bai tap da giac

Sáng kiến kinh nghiệm

Diện tích đa giác

II- Các dạng toán sử dụng phơng pháp diện tích đa giác
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 1: Cho tam giác ABC, A = 90 , AB = 3 cm, AC = 4 cm, đờng cao AH.
Tính AH
Giải:
SC = AB 2 + AC 2 = 5(cm)
1
2

SABC= AB.AC = 6(cm2)
Lại có SABC=

1
AH.BC AH=
2

2 S ABC
BC

= 2,4 cm

Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh 3cm, hai đờng chéo AC=6cm,
BD=5cm.Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các cạnh đối diện?
Giải: Khoảng cách từ đỉnh A đến hai cạnh BC và CD đều bằng nhau. Kẻ AH
vuông góc với CD(H thuộc CD)
1
2

SABCD= AC.BD= 15cm
Lại có: SABCD= AH.DC AH=

S ABC
CD

= 3,75cm

Dạng 2: Tính tỉ số đoạn thẳng
Bài 1: Cho a//b, trên a lấy B và C, trên b lấy D và E, sao cho góc ADB bằng
góc AEC và bằng 90 .Giả sử CE= 2, DB=3, DB=4, EA=5.Tính
Giải: a//b khoảng cách từ D và E đến a là bằng nhau
bằng nhau)
AB = 21

AC

AB
AC
S ADB

AB
=
(chiều cao
AC S AEC

25

Bài 2: Trên các cạnh AC và AB của tam giác ABC lấy B 1 và C1 tơng ứng.Gọi 0

là giao điểm của BB1 và CC1. Hãy tính

BC1
CB1
OB
nếu biết
=m và
=n.
AC1
AC1
AB1

Giải: Nối A với O, kẻ BI và AH CC1
BO S BOC
=
OB1 S B1OC
S AOC
S B1OC

=

AB1 + B1C
AB1
AC
1
=
=1 +
=1+
B1C
B1C

B1C
h

BOC và AOC có chung OC nên


S BOC
S AOC

BO S BOC S BOC S AOC
=
=
.
=m.( 1+ 1 )
OB1 S B1OC S AOC S B1OC
h

1

=

BC1
BI
BI
, mà
=
=m
AH
AH AC1

Sáng kiến kinh nghiệm

Diện tích đa giác

Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học
Bài 1: Chứng minh định lý Talet trong tam giác: Cho tam giác ABC, nếu
DE//BC thì:

AD AE
=
AB AC

Giải: Nối B với C; C với D ta có:

AD S ADE
=
(2 tam giác chung đờng cao) (1)
AB SABE

AD S ADE
=
(2 tam giác chung đờng cao) (2)
AC S ACD

SBEC=SDBC (chung đáy BC, hai đờng cao bằng nhau)
SABC SBEC = SABC - SDBC SABC = SACD (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:

AD AE

=
AB AC

Bài 2: Chứng minh tính chất đờng phân giác
Trong tam giác ABC, nếu AD là đờng phân giác thì:

DB AB
=
DC AC

DB S ABD
=
( chung đờng cao) (1)
DC S ADC
AD là đờng phân giác DH=DI
AB S ABD

=
(2) (Vì hai đờng cao kẽ từ D bằng nhau)
AC S ADC
DB AB
Từ (1) và (2) suy ra
=
DC AC
Bài 3: Cho ABC cântại A, M bất kỳ thuộc BC. Kẽ MH và MK lần lợt vuông
góc với AB, AC(H và C thuộc AB và AC).BI là đờng cao của ABC. Chứng

Giải:

minh rằng MH+MK=BI

1
2

Giải: S ABM = MH.AB MH =
Tơng tự ta có: MK =

2 S ABM
AB

2 S ACM

AC
2( S ABM + S ACM )
MH+ MK =
(Vì AB = AC)
AC
2 S ABC
MH+MK =
= BI
AC

Bài 4: (Định lý Xêra)Cho ABC, lấy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần
lợt cắt AB, BC, CD tại A1, B1, C1.Chứng minh:
Giải:
BC1
AC1

=

S ACD

S ABD

;

BC1
C1 A

=

S BCD

;

AB1

S AC D B1C

=

S ABD
S BC D

Nhân vế theo vế của 3 đẳng thức ta có đpcm.

2

AB1 CA1 BC1

.

.

B1C A1 B C1 A

=1


Sáng kiến kinh nghiệm

Diện tích đa giác

Bài 5: Cho ABC, lấy điểm 0 trong tam giác; AO, BO,CO lần lợt cắt AB, BC,
CD tại A1, B1, C1.Chứng minh:

OB1
BB1

OA1

+

AA1

+

OC1
CC1

=1

Giải: Đặt S = SABC, S1=SOBC, S2= SOAC, S3 = SOAB
OA1
AA1

S OBA1

=

S AB A1

=

S OCA1
S ACA1
OB1

Tơng tự ta có:
OB1

Do đó

BB1

+



=

OA1

AA1
S2

;

=

S OBC
S ABC

OC1

BB1
S CC1
OA1 OC1 S1 S 2
AA1

+

CC1

=

S

+

S

=

+

=

S1
S

S3
S
S3
S

=1

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh
AB, BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh
rằng KD là tia phân giác của góc AKC.
Giải: Kẻ DH KA, DI KC, ta có:
DH.AN = 2 SADN (1)
DI.CM = 2 SCDM (2)
1
2

Lại có SADN = SABCD
SCDM =

1
SABCD SADM = SCDM (3)
2

Từ (1), (2) và (3) suy ra DH.AN = DI.CM
Do AN = CM suy ra DH = DI suy ra KD là phân giác góc AKC
Dạng 4: Chứng minh BĐT hình học
Bài 1: Cho tam giác ABC (AC >AB), đờng cao BI. D là điểm nằm giữa B và
C. Gọi BH và CK theo thứ tự là các đờng vuông góc kẻ từ B và C đến đờng
thẳng AD. Chứng minh rằng: BH + Ck > BI
2 S ABC
(1)
AC
2S
BH = ABD
AD
2S
CK = ACD
AD
2( S ABD + S ACD )

Giải: Ta có : BI =

BH + CK =

AD

=

2 S ABC
AD

(2)

Lại có AD < AC (3) (Ta dễ dàng chứng minh đợc điều này khi xét các trờng hợp của góc BAC)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BH + Ck > BI
Bài 2: Gọi ha, hb, hc là ba đờng cao của một tam giác chứng minh rằng
1
1 1
< +
ha hb hc

3


Sáng kiến kinh nghiệm

Diện tích đa giác

Giải: Gọi diện tích tam giác là S, ba cạnh ứng với 3 đờng cao ha, hb, hc là a,
b, c ta có:
a=

2S
2S
2S
; b=
; c=
ha
hb
hc

a < b + c ( BĐT tam giác) suy ra

1
1 1
2S
2S 2S
<
+
suy ra < +
ha
hb hc
ha hb hc

Bai 3: Trong tam giác ABC ta lấy M, ký hiệu khoảng cách từ M tới đỉnh A
của Tam giác là Ra, còn khoảng cách tới cạnh CA và AB là d b và dc. Chứng
minh rằng: a.Ra c. dc+ b.db
Giải:
Vẻ BK và CL vuông góc với AM
( K và L thuộc AM)
Đặt BK = a1, CL = a2 ta có: a1+a2 a
Suy ra

1
1
1
1
1
aRa a 2 Ra + a1 Ra = S ACM + S ABM = bd b + cd c suy ra đpcm.
2
2
2
2

2

Bài 4: Cho tam giác ABC, M nằm trong tam giác. Các đờng thẳng AM, BM,
CM cắt các cạnh của tam giác tơng ứng tại các điểm A1, B1, C1. Chứng minh
rằng

AM BM CM


8
A1 M B1 M C1 M

Giải:

Đặt a = SMBC, b = SMAC, c = SMAB ta có: 1+
S
AM + A1 M
AA1
AM
a+b+c
a+b
=
=
= ABC =
= 1+
A1 M
A1 M
A1 M S MBC
a
a

AM b + c
=
suy ra
(1)
A1 M
a
BM
c+a
CM
a+b
=
=
Chứng minh tơng tự ta có
và
(2)
B1 M
b
C1 M
c
Ta biết rằng với các số dơng a, b và c ta có (a+b)2 4ab
(b+c)2 4bc
(c+a)2 4ac
Suy ra (a+b)(b+c)(c+a) 8abc

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

4