10 chuyên đề bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

ĐỀ BÀI CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN MAX

1. (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Hà Tĩnh năm 2015)
Cho a, b, c là các số thực không âm, phân biệt thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2. (Đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Thanh Hóa năm 2015)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn  1  2 2  x  1  2 2 , y  0, z  0 và x  y  z  1. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức

P

1
1
1


.
2
2
( x  y) ( x  z ) 8  ( y  z )2

3. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – HN – lần 4 – năm 2015)
√

Cho các số thực x, y, z dương và thỏa mãn
√ √

nhất của biểu thức

.Tìm giá trị nhỏ

.

4. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa – lần 1 – năm 2015)
Tìm GTLN, GTNN của hàm số f  x   ln x  x 2  e2 trên  0;e
1.
2. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

a 2  1 b2  1 c 2  1
1
1
1





.
2
2
2
4b
4c
4a
ab bc ca
5. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lào Cai – năm 2015)
Cho x là số thực thuộc đoạn *

+ . Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức

√

√

√
√

6. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bạc Liêu – năm 2015)
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Cho ba số thực a, b, c thỏa
√

.

7. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bình Dương – năm 2015)
Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn
, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

8. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cà Mau – năm 2015).

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1

.


Cho
P

a, b, c

bc
3a  bc



là

các

ca
3b  ca

số



dương

và

a b  c  3.

Tìm

giá

trị

lớn

nhất

của

biểu

thức:

ab
3c  ab

9. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Cần Thơ – năm 2015)
Cho các số thực không âm

thỏa mãn

và

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức
10. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lâm Đồng – năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

√

√
√

11. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Nam – năm 2015)

Cho ba số thực dương a ; b ; c tùy ý . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
√
√

√

√

√

.

√

12. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Ngãi – năm 2015)
Xét 3 số thực x ,y , z thỏa mãn x

y

z

xyz

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x

y

.
13. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)
Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số

với

[

]

14. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)
Cho các số thực dương

thỏa mãn

√

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

√

√

15. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Tây Ninh – năm 2015)

5  4x  1  x
5
Cho x là số thực thuộc đoạn [  1, ] . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P 
4
5  4x  2 1  x  6
16. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Đăc Nông – năm 2015)
Với các số dương x và y có tổng bé hơn 1. Chứng minh rằng
>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2

z


17. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc – lần 1– năm 2015)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 – 3x + 2 trên đoạn [0;2]
18. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc – lần 1– năm 2015)
Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x + y – z =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.
19. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Vĩnh Long – năm 2015)
Cho a, b, c là ba số thực dương và thỏa mãn điều kiện
thức

√

√

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
√

20. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015)
√

√

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

21. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hạ Long – năm 2015)
Chứng minh rằng: Với mọi ΔABC ta đều có s

s

s

t

t

t

√

22. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tư nhiên – lần 2 – năm 2015)
Với các số thực: 0  a,b,c  2 thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  1 a  1 b  1 c
23. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 – năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 = 3c2 + 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

24. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Khối D lần 2 năm 2015)
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1 và

trên đoạn [-2; 2].
.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

25. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - lần 1– năm 2015)

1. Giải bất phương trình:

√
√

.

2. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn: a4 + b4 +
Chứng minh rằng:
>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


26. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – năm 2015)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

27. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Trung Thiên – lần 1 – năm 2015)
là ba số thực dương thỏa mãn

Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

28. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Bạch Đằng – Hải Phòng – năm 2015)
Cho
P

là

a, b, c
bc
3a  bc



các

ca
3b  ca



số

dương

và

a b  c  3.

Tìm

giá

trị

lớn

nhất

của

biểu

thức:

ab
3c  ab

29. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh – Lần 1 – năm 2015)
Cho a, b, c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

+ 2(a2 + b2 + c2)

+

30. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chu Văn An - lần 1 – năm 2015)
1.

Giải bất phương trình

√

√ √

√

√

.

2. Xét các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
.
31. (Đề thi thử THPT QG Trường chuyên THPT Bến Tre - lần 2 – năm 2015)
Cho

là các số thực sao cho

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
32. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 1 - năm 2015)
Giả sử

là các số thực không âm thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
33. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐH Vinh - lần 2 - năm 2015)

Giả sử x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn xy  yz  zx  1
>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

1
1
1
5
 2
 2
  x  1 y  1 z  1
2
2
2
x y
y z
z x
2
2

34. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên ĐHSP – HN lần 7 năm 2015)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

với x

[2;4].

35. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hoàng Lê Kha – Tây Ninh – năm 2015)
√

Cho a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn √
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

√

√

√

36. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hùng Vương – Phú Thọ - Lần 3 - năm 2015)
Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

37. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hưng Yên – năm 2015)





Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 5 x 2  y 2  z 2  9  xy  2 yz  zx  Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: P 

x
1


2
y  z  x  y  z 3
2

38. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt – năm 2015)
Cho 3 số thực dương a; b ; c thỏa mãn điều kiện :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P 

1 1 1
  1
a b c

ab bc ca
 2  2
c2
a
b

39. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Khoa học tự nhiên – lần 1 – năm 2015)
Với a, b, c là các số thực dương, nhỏ hơn và thỏa mãn

chứng minh rằng:

.
40. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM - năm 2015)
Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
√

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

41. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn – Đà Nẵng - năm 2015)
Cho các số thực dương
√

√

thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


42. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên – lần 1 – năm 2015)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x-6)√

trên [0;3]

43. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên – lần 1 – năm 2015)
√ –

Giả sử x và y không đồng nhất bằng 0. Chứng minh: -2√ – 2

44. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015)

Cho 2 số thực a , b thuộc khoảng (0,1) thỏa mãn
nhất của biểu thức sau :

Tìm giá trị lớn

√

45. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM - năm 2015)
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz =2 2 . CMR:

x8  y 8
y8  z 8
x8  z 8

8
x4  y 4  x2 y 2 y 4  z 4  y 2 z 2 x4  z 4  x2 z 2

46. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - năm 2015)
Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng :

a
a + 8c
2

2

+

b
b + 8a

2

+

c
c + 8ab
2

2

³1

47. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội –lần 1 - năm 2015)
Với x, y , z

0, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

48. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – lần 2 - năm
2015)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

√

√

49. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Nguyễn Huệ- Hà Nội - năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

50. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sơn Tây – Hà Nội - năm 2015)
>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Cho các số thực x ; y ; z không âm sao cho không có hai số nào đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
P = ( xy  yz  zx)(

1
1
1
 2
 2
)
2
2
x y
y z
z  x2
2

51. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sơn Tây – lần 2 - năm 2015)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng:

11b3  a 3 11c3  b3 11a 3  c3


6
ab  4b 2 bc  4c2 ca  4a 2

52. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội – lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng.
√
53. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội – lần 3 - năm 2015)

Cho ba số thực, a, b, c thay đổi thuộc đoạn 1; 2 và thỏa mãn a  b  c  4
a2
b2
c2
2
Chứng minh đẳng thức:



bc  2 ac  2 ab  2 3

54. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 2 - năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

. Chứng minh rằng

55. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 3 - năm 2015)
Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3
Tìm GTNN của biểu thức S = 8(a+b+c) + 5( + + )
56. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2015)
Cho các số thực dương

thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.
.

57. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cù Huy Cận – Hà Tĩnh – lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện
>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:

58. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Đa Phúc – Hà Nội - năm 2015)
Cho ba số thực a,b,c đôi một phân biệt và thỏa mãn các điều kiện
(√

trị nhỏ nhất của biểu thức

|

)

|

và

Tìm giá

√

59. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Đào Duy Từ - lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√

√

60. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Đông Sơn 1 - năm 2015)
Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn

. Chứng minh rằng

61. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Gang Thép – Thái Nguyên – lần 1 - năm 2015)
Cho a, b, c là độ dài của tam giác thỏa mãn

Chứng minh rằng
62. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hai Bà Trưng – Thừa Thiên Huế – lần 3 - năm 2015)
Cho a, b, c ≥ 1 là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của:
.
63. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn 1  2a 2  1  2b2  1  2c2  5
Chứng minh rằng 4 2a3  b6  c6  64
64. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – lần 2 - năm 2015)

2x2  y 2  2x  y
Cho 2  x  3  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
xy
65. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hiền Đa – Phú Thọ – lần 2 - năm 2015)
Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a2

b2
c2
P


2
2
2
b3  8   c  1
c3  8   a  1
a 3  8   b  1
>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8


66. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Hồng Quang – Hải Dương – lần 1 - năm 2015)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x > y và (x +z)(z+y) = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

67. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Ischool Nha Trang – lần 1 - năm 2015)
Cho x, y là hai số thực dương và thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
(

)

.

68. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lam Kinh – Thanh Hóa – lần 1 - năm 2015)
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
1

2
b
c
 1

a



2

 3a  b 3a  c 2a  b  c  3a  c 3a  b

69. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lạng Giang số 1 - năm 2015)
thỏa mãn

Cho

. Chứng minh rằng:

70. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Quý Đôn – Đống Đa – Hà Nội - năm 2015)
Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn ,

.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

√

Q=√

√

71. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Quý Đôn – Hải Phòng - năm 2015)

x
Cho x, y là các số thực thuộc  0;1 thoả mãn
thức P 

1
1 x

2



1
1 y

2

3



 y3  x  y 
xy

 1  x 1  y  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

 4xy  x 2  y 2 .

72. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lệ Thủy – Quảng Bình - năm 2015)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kieenh

. Chưng minh rằng:

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


73. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc - năm 2015)
Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 2. Tìm GTLN của biêu thức
√

√

√

74. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên - năm 2015)
Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:

75. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 1 - năm 2015)
Cho các số thực a, b không âm và thỏa mãn:

.

√

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

76. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 2 - năm 2015)
Cho các số thực

dương thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

√

77. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 3 - năm 2015)
Cho các số thực a, b dương và thỏa mãn ab ≥ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

√

78. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – lần 2 - năm 2015)
Cho x, y là hai số thỏa mãn: x, y  1 và 3(x  y)  4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

 1
1 

2
2 
x y 

thức: P  x3  y3  3 

79. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lý Tự Trọng – Khánh Hòa – lần 1 - năm 2015)

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10


Cho x , y , z

0 và x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

80. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Mạc Đĩnh Chi - TPHCM - năm 2015)
Cho các số thực x ; y thay đổi . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
√

√

|

|

81. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nghèn – Hà Tĩnh - năm 2015)
Cho a, b, c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

.

82. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa - năm 2015)
Cho

1
1

1
1
 x  1; y, z  1 sao cho xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: P =


4
1 x 1 y 1 z

83. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh – lần 1 - năm 2015)

Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn 5 x  5 y  5 z  1 . Chứng minh rằng
25x
25 y
25z
5x  5 y  5z
.



5x  5 y  z 5 y  5z  x 5z  5x  y
4

84. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai- Hà Tĩnh - năm 2015)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của

.
.

85. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Trãi – Kon Tum - năm 2015)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c  b  abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
4
5
.
S


bca acb a bc

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


86. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Như Xuân – Thanh Hóa - năm 2015)
Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)
.


yz
zx
xy

87. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nông Cống 1 – lần 2 - năm 2015)
Cho x, y là các số thực không âm thoả mãn
√

√

Tìm GTNN của P: 2(x3 + y3) + 2(x2 + y2) – xy +√

+√

88. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Phù Cừ - Hưng Yên - năm 2015)
Cho ba số thực không âm x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

√

√

√

89. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Quảng Xương 1 – Thanh Hóa - năm 2015)
Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn x +y + z

√

. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

√

√

90. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh – lần 1 - năm 2015)
Cho a

[

]. Chứng minh rằng:
(2a + 3a + 4a) (6a + 8a + 12a) <24a+1.

91. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Quỳ Châu – Nghệ An – lần 3 - năm 2015)
Cho x, ,y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

P

2
3

3
x  xy  xyz
x y z

92. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An - năm 2015)
Cho a, b, c thuộc đoạn [1; 2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

93. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Thủ Đức - TPHCM - năm 2015)
Cho a, b, c là các số dương và a + b+ c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

√

√

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

√

12

.


94. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Tĩnh Gia 2 - năm 2015)

Cho c¸c sè thùc d-¬ng a, b, c. Chøng minh r»ng:
abc 

a

bc



abc 
ca

b



a bc  c
ab



93 3

2 abc

.

95. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Phú Yên - năm 2015)
. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức

Cho

96. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Triệu Sơn 5 – lần 2 - năm 2015)
1
1
1
Cho a, b, c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn (  1)(  1)(  1)  1 . Tìm GTNN của biểu thức P = a 2  b2  c2
a
b
c

97. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Trần Nguyên Hãn – Hải Phòng - năm 2015)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  3.
Chứng minh rằng:

1
1
1
1



.

2
2
1  a (b  c) 1  b (c  a) 1  c (a  b) abc
2

98. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Trần Phú – Thanh Hóa - năm 2015)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c và a2 +b2+c2 = 5. Chứng minh rằng:
(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)  -4
99. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Gia Bình 1 – Bắc Ninh - năm 2015)
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

a2
b2
c2
1



(ab  2)(2ab  1) (bc  2)(2bc  1) (ac  2)(2ac  1) 3

100.

(Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chí Linh – Hải Dương – lần 1 - năm 2015)

a  b  5
Cho các số thực a, b thoả mãn 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2a  2b  a  b .
a  3
101.

(Đề thi THPT QG minh họa của Bộ GD và ĐT - năm 2015)

Xét số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

√

+

√

√

√

√

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13


102.

(Đề thi THPT QG chính thức của Bộ GD và ĐT - năm 2015)

Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [1;3] và thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức.
103.

(Đề thi thử THPT QG Trường THCS & THPT Nguyễn Viết Xuân - năm 2015)

Cho x, y là cá số thực dương thỏa mãn xy + x + y = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

104.

(Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên KHTN – lần 5 - năm 2015)

Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1, chứng minh rằng
√
105.

√

√

√

(Đề thi thử THPT QG Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định - năm 2015)

Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.

√

106.

(Đề thi thử THPT QG Trường THPT Cổ Loa – Hà Nội – lần 3 - năm 2015)

Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

107.

(Đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Ngọc Quyến – lần 2 - năm 2015)

Cho 3 số thực dương x, y, z thay đổi, thỏa mãn x + y +1 = z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

14


ĐÁP ÁN CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC – TÌM GIÁ TRỊ MIN MAX
1. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Hà Tĩnh năm 2015)



1
1
1  2


(a  b 2  c 2 )
2
2
2 
 (a  b) (b  c) (c  a) 

Ta có 3F  

Gọi c  min(a, b, c) ; đặt a  c  x; b  c  y ta có x, y  0 và a  b  x  y

 1
1
1 
3F  
 2  2   (c  x ) 2  (c  y ) 2  c 2 
2
x
y 
 ( x  y)
 1
 1
1
1 
1
1 

 2  2  ( x 2  y 2  2c( x  y)  3c 2 )  
 2  2  ( x2  y 2 )
2
2
x
y 
x
y 
 ( x  y)
 ( x  y)
 1
1

1  2
x2  y 2  x2  y 2 
2
Ta xét G  


(
x

y
)



2
2
2 
2
(
x

y
)
x
y
(
x

y
)



 xy 

2

2

 ( x  y)2

2 xy
 1

 2 .

2
( x  y )  xy


xy
1
( x  y)2

Đặt
 2  t (t  2) ; ta có
2
( x  y)
t 2
xy
suy ra G  t 2 

f '(t )  2t 

2
 1  f (t )
t 2

2
2(t 3  4t 2  4t  1) 2(t  1)(t 2  3t  1)


(t  2)2
(t  2) 2
(t  2) 2

f '(t )  0  t 

3 5
(do t  2)
2

Lập BBT ta có GTNN của f (t ) 1à f (

3  5 11  5 5
)
.
2
2

c  0; a, b  0

c  0; a, b  0
c  0; a, b  0


 2
11  5 5
93 5
 a 2  b2 3  5

 x  y2 3  5

 ab 
Vậy F 
, có “=” khi 
hay 
.

ab
2
2
6
xy
2



a 2  b 2  3
a 2  b 2  3
a 2  b 2  c 2  3




>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

15


Ta thấy hệ này luôn có nghiệm phân biệt.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là

11  5 5
6

2. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở giáo dục Thanh Hóa năm 2015)
1
1
1
1
1
1





2
2
2
2
2

(1  z )
(1  y) 8  (1  x)
(1  y)
(1  z ) 8  (1  x) 2
1
1
1
Ta sẽ chứng minh


2
2
(1  y)
(1  z ) 1  yz

Ta có P 

Thật vậy:

1
1
1


 (1  yz )[(1  z ) 2  (1  y) 2 ]  [(1  z )(1  y)]2 .
2
2
(1  y) (1  z ) 1  yz

 (1  yz )(2  2 z  2 y  z 2  y 2 )  (1  zy  z  y) 2

 2( z  y)(1  zy)  2(1  yz )  (1  zy)( y  z ) 2  2 zy(1  yz )
 (1  zy) 2  2( z  y)(1  zy)  ( z  y) 2
 (1  zy)( y  z) 2  2  4 yz  2 y 2 z 2  (1  yz ) 2  ( y  z) 2  4 yz  0
 yz ( y  z ) 2  (1  yz ) 2  0 (hiển nhiên đúng).

Dấu “=” xảy ra khi y  z  1 .
yz
Ta lại có

2

Do đó

(1  x)
(1  x)
 yz
yz  yz  

 
4
4
 2 

1
1
1




2
2
(1  y) (1  z ) 1  yz

P

2

2

2

1
4

2
(1  x)
4  (1  x) 2
1
4

4
1

2
4  (1  x) 8  ( x  1) 2

Do  1  2 2  x  1  2 2 nên ( x  1) 2 [0;8) .
Đặt t  (1  x) 2  t [0;8) và P 

Xét f (t ) 

4
1

4t 8t

4
1
 3t 2  72t  240
4
1


với t [0;8) . f ' (t )  

(4  t ) 2 (8  t ) 2
(4  t ) 2 (8  t ) 2
4t 8t

f ' (t )  0  3t 2  72t  240  0  t  4; t  20 (loại)

Bảng biến thiên

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

16


t

0

4

f‟(t)

-

0

8
+

9
8



f(t)
3
4

(1  x) 2  4
 x  3
3
3

Do đó P  f (t )  và P  khi  y  z  1


4
4
 x  y  z  1  y  z  1

Vậy min P 

3
khi x  3, y  z  1
4

3. (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh – HN – lần 4 – năm 2015)
Từ giả thiết ta có:
√

√

=> √

√

√
.

(0,25 đ)
√ √

√ √

.

Ta có:
+

+
+

√ √
( )

Từ đó:
Đặt

√ √

√

Ta có

√ √

√

√ .
.
.

f‟(t) = 0 ⇔ t =1
>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

17

BBT:

⇔

Suy ra

⇔

Cách 2:
Ta có:
+√

√

√

√

√

√

√

+

√

Suy ra:
⇔

√

(0,25 đ)

4. (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa – lần 1 – năm 2015)

f ' x  

1. Ta có:

1
x 2  e2

 0 x   0; e

nên hàm số f  x   ln x  x 2  e2 đồng biến trên  0;e ,



suy ra: min f  x   f  0   1 ; max f  x   f  e   1  ln 1  2
0;e

0;e



Ta có:

2.

 a2
1   b2
1   c2
1 
VT   2  2    2  2    2  2 
 4b 4b   4c 4c   4a 4a 


Mặt khác:

a
b
c
1 a b
c 
 2 2   2 2 2
2
2b
2c
2a
2b c
a 

a 1 2
  ;
b2 a b

b 1 2
  ;
c2 b c

Cộng theo vế các BĐT trên ta được:

Suy ra: VT 

c 1 2
 
a2 c a

a b
c 1 1 1
 2 2  
2
b c
a
a b c

1  1 1 1  1  1 1   1 1   1 1  
           
2  a b c  4  a b   b c   c a  

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

18




1 4
4
4 
1
1
1





 VP


4 a  b b  c c  a a  b b  c c  a

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a  b  c  1

a 2  1 b2  1 c 2  1
1
1
1





.
4b2

4c 2
4a 2
ab bc ca
5. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lào Cai – năm 2015)
Đặt

√

√
*

Do đó đặt

thì

+

. Khi đó :
0,25đ

Xét hàm số
Ta có

Vậy minP =

+
*

> 0 với mọi

Suy ra hàm
Do đó

*

, với

*

đồng biến trên đoạn
*

x

+

+ . 0,25đ

+
*

, khi x = ; Vậy maxP = , khi

( )

+

0,25đ

0,25đ

6. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bạc Liêu – năm 2015)
√

Ta có:
√

=
Vì
Tương tự:
Nên:

nên:

dấu bằng xảy ra khi a = 0.
dấu bằng xảy ra khi a = 0.
√

dấu bằng xảy ra khi a = 0 (0,25 đ)

Áp dụng bất đẳng thức: với x >0, y > 0 ta có:
+
+

dấu bằng xảy ra khi x = y. (phải chứng minh)
dấu bằng xảy ra khi x = y.

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

19

√

Ta có:
Đặt

√

(0,25 đ)

với t > 0.

Xét hàm số

với t > 0.

Ta có:

(0,25 đ)
⇔

⇔

⇔

Bảng biến thiên:

Suy ra

, dấu bằng xảy ra khi: {

√

⇔,

(0,25 đ)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
7. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bình Dương – năm 2015)
Từ điều kiện ta có
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có

Nên

0,25đ

Xét hàm số
0,25đ

=>
Ta có


( )

Lập bảng biến thiên suy ra
Vậy Min(P)



√

0,25đ
0,25đ

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

20


8. (Đáp án đề thi thử THPT QG Trường THPT Cà Mau – năm 2015).
Vì a + b + c = 3 ta có

Vì theo BĐT Cô-Si:

Tương tự

Suy ra P 

bc
bc
bc
bc  1
1 


 



3a  bc
a(a  b  c)  bc
(a  b)(a  c) 2  a  b a  c 
1
1
2


, dấu đẳng thức xảy ra  b = c
ab ac
(a  b)(a  c)

ca
ca  1
1 
 

 và
3b  ca 2  b  a b  c 

ab
ab  1
1 




2  ca cb 
3c  ab

bc  ca ab  bc ab  ca a  b  c 3



 ,
2(a  b) 2(c  a) 2(b  c)
2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =

3
khi a = b = c = 1
2

9. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Cần Thơ – năm 2015)
Ta có :
(

)
0,25đ

Đặt

 √
Và

0,25đ

Xét hàm số :

=>
{

trên

]
(√ )

luôn đồng biến trên D =>

√

, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

√
√


Giá trị nhỏ nhất của A là
Xét hàm số :

[√

√

√

, đạt được khi
trên

[√

0,25đ

],

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

21


luôn đồng biến trên D =>

=>

{

, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :



Vậy giá trị lớn nhất của A là

, đạt được khi

0,25đ

10. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Lâm Đồng – năm 2015)
+Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
√

√

√

(0,25 đ)

√

√

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
+

√

√

√

(0,25 đ)

√
√

+Xét hàm

√
√ (

√

Ta có

√

⇔

+

)√
√

√

√

⇔{

⇔

(0,25 đ)

+ Lập bảng biến thiên của hàm f(c) trên (0;1). Tìm được
√

√

xảy ra khi

(0,25 đ)

11. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Nam – năm 2015)
√

√

√

Ta có

√

√

√

Tương tự

(√ )

√

√

( √

√
√

với a ; b ; c dương

√

)

0,25đ

√

√

(√ )
√

√

;

√
√

(√ )
√

√

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

22

Do đó đặt x = √ ; y = √ ; z = √ ; (x ; y ; z > 0) khi đó xyz = 1
Khi đó P =

0,25đ

Ta có
x

Nên P =

y

z

√xyz

khi và chỉ khi x = y =z =1 hay a = b =c . 0,25đ

Vậy

12. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Quảng Ngãi – năm 2015)
Ta có 1 = x
 x

y

Mà x
Nên x

y

Đặt t = x

z

y
y

Xét

z

xyz

x

yz

zx

xy

z
z

y

z

xy
xy

yz
yz

y

zx
zx

z x

y

z

xy

yz

zx

xyz
=> x

y

z

0,25đ

. Từ (1) ta có P =
trên

, ta có

0,25đ

. Ta có BBT

0,25đ
t
Dấu đẳng thức xảy ra khi (x ; y ; z ) = (1;0;0) và các hoán vị 0,25đ
13. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)
(0,5đ)
⇔*

(0,5đ)
(0,5đ)

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

23


x[

Vậy

[

đạt được khi

]

đạt được khi

]

(0,5đ)

14. (Đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Bắc Ninh – năm 2015)
Ta có

√

√

= √

(

)

(0,5đ)
√

√
Chứng minh tương tự

(0,25đ)
√

√

√

√
Do đó
√
Đặt
Suy ra

(0,25đ)

. Xét hàm số (0,25đ)

√

Lại có:

√
[

=>

√
√

liên tục trên [

=> Hàm số

đồng biến trên [

=>

√
√

√

[

√

Vậy

√

(Do

√ √

√

√
[

(0,25đ)

(0,25đ)
đạt được khi

(0,25đ)

15. (Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Tây Ninh – năm 2015)

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

24


Đặt a  5  4 x , b  1  x thì a 2  4b2  9, với a, b  0
Do đó đặt   [0,


2

] với a=3sin ,2b=3cos . Khi đó:

3
3sin   cos
ab
2sin   cos
2
P



a  2b  6 3sin   3cos   6 2sin   2cos   4

Xét hàm số f ( x ) 

Ta có f / ( x ) 

2sin x  cos x

với x  [0, ]
2sin x  2cos x  4
2

6  4sin x  8cos x

 0, x  [0, ]
2
(2sin x  2cos x  4)
2

Suy ra hàm số f(x) luôn luôn đồng biến trên [0,


2

]

1

1
Do đó: min f ( x )  f (0)   ;max f ( x)  f ( ) 


6 x[0, ]
2
3
x[0, ]
2

Vậy min P 

2

1
5
khi x 
6
4

Max P 

16.

1
khi x  1
3

(Đáp án đề thi thử THPT QG Sở GD và ĐT Đăc Nông – năm 2015)

Đặt 1 – x – y = z, ta có x + y + z = 1, ta cần chứng minh
Do x + y +z = 1, nên ta đặt lại

. (0,25đ)
, với a, b và c là các số dương. Bất đẳng thức

cần chứng minh trở thành

Hay là

(0,25đ)

Hay là
Hay là (

(

)

(0,25đ)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si 3 lần ta có điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra:

khi và chỉ khi

>> Truy cập trang http://tuyensinh24.7com/ để học Toán - Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

25