TAI LIEU ON THI VAO 10 DAI SO

TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 - NĂM HỌC 2009 - 2010
I. PHẦN ĐẠI SỐ:
BÀI 1 : Tính giá trị của biểu thức :
a) 3 5 − 4 2 . 3 5 + 4 2

25
9
− 1
; c)
36
16
3
16 
e)  . 16 + 2
÷: 2
25 
5
ĐÁP SỐ : a)

13 ; b) −

BÀI 2 : Rút gọn M =

M2 =

(

;

b)

1
. 0 ,81 + 0 ,09 ; d) 0 ,04 + 0 ,2. 0 ,25
9
1
16
5
; c) 0,6 ; d) 0,3 ; e) 8
12

x + 2 x -1 + x − 2 x -1

Điều kiện : x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1

x + 2 x -1 + x − 2 x -1

)

2

= 2x + 2 x − 2 =

2x + 2(x − 2) nÕu x − 2 ≥ 0 4(x − 1) nÕu x ≥ 2
=
=
2x
−
2(x
−
2)
nÕu

x
−
2
<
0

4 nÕu 1 ≤ x < 2
2 x - 1 nÕu x ≥ 2
2 nÕu 1 ≤ x < 2

M ≥ 0 ta có : M = 

BÀI 3 : Rút gọn các biểu thức :

a) 4 − 2 3 − 3 ; b) 11 + 6 2 − 3 + 2 ; c) x - 4 + 16 − 8x + x 2 ; d) 4 + 7 + 4 − 7
e)

9+4 5 − 9−4 5 :

c) Phân ra hai trường hợp : x – 4 ≥ 0 và x – 4 < 0
d) Đặt A =
A2 =

(

4+ 7 + 4− 7

Suy ra A =
e)

4 + 7 + 4 − 7 Vì A ≥ 0 nên

)

2

= 4 + 7 + 4 − 7 + 2 16 − 7 = 8 + 6 = 14 > 0

14

9+4 5 − 9−4 5 =

(

5+2

)

2

−

(

5−2

)

2

= 5 +2−

(

)

5−2 =4

BÀI 4 : Cho biểu thức A = 4x - 4x 2 − 12x + 9
a) Rút gọn A ; b) Tìm x để A = - 15 ; c) Tìm A khi x = 4 ; - 7

BÀI LÀM
a) A = 4x -

( 2x - 3)

2

2x + 3 nÕu x ≥ 1,5
=
6x − 3 nÕu x < 1,5

b) Để A = - 15 thì phải có :

2x + 3 = -15
 x = − 9 không có giá trị nào của x thoả mãn điều kiện x ≥ 1,5
*
⇔
 x ≥ 1,5
 x ≥ 1,5

Trường THCS Tân Liên

1


6x − 3 = − 15
x = − 2
*
⇔
Vậy x = - 2
 x < 1,5
 x < 1,5
BÀI 5 Giải phương trình :

x 2 + 6x − 9 = 3x − 1 ; b) 4x 2 − 2x + 5 = 2x - 3 ; c) x − 4 = 4 − x

a)

( n + 1)

BÀI 6:Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức :

( n + 1)

Biến đổi vế trái :

2

+ n 2 = ( n + 1) − n 2
2

+ n 2 = n + 1 + n = n + 1 + n = 2n + 1 ( 1) ( Vì n là số tự nhiên nên n

( n + 1)

≥ 0 do đó n + 1 = n + 1; n = n Biến đổi vế phải :

( n + 1)

Từ ( 1) và ( 2) ta suy ra :

2

2

2

− n 2 = n 2 + 2n + 1 − n 2 = 2n + 1

+ n 2 = ( n + 1) − n 2 ( đpcm )
2

BÀI 7 : Cho hai số a ; b không âm. Chứng minh :

a+b
≥ ab ( Bất đẳng thức CAUCHY cho hai số không âm ) .Dấu đảng thức sảy ra khi nào ?
2
HD:Vì a và b không âm tức là a ≥ 0 và b ≥ 0 . Do đó :
Suy ra

a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Ta có

(

a− b

)

2

≥0⇔

( a)

a và
2

b xác định

− 2 a. b +

( b)

⇔ a − 2 a.b + b ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 2 a.b ⇔

2

≥0

a+b

≥ a.b
2

Dấu đẳng thức sảy ra khi a = b
a+b
a+ b
≥
2
2
a+b
≥ ab ⇒ a + b ≥ 2 ab ( 1)
Vì a ≥ 0 và b ≥ 0 nên theo bất đẳng thức CÔ- SI ta có :
2
Cộng vào hai vế của (1) cho a + b ta có : a + b + a + b ≥ a + b + 2 ab
BÀI 8: Với a ≥ 0 và b ≥ 0 . Chứng minh :

⇔ 2( a + b) ≥

2(a + b ) (
≥

a+ b

a+ b

4

⇔

(

)

4

2

)

2

⇔

2

a+b  a + b
⇔
≥
÷ ⇔
2
2



2

 a + b
a+b
≥ 
÷

2
2



a+b
a+ b
≥
2
2

BÀI 9 : Với a dương . Chứng minh :

a+

1
≥2
a

BÀI 10 Rút gọn các biểu thức sau :

a) A =

(

4 + 15 + 4 − 15

c) 2 3 + 5

)

(

; b) B =

3 − 60 + 5 2 + 2 5

Trường THCS Tân Liên

)

75 + 48 − 300 + 98 − 72
5 − 250 ; d)

2

7

(

(

)

28 − 12 − 7 + 2 21

99 − 18 − 11

)

11 + 3 22

=

7
22

( 2)


BÀI 11 : a) Chứng minh :

(x

y+y x

)(

x−

xy

y

) =x− y

( Với x > 0 và y > 0 )

x3 − 1
x −1

b)Cho B =

b1) Tìm x để B xác định ( có nghĩa ) ( x ≥ 0 ; x ≠ 1 ) ; b2) Rút gọn B = ( x +
b3) Tìm x để B = 1 ; b4) Tính B khi x = 4 + 2 3
BÀI 12 : Rút gọn biểu thức sau :

a) A = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 ; b) B = −
HD:a.Vì A ≥ 0 nên A 2 =

(

)

2

5 + 1 suy ra A =

b) Vì B < 0 nên B2 = 6 thì B = -

(

x +1 )

2+ 3 + 2− 3

)

5 +1

6

BÀI 13 : Giải các phương trình sau :

(

)(

)

a) 2 x - 3 2 + x + 6 = 0 ; e) ( x − 1) ( x + 2 ) ( x – 6 ) ( x – 3 ) = 34    
b) x

(

)

x - 2 + 1 = 0 ; c) 4x 2 − 5 = 2x + 4 ; d) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 3 ) ( x + 4 ) = 3

HD a) Điều kiện x ≥ 0
2 x -3 2+ x +6=0

(

)(

)

⇔ 4 x + 2x − 6 − 3 x + 6 = 0
 x = 0

 x = 0
⇔ 2x + x = 0 ⇔ x 2 x + 1 = 0 ⇔ 
⇔
2 x = − 1 ( v« nghiÖm )
2 x + 1 = 0
Vậy x = 0
b) x = 1
d) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 4 ) = 3
⇔ ( x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6 ) = 3 Đặt x2 + 5x + 4 = t . Ta có :
t( t + 2 ) = 3 ⇔ t2 + 2t – 3 = 0 ⇔ t1 = 1 ; t2 = - 3
Thay t1 = 1 vào x2 + 5x + 4 = t ta được x2 + 5x + 4 = 1 ⇔ x2 + 5x + 3 = 0 Giải tìm nghiệm
Tuơng tự : Thay t2 = - 3 vào x2 + 5x + 4 = t ta được x2 + 5x + 4 = - 3 ⇔ x2 + 5x + 7 = 0
BÀI 14 : Cho a > 0 và b > 0 . Chứng minh a + b < a + b

(

)

BÀI LÀM :
Vì a > 0 và b > 0 nên a + b > 0 và a.b > 0 .Ta có :

( a + b)

2

= a+b =a+b ;

(

a+ b

)

2

= a + b + 2 ab

*Vì a.b > 0 nên :

a.b > 0 ⇔ 2 a.b > 0 ⇔ a + b + 2 a.b > a + b ⇔
⇔

(

a+ b

)

2

(

a+ b

)

2

>a+ b

> a + b ⇔ a + b > a + b hay a + b < a + b

a−b
a 3 − b3
−
BÀI 15 : Cho N =
a − b a + b + ab
Trường THCS Tân Liên

3


a)Tìm điều kiện để N có nghĩa ( xác định ) b)Rút gọn N . Sau đó rút ra nhận xét .
c)Tính N khi b = 14 - 6 5 .

a ≥ 0 ; b ≥ 0
a) N xác định ⇔ 
a ≠ b

(

a−b
a 3 − b3
Cho N =
−
=
a − b a + b + ab
b)
=

(

) (

a+ b −

)(

a− b

a+ b

a− b

)

) −(

)(

a − b a + b + ab
a + b + ab

a − b = a + b − a + b =2 b

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào a
c) N = 2 b = 2 14 − 6 5 = 2

(

5 −3

)

2

(3− 5 )

=2

2

(

)

= 2 3− 5 = 6− 2 5

BÀI 16 : Rút gọn các biểu thức sau :

3
2
3 5
a)  . 6 + 2.
− 4. ÷ +
3
2
6
2


6
b)  x.
+
x



2x
+ 6x ÷: 6x ( Víi x > 0 )
3


x 3 − y3 + x 2 y − xy 2

c)

x 3 − xy 2

d)

5−2
−
5+2

5+2
;
5−2

3

HD a)  . 6 + 2.

2

e)

( Víi x > 0 ; y > 0 ; x ≠ y )
10 + 3
−
10 − 3

10 − 3
; g)
10 + 3

1
7 − 24 + 1

x 3 − y3 + x 2 y − xy 2
x 3 − xy 2
x ( x - y) + y ( x - y)

=

5−2
−
5+2

(
=

( x - y) (

x ( x - y)
( Víi x > 0 ; y > 0 ; x ≠ y )

d)

1
7 + 24 − 1

2
3 5
6 5 6 6 6
− 4. ÷ +
=
+
=
= 6
3
2
6
6
6
6






6
2x
6x
6x
b)  x.
+
+ 6x ÷: 6x =  x.
+
+ 6x ÷: 6x =
x
3
x
3




 3 6x + 6x + 3 6x 
7 6x
7
: 6x =

÷: 6x =
3
3
3


c)

−

x 2 y − y3

x 3 − xy 2

x+ y

x ( x - y)

5+2
= −8 5 ;
5−2

Trường THCS Tân Liên

) (

x 3 − xy 2 +

e)

) =(

x+ y

)=

)

x

10 + 3
−
10 − 3
4

10 − 3
= 12 10
10 + 3

(

Vì x > 0 )

)=


1

g)
=

7 − 24 + 1
1

(

)

6 −1

2

+
+1

1

+

7 + 24 − 1
1

(

)

6 +1

2

1

=

7 − 2 6 +1

=
−1

+

1
7 + 2 6 −1

=

1
1
1
1
2
6
+
=
+
=
=
3
6 −1+1
6 +1−1
6
6
6

Bài 17
2x - 2 x
x x +1
+

+1
x −1
x - x +1
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tính A khi x = 14 + 2 13
23
d) Tìm x biết A =
4
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
Bài làm
x ≥ 0

x ≥ 0
a) A có nghĩa ⇔  x − 1 ≠ 0 ⇔ 
x ≠ 1

x
x
+
1
≠
0

Cho biểu thức A = x -

b) A = x −

2 x

(

) +(

x −1

x −1

)(

) +1= x −2

x + 1 x − x +1
x − x +1

x + x +1+1 = x − x + 2

2

1
7 7

a) A = x − x + 2 =  x − ÷ + ≥
2
4 4

7
1
1
b) Giá trị nhỏ nhất của A là khi x − = 0 ⇔ x =

4
2
4
BÀI 18 : Giải phương trình và hệ phương trình :
a) 4x4 + 8x2 – 12 = 0 ; b) 12x4 – 5x2 + 30 = 0
2x - 5
3x
4x
x +1
2x
5
5
b)
=
; c)
=
; d)
−
= 2
x -1 x - 2
x+2 x-2
x - 2 x - 3 x − 5x + 6
2
 2
+
=2
x 2

 =
2 ( x + y ) + 3 ( x - y ) = 4

x - 2 y -1
e)  y 3
; g) 
; h) 
x
+
y
+
2
x
y
=
5
(
)
(
)
 x + y - 10 = 0
 2 − 3 =1


 x - 2 y - 1
2x 2 + 3y = 1
3x 2 + y 2 = 5
i)  2
; j)  2
2
3x − 2y = 2
 x − 3y = 1
Huớng dẫn : Bài i) Đặt x2 = a ≥ 0 và y = b ; Bài j) Đặt x2 = a ≥ 0 và y2 = b ≥ 0

BÀI 19 :Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10m . Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m .
Tìm các cạnh góc vuông của tam giác . HD
Gọi độ dài một cạnh góc vuông là x ( m) thì cạnh góc vuông kia là x + 2 ( m )
Theo địng lý Pythagore ta có : x2 + ( x + 2 )2 = 102 ; x = 6m ; x = 8m

Trường THCS Tân Liên

5


BÀI 20 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh
vườn ( thuộc đất của vườn ) rộng 2m , diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m 2 . Tính kích
thước của khu vườn .
Gọi một cạnh của hình chữ nhật là x(m) thì cạnh còn lại là ( 140 – x ) ( m)
Phần đất trồng trọt là một HCN có hai cạnh là: x – 2.2 = x – 4 ( m) và (140 - x – 2.2) = 136 – x
(m)
Ta có phương trình : ( x – 4)( 136 – x) = 4256
x2 – 140x + 4800 = 0
Chiều dài 80m và chiều rộng 60m
BÀI 21 Rút gọn các biểu thức sau :
3− 5
3+ 5
+
=
3+ 5
3− 5

a)

(

e) 15 200 − 3 450 +2
BÀI 22 Cho A =

( 3 − 5) ( 3 − 5) + ( 3 + 5) ( 3 + 5) = 3
( 3 + 5) ( 3 − 5) ( 3 + 5) ( 3 − 5)
50 ) : 10 = 23 5

x + 4 x - 4 + x- 4 x - 4

Tìm điều kiện để A xác định .b.Rút gọn A c.Tính A khi x = 13
A xác định khi x ≥ 4
x+4 x-4 + x-4 x-4 =

A=
* Nếu
Thì

(

x-4 −2≥0⇔ x-4 ≥2⇔

)

x-4 +2

(

x-4

)

2

2

+

(

x-4 −2

)

2

= x-4 +2+

≥ 22 ⇔ x - 4 ≥ 4 ⇔ x ≥ 8

x-4 −2 = x-4 −2

Ta có : A =
* Nếu

Ta có : A =

x-4 +2+

x-4 −2 = x-4 +2+ x-4 −2=2 x-4

x - 4 − 2 < 0 ⇔ x < 8 thì
x-4 +2+

x-4 −2 =−

(

)

x -4 −2 =− x -4 +2

x-4 −2 = x-4 +2− x-4 +2=4

2 x − 4 khi x ≥ 8
Vậy : A = 
4 khi x < 8 ; x ≥ 4
c) Tính A khi x = 13
Khi x = 13 thoả mãn điều kiện x ≥ 8 nên A = 2 x - 4 = 2 13 − 4 = 2 9 = 6
BÀI 23 : Tính :

a) 45 − 2 20 + 9 − 4 5

b)

5−2 6 6 +2 6
+
; c) 11 + 4 7 − 11 − 4 7
3− 2
3+ 2

x 2 − 12x + 36
d) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức : 2x +
khi x = - 2
x-6
x- 6 2x + 1 neu x > 6
x 2 − 12x + 36
= 2x +
=
d) Điều kiện x ≠6 ; A = 2x +
x-6
x - 6 2x - 1 neu x < 6

Vì x = - 2 < 6 ( Thỏa mãn điều kiện x < 6 ) nên A = 2x – 1 = 2.( -2) – 1 = - 5
BÀI 24: Cho đường thẳng y = ( 1 – 4n )x + n – 2 ( d)
a) Vẽ (d) khi n = - ½ ; b)Với giá trị nào của n thì (d) đi qua gốc toạ độ .
c)Tìm n để (d) tạo với trục Ox một góc nhọn ? Góc tù ?
d)Tìm n để (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng 3/2
e)Tìm n để (d) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ bằng 1/2
Trường THCS Tân Liên

6

x-4 −2


BÀI 25 Cho đường thẳng y = ( m – 2)x + n ( Với m ≠ 2 ) (d) Tìm n và m trong các trường hợp
sau :
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A( - 2 ; - 3 ) và B(3 ; 2)
b) (d ) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng 1 - 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành

độ bằng 2 + 2 . c) (d) cắt đường thẳng – 2y + x – 3 = 0
d) (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1 ; e) (d) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0
3 2
5
a) m =
; b) n = 1 - 2
; n tuỳ ý ;
; m =
; c)m ≠
2
2
1

m
=

m = 4
2
d) 
; e) 
n = − 3
n ≠ 1

2
BÀI 26 : a) Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy đồ thị ( P ) : y =

x2
và (d) : y = x – 1
4

b) Bằng phép tính chứng tỏ (d) tiếp xúc với ( P ) . Tìm toạ độ tiếp điểm .
BÀI 27 : Giải phương trình và hệ phương trình :
 3x
 x -1 −

a) 
 x −
 x -1

d)

2y
= 13
y+2
3y
= −3
y+2

1
 2
 2x + y − x - y = 1

b) 
 1 + 5 =6
 x − y 2x + y

2
x2
1
+ 2

=
;
x + 1 x − 1 x -1

x + y = 7

; c) 

2
2
 x + y = 25

e) 6x4 – x2 – 1 = 0 ; g) 3x4 +

3 2
5
x =
2
3

BÀI 28 : Tính chu vi hình chữ nhật biết chiều dài hơn chiều rộng 15m và diện tích là 1350 m2 .
HD :Gọi x (m)là chiều rộng hình chữ nhật ,x > 0 thì chiều dài của h. chữ nhật là (x + 15) (m )
Phương trình x( x+ 15) = 1350 ⇔ x2 + 15x – 1350 = 0
x1 = 30 ; x2 = - 45 ( loại ) Chiều rộng của hình chữ nhật là 30 m và chiều dài là 45 m
Chu vi hình chữ nhật là 2.( 30 + 45 ) = 150 m .
BÀI 29 :Cho P/h tr x2 – 2(m + 2)x + 8m = 0 (1) ; b) C/m p.tr (1) luôn có nghiệm với mọi số thực
m
a) Giải phương trình khi m = 2
1

1

b) Khi m = - 1 không giải phương trình tính : x 21 + x22 ; x1 – x2 ; x13 + x23 ; x 2 + x 2 ; ;
1
2
x1 + 1 x 2 + 1
1
1
+
; 3+ 3
x1 x 2
x2
x1
2
HD x – 2( m + 2) x + 8m = 0

Δ’ = b’2 – ac =  − ( m + 2 )  − 1.8m = m 2 − 4m + 4 = ( m - 2 ) ≥ 0 với mọi số thực m
Vậy phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi số thực m .
2

2

1
2

2
BÀI 30 : Cho hàm số cho hàm số (P) : y = − x

a) Lập phương trình của đường thẳng (d) đi qua A(-2; - 2) và tiếp xúc với (P)
b) Vẽ (d) và (P) trên cùng một hệ trục Oxy ; c) (d) cắt Oy tại B . Tính chu vi của tam giác

OAB
BÀI LÀM :
a)đường thẳng (d) cần tìm có dạng y = ax + b Vì A ( -2; -2 ) ∈ (d) nên – 2 = - 2a + b hay – 2a + b
= - 2 ⇒ b = 2a – 2 . Thay b = 2a – 2 vào y = ax + b ta được y = ax + 2a – 2 ( d)
Trường THCS Tân Liên

7


1
2

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là − x 2 = ax + 2a – 2 ⇔ x2 +2ax + 4a - 4 = 0
( a = 1 ; b = 2a ; c = 4a - 4 ) ; Δ = b2 - 4ac = (2a)2 – 4.1( 4a – 4) = 4a2 – 16a + 16
Để (d) tiếp xúc với (P) thì Δ = 0 tức là : 4a2 – 16a + 16 = 0 ⇔ 4(a2 – 4a + 4 ) = 0
⇔ ( a – 2 )2 = 0 ⇔ a – 2 = 0 ⇔ a = 2 . Ta có b = 2a – 2 = 2.2 – 2 = 2Vậy (d) ; y = 2x + 2
b)

y

y = 2x + 2

B
-2

0

2

x

-2

1
2

y = − x2
BÀI 31 : Cho phương trình x2 – 4x + m + 3 = 0 (1)
a)Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm . b) Giải phương trình khi m = 4 ; m = - 5
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa x21 + x22 = 10
HD a) x2 – 4x + m + 3 = 0 (1) ; Δ’ = 1 – m . Điều kiện phương trình có nghiệm là m ≤ 1
b) m = 4 không thỏa mãn điều kiện m ≤ 1 nên không giải được phương trình khi m = 4 .Hay
phương trình vô nghiệm khi m = 4 .
c)Điều kiện m < 1
 x1 + x 2 = 4

 x1.x 2 = m + 3

; x12 + x22 = (x1 + x2 )2 - 2x1. x2 = 16 – 2(m + 3 ) = 10 ⇔ 16 – 2m – 6 = 10 ; m =

0
BÀI 32Tìm các kích thước của hình chữ nhật , biết rằng nếu tăng mỗi chiều lên 5 m thì diện tích hình chữ
nhật tăng thêm 160m2 , nếu giảm chiều dài đi 5m và tăng chiều rộng thêm 6m thì diện tích bằng diện tích
ban đầu .

HD Gọi x(m) là chiều dài của hình chữ nhật và y (m) là chiều rộng của hình chữ nhật
( Điều kiện x >0 ; y > 0 )
(x +5)(y + 5) -160 = xy
 x + y = 27
x = 15

⇔
⇔
(x −5)(y + 6) = xy
6x -5y = 30
 y = 12

Hệ phương trình 

Chiều dài là 15m và chiều rộng là 12m
BÀI 33 a)Tìm các giá trị của a và b để hai hệ phương trình sau tương đương
 x - 2y = 1
 ax + by = 6
2
và 
Vậy ( x ; y) = ( 3; 1 ) ; (a; b) = ( − ; 8 )

3
 4x + 5y = 17
3ax + 2by = 10
b)Xác định các hệ số a và b để hệ phương trình sau có nghiệm x = 3 , y = - 1
 2x + ay = b + 4
; Tìm được a = - 2 ; b = 4

ax + by = 8 + 9a
c)Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua A( 2 ; -2 ) và B( - 1 ; 3 )

Trường THCS Tân Liên

8

 5 4
Vậy ( a, b ) =  − ; ÷
 3 3
BÀI 34 a)Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x – 3y = 8 ;
5x + 4y = - 3 và song song với đường thẳng y = 2x – 1
HD :Trước hết tìm toạ độ giao điểm N của hai đường thẳng 2x – 3y = 8 ;
5x + 4y = - 3 , được x = 1 , y = - 2 . Sao đó lập phương trình đường thẳng y = 2x + b đi qua N(1 ; -2)
Đáp số : y = 2x – 4 .
b)Trong cùng một mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2; 4) ; B(-3 ; -1) và C(-2; 1). Chứng minh ba điểm A ,
B và C khơng thẳng hàng .
HD : Viết phương trình đường thẳng AB là y = x + 2. Sau đó chứng minh C khơng thuộc AB . Kết luận A
, B và C khơng thẳng hàng .Nếu C thuộc AB thì ba điểm A, B , C thẳng hàng .
c) Xác định giá trị của a để các đường thẳng y = ax ; y = 3x – 10 và 2x + 3y = -8 đồng quy .
HD :Trước hết tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng y = 3x – 10 và 2x + 3y = -8 ,được x = 2 ; y =
-4 . Đường thẳng y = ax đi qua M( 2; - 4) nên phải có – 4 = a.2 ⇒ a = -2
BÀI 35 Giải pt: a ) x 2 + 4 − 4x − x = 2 ; b) x 2 − 8x +16 − x = 2 ; c ) 4x-1 = 3 − x
BÀI 36 Cho (P) y = x2 ; (d) y = 2x + m ; a)Vẽ và tính tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 3
b)Biện luận theo m vò trí tương đối giữa (d) và (P) .
y = x2
HD a) Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình 
 y = 2x +3

P/ t h. độ giao điểm x2 – 2x – 3 = 0 có dạng a – b + c = 1- (-2) +(-3) = 0 nên x1 = - 1 ;x2 = 3
b)Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) : x2 – 2x – m = 0
Δ = 4 + 4m
* Để (d) và (P)cắt nhau thì Δ > 0 tức là 4 + 4m > 0 ⇔ m > -1Vậy khi m > -1 thì (d) cắt (P) tại hai
điểm.
* Để (d) và (P)tiếp xúc với nhau thì Δ = 0 tức là 4 + 4m = 0 ⇔ m = -1.Vậy khi m = -1 thì (d) thì
tiếp xúc với (P)

* Để (d) và (P) khơng cắt nhau thì Δ < 0 tức là 4 + 4m < 0 ⇔ m < -1. Vậy khi m < - 1 thì(d) và
(P) khơng cắt nhau

)

(

 14 + 7
3 
1
1
−
:
;
b)
7
2
10
−
8
−
2
15
.
Tính : a) 
÷
2 +1
3÷
3+ 2


 7+ 3
3
3 3 −1 3 3 +1
8+2 2 2+3 2
2
−
−
+
c)
; d)
; e) 12 − 4 − 2 3 −
3
3− 3 3+ 3
3− 2
2
1− 2
BÀI LÀM
 7 2 +1

 14 + 7
3 
1
1

:
−
:
=
−
3

= 7− 3
7+ 3 =7–3=4
a) 
÷
÷ 7+ 3 

2
+
1
3
7
+
3
2
+
1




BÀI 37

(

b) Ta có
Vậy
c)

(

7 - 2 10 − 8 − 2 15 =

)

7 - 2 10 − 8 − 2 15 .

(

)(

(

)

(

)

(

5− 2

)

2

−

(

1
3− 2
=
=
3+ 2
3+ 2

) (
)(

)(

5− 3

(
(
)

)

2

)(

)

= 5− 2− 5+ 3= 3− 2

)(
2) (

) =5−2
2)

3− 2

3− 2

3−

3+

6

3 3 −1 3 3 +1 3 3 −1 3 + 3 − 3 3 +1 3 − 3
9 3 + 9 − 3 − 3 − 9 3 + 9 − 3 + 3 12
−
=
=
= =2
9−3
6
3− 3 3+ 3
3− 3 3+ 3

Trường THCS Tân Liên

(

)

9


d)

(

)(
)(

)

(

)

(

)

8+ 2 2 3+ 2
2 2+3 2
2 1+ 2
8+2 2 2+3 2
2
−
+
=
−

+
=
3− 2
2
1− 2
2. 2
3− 2 3+ 2
1− 2 1+ 2

(

)

(

)(

)

24 + 8 2 + 6 2 + 4 2 2 + 6
2 + 4 28 + 14 2
−
+
=
− 2 − 3 − 2 − 4 = 4 + 2 2 − 2 2 − 4 − 3 = −3
9−2
2
1− 2
7
2

3
=2 3−
3 −1 − 3 = 2 3 − 3 +1 − 3 = 1
e) 12 − 4 − 2 3 −
3
BÀI 38 Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h
thì đến nơi chậm 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tìm quãng đường
AB và thời gian dự định đi lúc đầu
BÀI LÀM
Giải
Gọi x (km ) là quãng đường AB và y (h) là thời gian dự định lúc đầu (Điều kiện : x >0 ; y > 0 )
* Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì thời gian đi là y + 2 ,do đó ta có phương trình x = 35( y + 2)(1)
* Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì thời gian đi là y – 1 ,do đó ta có phưong trình x = 50( y – 1)(2)
=

(

Từ

(1)

và

(2)

)

ta

có

hệ

phương

trình:

 x = 35(y + 2)
 x - 35y = 70
 x - 35y = 70
x = 35y + 70
x = 350
⇔
⇔
⇔
⇔

 x = 50( y -1 )
 x - 50y = - 50
-x + 50y = 50
15y = 120
y = 8
Vậy quãng đường AB dài 350km và thời gian dự định là 8 giờ
BÀI 39Một chiếc thuyền xuôi , ngược trên khúc sông dài 40 km hết 4giờ 30phút. Cho biết thời gian
thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km .Hãy tính vận tốc của dòng nuớc Giải
9
( 4giờ 30phút = giờ )
2
Gọi vận tốc của dòng nước là x (km/h) và vận tốc của thuyền khi nước yên lặng là y (km/h )
( Điều kiện y > x > 0 )

V.tốc của thuyền khi xuôi dòng là :x + y (km/h)thì v. tốc của thuyền khi ngược dòng là:y - x (km/h )
5
4
*Thời gian xuôi dòng 5km là
( giờ ) . Thời gian ngược dòng 4km là
( giờ )
x+y
y-x
5
4
Theo bài ra ta có phương trình :
=
(1)
x+y
y-x
40
40
*Thời gian xuôi dòng 40km là
( giờ ) .Thời gian ngược dòng 40km là
( giờ )
x+y
y-x
40
40
9
Theo bài ra ta có phương trình
+
=
(2)
x+y

y-x
2
4
 5
=
x + y y - x
x = 2

⇔
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
 y = 18
 40 + 40 = 9
 x + y y - x 2
Vậy vận tốc của dòng nước là 2(km/h) .
BÀI 40 :Một xe lửa thứ nhất đi từ A đến B .Sau đó 1giờ một xe lửa thứ hai đi từ B về A với vận tốc lớn
hơn vận tốc xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại chính giữa quãng đường AB. Tìm vận tốc của
mỗi xe ,biết rằng quãng đường AB dài 900km .
Giải
Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất thì x + 5 (km/h) . Điều kiện x > 0 )
1
450
Thời gian xe thứ nhất đi
quãng đường là :
( h)
2
x
450
1
Thời gian xe thứ hai đi
quãng đường là :

( h)
x +5
2

Trường THCS Tân Liên

10


450 450
−
= 1 ⇔ 450(x + 5) - 450x = x(x + 5 )
x
x +5
x2 + 5x – 2250 = 0 ⇒ x1 = 45 ; x2 = - 50 ( loại )
Vậy vận tốc của xe lửa thứ nhất là : 45 km/h Và vận tốc của xe lửa thứ hai là : 50 km/h .
BÀI 41 Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km . Một ca-nô đi từ A đến B nghỉ 40 phút ở B rồi
quay về A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về đến A hết tất cả 6 giờ. Tìm vận tốc của ca-nô khi nước yên
lặng .Biết rằng vận tốc của nước chảy là 3km/h .
Giải
2
Gọi vận tốc của ca-nô khi nước yên lặng là x (km/h) ( Điều kiện x > 0 ) ; 40 phút = giờ .
3
Vận tốc của ca-nô khi xuôi dòng từ A đến B là x + 3 (km/h)
Vận tốc của ca-nô khi ngược dòng từ B về A là x - 3 (km/h)
30 2
+ (h)
Thời gian ca-nô xuôi dòng đi từ A đến B kẻ cả thời gian nghỉ :
x +3 3
30

Thời gian ca-nô ngược dòng đi từ B về A là :
(h)
x -3
30 2
30
3
+ +
Theo bài ra ta có p/t
= 6 ⇔ 4x2 – 45x – 36 = 0 ⇒ x1 = 12 ; x2 = - ( loại)
x +3 3
x -3
4
Vậy vận tốc của ca-nô khi nước yên lặng là 12km/h .
BÀI 42 Cho phương trình 3x2 – 5x – 7 = 0 . Không giải phương trình hãy tính :
x1 x 2
1
1
1
1
2
2
+
; e) 3 + 3
a) x 1 + x 2 ; b ) 2 + 2 ; c) x31 + x32 ; d)
x1 x2
x 2 x1
x1 x2
Theo bài ra ta có phương trình :

BÀI LÀM

Vì a.c = 3 .(-7) = - 21 < 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 và x2 .Theo định lý Viète ,
5
7
ta có x1 + x2 = và x1. x2 = −
3
3
1
1
67
67
440
2
2
a) x 1 + x 2 =
; b) 2 + 2 =
; c) x31 + x32 = ( x1 + x2 )3 - 3 x1.x2( x1 + x2 ) =
x 1 x 2 49
9
27
2
BÀI 43 Cho phương trình x -2( m – 3 )x – m + 2 = 0 (1 )
a) Chứng minh phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 2 .Tính nghiệm còn lại .
c) Tìm m để Δ’ = 7 ; d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu .
e)Định m để phương trình có hai nghiệm âm .
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau . Tính hai nghiệm đó .
BÀI LÀM
a) Δ =  −2 ( m- 3)  − 4.1(− m + 2) = 4( m2 – 6m + 9) + 4m – 8 = 4m2 – 24m + 36 + 4m – 8 =
5
3

= 4m2 – 20m + 28 = 4( m2 – 5m + 7 ) = 4[( m - )2 + ] > 0 . Vậy phương trình luôn luôn có hai
2
4
nghiệm phân biệt với mọi m .
18
b) Khi x = 2 Ta có 4 – 4m + 12 – m + 2 = 0 ⇔ 5m = 18 ⇔ m =
5
18
3
2
4
Ta có x1 + x2 = 2( m – 3 ) ⇔ 2 + x2 = 2(
- 3) ⇔ x2 = 2( - 1) = 2.(- ) = 5
5
5
5
c) Ta có Δ’ = m2 – 5m + 7 mà Δ’ = 7 nên m2 – 5m + 7 = 7 ⇔ m2 – 5m = 0 ⇔ m1 = 0 ; m2 = 5
d) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 ⇔ - m + 2 < 0 ⇔ m > 2
∆ ' ≥ 0
∆ ' ≥ 0
∆ ' ≥ 0



e) (1) có hai nghiệm âm ⇔  P > 0 ⇔ - m + 2 > 0 ⇔ m < 2 ⇔ m < 2
S < 0
2(m - 3 ) < 0
m < 3




2

Trường THCS Tân Liên

11


Vậy phương trình có hai nghiệm âm khi m < 2 .
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau . Tính hai nghiệm đó .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau ⇔ x1 + x2 = 0 .Ta có x1 + x2 = 2( m – 3 ) suy ra ( m – 3 ) = 0 ⇔ m
– 3 = 0 ⇔ m = 3 .Thay m = 3 vào x2 -2( m – 3 )x – m + 2 = 0 (1 ) ta được x2 – 3 + 2 = 0
⇔ x2 = 1 ⇒ x1 = 1 ; x2 = - 1

BÀI 44 Tìm các số x ; y trong các trường hợp sau :
a) x + y = 27 ; x.y = 180 ; b) x + y = 30 , x2 + y2 = 650
BÀI LÀM
a) Hai số x và y có tổng S = x + y = 27 và tích P = x.y = 180 nên x và y là hai nghiệm của phương
trình
X2 – SX + P = 0 ⇒ X2 – 27X + 180 = 0 ⇒ X1 = 15 ; X2 = 12
 x = 15
 x = 12
hoăc 
 y = 12
 y = 15
 x + y = 30
 x + y = 30
 x + y = 30
 x + y = 30
⇔

⇔
⇔
b) Ta có  2

2
2
900 − 2x.y = 650
 x.y = 125
( x + y ) − 2x.y = 650
 x + y = 650

Vậy 

x và y là nghiệm của phương trình X2 – 30X + 125 = 0 ⇒ X1 = 25 ; X2 = 5
 x = 25
x = 5
hoặc 
y = 5
 y = 25

Do đó ta có 

BÀI 45 Cho (P) y = ax2 và A(–2, –1); C( 3 ; 4)
a)Tìm a để A ∈ (P) và vẽ ( P)

b)Cho B ∈ (P), có h. độ bằng 4. Viết ph. trình (dAB); c)Viết ptdt û (d) // AB và tiếp xúc (P)
d) Viết phương trình đường thẳng AC .

BÀI 46 Cho hàm số y = −

x2
(P)
4

a) Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A ( 2; -1) và tiếp xúc với ( P )
b) Vẽ ( P ) và ( d ) vừa tìm được ở câu a)
BÀI LÀM
a) Phương trình đường thẳng ( d ) cần tìm có dạng y = ax + b ( d ). Vì A ( 2; -1) thuộc ( d )
nên :
-1 = 2a + b ⇒ b = -2a – 1 . Thay b = -2a – 1 vào y = ax + b ( d ) ta được y = ax – 2a – 1 ( d )
Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và ( P ) là −

x2
= ax – 2a – 1 ⇔ x2 + 4ax – 8a – 4 =
4

0
Δ’ = b’2 – ac = 4a2 + 8a + 4 . Để (P) tiếp xúc với (d) thì Δ’ = 0 Tức là 4a2 + 8a + 4 = 0 ⇔
4( a + 1)2 = 0 ⇔ a + 1 = 0 ⇔ a = - 1 ⇒ b = -2 (-1) – 1 = 1.Vậy (d) : y = - x + 1
BÀI 47 Cho phương trình x2 – 2mx + 4m – 4 = 0 (1 )
a) C/ minh phương trình ( 1) ln ln có nghiệm với mọi số thực m .
b) Giải phương trình (1) khi m = 3
BÀI 48 Rút gọn :
a) 12 − 6 3 . 3 + 3 =

( 3− 3)

3− 3

3− 3

2

. 3 + 3 = 3 − 3. 3 + 3 =

5
b) 20 − 45 + 15 + 10 = 2 5 − 3 5 +
3+ 2

Trường THCS Tân Liên

(

3+ 2
3+ 2

12

) =−

( 3− 3) ( 3+ 3) =

5+ 5 =0

9−3 = 6


 1 
BÀI 49 a/ Viết PTđường thẳng d1 và d2 xuất phát từ I  − , 2 ÷ và có hệ số góc lần lượt là 4 và – 2 . b/
 2 

Có nhận xét gì về hai đường thẳng d1 , d2 với (P) y = –x2
BÀI 50 :Một hình chữ nhật có chu vi bằng 52m. Nếu tăng chiều dài 4m, giảm chiều rộng 2m thì diện
tích không đổi. Tính kích thước của nó.
BÀI 51 Cho pt : x2 – mx + m – 1 = 0
a. CMR: pt luôn có nghiệm với mọi m. Tính nghiệm kép và giá trò m tương ứng
b. Cho A = x12 + x22 – 6x1x2 ; b1) CMR: A = m2 – 8m + 8
b2 )Tìm m để A = 8 ; b3)Tìm Min A và giá trò m tương ứng
a− b
a+ b
4b
+
−
=2
BÀI 52 a/ Rút gọn: x – 2 – x 2 − 2x + 1
;b/ CMR:
a+ b
a − b a−b
BÀI 53 a) Xác định đường thẳng đi qua hai điểm
a1)A( -2 ; 0 ) và B( 0; 1).Tính AB ; a2) N(1; 4) và M ( 3; 0).Tính NM ; a3) E(-2 ;2) và F(1; 5).
b) Chứn minh bốn điểm A( 0; -5 ) ; B(1; -2 ) ; C( 2; 1) và D ( 2,5 ; 2,5 ) thẳng hàng .
c) Tìm x sao cho ba điểm A( x ; 14) ; B(-5 ;20) và C ( 7 ; - 16 ) thẳng hàng
1
HƯỚNG DẪN : a1) y = x + 1; a 2 ) y = - 2x + 6 ; c) y = x + 4
2
AB =

( x 2 -x1 )

2

+ ( y 2 -y1 )

2

; b) Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A và B được y = 3x – 5 . Sau đó

chứng tỏ các điểm C và D thuộc đường thẳng trên . c) x = - 3 .
BÀI 54 : Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0
a) Giải phưong trình khi m = 3
b)Tìm m để pt có nghiệm kép? Tính nghiệm đó.
c)Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt ; d) Tìm m để PT vơ nghiệm
e)Tìm m để : x12 + x22 = 20
BÀI 55 Cho A(–2 , 4) ; B(3 , –1)
a. Xác đònh (P) đi qua A
b. Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và B
c. Tìm m để (d’) y = ax + m cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 2 và song song với (d)
BÀI 56 Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13cm, hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm. Tính
diện tích của tam giác
BÀI 57 a/ Tính : 28 − 2 3 + 7 7 + 84

(

)

b/ Rút gọn

  3

1+ x
+ 1− x ÷

:
+
1
A =  1:

÷
÷
2
3


  1− x
BÀI 58 a/ Tính M =

7 − 40 − 7 + 40
1
1
b/ Cho A = 2 1 + a + 2 + 2 1 − a + 2

(

B=A+

) (

( a − 2a )

)

Rút gọn A và B.

1 + a3
BÀI 49 Cho pt: x2 + (m – 1)x – m = 0

a. Tìm m để pt có nghiệm kép, tính nghiệm kép.
b. Tìm m để pt có hai nghiệm dương .
BÀI 60 Cho (P) y = x2 , (d) y = 2(m + 1)x + 4 – m
a. Vẽ và tính giao điểm của (d) và (P) khi m = 0
b. CMR: (d) luôn cắt (P) với mọi m.

Trường THCS Tân Liên

13


BÀI 61

a/ Tính : A =
B=

8 − 60 − 8 + 60
4 + 15 − 4 − 15

b/ Giải pt : x + 1 = x − 1
BÀI 63 Cho (P) y = ax2 ; (D) y = – x + m
a)Tìm a biết (P) đi qua (2, –1) ; b)Tìm m để (D) tiếp xúc (P), tính tọa độ tiếp điểm.
c)Gọi B là giao điểm của (D) với Oy, C là điểm đối xứng của A qua Oy.
CMR: C ∈ (P) và ∆ABC vuông cân
BÀI 64 Chp pt: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2 = 0
a)Tìm m để pt có nghiệm
b)Tìm m để x1 – x2 = 4

BÀI 65 a/ Tìm a để A(2, –2) ∈ (P)
−9
b/ Gọi B∈ (P) có hoành độ âm và tung độ bằng
, viết pt đường thẳng AB.
2
c/ Viết pt đường thẳng (d) tiếp xúc (P) tại A. CMR: (d ) ⊥ AB.
x 2 48
x 4
+ 2 = 10  + ÷
BÀI 66 Giải pt:
3 x
3 x
BÀI 67 a/ Tính:

20 −

20
1
+ 3 − 0, 2
5
5

b/ Rút gọn:
A=

4x 2 − 12x + 9 + 2x − 1 với x <

BÀI 68 Biện luận số điểm chung của (P) y = −

2

2

x
và (d) y = x – m + 3
4

BÀI 69 Cho pt: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0
a. Tìm m để pt có 2 nghiệm thỏa: 3x1 – 4x2 = 11
b. CMR: pt không thể có 2 nghiệm dương
2
3
12
+
+
BÀI 70 Tính : a)
3 −1
3 − 2 3− 3
1
3
4
−
−
b)
; c)
11 − 2 30
7 − 2 10
8+4 3

57 − 40 2 − 57 + 40 2

 4

2 
5x 2
, A  − , 2 ÷ , B  , 4 ÷ , C (1, 5)
 5

5 
24
a. CMR: A, B, C thẳng hàng
b. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A, B, C. CMR: (d) tiếp xúc (P)

BÀI 71 Cho (P) y = −

BÀI 72Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 7 và tổng nghòch đảo bằng

7
12

BÀI 73 Cho 2 pt : x2 – x + m = 0 (1)
x2 – 3x + m = 0 (2)
Tìm m để pt (2) có một nghiệp khác không gấp 2 lần một nghiệm của pt(1).
m
x2
BÀI 74 Cho (D) y = mx − − 1 , (P) y =
2
2
a/ Tìm m để (D) tiếp xúc (P), Tính tọa độ tiếp điểm
b/ Vẽ và tính tọa độ giao điểm của (D) và (P) khi m = 3

BÀI 75 a/ Tính 17 − 3 32 + 17 + 3 32
b/ Rút gọn

25 − 10x + x 2 − x + 1 (với x > 5)

Trường THCS Tân Liên

14


BÀI 76 Cho pt: (m + 1)x2 – 2mx + m –2 = 0
a)Tìm m để pt có nghiệm là 2 + 1 , tính nghiệm còn lại
b)Tìm m để pt có nghiệm
BÀI 77 Cho (P) y = 2x2
a. Viết pt đường thẳng (d) đi qua (0, –2) và tiếp xúc (P).
b. Vẽ (d) và (P)
c. Tìm các điểm thuộc (P) cách đều 2 trục tọa độ.

(

)

2

 x−y
x − y + xy
x 3 − y3 
÷:
BÀI 78 Cho A = 
+

y−x ÷
 x− y
x+ y


a)Rút gọn A
b)CMR: A ≥ 0
x2
BÀI 79 Cho (P) y =
và (d) y = 2x –2
2
a. Vẽ (d) và (P)
b. Chứng tỏ rằng: (d) tiếp xúc (P). Tính tọa độ tiếp điểm M.
c. Viết pt đường thẳng (d’) đi qua M và vuông góc với (d).
d. Tính toạ độ giao điểm của(d’) và (P)
BÀI 80 Tính :
4
12 
 15
+
−
A= 
÷ 6 + 11
6 − 2 3− 6 
 6 +1
BÀI 81 Tìm k để pt : (x + 2) (4 – x) – k = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho x2 = 3x1
1 
x +1
 1
−

BÀI 82 Cho M = 
÷:
x −1  x +1 − 2 x
x− x
a. Rút gọn M
b. So sánh M và 1
−1 2
x và (d) y = – (m + 1) x + m2
BÀI 83 Cho (P) y =
2
a)Tìm m để (d) cắt (P)
b)Viết pt đường thẳng đi qua A(–1, 1) và tiếp xúc (P)
BÀI 84 Cho B = 16x +16 − 9x + 9 + 4x + 4 + x + 1

(

)

a) Tìm x để A có nghĩa ; b) Rút gọn B ; c) Tìm x sao cho B = 16 ; d) Tính B biết x = 8 + 4 5
BÀI 85: Cho A = x -

2x - 2 x
x x +1
+
+1
x −1
x - x +1

a) Tìm x để A có nghiệm . Rút gọn A

; b) Biết A = 2 ; A =

43
. Tìm x
3

c) Tính A biết x = 7 + 4 3 ; d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
x 3 − y3
x-y
−
BÀI 86 Cho N =
x − y x + y + xy
a)Tìm điều kiện để N có nghĩa
b) Rút gọn N ; c) Tính N . Biết y = 32 - 10 7 ; d) Tìm y Biết N = 4 + 2 3
BÀI 87 Giải phương trình :
a)

x - 2 + 2 x - 3 = 1 ; b) x 2 + 4x + 5 = 2 2x + 3 ; c)

d) 5 x -1 − 36x - 36 + 9x - 9 = 8x + 12 ; e) 4x4 +

Trường THCS Tân Liên

15

4x 2 − 12x + 9 + 1 = x
2 2
x –1=0
3

BÀI 88 Rút gọn các biểu thức : a) 11 - 2 10 − 13 − 2 30 − 3 ; c)
b)

5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3 ; d)

4+ 7 − 4− 7

3 − 5 ( 10 − 2 )(3 + 5 )

x2
(P) và y = x + m ( d)
4
a) Vẽ đồ thị của ( P) và ( d) khi m = 3 và tìm toạ độ giao điểm của chúng bằng phép tính .
b) Với giá trị nào của m thì ( d) không cắt (P ) ; ( d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt .
c) Tìm m để ( d) và ( P) tiếp xúc với nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
x2
d) Chứng tỏ đường thẳng x = 2 cắt y =
tại một điểm duy nhất . Xác định toạ độ giao điểm đó .
4
BÀI LÀM
d) Đường thẳng x = 2 song song với trục tung và cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ bằng 2
nên cắt
( P) tại một điểm duy nhất .
Khi x = 2 thì y = 1
Vậy toạ độ giao điểm N ( 2 ; 1)
BÀI 90 : Cho phương trình 2x2 – 10x + m – 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = - 4
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm bằng nhau . Tìm các nghiệm đó
BÀI LÀM

’
b) Δ = 0 hay 25 – 2( m – 1) = 0 suy ra m = 13,5 .
b
− 10 5
=−
=
x1 = x2 = −
2a
2.2 2
BÀI 91 : Quãng đường AB dài 214,5km. Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Mỗi giờ xe
thứ nhất đi hơn xe thứ hai 4km nên đến B trước xe thứ hai 1,5 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe .
BÀI LÀM
Gọi vận tốc xe thứ hai là x ( km/h ) thì vận tốc xe thứ nhất là : x + 4 ( km/h )
214 ,5
Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B :
(h)
x
214 ,5
Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B :
(h)
x+ 4
214 ,5 214 ,5
Theo bài ra ta có phương trình :
= 1,5 ⇔ x2 + 4x – 572 = 0
x+ 4
x
Vận tốc xe thứ nhất : 26 ( km/h ) ; Vận tốc xe thứ hai : 22 ( km/h )
BÀI 92 : Cho phương trình 3x2 – 4x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1 ; m = - 7 và m = - 4 .
b) x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho :

b1) x1 = 3x2 ; b2) x1 – x2 = 1
BÀI LÀM
b1) x1 + x2 = - b/a = - ( - 4/3) = 4/3 ; x1.x2 = c/a = m/3
Vì x1 = 3x2 nên 3x2 + x2 = 4/3 ⇒ x2 = 1/3 và x1 = 1
7

4
x1 =


x
+
x
=


6
2
b2 )  1
3 ⇔
suy ra m = 7/12
 x1 − x 2 = 1
x = 1
 2 6
BÀI 93 : Tính các kích thước của một hình chữ nhật có diện tích là 700 m2 và chu vi là 110 m .
Gọi x (m ) ; y (m ) là các kích thước của hình chữ nhật ( Điều kiện x > 0 ; y > 0 )
Trường THCS Tân Liên
16
BÀI 89 : Cho hai hàm số y =

Diện tích của hình chữ nhật : x.y = 700 . Chu vi của hình chữ nhật : ( x + y ).2 = 110 ⇒ x + y =
55
 x + y = 55
Ta có hệ phương trình : 
 x.y = 700
Vì x và y có tổng S = x + y = 55 và tích P = x.y = 700 nên x và y là hai nghiệm của phương
trình :
x2 – Sx + P = 0 hay x2 – 55x + 700 = 0
700
CÁCH 2 : Gọi x ( m) là chiều dài của hình chữ nhật thì chiều rộng là
x
700
Chu vi của hình chữ nhật là : ( x +
).2
x
700
Theo bài ra ta có phương trình : ( x +
).2 = 110
x
x2 – 55x + 700 = 0 ⇔ ( x – 35 )( x – 20 ) = 0
Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 20 (m ) và 35 (m )
BÀI 94 : Tính :
1
1
1
1
a)
+
; b)

−
;
10 − 2 12 10 + 2 12
5 − 3 7 5 + 63
2
2
4 − 15 4 + 15
−
; d)
−
7+ 5
7− 5
4 + 15 4 − 15
BÀI 95 : Giải phương trình và hệ phương trình :
a) 5x2 – 7x + 2 = 0 ; b) x2 – 3x – 10 = 9 ; c) x4 – 10x2 + 21 = 0
3x + 2y = 2
3x + y = 2
x − y = 2
 x + y = 14
d) 
; e) 
; g) 
; h) 
2x - y = 4
 x + 2y = 5
 xy = 48
(x - 2)( y - 7) = 4
BÀI 96: Cho đường thẳng y = ( 1 – 4n )x + n – 2 ( d) và ( P) : y = ax2
a) Tìm a Biết ( P) đi qua A( 2 ; - 1 ). Vẽ ( P) với a vừa tìm được .
b)Vẽ (d) khi n = - ½ ;

c) Tìm n để (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng 3/2
e)Tìm n để (d) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ bằng - 1/2
BÀI 97: Cho đường thẳng y = ( m – 2)x + n ( Với m ≠ 2 ) (d)
Tìm n và m trong các trường hợp sau
a)Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A( - 2 ; - 3 ) và B(3 ; 2)
b)(d ) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng 1 - 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng 2 + 2 .
c) (d) cắt đường thẳng – 2y + x – 3 = 0
d) (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1 ; e) (d) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0
BÀI 98 :Cho phương trình x2 + mx = 8 = 0 ( a)
a)Giải phương trình khi m = - 9 .b) x 1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ( a). Tìm m sao cho x 1
= x2 1
BÀI LÀM
 x1 + x 2 = − m

a) b) Ta có :  x1. x 2 = 8
Vì x1 = x22 nên x22 + x2 = - m và x22.x2 = 8 ⇒ x32 = 23 ⇒ x2 = 2
c)

x22 + x2 = - m ⇒ 22 +2 = - m ⇒ m = - 6
BÀI 99 : Tìm hai số có tổng bằng 26 và tổng các lập phương của chúng bằng 5096
Trường THCS Tân Liên
17


BÀI LÀM
Gọi hai số cần tìm là x và y . Theo bài ra ta cóhệ phương trình :
 x + y = 26
 x = 10
 x + y = 26

 x = 16
⇔ 
⇔
hoặc 
; x3 + y3 = ( x + y )3 – 3xy( x +
 3
3
y
=
16

 x.y = 160
 y = 10
 x + y = 5096
y).
BÀI 100 : Cho ( P ) : y = - 2x2 và ( d) : y = x – 3
a)Vẽ ( P) và (d ) trên cùng một hệ trục .
b)Viết p/t đường thẳng ( d1). Biết (d1) cắt (P) tại hai điểm M và N ; cắt trục hoành tại điểm có
hoanh độ là 2 và cắt trục tung tại một điểm có tung độ là – 4 .
c ) Tìm toạ độ giao điểm N và M bằng phép tính .
d) Viết phương trình đường thẳng ( d2) song song với (d1) vá tiếp xúc với (P )
b) Ta có : 0 = 2a + b và – 4 = 0.a = b ⇒ (d1) : y = 2x – 4 ; c) N( 1 ; -2) và M( - 2 ; - 8)
d) Ta có ( d1) : y = 2x – 4 . Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b ( d2 )
Để (d1) // ( d2 ) thì a = 2 và b ≠ - 4 .Ta có : y = 2x + b (d 2 ) . Phương trinh hoành độ giao điểm của
(P) và (d2) là : 2x2 + 2x + b = 0
Δ = 4 – 8b. Để (d2) tiếp xúc với (P) thì Δ = 0 tức là 4 – 8b = 0 suy ra b = 1/2 .Vậy ( d 2 ) : y = 2x +
1/2
BÀI 101 : Cho phương trình ( 2m – 1)x2 – 4mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 2
b) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có một nghiệm là 2 với mọi m .

c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m .
a) Điều kiện m ≠ 1/2
b) a = 2m – 1 ; b’ = - 2m ; c = 4
Δ’ = ( -2m)2 – 4( m – 1) = 4( m – 1)2
2m + 2( m - 1 )
2
∆ ' = 4 ( m - 1) = 2( m − 1) ; x1 =
= 2 . Vậy với m ≠ 1/2 thì phương trình có một
2m - 1
nghiệm là 2
c) Nếu x1 = m mà x1 = 2 nên m = 2 .
2
2
1 ± 17
Nếu x2 = m mà x 2 =
nên
=m ⇒m=
2m - 1
2m - 1
4
BÀI 102 :Tìm hai số có hiệu bằng 11 và tổng các bình phương của chúng bằng 3025.
BÀI LÀM
Gọi hai số cần tìm là x và y ( x > y ) . Theo bài ra ta có hệ phương trình :
 x - y = 11
 2
2
 x + y = 3025
Ta có : x2 + y2 = ( x – y)2 + 2xy ⇔ 3025 = 112 + 2xy ⇔ 2xy = 3025 – 121 = 2904 ⇔ xy =
1452
 x - y = 11

 x = 44
⇔ 
Ta có 
. Vậy hai số cần tìm là : 44 và 33 .
 x .y = 1452
 y = 33
BÀI 103 : Giải các phương trình sau :
a) 8x2 – x – 7 = 0 ; b) 6x2 + 13 x – 5 = 0 ; c) x2 – 6x – 16 = 0 ; d) x4 – 13x2 + 36 = 0
7
8
+
= 3 ( x1 = 9 ; x 2 = 3 )
e) 16x4 – 48x2 + 36 = 0 ; g)
x -2 x -5
BÀI 104 : Giải các hệ phương trinh sau :

Trường THCS Tân Liên

18


y
 2x
+
=3

 3 x - 2 y = 1
3x - 2y = 0
3x + 2y = 1
x -1 y + 2

a) 
; b) 
; c) 
; d) 
 x + y = 10
5x + 3y = − 4
 2 x + 3 y = 3
 3x − y = 7
 x - 1 y + 2
BÀI 105 : Thu gọn các biểu thức sau :
a)

(

)

3 5−2
15 − 12
1
2+ 3
−
=
−
= 3 −2− 3 = −2
5−2
2− 3
5−2
2− 3 2+ 3

(

 3−2
b) 
−
3
+
2


)

(

)(

)

3+2 
4 
÷. 3 −
÷= − 8
3 − 2 
3

(

c) 8 − 2 7 4 + 7

)(

)

7 − 1 ; d)

 14 − 7
15 − 5 
7− 5 
+
÷= − 2
1
−
2
1
−
3



(

)

23 + 7 −
23 − 7 = 2 23 − 8
BÀI 106 : Thực hiện phép tính :
a) 45 − 2 20 + 9 − 4 5

e)

b)

5−2 6 6 +2 6
+
; c) 11 + 4 7 − 11 − 4 7
3− 2
3+ 2
x 2 − 12x + 36
khi x = - 2
x-6

d) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức : 2x +

a) − 5 + 5 − 2 = - 2

; b) =

c) 11 + 4 7 − 11 − 4 7 =

(

3− 2

+

3− 2

( 2+ 7)

d) Điều kiện x ≠6 ; A = 2x +

)

BÀI LÀM
2

2

−

(

2 3

(

3+ 2

3+ 2
7 −2

)

2

)

= 3− 2 +2 3 =3 3− 2

= 2+ 7 − 7 +2 = 4

x- 6 2x + 1 neu x > 6
x 2 − 12x + 36
= 2x +
=
x-6
x - 6 2x - 1 neu x < 6

Vì x = - 2 < 6 ( Thỏa mãn điều kiện x < 6 ) nên A = 2x – 1 = 2.( -2) – 1 = - 5
1
2

2
BÀI 107 : Cho hàm số cho hàm số (P) : y = − x

a) Lập phương trình của đường thẳng (d) đi qua A(-2; - 2) và tiếp xúc với (P) .
b) Vẽ (d) và (P) trên cùng một hệ trục Oxy ; c) (d) cắt Oy tại B . Tính chu vi của tam giác
OAB
BÀI LÀM :
a)đường thẳng (d) cần tìm có dạng y = ax + b Vì A ( -2; -2 ) ∈ (d) nên – 2 = - 2a + b hay – 2a + b
= - 2 ⇒ b = 2a – 2 . Thay b = 2a – 2 vào y = ax + b ta được y = ax + 2a – 2 ( d)
1
2

2
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là − x = ax + 2a – 2 ⇔ x2 +2ax + 4a - 4 = 0

( a = 1 ; b = 2a ; c = 4a - 4 ) ; Δ = b2 - 4ac = (2a)2 – 4.1( 4a – 4) = 4a2 – 16a + 16
Để (d) tiếp xúc với (P) thì Δ = 0 tức là : 4a2 – 16a + 16 = 0 ⇔ 4(a2 – 4a + 4 ) = 0
⇔ ( a – 2 )2 = 0 ⇔ a – 2 = 0 ⇔ a = 2 . Ta có b = 2a – 2 = 2.2 – 2 = 2Vậy (d) ; y = 2x + 2

Trường THCS Tân Liên

19


b)

y

y = 2x + 2
B
0

-2

2

x

-2

1
2

y = − x2
BÀI 108 : Cho (P) y = x2 ; (d) y = 2x + m ; a)Vẽ và tính tọa độ giao điểm của (d) và (P)
khi m = 3
b)Biện luận theo m vò trí tương đối giữa (d) và (P) .

BÀI LÀM

y = x2
a) Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình 
 y = 2x +3

P/ t h. độ giao điểm x2 – 2x – 3 = 0 có dạng a – b + c = 1- (-2) +(-3) = 0 nên x1 = - 1 ;x2 = 3
b)Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (P) : x2 – 2x – m = 0
Δ = 4 + 4m
* Để (d) và (P)cắt nhau thì Δ > 0 tức là 4 + 4m > 0 ⇔ m > -1Vậy khi m > -1 thì (d) cắt (P) tại hai
điểm.
* Để (d) và (P)tiếp xúc với nhau thì Δ = 0 tức là 4 + 4m = 0 ⇔ m = -1.Vậy khi m = -1 thì (d) thì
tiếp xúc với (P)
* Để (d) và (P) khơng cắt nhau thì Δ < 0 tức là 4 + 4m < 0 ⇔ m < -1. Vậy khi m < - 1 thì(d) và
(P) khơng cắt nhau
Tính :

BÀI 109

)(

)

a)

(

2− 6

c)

(

9−4 5 − 9+4 5

2+ 3

BÀI LÀM: a)
= (1 − 3)
b)

(

2− 6

)

b)

)

d)

2

4

( 2 − 5)

2

−

( 2 + 5)

2

2 + 3 = (1 − 3) 2( 2 + 3 ) =

(

)

2

(

2

=

(

5 −2

)

= (1 − 3) 1 + 3 = 1 − 3 = −2

2

4

Trường THCS Tân Liên

4

−

)

)(

( 2 + 5)

2

3
1
+
− 2 18 + 3 − 2 2
2
2

4 + 2 3 = (1 − 3) 1 + 3

4

( 2 − 5)

(

;

2

)

2

-

(

5+2

20

)

2

=

2
2
2 5 + 4−2 5 +4
−
=
=8
5−4
5−2

5+2


c)

(

9−4 5 − 9+4 5

)

2

=9−4 5 −2

( 9− 4 5) ( 9 + 4 5) +9 + 4

(

5 = 18 − 2 ( 9 − 80 ) = 80

d)

)

2
3
1
3 2
2

+
− 2 18 + 3 − 2 2 =
+
−6 2 +
2 − 1 = 2 2 − 6 2 + 2 − 1 = −3 2 − 1
2
2
2
2
BÀI 110 : Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông . Biết tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 14 m và
diện tích tam giác là 24m2 .
BÀI LÀM
Gọi x và y là độ dài hai cạnh góc vuông . Theo bài ra ta có hệ phương trình :

 x + y = 14

1
 2 x. y = 24

( Điều kiện x > 0 ; y > 0 )

x − y = 2

1
 2 x. y = 24

( Điều kiện x > y > 0 )

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông . Biết hiệu độ dài hai cạnh góc vuông là 2 m và diện tích

tam giác là 24m2 .
BÀI LÀM

BÀI 111 : :Trong một buổi lao động trồng cây. Có 15 Học sinh Nam và Nữ đã trồng được tất cả 180
cây . Biết rằng số cây các bạn Nam trồng được bằng số cây các bạn Nữ trồng và mỗi bạn Nam đã
trồng được nhiều hơn mỗi bạn Nữ 5 cây .Tính số số học sinh Nam và Nữ .
Gọi x là số học sinh Nam thì số học sinh Nữ là 15 – x ( Điều kiện x nguyên ; dương và x< 15 )
Tổng số cây các bạn Nam trồng bằng tổng số cây các bạn Nữ trồng và bằng 180 : 2 = 90 ( cây )

90
90
( Cây ) .Mỗi bạn Nữ đã trồng :
( Cây )
15 − x
x
90
90
Theo bài ra ta có phương trình :
=5
x 15 − x
Mỗi bạn Nam đã trồng :

x2 – 51x = 270 = 0 ⇒ ( x – 45)( x – 6 ) = 0
Vậy có 6 Học sinh Nam và 9 Học sinh Nữ
 14 + 7
3 
1
1
−
:

;
b)
7
2
10
−
8
−
2
15
.
BÀI 112 : Tính : a) 
÷
2 +1
3÷
3+ 2

 7+ 3
3
3 3 −1 3 3 +1
8+2 2 2+3 2
2
−
−
+
c)
; d)
; e) 12 − 4 − 2 3 −
3
3− 3 3+ 3

3− 2
2
1− 2
BÀI LÀM
 7 2 +1

 14 + 7
3 
1
1

:
−
:
=
−
3
= 7− 3
7+ 3 =7–3=4
a) 
÷
÷


2
+
1
3
7
+

3
7
+
3
2
+
1





)

(

(

b) Ta có
Vậy
c)

(

7 - 2 10 − 8 − 2 15 =

)

7 - 2 10 − 8 − 2 15 .

(

)(

(

)

(

)

(

5− 2

)

2

−

(

1
3− 2
=
=
3+ 2
3+ 2

) (
)(

)(

5− 3

(
(
)

)

2

)(

)

= 5− 2− 5+ 3= 3− 2

)(
2) (

) =5−2
2)

3− 2

3− 2

3−

3+

6

3 3 −1 3 3 +1 3 3 −1 3 + 3 − 3 3 +1 3 − 3
9 3 + 9 − 3 − 3 − 9 3 + 9 − 3 + 3 12
−
=
=
= =2
9−3
6
3− 3 3+ 3
3− 3 3+ 3

Trường THCS Tân Liên

(

)

21


d)

(

)(
)(

)

(

)

(

)

8+ 2 2 3+ 2
2 2+3 2
2 1+ 2
8+2 2 2+3 2
2
−
+
=
−
+
=
3− 2
2
1− 2
2. 2

3− 2 3+ 2
1− 2 1+ 2

(

)

(

)(

)

24 + 8 2 + 6 2 + 4 2 2 + 6
2 + 4 28 + 14 2
−
+
=
− 2 − 3 − 2 − 4 = 4 + 2 2 − 2 2 − 4 − 3 = −3
9−2
2
1− 2
7
2
3
=2 3−
3 −1 − 3 = 2 3 − 3 +1 − 3 = 1
e) 12 − 4 − 2 3 −
3
BÀI 113 Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h

thì đến nơi chậm 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tìm quãng đường
AB và thời gian dự định đi lúc đầu
BÀI LÀM
Giải
Gọi x (km ) là quãng đường AB và y (h) là thời gian dự định lúc đầu (Điều kiện : x >0 ; y > 0 )
* Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì thời gian đi là y + 2 ,do đó ta có phương trình x = 35( y + 2)(1)
* Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì thời gian đi là y – 1 ,do đó ta có phưong trình x = 50( y – 1)(2)
=

(

Từ

(1)

và

(2)

)

ta

có

hệ

phương

trình:

 x = 35(y + 2)
 x - 35y = 70
 x - 35y = 70
x = 35y + 70
x = 350
⇔
⇔
⇔
⇔

 x = 50( y -1 )
 x - 50y = - 50
-x + 50y = 50
15y = 120
y = 8
Vậy quãng đường AB dài 350km và thời gian dự định là 8 giờ
BÀI 114 :Một chiếc thuyền xuôi , ngược trên khúc sông dài 40 km hết 4giờ 30phút. Cho biết thời gian
thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km .Hãy tính vận tốc của dòng nuớc .
9
BÀI LÀM
( 4giờ 30phút = giờ )
2
Gọi vận tốc của dòng nước là x (km/h) và vận tốc của thuyền khi nước yên lặng là y (km/h )
( Điều kiện y > x > 0 )
V.tốc của thuyền khi xuôi dòng là :x + y (km/h)thì v. tốc của thuyền khi ngược dòng là:y - x (km/h )
5
4
*Thời gian xuôi dòng 5km là
( giờ ) . Thời gian ngược dòng 4km là

( giờ )
x+y
y-x
5
4
Theo bài ra ta có phương trình :
=
(1)
x+y
y-x
40
40
*Thời gian xuôi dòng 40km là
( giờ ) .Thời gian ngược dòng 40km là
( giờ )
x+y
y-x
40
40
9
Theo bài ra ta có phương trình
+
=
(2)
x+y
y-x
2
4
 5
=

x + y y - x
x = 2

⇔
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
Vậy vận tốc của dòng nước là
 y = 18
 40 + 40 = 9
 x + y y - x 2
2(km/h) .

BÀI 115 : Trong một phòng họp có 80 người, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế . Nếu ta
bớt đi 2dãy ghế thì mỗi dãy phải xếp thêm 2 người mới đủ chỗ . Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và
mỗi dãy ghế đuợc xếp bao nhiêu người ngồi ?
BÀI LÀM
Gọi x là số dãy ghế lúc đầu thì số dãy ghế lúc sau là x – 2 ( Điều kiện x nguyên ; x > 2 )

80
( người )
x
80
Số người ngồi trên một dãy ghế lúc sau :
( người )
x-2
Số người ngồi trên một dãy ghế lúc đầu :

Trường THCS Tân Liên

22

Theo bài ra ta có phương trình :

80
80
= 2 ⇒ x2- 2x – 80 = 0 ⇒ ( x – 10)( x + 8) = 0
x-2 x

Vậy lúc đầu có 10 dãy ghế và mỗi dãy ngồi 80 : 10 = 8 ( người )
BÀI 116 : Cho phương trình 3x2 – 5x – 7 = 0 . Khơng giải phương trình hãy tính :
x1 x 2
1
1
1
1
2
2
+
; e) 3 + 3
a) x 1 + x 2 ; b ) 2 + 2 ; c) x31 + x32 ; d)
x1 x2
x 2 x1
x1 x2
BÀI LÀM
Vì a.c = 3 .(-7) = - 21 < 0 nên phương trình đã cho ln có hai nghiệm x1 và x2 .Theo định lý Viète ,
5
7
ta có x1 + x2 = và x1. x2 = −
3
3

1
1
67
67
440
2
2
a) x 1 + x 2 =
; b) 2 + 2 =
; c) x31 + x32 = ( x1 + x2 )3 - 3 x1.x2( x1 + x2 ) =
x 1 x 2 49
9
27
BÀI 117 Cho phương trình x2 -2( m – 3 )x – m + 2 = 0 (1 )
d) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
e) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 2 .Tính nghiệm còn lại .
f) Tìm m để Δ’ = 7 ; d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu .
e)Định m để phương trình có hai nghiệm âm .
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau . Tính hai nghiệm đó .
BÀI LÀM
a) Δ =  −2 ( m- 3)  − 4.1(− m + 2) = 4( m2 – 6m + 9) + 4m – 8 = 4m2 – 24m + 36 + 4m – 8 =
5
3
= 4m2 – 20m + 28 = 4( m2 – 5m + 7 ) = 4[( m - )2 + ] > 0 . Vậy phương trình ln ln có hai
2
4
nghiệm phân biệt với mọi m .
18
b) Khi x = 2 Ta có 4 – 4m + 12 – m + 2 = 0 ⇔ 5m = 18 ⇔ m =
5

18
3
2
4
Ta có x1 + x2 = 2( m – 3 ) ⇔ 2 + x2 = 2(
- 3) ⇔ x2 = 2( - 1) = 2.(- ) = 5
5
5
5
c) Ta có Δ’ = m2 – 5m + 7 mà Δ’ = 7 nên m2 – 5m + 7 = 7 ⇔ m2 – 5m = 0 ⇔ m1 = 0 ; m2 = 5
d) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 ⇔ - m + 2 < 0 ⇔ m > 2
∆ ' ≥ 0
∆ ' ≥ 0
∆ ' ≥ 0



e) (1) có hai nghiệm âm ⇔  P > 0 ⇔ - m + 2 > 0 ⇔ m < 2 ⇔ m < 2
S < 0
2(m - 3 ) < 0
m < 3



2

Vậy phương trình có hai nghiệm âm khi m < 2 .
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau . Tính hai nghiệm đó .
Phương trình có hai nghiệm đối nhau ⇔ x1 + x2 = 0 .Ta có x1 + x2 = 2( m – 3 ) suy ra ( m – 3 ) = 0 ⇔ m
– 3 = 0 ⇔ m = 3 .Thay m = 3 vào x2 -2( m – 3 )x – m + 2 = 0 (1 ) ta được x2 – 3 + 2 = 0

⇔ x2 = 1 ⇒ x1 = 1 ; x2 = - 1
BÀI 118 Cho (P) y = ax2 và A(–2, –1); a)Tìm a để A ∈ (P)
b)Cho B ∈ (P), có h. độ bằng 4. Viết ph. trình (dAB); c)Viết ptdt û (d) // AB và tiếp xúc (P)
x2
BÀI 119: Cho hàm số y = −
(P)
4

c) Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A ( 2; -1) và tiếp xúc với ( P )
d) Vẽ ( P ) và ( d ) vừa tìm được ở câu a)
BÀI LÀM
b) Phương trình đường thẳng ( d ) cần tìm có dạng y = ax + b ( d ). Vì A ( 2; -1) thuộc ( d )
nên :
-1 = 2a + b ⇒ b = -2a – 1 . Thay b = -2a – 1 vào y = ax + b ( d ) ta được y = ax – 2a – 1 ( d )
Trường THCS Tân Liên

23


Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và ( P ) là −

x2
= ax – 2a – 1 ⇔ x2 + 4ax – 8a – 4 =
4

0
Δ’ = b’2 – ac = 4a2 + 8a + 4 . Để (P) tiếp xúc với (d) thì Δ’ = 0 Tức là 4a2 + 8a + 4 = 0 ⇔
4( a + 1)2 = 0 ⇔ a + 1 = 0 ⇔ a = - 1 ⇒ b = -2 (-1) – 1 = 1.Vậy (d) : y = - x + 1
BÀI 120 Cho phương trình x2 – 2mx + 4m – 4 = 0 (1 )
c) C/ minh phương trình ( 1) luôn luôn có nghiệm với mọi số thực m .

d) Giải phương trình (1) khi m = 3
BÀI 121 Rút gọn :
a) 12 − 6 3 . 3 + 3 =

( 3− 3)

3− 3

3− 3

2

. 3 + 3 = 3 − 3. 3 + 3 =

5
b) 20 − 45 + 15 + 10 = 2 5 − 3 5 +
3+ 2

(

3+ 2
3+ 2

) =−

( 3− 3) ( 3+ 3) =

9−3 = 6

5+ 5 =0

II. PHẦN HÌNH HỌC
BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 ; AC = 4, AH là đường cao ( H thuộc BC ). Gọi I là
điểm thuộc AB sao cho AI = 2BI, CI cắt AH tại E . Gọi K là hình chiếu của I trên BC
a) Chứng minh tứ giác KIAC nội tiếp ; b)Tính BH và BK .
c)Tính CI và CE . d) VẽCQ vuông góc với BQ tại Q . Chứng minh tứ giác BQAC nội tiếp

AB2 9
=
b) AB = BC . BH ⇒ BH =
AC 5
BK BI
IK
=
=
ΔBKI ∽ ΔBHA ⇒
( 1)
BH BA HA
2

A

I
B

⇒

E
K

Ta cóAB = AI + IB = 2BI + BI = 3BI ⇒
C

(2)

H

Từ ( 1) và ( 2) suy ra :

BK 1
1
1 9 3
= ⇒ BK = .BH = . =
BH 3
3
3 5 5

c)Tính BC = 5 .Ta có CK = CB – BK = 5 Ta có

3 22
=
5
5

1
1
1
12
1
1 12 4

=
+
⇒ AH = ; IK = .AH = . =
2
2
2
AH
AB
AC
5
3
3 5 5
2

2

 4   22 
∆IKC : CI = KI + KC =  ÷ +  ÷ = 20 ⇒ CI = 2 5
5  5 
144
2
AH
16
= 25 =
Ta lại có : AH2 = BH. HC ⇒ HC =
9
BH
5
5
CE CH

CI.CH 16 5
ΔCHE ∽ ΔCKI ⇒
=
⇒ EC =
=
CI CK
CK
11
2

2

2

BÀI 2 : Tam giác ACB vuông tại A; đương phân giác AD ( D thuộc BC ) Biết
DB =

15
20
; CD =
7
7

Trường THCS Tân Liên

24

BI 1
=
AB 3

a) Tính các cạnh góc vuông .b)Tính đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông .
BÀI LÀM

Vì AD là phân giác cua góc A cùa ΔABC nên :
AB AC
AB AC
AB AC
=
⇒
=
⇒
=
⇒
15
20
BD CD
3
4
7
7

A

2

B

C

H D

Mặt khác BC = BD + DC =

2

AB2 AC 2 AB2 + AC 2
 AB   AC 
=
⇒
=
=
(1)

÷ 
÷
9
16
25
 3   4 

15 20
+
= 5 và AB2 + AC2 = BC2 = 52 = 25 ( 2)
7
7

Từ (1) và (2) suy ra :

AB2 AC 2 AB2 + AC 2 25
=
=
=
=1
9
16
25
25
AB = 3 ; AC = 4
b)

1
1
1
1 1 16 + 9
12
=
+
=
⇒ AH =
= +
2
2
2
AH
AB
AC
9 16 6.16
5

BÀI 3: Chứng minh :

a) cos 2α ( tgα + 2 ) ( 2tgα + 1) − 5sinαcosα = 2

b) ( 1 + sinα ) ( tgα + cotgα ) ( 1 − sinα ) = cotgα
BÀI LÀM :

 sinα
 sinα

a) cos 2α ( tgα + 2 ) ( 2tgα + 1) − 5sinαcosα = cos 2α 
+ 2 ÷ 2.
+ 1÷− 5sinαcosα =
 cosα
 cosα

 sinα + 2cosα  2sinα + cosα 
2
2
= cos 2 α 
÷
÷− 5sinαcosα = 2sinα + 2cos α + 5sinαcosα − 5sinαcosα
cosα
cosα



= 2(sinα 2 + cos 2α) = 2
=

 sin 2α + cos 2 α 
b) ( 1 + sinα ) ( tgα + cotgα ) ( 1 − sinα ) = ( 1 + sinα ) ( 1 − sinα ) ( tgα + cotgα ) = (1 − sinα 2 ) 
÷
 cosα.sinα 
1
cosα
=
= cotgα
cosα.sinα sinα
BÀI 4: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
2
2
sinx + cosx ) + ( sinx − cosx ) + 2
(
A=
cos 4 x − sin 4 x + 2sin 2 x + 1
= cos 2 α.

Trường THCS Tân Liên

25