Dãy số nguyên - phân số viết theo quy luật

Chuyên đề 1: dãy các số nguyên phân số viết theo quy luật
= = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = =
(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
na
1
a
1
n)a.(a
n
+
=
+
- - - Chứng minh - - -
naanaa
a
naa
na
naa
ana
naa
n
+
=
+

+
+
=
+
+
=

+
11
).().().(
)(
).(
Bài 1.1 : Tính
a)
2009.2006
3
...
14.11
3
11.8
3
8.5
3
++++=
A
b)
406.402
1
...
18.14
1
14.10
1
10.6
1
++++=
B

c)
507.502
10
...
22.17
10
17.12
10
12.7
10
++++=
C
d)
258.253
4
...
23.18
4
18.13
4
13.8
4
++++=
D
Bài 1.2 : Tính:
a)
509.252
1
...
19.7

1
7.9
1
9.2
1
++++=
A
b)
405.802
1
...
17.26
1
13.18
1
9.10
1
++++=
B
c)
405.401
3
304.301
2
...
13.9
3
10.7
2
9.5

3
7.4
2
+++=
C
Bài 1.3 : Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)
8
5
120
1
...
21
1
15
1
10
1
2008
=
x
b)
45
29
45.41
4
...
17.13
4
13.9

4
9.5
47
=+++++
x
c)
93
15
)32)(12(
1
...
9.7
1
7.5
1
5.3
1
=
++
++++
xx
Bài 1.4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
46)23)(13(
1
...
11.8
1
8.5
1

5.2
1
+
=
+
++++
n
n
nn
b)
34
5
)34)(14(
5
...
15.11
5
11.7
5
7.3
5
+
=
+
++++
n
n
nn
Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi
2;

nNn
ta có:
15
1
)45)(15(
3
...
24.19
3
19.14
3
14.9
3
<
+
++++
nn
Bài 1.6 : Cho
403.399
4
...
23.19
4
19.15
4
+++=
A
chứng minh:
80

16
81
16
<<
A
Bài 1.7 : Cho dãy số :
;...
25.18
2
;
18.11
2
;
11.4
2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
Bài 1.8 : Cho
2222
9
1
...
4
1
3
1
2
1
++++=
A

. Chứng minh
9
8
5
2
<<
A
Bài 1.9 : Cho
2222
2007
2
...
7
2
5
2
3
2
++++=
A
. Chứng minh:
2008
1003
<
A
Bài 1.10 : Cho
2222
2006
1
...

8
1
6
1
4
1
++++=
B
. Chứng minh:
2007
334
<
B
1


∗ Bµi 1.11 : Cho
222
409
1
...
9
1
5
1
+++=
S
. Chøng minh:
12
1

<
S
∗ Bµi 1.12 : Cho
2222
305
9
...
17
9
11
9
5
9
++++=
A
. Chøng minh:
4
3
<
A
∗ Bµi 1.13 : Cho
2
201
202.200
...
49
48
25
24
9

8
++++=
B
. Chøng minh:
75,99
>
B
∗ Bµi 1.14 : Cho
1764
1766
...
25
27
16
18
9
11
++++=
A
. Chøng minh:
21
20
40
43
20
40
<<
A
∗ Bµi 1.15 : Cho
100.98

99
...
6.4
5
5.3
4
4.2
3
3.1
2
22222
+++++=
B
. T×m phÇn nguyªn cña B.
∗ Bµi 1.16 : Cho
2500
2499
...
16
15
9
8
4
3
++++=
C
. Chøng minh C > 48
∗ Bµi 1.17 : Cho
59..321
1

...
4321
1
321
1
++++
++
+++
+
++
=
M
. Chøng minh
3
2
<M
∗ Bµi1.18 : Cho
100.99
101.98
...
5.4
6.3
4.3
5.2
3.2
4.1
++++=
N
. Chøng minh 97 < N < 98.
• Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè:

)2)((
1
)(
1
)2)((
2
nananaananaa
n
++
−
+
=
++
Chøng minh:
)2)((
1
)(
1
)2)(()2)((
2
)2)((
)2(
)2)((
2
nananaananaa
a
nanaa
na
nanaa
ana

nanaa
n
++
−
+
=
++
−
++
+
=
++
−+
=
++
)3)(2)((
1
)2)((
1
)3)(2)((
3
nananananaanananaa
n
+++
−
++
=
+++
∗ Bµi 1.19 : TÝnh
39.38.37

2
...
4.3.2
2
3.2.1
2
+++=
S
∗ Bµi 1.20 : Cho
20.19.18
1
...
4.3.2
1
3.2.1
1
+++=
A
. Chøng minh
4
1
<
A
∗ Bµi 1.21 : Cho
29.27.25
36
...
7.5.3
36
5.3.1

36
+++=
B
. Chøng minh B < 3
∗ Bµi 1.22 : Cho
308.305.302
5
...
14.11.8
5
11.8.5
5
+++=
C
. Chøng minh
48
1
<
C
∗ Bµi 1.23 : Chøng minh víi mäi n
∈
N; n > 1 ta cã:
4
11
...
4
1
3
1
2

1
3333
<++++=
n
A
∗ Bµi 1.24 : TÝnh
30.29.28.27
1
...
5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
+++=
M
2
Bài 1.25 : Tính
100.99
1
...
6.5
1
4.3
1
2.1
1
100
1
...
52

1
51
1
++++
+++
=
P
Bài 1.26: Tính:
2007.2005
1004.1002
...
)12)(12(
)1)(1(
...
9.7
5.3
7.5
4.2
5.3
3.1
++
+
+
++++=
nn
nn
Q
Bài 1. 27: Tính:
2007.2005
2006

...
5.3
4
4.2
3
3.1
2
2222
++++=
R
Bài 1.28: Cho
12005
2
...
12005
2
...
12005
2
12005
2
12005
2
20052
2
2006
2
1
2
3

2
2
+
++
+
++
+
+
+
+
+
=
+
n
n
S
So sánh S với
1002
1
Hng dn:
1k
m2
1k
m
1k
m
1k
m2
)1k)(1k(
mmkmmk

1k
m
1k
m
22



=
+


=
+
++
=
+


p dng vo bi toỏn vi m {2; 2 , ., 2 } v k { 2005, 2005 ,
2006
2
2005
} ta cú:
12005
2
12005
2
12005
2

2
2



=
+
12005
2
12005
2
12005
2
2
2
3
2
2
2
2



=
+
..
(2). Dãy 2: Dãy luỹ thừa

n
a
1
với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính :
10032
2
1
...
2
1
2
1
2
1
++++=
A
Bài 2.2: Tính:
10099432
2
1
2
1
...
2
1
2

1
2
1
2
1
+++=
B
Bài 2.3: Tính:
9953
2
1
...
2
1
2
1
2
1
++++=
C
Bài 2.4: Tính:
581074
2
1
...
2
1
2
1
2

1
2
1
++=
D
Bài 2.5: Cho
n
n
A
3
13
...
27
26
9
8
3
2

++++=
. Chứng minh
2
1
>
nA
3
Bài 2.6: Cho
98
98
3

13
...
27
28
9
10
3
4
+
++++=
B
. Chứng minh B < 100.
Bài 2.7: Cho
9932
4
5
...
4
5
4
5
4
5
++++=
C
. Chứng minh:
3
5
<
C

Bài 2.8: Cho
22222222
10.9
19
...
4.3
7
3.2
5
2.1
3
++++=
D
. Chứng minh: D < 1.
Bài 2.9: Cho
10032
3
100
...
3
3
3
2
3
1
++++=
E
. Chứng minh:
4
3

<
E
Bài 2.10: Cho
n
n
F
3
13
...
3
10
3
7
3
4
32
+
++++=
với n

N
*
. Chứng minh:
4
11
<
F
Bài 2.11: Cho
10032
3

302
...
3
11
3
8
3
5
++++=
G
. Chứng minh:
2
1
3
9
5
2
<<
G
Bài 2.12: Cho
10032
3
601
...
3
19
3
13
3
7

++++=H
. Chứng minh:
5
9
7
3
<<
H
Bài 2.13: Cho
10032
3
605
...
3
23
3
17
3
11
++++=
I
. Chứng minh: I < 7
Bài 2.14: Cho
10132
3
904
...
3
22
3

13
3
4
++++=
K
. Chứng minh:
4
17
<
K
Bài 2.15: Cho
10032
3
403
...
3
15
3
11
3
7
++++=L
. Chứng minh: L < 4,5.
(3). Dãy 3: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
Bài 3.1: Tính:
2500
2499
.....
25
24

.
16
15
.
9
8
=
A
.
Bài 3.2: Cho dãy số:
,...
35
1
1,
24
1
1,
15
1
1,
8
1
1,
3
1
1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 3.3: Tính:

=
780
1
1.....
15
1
1
10
1
1
6
1
1
3
1
1B
.
Bài 3.4: Cho
200
199
.....
6
5
.
4
3
.

2
1
=
C
. Chứng minh:
201
1
2
<
C
Bài 3.5: Cho
100
99
.....
6
5
.
4
3
.
2
1
=
D
. Chứng minh:
10
1
15
1
<<

D
4
Bµi 3.6: TÝnh:






+






+






+







+=
1
99
1
....1
4
1
1
3
1
1
2
1
E
Bµi 3.7: TÝnh:






−






−







−






−=
1
100
1
....1
4
1
1
3
1
1
2
1
F
.
Bµi 3.8: TÝnh:
2222
30

899
.....
4
15
.
3
8
.
2
3
=
G
.
Bµi 3.9: TÝnh:
64
31
.
62
30
....
10
4
.
8
3
.
6
2
.
4

1
=
H
.
Bµi 3.10: TÝnh:
1000...001.....100000001.10001.101
/12
 
sc
n
I
−
=
Bµi 3.11: Cho






−






−







−






−=
1
100
1
....1
4
1
1
3
1
1
2
1
2222
K
. So s¸nh K víi
2
1
−

Bµi 3.12: So s¸nh






−






−






−






−=
20

1
1....
4
1
1
3
1
1
2
1
1L
víi
21
1
Bµi 3.13: So s¸nh






−






−







−






−=
100
1
1.....
16
1
1
9
1
1
4
1
1M
víi
19
11
Bµi 3.14: TÝnh:
51.49

50
.....
5.3
4
.
4.2
3
.
3.1
2
2222
=
N
Bµi 3.15: TÝnh






−






−







−






−=
7
10
1.....
7
3
1
7
2
1
7
1
1P
.
Bµi 3.16: TÝnh:







−






−






−






−=
2007
2
1.....
7
2
1

5
2
1
3
2
1Q
Bµi 3.17: TÝnh:






−






−






−







−=
99
1
2
1
.....
7
1
2
1
5
1
2
1
3
1
2
1
T
Bµi 3.18: So s¸nh:
40.....23.22.21
39.....7.5.3.1
=
U
vµ
12

1
20
−
=
V
Bµi 3.19: Cho






+






+






+







+=
101.99
1
1.....
5.3
1
1
4.2
1
1
3.1
1
1V
. Chøng minh V < 2.
Bµi 3.20: Cho
199
200
.....
5
6
.
3
4
.
1
2
=

S
. Chøng minh:
400201
2
<<
S
Bµi 3.21: Cho
210
208
....
12
10
.
9
7
.
6
4
.
3
1
=
A
. Chøng minh:
25
1
<
A
Bµi 3.22: TÝnh:
101.100

100
.....
4.3
3
.
3.2
2
.
2.1
1
2222
=
B
5