 5
c) Tính giá trị của biểu thức S khi 12 + 140

a)
b)
c)
d)
e)

x+2
x +1
x + 1

+

Bài 29: Cho biểu thức T = 1 :

x

1
x
x

1
x
+
x
+
1

a) Rút gọn biểu thức
b) CMR: T > 3 với mọi giá trị x > 0 và x 1

Bài 30: Cho biểu thức U =
a) Rút gọn biểu thức U

15 x 11
x+2 x 3

b) Tìm giá trị của x khi U =

+

3 x 2
1 x

3
2
x 2
x + 2 x 2 2x + 1


x 1
2
x + x + 1

c) Tìm giá trị của x để Y =

x3 y 3
yx

biểu

thức

( x y ) 2 + xy
:

x+ y


Xác định x, y để Q tồn tại
Rút gọn biểu thức Q
Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
So sánh Q với 1
So sánh Q và Q

x+2

x

1



:

+
+
Bài 35: Cho biểu thức P =

x
x

1
x
+
x
+
1
1

x


a) Rút gọn biểu thức P
b) CMR: P > 0 với mọi x 0; x 1

2 x +3
x +3

1
2

2x 2 + 1
1
x2 2

Bài 36: Cho biểu thức A = 3
: 1 x 2 + x + 1
x

1
x

1




c) Tìm giá trị lớn nhất của U và giá trị tơng ứng của x
Bài
31:
Cho
biểu
thức

a) Rút gọn biểu thức A


x x +3
x +2
x +2
1

1+ x : x 2 + 3 x + x 5 x + 6




b) Tính giá trị của biểu thức A, biết x =

a) Rút gọn biểu thức V
b) Tìm x để V < 0

c) Tìm giá trị nguyên của x để A nguyên
Bài 37: Cho biểu thức A =

8
5 +3

2x
5
2

: 3 +

2 x 5x + 3 2 x 3 1 x

1
1 1
1
1

+

Bài 32: Cho biểu thức Y =
:
+
x 1 x + 1 x 1 x + 1 x + 1

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 0

a) Rút gọn biểu thức Y

4

2

x 1
2


c) Tìm x để A =
Bài

38:

1
6 x2

Cho

biểu

b) Với giá trị nào của a thì P = a + 7
c) CMR: với mọi giá trị của a (thoả mãn điều kiện thích
hợp) ta đều có P > 6
Bài
43:
Cho
biểu
thức

thức

a +1
a +1

ab + a
ab + a
P =
+
1 :

+ 1
ab 1
ab 1
ab + 1
ab + 1


x +1

P =

x 1

a) Rút gọn biểu thức P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P nếu a = 2 3; b = 3 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a + b = 4
Bài 39: Cho biểu thức A =

x +1
P =
+
x 1

b) Tính giá trị của biểu thức P, khi x = 7 4 3

1+ 3

2
1
c) Tìm giá trị của x để P =
2

2a + 1
1+ a3
a

.

a
Bài 44: Cho biểu thức P = 3



a 1 a + a + 1 1 + a


x +1
x2 + x
1
2 x2


:

+
1 x x 2 x
x 2 2 x + 1 x

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A > 1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài
40:
Cho

biểu

a) Rút gọn biểu thức P
b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a
Bài
45:
Cho

thức

x x +1 1 x
:

+
x + 1 1 x x 1
x + 1
x

+

P=

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P, khi x = 2 3
1
2
x 2

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P < 0

Bài
47:
Cho

3 x

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị của x để P < 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên
Bài
42:
Cho
biểu
thức

2 x
P =
+
x +3

a a 1 a a +1
1 3 a
2+ a

P=

+ a

.
a a

a+ a
a a 1
a + 1

x
x 3



b) Tìm x để P <
5

1
2

thức

x 2

x + 3

3x + 3 2 x 2
:
1
x 9 x 3


a) Rút gọn biểu thức P

a) Rút gọn biểu thức P

thức

1+ x x

x (1 x) 1 x x
:
+ x .
x
1+ x
1+ x

1 x

x3 x
9 x
x 3
P =
1 :


x

9
x
+
x

6
2

x



Bài 41: Cho biểu thức P = 2 x 9 x + 3 2 x + 1
x5 x +6

biểu

2

a) Rút gọn biểu thức P
b) Xác định các giá trị của x để: (x+1)P = x-1
Bài
46:
Cho
biểu

2

c) So sánh P với

x 1 1
x
2
:


+

x

1
x +1 x + 1 1 x


biểu

thức


c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
y x

Q=

x+ y

x+ y
+
+
Bài 48: Cho biểu thức P =
2 x +2 y 2 x 2 y x y

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x, y thoả mãn P > 1
Bài

49:
Cho
biểu
P=

3x + 9 x 3
x+ x 2



x +1
x +2

+

b) Tìm giá trị của x để Q =
Bài 55: Cho biểu thức

thức

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm a để 1 a + 1 1
P

1
1 x2 1
Bài 50: Cho biểu thức K =

ữ. 2

x 1 x +1 x x +1

thức

x +1 x 1 x 4 x 1 x + 2003
K =

+
ữ.
x 2 1
x
x 1 x +1
2

a) Tìm điều kiện đối với x để K xác định
b) Rút gọn K
c) Với những giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có
giá trị nguyên?
2
2( x + 1) x 10 x + 3
+
+
x 1 x + x +1
x3 1

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức
a) Tìm x để biểu thức có giá trị lớn nhất
Bài 53: Cho biểu thức A =

a (2 a + 1)
a +4
a +2
+

8+2 a a
a +2 4 a

a) Rút gọn A
b) Tìm a để A nhận giá trị nguyên
Bài 54: Cho biểu thức:

1
3

a+3 a +2
a+ a 1
1
P=

+
:
ữ
a 1 a +1
a 1
( a + 2)( a 1)

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên
c) Tìm giá trị của x để P = x

Bài 52: Cho biểu thức M =

Với x 0 và x 1

a) Rút gọn biểu thức Q


x 2 1

1
x 1 x


a) Tìm điều kiện của x để biểu thức K xác định.
b) Rút gọn biểu thức K
c) Tìm giá trị của x để K đạt giá trị lớn nhất
Bài
51:
Cho
biểu

x + 2 x 10
x 2
1


x x 6
x 3
x 2

(dùng PP BĐT)
6

8