MỘT số QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN PHÂN THỨ và ỨNG DỤNG TRONG tài CHÍNH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (458.96 KB, 95 trang )

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------

NGUYỄN TIẾN DŨNG

mét sè qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

ph©n thø vµ øng dông trong tµi chÝnh

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

NGUYỄN TIẾN DŨNG

mét sè qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn

ph©n thø vµ øng dông trong tµi chÝnh
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:
62 46 15 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. TRẦN HÙNG THAO

Hµ Néi - 2011

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Tiến Dũng

i

Lời cảm ơn
Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS.
Trần Hùng Thao, người Thày đã và đang hướng dẫn, đào tạo tôi nghiên
cứu khoa học rất nhiệt tình, giúp tôi ngày càng có thêm niềm say mê
nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo nhiều điều kiện thuận lợi giúp tôi
hoàn thành bản luận án này.
Tiếp theo tôi muốn bày tỏ những lời cảm ơn tới các thành viên
trong Bộ môn Xác suất Thống kê đã thường xuyên giúp tôi trong việc
trau dồi, mở rộng thêm kiến thức khoa học. Đặc biệt tôi muốn cảm ơn
GS.TS. Nguyễn Văn Hữu, người đã cho tôi tham gia xê mi na Toán tài
chính của ông và luôn cho tôi những lời nhận xét quý báu.
Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đại
học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên,

Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng sau đại học đã tạo những
điều kiện để tôi nghiên cứu tốt hơn và giúp tôi hoàn thành thủ tục bảo
vệ luận án.
Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn sâu sắc của mình đến gia đình,
họ hàng, bạn bè thân thiết, những người đã rất hiểu và luôn đứng bên
cổ vũ tôi.
Hà nội, 03/2011
NCS: Nguyễn Tiến Dũng.

ii

Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Bảng ký hiệu

vi

Mở đầu

1

1 Chuyển động Brown phân thứ

5

1.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Tính chất nhớ lâu của fBm . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Biểu diễn Volterra của fBm . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo . . . . . .

11

1.4.1

Tích phân phân thứ tất định . . . . . . . . . . . .

11

1.4.2

Tích phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . .

15

2 Phương pháp xấp xỉ semimartingale

17

2.1 Các kết quả xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2 Tích phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1

Định nghĩa tích phân . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.2

Một lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích . . . .

25

2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . .

26

2.3.1

Các quá trình kiểu Ornstein-Uhlenbeck phân thứ
iii

27

2.3.2

Các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ
với hệ số dịch chuyển đa thức . . . . . . . . . . .

2.3.3

32

Các quá trình hồi phục trung bình hình học phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.4 Lọc tuyến tính ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . .

46

3 Các ứng dụng trong Tài chính

49

3.1 Mô hình quản lý tài sản và nợ trong bảo hiểm . . . . . .

49

3.2 Mô hình Black-Scholes phân thứ . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2.1

Mở rộng kết quả xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.2.2

Mô hình Black-Scholes phân thứ xấp xỉ . . . . . .

59

Kết luận

68

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án

70

Tài liệu tham khảo

71

Phụ lục

77

A Tính toán Malliavin

77

A.1 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô . . . . . . . . . . . . .

77

A.1.1 Tích phân Itô lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

A.1.2 Khai triển nhiễu loạn Wiener-Itô . . . . . . . . .

79

A.2 Tích phân Skorohod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

A.2.1 Tích phân Skorohod . . . . . . . . . . . . . . . .

80

A.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Skorohod . .

82

A.2.3 Tích phân Skorohod là một mở rộng của tích phân
Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

A.3 Đạo hàm Malliavin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

A.3.1 Tính toán đạo hàm Malliavin . . . . . . . . . . .

84

iv

A.3.2 Đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod . . . .
B Bổ đề Gronwall

85
87

v

Bảng ký hiệu
h.c.c

sự hội hầu chắc chắn

L2 (Ω)

Không gian các biến ngẫu nhiên bình phương
khả tích

∥.∥

Chuẩn trong không gian L2 (Ω)

Γ(α)

Hàm Gamma

N (0, 1)

Biến ngẫu nhiên chuẩn tiêu chuẩn

P

−
→
2

L (Ω)

sự hội tụ theo xác suất

−−−→

sự hội tụ trong L2 (Ω)

ucp

hội tụ đều theo xác suất

C λ [a, b]

Không gian các quá trình ngẫu nhiên λ-H¨older

liên tục h.c.c trên đoạn [a, b]
∩
−
C λ [a, b]
C µ [a, b]
0<µ<λ

vi

Mở đầu
Trong nhiều thập kỷ qua lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên và
phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Wiener đã có những phát
triển rực rỡ trong cả lý thuyết lẫn thực hành. Gần đây, người ta bắt đầu
khám phá ra rằng lý thuyết hệ động lực ngẫu nhiên với nhiễu Wiener
(hay tổng quát hơn là nhiễu martingale hoặc nhiễu có tính chất Markov)

là không đủ để mô tả nhiều bài toán thực tiễn trong viễn thông, định
giá tài sản hay bất kỳ chủ thể nào có tính chất "nhớ lâu". Và nhu cầu tự
nhiên nảy sinh là cần tìm các quá trình ngẫu nhiên thay thế cho nhiễu
Wiener để khắc phục điều đó. Chuyển động Brown phân thứ (fBm) là
một trong các quá trình ngẫu nhiên như vậy.
Mặc dù fBm được đề cập đến bởi A. N. Kolmogorv [33] từ những
năm 1940 nhưng phải đến năm 1968, sau bài báo của Madelbrot về biểu
diễn hiển của fBm và các áp dụng của nó [38], fBm mới dần bắt đầu
thu hút được các tác giả khác quan tâm nghiên cứu. Khó khăn chính
trong việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên đối với fBm là bởi vì fBm
không phải là một semimartingale hay là một quá trình Markov. Do đó
các tính toán ngẫu nhiên Itô cổ điển không thể áp dụng được và ta cần
xây dựng hẳn một lý thuyết mới cho hệ động lực ngẫu nhiên điều khiển
bởi fBm.
Trong khoảng 16 năm trở lại đây, tức là bắt đầu từ những năm
1995, tính toán ngẫu nhiên đối với fBm mới đạt được các phát triển rực
rỡ. Một loạt các bài báo được xuất bản nhằm giải quyết các bài toán
cơ bản của tính toán ngẫu nhiên: xây dựng định nghĩa tích phân ngẫu
1

nhiên phân thứ, công thức Itô phân thứ, sự tồn tại và tính duy nhất
nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ, bài toán lọc tối
ưu, các kết luận thống kê về các quá trình phân thứ, ...vv. Các hướng
nghiên cứu chính có thể tóm tắt như sau:
¨ unel (1995,
(i) Phương pháp tính toán Malliavin: Decreusefond & Ust¨
1999), Coutin & Decreusefond (1999), Alos, Mazet & Nualart (1999,
2000)...vv. Bài toán tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình
vi phân ngẫu nhiên phân thứ vẫn mở, ngay cả đối với dạng tuyến

tính đơn giản nhất.
(ii) Phương pháp tính toán Wick: Duncan, Hu & Pasik-Duncan (2000)
đã sử dụng tích Wick thay cho tích thông thường trong tổng Riemann khi định nghĩa tích phân và khi H =

1
2

họ nhận được tích

phân Itô cổ điển. Có thể nói đây là định nghĩa thành công nhất
theo nghĩa mở rộng tích phân Itô cổ điển, tuy nhiên hướng nghiên
cứu này ít được sử dụng trong các bài toán ứng dụng bởi công thức
định nghĩa tích phân không phù hợp với ý nghĩa ứng dụng trong tài
chính (Bjork & Hult (2005)).
(iii) Phương pháp tính toán theo quỹ đạo: Lyons (1994) sử dụng phương
pháp "phân tích quỹ đạo thô" để xây dựng tích phân và chứng minh
được sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu
nhiên bằng sơ đồ lặp Picard. Z¨ahle (1998, 1999) sử dụng các tính
toán phân thứ tất định để mở rộng tích phân Lebesgue-Stieltjes cổ
điển và áp dụng tới fBm, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình vi phân ngẫu nhiên được chứng minh bởi Nualart & Ră¸scanu
(2002) cho H > 12 .
Về phương diện ứng dụng mà nổi bật là ứng dụng trong Tài chính,
fBm là một công cụ rất phù hợp để mô tả diễn biến của các quá trình
giá phái sinh có tính chất "nhớ lâu". Giữa một số lượng lớn các bài
báo đã xuất bản, có thể kể đến các bài báo nổi bật của Rogers (1997),
2

Comte & Renault (1998), Cheridito (2001, 2003), Hu, Øksendal & Sulem

(2003), Biagini et al. (2002)...vv. Đặc biệt là quyển sách của Doukhan,
Oppenheim & Taqqu (2003) cho một tổng hợp đầy đủ về lý thuyết và
ứng dụng của các quá trình nhớ lâu.
Vào năm 2003, một phương pháp xấp xỉ fBm bởi các semimartingale trong không gian L2 (Ω) được đề xuất bởi T. H. Thao đã được vận
dụng bước đầu vào tính toán ngẫu nhiên phân thứ. Mục đích của Luận
án này là nhằm phát triển phương pháp xấp xỉ ấy. Ưu điểm của phương
pháp này là thay vì phải xây dựng một lý thuyết mới cho tính toán ngẫu
nhiên đối với fBm, chúng ta vẫn sử dụng được các tính toán ngẫu nhiên
cổ điển đã biết (Itô, Skorohod). Từ đó mở ra khả năng nghiên cứu được
các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ, đặc biệt chúng tôi tìm
được công thức định giá quyền chọn mua phân thứ kiểu châu Âu trong
khi nhiều phương pháp khác là chưa làm được.
Luận án gồm ba chương và được cấu trúc như sau:
Trong Chương 1, sau khi giới thiệu về fBm: định nghĩa và các tính
chất của nó, chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn tích phân ngẫu nhiên
phân thứ giới thiệu bởi Z¨ahle, kiểu định nghĩa tích phân được sử dụng
trong Chương 3 của Luận án này.
Đóng góp chính của Luận án được trình bày ở Chương 2 và Chương
3. Trong Chương 2, đầu tiên chúng tôi nhắc lại kết quả đã biết về xấp
xỉ semimartingale của fBm và một định nghĩa cho tích phân ngẫu nhiên
phân thứ như là giới hạn trong L2 (Ω) của tích phân đối với semimartingale. Sau đó, một vài lớp các quá trình ngẫu nhiên khả tích được đưa
ra, chúng tôi cũng chứng minh rằng hai kiểu định nghĩa tích phân ngẫu
nhiên phân thứ là trùng nhau đối với một lớp các quá trình ngẫu nhiên
phù hợp. Trên cơ sở đó chúng tôi nghiên cứu bài toán tồn tại và duy nhất
nghiệm cho một vài lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ
có ứng dụng quan trọng trong thực hành. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
trong trường hợp tổng quát vẫn là một bài toán mở. Trong chương này,
3

chúng tôi cũng nghiên cứu bài toán lọc cho một hệ động lực ngẫu nhiên
phân thứ tuyến tính.
Chương 3 trình bày về các ứng dụng của các quá trình phân thứ
trong tài chính và bảo hiểm: Đầu tiên chúng tôi nghiên cứu bài toán
đánh giá xác suất rủi ro trong mô hình quản lý tài sản và nợ của một
ngân hàng hoặc một công ty bảo hiểm. Sau đó chúng tôi nghiên cứu mô
hình Black-Scholes phân thứ trong Toán tài chính, mà khó khăn chính
như đã chỉ ra bởi Shiryayev [56] rằng mô hình này thừa nhận cơ hội có
độ chênh thị giá. Cheridito [11] đã vượt qua khó khăn này bằng cách
xấp xỉ fBm bởi các martingale nhưng kết quả chỉ đúng khi H > 34 . Dựa
vào xấp xỉ semimartingale của fBm, chúng tôi chứng minh rằng mô hình
Black-Scholes xấp xỉ là không có độ chênh thị giá, từ đó các kết quả của
Cheridito được mở rộng cho mọi tham số H > 12 .
Cuối cùng, trong phần phụ lục chúng tôi giới thiệu sơ lược về tính
toán Malliavin và nhắc lại một vài dạng của Bổ đề Gronwall.

4

Chương 1
Chuyển động Brown phân thứ
Trong Chương này sau khi trình bày về định nghĩa và các tính chất
quan trọng của chuyển động Brown phân thứ, chúng tôi nhắc lại ngắn
gọn một định nghĩa tích phân ngẫu nhiên phân thứ được xây dựng bởi
Z¨ahle.

1.1

Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa 1.1. Chuyển động Brown phân thứ (sẽ viết tắt là fBm, tức là
fractional Brownian motion) với chỉ số Hurst H ∈ (0, 1) là một quá trình
Gauss quy tâm {WtH , t ≥ 0} với hàm tương quan RH (t, s) = E[WtH WsH ]
cho bởi
1
RH (t, s) = (t2H + s2H − |t − s|2H ) , t, s ≥ 0 .
2
Đặc biệt, khi H =

1
2

1

thì W 2 là một chuyển động Brown.

Mệnh đề 1.1. (Tính chất bất biến hình học của fBm)
1. Tính thuần nhất theo thời gian: Cố định s > 0, quá trình ngẫu
H
nhiên {Wt+s
− WsH , t ≥ 0} là một fBm với tham số H.

2. Tính đối xứng: {−WtH , t ≥ 0} là một fBm với tham số H.
3. Cố định c > 0, cH W tH là một fBm với tham số H.
c

5

4. Quá trình ngẫu nhiên X định nghĩa bởi

{
0
khi t = 0;
Xt =
t2H W 1H khi t > 0
t

là một fBm với tham số H.
Mệnh đề 1.2. Cho H ∈ (0, 1), khi đó
(i) fBm là một quá trình H-tự đồng dạng, tức là với mọi a ∈ R+ ta có
Luật(WatH , t ≥ 0) = aH Luật(WtH , t ≥ 0).
(ii) fBm là một quá trình có số gia dừng, tức là với mọi h ≥ 0
H
Luật(Wt+h
− WhH , t ≥ 0) = Luật(WtH , t ≥ 0).

Chứng minh của hai Mệnh đề trên có thể tìm thấy trong [14].
Mệnh đề 1.3. Cho H ∈ (0, 1), các quỹ đạo của fBm là α-H¨older liên tục
h.c.c với 0 < α < H.
Chứng minh. Bởi vì fBm là một quá trình Gauss nên ta dễ dàng tính
được
E|WtH − WsH |p =

2p/2 p + 1
Γ(
)|t − s|pH .
1/2
2
π

∑

|Xti+1 − Xti |p

i=0
π
và Vp,T (X) := sup Vp,T
(X) được gọi là biến phân bậc p của X trên đoạn
|π|

[0, T ].
6

Mệnh đề 1.4. Cho 0 < H < 1 và cố định T > 0. Khi đó
(i) W H có biến phân vô hạn trên đoạn [0, T ],
(ii) W H có biến phân bậc p hữu hạn trên đoạn [0, T ] với mọi p >

1
H.

Hơn nữa, tồn tại hằng số ε = εp > 0 và biến ngẫu nhiên dương K(ω)
thỏa mãn
π
Vp,T
(X) ≤ K(ω)|π|ε , h.c.c.

Chứng minh. (i) Ta ký hiệu {πn } là dãy các phân hoạch của đoạn [0, T ]
thỏa mãn πn ⊂ πn+1 , tức là dãy các phân hoạch được làm mịn dần. Ta
π

πn
có V1,T
(W H ) ≤ V1,Tn+1 (W H ). Do đó, theo định lý hội tụ đơn điệu và hệ

thức (1.1) ta có
πn
πn
E[ lim V1,T
(W H )] = lim E[V1,T
(W H )]
n→∞
n→∞
]
[( )1/2
2
T H (n − 1)1−H = ∞.
= lim
n→∞
πn

Đẳng thức trên chứng tỏ V1,T (W H ) là vô hạn trên một tập có độ đo
dương.
(ii) Khi p >

1
H

: bởi vì các quỹ đạo của W H là λ-H¨older liên tục với mọi

λ < H nên nếu ta chọn H > λ >
dương C(ω) thỏa mãn
n−1
∑

|WtHi+1

−

WtHi |p

1
p

thì tồn tại một biến ngẫu nhiên

n−1
∑
≤ C(ω)
(ti+1 − ti )pλ ≤ C(ω)T |π|pλ−1 := K(ω)|π|ε .

i=0

i=0

Mệnh đề được chứng minh xong.
Mệnh đề 1.5. Khi H ̸= 12 , fBm, W H , không là một semimartingale.
Chứng minh. Đầu tiên ta nhắc lại từ Mục 2.6 trong [41] rằng, nếu X là
π
một semimartingale liên tục thì giới hạn lim V2,T

(X) tồn tại theo xác
|π|→0

suất và ký hiệu bởi
π
[X]T := lim V2,T
(X).
|π|→0

7

Nếu [X]T là đồng nhất không thì semimartingale X có biến phân hữu
hạn.
1
2

Trường hợp H >

: Giả sử rằng W H là một semimartingale, thế

thì từ Mệnh đề 1.4 ta có
π
lim V2,T
(W H ) = 0 , h.c.c

|π|→0

và do đó [X]T đồng nhất không theo xác suất. Điều này mâu thuẫn với
tính chất biến phân vô hạn của fBm.

1
2

Trường hợp H >

: Xét phân hoạch π : 0 <

T
n

<

2T
n

< ... < T của

đoạn [0, T ]. Ta vẫn giả sử rằng W H là một semimartingale, thế thì
lim

n−1
∑

n→∞

H
H 2
|W (k+1)T
− W kT
| = [W H ]T

n

n

i=0

theo xác suất. Do đó ta có thể chọn α thỏa mãn 2H + α < 1 và
−α

lim n

n→∞

n−1
∑

H
H 2
|W (k+1)T
− W kT
| =0
n

i=0

n

theo xác suất và như vậy theo phân phối. Do tính chất tự đồng dạng:
−α−2H

lim n

n→∞

n−1
∑

H
|W(k+1)
− WkH |2 = 0

i=0

H
theo phân phối. Ta biết rằng dãy (W(k+1)
− WkH )k≥0 là dừng và cũng là

egordic bởi vì ρ(n) → 0 , n → ∞ (ρ(n) được định nghĩa trong Mục 1.2
bên dưới). Do đó theo định lý egordic trong [57] ta phải có 2H + α > 1.
Điều này mâu thuẫn với việc lựa chọn α.

1.2

Tính chất nhớ lâu của fBm

Định nghĩa 1.2. Dãy dừng {Xn , n ≥ 0} được gọi là có tính chất nhớ lâu
nếu hàm tự tương quan ρ(n) = Cov(Xk , Xk+n ) thỏa mãn
ρ(n)
= 1,
n→∞ cn−α

lim

8

với hằng số c nào đó và α ∈ (0, 1).
H
Với W H là fBm, ta xét các số gia Xk := WkH − Wk−1
và Xk+n :=
H
H
Wk+n
− Wk+n−1
. Bằng các tính toán đơn giản ta tìm được

1
ρ(n) = Cov(Xk , Xk+n ) = [(n + 1)2H + (n − 1)2H − 2n2H ].
2
Do đó

ρ(n)
= 1,
n→∞ H(2H − 1)n2H−2
lim

và ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.6. Khi 0 < H < 12 , fBm là một quá trình có trí nhớ ngắn
theo nghĩa
∞
∑

ρ(n) < ∞.
n=1

Khi

1
2

< H < 1, fBm được gọi là một quá trình có tính chất nhớ lâu

theo nghĩa

∞
∑

ρ(n) = ∞.

n=1
H
Giải thích: Nếu ta chọn k = 1 thì ρ(n) = E[W1H (Wn+1
− WnH )] nói
H
cho ta biết sự tương quan giữa W1H và (Wn+1
− WnH ). Trong trường hợp
1
2

< H < 1 thì ρ(n) giảm đến 0 rất chậm, tức là ρ(n) vẫn khác 0 cho các
giá trị lớn của n. Điều này có nghĩa là các tính chất của W H tại thời
điểm t = 1 vẫn được lưu giữ lại trong các giá trị tại đuôi của nó. Bởi

tính chất này, ta nói fBm là một quá trình có tính chất nhớ lâu.

1.3

Biểu diễn Volterra của fBm
Trong toàn bộ Luận án này, biểu diễn tích phân Volterra ngẫu

nhiên của fBm đóng vai trò quan trọng, nó là cơ sở để ta có thể xấp xỉ
fBm bởi các semimartingale và từ đó xây dựng các tính toán ngẫu nhiên
phân thứ.
9

H,(1)

Ta biết rằng nếu Wt
hạn, xem [9])

là một fBm thì nó có biểu diễn sau (chẳng

∫t
H,(1)

Wt

K1 (t, s)dWs , t ≥ 0

=
0

trong đó W là một chuyển động Brown chuẩn tiêu chuẩn và nhân
Volterra K1 (t, s) được cho bởi
[ H− 1
]
∫ t H− 3
2
2
1
1
t
1
u
H− 2
K1 (t, s) = CH H− 1 (t − s)H− 2 − (H − )
du ,
1 (u − s)
H−
2
s 2
s 2
s

trong đó

√
CH =

πH(2H − 1)
.
Γ(2 − 2H)Γ2 (H + 12 ) sin(π(H − 21 ))

Hơn nữa lọc tự nhiên sinh bởi W H,(1) trùng với lọc tự nhiên sinh bởi W.
Biểu diễn hiển đầu tiên của fBm là được cho bởi Mandelbrot và
J.van Ness [38], biểu diễn đó như sau
[
1
H,(1)
H,(2) ]
Wt
=
Ut + Wt
,
Γ(1 + α)
)
∫0 (
∫t
H,(2)
trong đó Ut =
(t − s)α − (−s)α dWs , Wt
= (t − s)α dWs và
α=H− .
1
2

−∞

0

Bởi vì Ut là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục tuyệt
H,(2)

đối nên tính chất nhớ lâu của fBm được lưu trữ trong Wt

H,(2)

này và hơn nữa nhờ có dạng biểu diễn đơn giản mà Wt

. Vì lý do

được nhiều

tác giả (chẳng hạn, [1, 8]) sử dụng như một nhiễu thay cho fBm. Ta có
định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.3. Chuyển động Brown phân thứ dạng Liouville (sẽ ký hiệu
là LfBm, tức fractional Brownian motion of Liouville form) là quá trình
ngẫu nhiên định nghĩa bởi
∫t
H,(2)

Wt

=

K2 (t, s)dWs ,
0

10

trong đó K2 (t, s) = (t − s)α , α = H − 12 .

Như vậy ta thấy rằng fBm và LfBm cùng có biểu diễn Volterra với
hai dạng cụ thể khác nhau, và trong Luận án này, khi không cần phân
biệt ta sẽ sử dụng ký hiệu WtH chung cho cả fBm và LfBm. Ta viết
∫t
WtH =

K(t, s)dWs ,
0

trong đó K(t, s) là K1 (t, s) hoặc K2 (t, s).

1.4

Tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo

1.4.1

Tích phân phân thứ tất định

Trong mục này chúng ta nhắc lại một cách ngắn gọn định nghĩa
của tích phân ngẫu nhiên phân thứ theo quỹ đạo (pathwise integration)
được giới thiệu bởi Z¨ahle (1998) [51]. Phương pháp xây dựng tích phân
này đúng cho mọi chỉ số Hurst H ∈ (0, 1) và công cụ chính được sử dụng
là các tính toán phân thứ tất định. Z¨ahle mở rộng tích phân LebesgueStieltjes cổ điển

∫b
f (x)dg(x)
a

cho lớp các hàm có biến phân không bị chặn.

Đầu tiên ta chú ý rằng nếu f hoặc g là các hàm trơn trên đoạn
hữu hạn (a, b) thì tích phân Lebesgue-Stieltjes có thể viết thành
∫b

∫b
f (x)dg(x) =

a

f (x)g ′ (x)dx

a

hoặc
∫b

∫b
f (x)dg(x) = −

a

f ′ (x)g(x)dx + f (b− )g(b− ) − f (a+ )g(a+ ),

a

11

trong đó f (a+ ) = lim+ f (a + δ) và g(b− ) = lim+ f (b − δ) nếu các giới
δ→0

δ→0

hạn tồn tại. Phương pháp được Z¨ahle sử dụng là thay thế các đạo hàm
thông thường bởi các đạo hàm phân thứ. Đặt
fa+ (x) = (f (x) − f (a+ ))1(a,b) (x)
gb− (x) = (g(x) − g(b− ))1(a,b) (x)
với 1(a,b) (x) = 1 nếu x ∈ (a, b) và 1(a,b) (x) = 0 trong các trường hợp còn
lại. Cho hàm f ∈ L1 (R) và α > 0 ta định nghĩa các toán tử tích phân
phân thứ của nó
1
Iaα+ f (x) =
Γ(α)

∫x
(x − y)α−1 f (y)dy, x ∈ (a, b),
a

1
Ibα− f (x) =
Γ(α)

∫b
(y − x)α−1 f (y)dy, x ∈ (a, b),
x

trong đó Γ(.) là hàm Gamma.
Cho p ≥ 1, ta ký hiệu Iaα+ (Lp ) và Ibα− (Lp ) là ảnh của không gian
Lp (R) qua các toán tử phân thứ Iaα+ , Ibα− , một cách tương ứng. Như đã
chứng minh trong [54] rằng với p > 1 thì hàm f ∈ Iaα+ (Lp ) nếu và chỉ

nếu f ∈ Lp (R) và tích phân
∫x−ε
a

f (x) − f (y)
dy
(x − y)α+1

hội tụ trong Lp (R) như một hàm của x khi ε → 0+ . Tương tự, hàm
f ∈ Ibα− (Lp ) nếu và chỉ nếu f ∈ Lp (R) và tích phân
∫b
x+ε

f (x) − f (y)
dy
(y − x)α+1

hội tụ trong Lp (R) như một hàm của x khi ε → 0+ .
12

Định nghĩa 1.4. Giả sử rằng fa+ ∈ Iaα+ (Lp ) và gb− ∈ Ibα− (Lq ) với p1 + 1q ≤ 1.
Tích phân phân thứ của f đối với g được định nghĩa bởi
∫b

∫b
f (x)dg(x) = (−1)α

a

+
−
+
Daα+ fa+ (x)Db1−α
− gb− (x)dx+f (a )(g(b )−g(a )),

a

α là số thực bất kỳ trong đoạn [0, 1] và các đạo hàm phân thứ xác định
như sau
(
)
∫x
1
f
(x)
f
(x)
−
f
(y)
Daα+ f (x) =
+α
dy 1(a,b) (x) ,
Γ(1 − α) (x − a)α
(x − y)α+1
a

(
)

∫b
α
(−1)
g(x)
g(x) − g(y)
α
Db− g(x) =
+α
dy 1(a,b) (x) .
Γ(1 − α) (b − x)α
(y − x)α+1
x

Chú ý 1.1. (i) Như đã chứng minh bởi Z¨ahle [51] rằng Định nghĩa trên
là không phụ thuộc vào sự lựa chọn α ∈ [0, 1].
(ii) Nếu αp < 1 thì fa+ ∈ Iaα+ (Lp ) nếu và chỉ nếu f ∈ Iaα+ (Lp ) và
f (a+ ) tồn tại. Khi đó tích phân phân thứ có thể rút gọn thành
∫b

∫b
f (t)dg(t) = (−1)α

a

Daα+ f (t)Db1−α
− gb− (t)dt.
a

(iii) Nếu α = 0 hoặc α = 1 và f, g trơn thì một cách tương ứng ta có
∫b

∫b
f (t)dg(t) =

a

∫b

a

∫b
f (t)dg(t) = −

a

f (t)g ′ (t)dt,

f ′ (t)g(t)dt + f (b− )g(b− ) − f (a+ )g(a+ ).

a

Tiếp theo chúng ta nhắc lại một vài ước lượng hữu ích cho tích
phân phân thứ. Cố định tham số 0 < λ < 12 , ta ký hiệu W 1−λ,∞ [0, T ] là
13

không gian các hàm đo được g : [0, T ] → R thỏa mãn
∥g∥1−λ,∞

( |g(t) − g(s)|

0

∫T ∫ t
0

0

|f (t) − f (s)|
dsdt < ∞ .
(t − s)λ+1

Trong [39] các tác giả Nualart và Ră¸scanu đã chứng minh ước lượng sau
với mọi t ∈ [0, T ]
∫t
|

f dg| ≤ C(λ) ∥f ∥λ,1 ∥g∥1−λ,∞ .

(1.2)

0

thứ

∫t

Nếu f ∈ C λ [0, T ] và g ∈ C µ [0, T ] với λ + µ > 1, thì tích phân phân
f dg có thể hiểu như tích phân Riemann-Stieltjes thông thường và

0

ta có công thức đổi biến sau
Mệnh đề 1.7. Cho f ∈ C λ [0, T ] và F ∈ C 1 ([0, T ] × R) là hàm thực thỏa
mãn F1′ (., f (.)) ∈ C µ [0, T ], trong đó µ + λ > 1. Khi đó, với mọi t ∈ [0, T ]
ta có
∫t
F (t, f (t)) − F (0, f (0)) =

F1′ (s, f (s))ds +

0

∫t

F2′ (s, f (s))df (s),

0

trong đó F1′ , F2′ là các đạo hàm riêng theo biến thứ nhất và thứ hai, một
cách tương ứng.
14

1.4.2

Tích phân ngẫu nhiên phân thứ
Theo Mệnh đề 1.3 ở trên, ta biết rằng W H có các quỹ đạo λ-H¨older

liên tục h.c.c trên đoạn [0, T ] với mọi λ < H. Do đó đạo hàm phân thứ

H
Dt1−α
tồn tại với mọi α > 1 − H và ta có thể thay vai trò của hàm
− Ws

g trong Định nghĩa 1.4 bởi W H để nhận được định nghĩa cho tích phân
ngẫu nhiên phân thứ
∫t
f (s)dWsH , 0 ≤ t ≤ T,

(1.3)

0

trong đó f là quá trình ngẫu nhiên đo được thỏa mãn f0+ ∈ I0α+ (L1 (0, T )),
tham số α trong Định nghĩa 1.4 cần thỏa mãn điều kiện α > 1 − H.
Tích phân ngẫu nhiên phân thứ (1.3) là được định nghĩa với mỗi ω
cố định, như vậy với mỗi t cố định trong đoạn [0, T ] ta cần chứng minh
tích phân là một biến ngẫu nhiên hoặc một cách tương đương là chứng
minh khi t cố định tích phân là một hàm F-đo được theo biến ω. Ta biết
rằng tổng, tích của các hàm F-đo được là một hàm F-đo được, giới hạn
h.c.c của một dãy các hàm F-đo được cũng là một hàm F-đo được. Do
đó yêu cầu về tính F-đo được của tích phân là được đảm bảo.
Để tránh nhầm lẫn với một định nghĩa khác của tích phân ngẫu
∫t
nhiên phân thứ trong Chương 2, ta viết (Z) f (s)dWsH để chỉ rằng tích
0

phân ngẫu nhiên phân thứ là được định nghĩa bởi Z¨ahle. Ta có
∫t

∫t
f (s, ω)dWsH =

(Z)
0

f (s, ω)dW H (s, ω)
0

∫t
= (−1)α

H
+
H
D0α+ f0+ (s, ω)Dt1−α
− Wt− (s, ω)ds + f (0 )Wt .
0

15

Tích phân này có tính chất cộng tính quen thuộc: Xét 0 ≤ a < b < c ≤ t
∫b

∫t
f (s)dWsH = (Z)

(Z)

a

0

∫b

∫c
f (s)dWsH + (Z)

(Z)

1(a,b) (s)f (s)dWsH ,

a

∫c
f (s)dWsH = (Z)
a

b

Ví dụ 1: Khi H >

1
2

ta có

∫b
WsH dWsH =

(Z)

f (s)dWsH .

)
1( H 2
(Wb ) − (WaH )2 .
2

a

Ví dụ 2: Ta xét phương trình sau với điều kiện ban đầu X0 là một hằng
số
dXt = µXt dt + σXt dWtH , t ∈ [0, T ].
Trong trường hợp H > 12 , nghiệm của phương trình cho bởi
H

Xt = X0 eµt+σWt .
Thật vậy, khẳng định được suy ra từ công thức đổi biến trong Mệnh đề
H

−

1.7 và bởi vì eµt+σWt ∈ C H [0, T ] h.c.c.
Trong trường hợp H < 12 , cũng như tất cả các phương pháp khác, ta
chưa thể nói gì về nghiệm của phương trình.

16

Chương 2
Phương pháp xấp xỉ semimartingale
Chương 2 là đóng góp chính của Luận án về phương diện lý thuyết.
Trong chương này, đầu tiên chúng ta sẽ nhắc lại một kết quả quan trọng
đã biết về xấp xỉ semimartingale của fBm và một kiểu định nghĩa tích
phân ngẫu nhiên phân thứ. Bài toán tìm điều kiện đủ về lớp các hàm khả
tích đã được chứng minh. Cuối chương, sự tồn tại và duy nhất nghiệm
cũng như nghiệm hiển cho một vài lớp các phương trình vi phân ngẫu
nhiên phân thứ quan trọng đã được xét: đó là phương trình kiểu Langevin
phân thứ, phương trình phân thứ với dịch chuyển đa thức, phương trình
hồi phục trung bình hình học phân thứ. Ngoài ra một bài toán lọc tuyến
tính phân thứ cũng được giải quyết.

2.1

Các kết quả xấp xỉ

Phương pháp xấp xỉ chuyển động Brown phân thứ bởi các semimartingale trong L2 (Ω) được trình bày đầu tiên bởi T. H. Thao [45, 49]
cho LfBm và bởi Coutin [9] cho fBm. Kết quả xấp xỉ này sẽ là nền tảng
xuyên suốt Luận án bởi vậy chúng tôi phát biểu và chứng minh lại nó
một cách chi tiết với một vài sửa đổi. Kết quả xấp xỉ được mở rộng trong
không gian Lp (Ω) vớ mọi p > 0.
Xét WtH là một fBm hoặc LfBm. Với mỗi ε > 0 cố định ta định
17

MỘT số QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN PHÂN THỨ và ỨNG DỤNG TRONG tài CHÍNH

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về