Phương trình hàm Cauchy và ứng dụng

Mục lục
Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính . . . . . . .

3

1.2

Nghiệm của phương trình Cauchy mũ . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Nghiệm của phương trình Cauchy lôgarit . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều biến . . . . . . . .

5

2 Ứng dụng của phương trình hàm Cauchy

7

2.1

Diện tích hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Định nghĩa lôgarit

2.3

Lãi đơn và lãi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4

Phân rã phóng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5

Đặc trưng của phân phối hình học

2.6

Đặc trưng của phân phối chuẩn rời rạc. . . . . . . . . . . . . . 18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

. . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Một số ứng dụng khác của phương trình hàm
3.1

8

22

Tổng lũy thừa của số nguyên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1

Tổng của n số tự nhiên đầu tiên . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2

Tổng bình phương của n số tự nhiên đầu tiên. . . . . . 24

3.1.3

Tổng lũy thừa bậc k của n số tự nhiên đầu tiên . . . . 25
i


MỤC LỤC

ii

3.2

Tổng lũy thừa của các số hạng trong một cấp số cộng . . . . . 28

3.3

Số cặp có thể có giữa n vật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4

Lực lượng của một tập lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5

Tổng của một số chuỗi hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


Mở đầu
Lý thuyết các phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu
cơ bản của Giải tích toán học. Các dạng toán về phương trình hàm rất phong
phú và đa dạng và được nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán học như N.H.Abel,
J.Bolyai, A.L.Cauchy, J.d’Alembert, L.Euler, C.F.Gauss, J.L.W.V.Jensen,

J.V.Pesider, S.D.Poisson, . . . Mỗi nhà toán học tiếp cận phương trình hàm
theo các mục tiêu nghiên cứu khác nhau.
Mặc dù lý thuyết phương trình hàm đã được nghiên cứu cách đây hơn 260
năm nhưng nó thực sự phát triển mạnh mẽ trong 60 năm trở lại đây. Trong
đó phương trình hàm Cauchy là cơ bản và có vai trò quan trọng trong lĩnh
vực phương trình hàm. Phương trình hàm Cauchy thường gặp có phương
trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy mũ, phương trình
hàm Cauchy lôgarit.
Phương trình Cauchy có nhiều ứng dụng và đã trở thành công cụ hỗ trợ
đắc lực trong đại số, hình học, toán ứng dụng, vật lý, lý thuyết thông tin,
khoa học máy tính, . . .
Trong khóa luận này, chúng tôi xin trình bày một số ứng dụng nổi bật
của phương trình hàm Cauchy trong hình học, đại số, xác suất thống kê, vật
lý. Hầu hết các kết quả trình bày trong khóa luận được tham khảo từ tài liệu
[2].
Khóa luận gồm 3 chương với nội dung như sau:
Chương 1 trình bày các định nghĩa, định lý, mệnh đề quan trọng về
phương trình hàm Cauchy.
Chương 2 trình bày cách tìm một số công thức nổi tiếng bằng cách sử
1


MỤC LỤC

2

dụng phương trình hàm Cauchy.
Chương 3 trình bày một số ứng dụng khác của phương trình hàm Cauchy
để giải một số bài toán.
Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn

Sum, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian
thực hiện luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến
thầy cô, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
khóa luận này.
Quy Nhơn, ngày 20 tháng 05 năm 2015


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Nghiệm của phương trình hàm Cauchy
cộng tính

Cho hàm f : R → R, trong đó R là tập số thực.
Hàm f thỏa mãn phương trình hàm
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

(1.1)

được gọi là nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính.
Định nghĩa 1.1. Hàm f : R → R được gọi là hàm cộng tính nếu nó thỏa
mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.
Định nghĩa 1.2. Hàm f : R → R được gọi là hàm tuyến tính nếu và chỉ
nếu nó có dạng
∀x ∈ R,

f (x) = cx,
trong đó c là hằng số bất kì.

Định lý 1.1. Cho hàm f : R → R là một hàm số liên tục thỏa mãn phương
trình hàm Cauchy cộng tính (1.1). Khi đó f tuyến tính; nghĩa là, f (x) = cx
trong đó c là một hằng số bất kì.
3


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

Định lý 1.2. Nếu một hàm cộng tính thực f bị chặn hoặc đơn điệu thì f
tuyến tính.
Định lý 1.3. Nếu một hàm cộng tính thực f bị chặn trên đoạn [a, b] thì f
tuyến tính; nghĩa là, tồn tại một hằng số c sao cho f (x) = cx, ∀x ∈ R.

1.2

Nghiệm của phương trình Cauchy mũ

Cho phương trình hàm sau
f (x + y) = f (x)f (y).

(1.2)

Định lý 1.4. Nếu phương trình hàm (1.2), nghĩa là,
f (x + y) = f (x)f (y),
thỏa mãn với mọi số thực x, y thì nghiệm tổng quát của (1.2) được cho bởi
f (x) = eA(x) hoặc f (x) = 0 ∀x ∈ R,
trong đó A : R → R là hàm cộng tính.

Hệ quả 1.1. Cho f là nghiệm của phương trình hàm (1.2), nghĩa là,
f (x + y) = f (x)f (y) thỏa mãn với mọi số thực x, y. Khi đó nghiệm liên tục
tổng quát của (1.2) được cho bởi
f (x) = ecx hoặc f (x) = 0

∀x ∈ R,

trong đó c là một hằng số thực bất kì.

1.3

Nghiệm của phương trình Cauchy lôgarit

Xét phương trình hàm Cauchy
f (xy) = f (x) + f (y).

(1.3)


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

Định lý 1.5. Nếu f là nghiệm của phương trình hàm (1.3), tức là,
f (xy) = f (x) + f (y),
thỏa mãn với mọi x, y ∈ R \ {0} thì nghiệm tổng quát của (1.3) được cho bởi
f (x) = A(ln |x|) ∀x ∈ R \ {0},
trong đó A là hàm cộng tính.
Hệ quả 1.2. Nghiệm tổng quát của phương trình hàm (1.3) thỏa mãn với
mọi x, y ∈ R+ được cho bởi

f (x) = A(ln x),
trong đó A : R+ → R là hàm cộng tính.
Hệ quả 1.3. Nghiệm tổng quát của phương trình hàm (1.3) thỏa mãn với
mọi x, y ∈ R được cho bởi
f (x) = 0

∀x ∈ R.

Hệ quả 1.4. Nghiệm liên tục tổng quát của phương trình hàm (1.3) thỏa mãn với mọi
x, y ∈ R \ {0} được cho bởi
f (x) = c ln |x|

∀x ∈ R \ {0},

trong đó c là hằng số thực bất kì.

1.4

Phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều
biến

Cho f : Rn → R là một hàm thỏa mãn
f (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) + f (y1 , y2 , . . . , yn )


CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

6

với mọi (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn , được gọi là phương trình

hàm Cauchy cộng tính nhiều biến.
Trường hợp n = 2 ta có:
f (x1 + y1 , x2 + y2 ) = f (x1 , x2 ) + f (y1 , y2 ), ∀x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R.

(1.4)

Định lý 1.6. Nghiệm tổng quát f : R2 → R của phương trình hàm (1.4)
được cho bởi
f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ),
trong đó A1 , A2 : R → R cộng tính.
Định lý 1.7. Nếu f : R2 → R là cộng tính trên R2 thì tồn tại các hàm cộng
tính A1 , A2 : R → R sao cho
f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ R.
Định lý 1.8. Nếu f : R2 → R là một hàm cộng tính liên tục trên R2 , khi
đó tồn tại các hằng số c1 , c2 sao cho
f (x1 , x2 ) = c1 x1 + c2 x2 , ∀x1 , x2 ∈ R.
Mệnh đề 1.1. Nếu một hàm cộng tính f : R2 → R liên tục theo từng biến
thì hàm đó liên tục.


Chương 2
Ứng dụng của phương trình
hàm Cauchy
Nhiều phương trình hàm có nguồn gốc từ các ứng dụng thực tiễn. Hiện
nay các vấn đề trong khoa học và kĩ thuật thường được mô hình hóa bởi
các phương trình vi phân (ODE) hoặc các phương trình vi phân từng phần
(PDE). Trước sự phát triển của ODE hay PDE, các quá trình vật lý được
giải tích hóa bằng cách sử dụng các hàm.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một vài ứng dụng của phương
trình hàm Cauchy. Trong mục 1, chúng tôi trình bày công thức tính diện tích

hình chữ nhật theo Legendre (1971). Trong quá trình suy ra công thức này,
ta ứng dụng phương trình hàm Cauchy 2 biến. Ở mục 2, bằng cách sử dụng
tính chất cộng của tích phân xác định, ta thấy rằng
x
1

1
dt = ln(x)
t

với x ∈ (0, ∞). Trong quá trình suy ra kết quả này, chúng ta sử dụng phương
trình hàm Cauchy lôgarit. Trong nhiều sách tính toán tích phân bên trái được
sử dụng để xác định lôgarit tự nhiên. Trong mục 3 cho ta công thức tính lãi
đơn và lãi kép bằng cách sử dụng phương trình hàm. Vì một chất phóng xạ
phân rã theo thời gian nên cần thiết có một công thức tính lượng chất phóng
7


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

8

xạ còn lại tại một thời điểm t nào đó bất kì. Sử dụng phương trình hàm mũ
Cauchy, ta tìm được công thức phân rã phóng xạ. Mục 5 đến mục 7 sẽ trình
bày ba ứng dụng của phương trình hàm Cauchy trong lý thuyết xác suất.
Ở mục 5, phân phối xác suất hình học được đặc trưng bởi tính chất không
nhớ. Mục 6 xử lí các đặc trưng của phân phối chuẩn rời rạc. Trong mục 7 sẽ
trình bày một trong các đặc trưng lâu đời nhất của phân phối chuẩn.

2.1

Diện tích hình chữ nhật
Năm 1791, Legendre đã cho ra công thức tính diện tích hình chữ nhật

bằng cách sử dụng phương trình hàm Cauchy cộng tính. Để đưa ra công thức
này ta cần sử dụng định lý sau đây.

Định lý 2.1. Cho hàm f : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn phương trình hàm
Cauchy cộng tính f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ [0, ∞) nếu và chỉ nếu
f (x) = cx, trong đó c là một hằng số thực không âm.
Chứng minh. Chú ý rằng f bị chặn dưới vì 0

f (x), ∀x

0. Vì mọi nghiệm

bị chặn dưới của phương trình hàm Cauchy cộng tính là tuyến tính nên f là
tuyến tính và do đó ta có f (x) = cx với hằng số không âm bất kì c ∈ R.
Xét hình chữ nhật có chiều dài b và chiều rộng a như hình dưới đây.

Hình 2.1. Hình chữ nhật có chiều dài b và chiều rộng a.


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

9

Rõ ràng diện tích của hình chữ nhật sẽ phụ thuộc vào độ dài của a và b.
Vì vậy diện tích A của hình chữ nhật là một hàm theo a và b. Do đó
A = f (a, b).

Ta chia hình chữ nhật này thành hai hình chữ nhật nhỏ hơn bằng cách kẻ
một đường thẳng song song với chiều dài sao cho

a = a1 + a2 (xem hình

dưới)

Hình 2.2. Các hình chữ nhật thu được bằng cách chia dọc theo chiều rộng.
Khi đó diện tích ban đầu A bằng tổng hai diện tích A1 và A2 ; suy ra,
A = A1 + A2

do đó f (a, b) = f (a1 , b) + f (a2 , b).
Vì a = a1 + a2 , phương trình trở thành
f (a1 + a2 , b) = f (a1 , b) + f (a2 , b).

(2.1)

Chú ý rằng (2.1) đúng với mọi a1 , a2 , b ∈ [0, ∞). Tương tự, chia hình chữ
nhật ban đầu thành hai hình chữ nhật nhỏ hơn bằng cách kẻ một đường
thẳng song song với chiều rộng (xem Hình 2.3), ta được
f (a, b1 + b2 ) = f (a, b1 ) + f (a, b2 )

(2.2)

với mọi a, b1 , b2 ∈ [0, ∞). Vì diện tích luôn dương nên ta có f (a, b) ≥ 0.


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

10

Hình 2.3. Các hình chữ nhật thu được bằng cách chia dọc theo đáy.
Áp dụng Định lý 2.1 cho (2.1), suy ra
f (a1 + a2 , b) = f (a1 , b) + f (a2 , b)
với b cố định thì ta có
f (a, b) = ka,

(2.3)

trong đó k là hằng số phụ thuộc vào b và k ≥ 0. Vì vậy
f (a, b) = k(b)a.

(2.4)

Kết hợp (2.2) và (2.4), ta thu được
k(b1 + b2 )a = k(b1 )a + k(b2 )a;
suy ra
k(b1 + b2 ) = k(b1 ) + k(b2 )
với mọi b1 , b2 ∈ R+ . Do đó theo Định lý 2.1, ta được
k(b) = αb,

(2.5)

trong đó α là một hằng số thực bất kì. Từ (2.3) và (2.5) cho ta
f (a, b) = αab.

(2.6)

Vì f (a, b) ≥ 0 buộc α là hằng số dương và nó liên kết với đơn vị diện tích.

CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

2.2

11

Định nghĩa lôgarit

Trong các phép tính toán sơ cấp, lôgarit được định nghĩa thông qua tích
phân. Anton định nghĩa lôgarit tự nhiên như sau
x

ln x =
1

1
dt
t

(2.7)

với x ∈ (0, ∞). Ta sẽ chứng minh rằng
x
1

1
dt
t

đúng bằng ln x và ta không xem nó như một định nghĩa mà đúng hơn đó là
kết quả của tính chất tích phân. Ta chứng minh điều này bằng việc chỉ ra
rằng tích phân trên là một hàm số theo biến x thỏa mãn phương trình hàm
Cauchy lôgarit.
Ta định nghĩa Φ : R+ → R như sau
x

Φ(x) =
1

1
dt,
t

x > 0.

Do đó, trong trường hợp x, y ∈ (1, ∞), ta có
x

1
dt +
1 t
x
1
=
dt +
1 t
xy
1

=
dw
w
1

φ(x) + φ(y) =

y

1
dt
1 t
xy
1
dz, với z = tx,
z
x

= φ(xy).
Các trường hợp khác được thực hiện một cách tương tự. Do đó ta thu được
φ(xy) = φ(x) + φ(y),

(2.8)

với mọi x, y ∈ R+ . Vì φ khả vi do đó nó liên tục. Vì vậy phương trình (2.8)
cho ta
φ(x) = c ln x,


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

12

trong đó c là một hằng số.
Sử dụng tổng Riemann, biểu thức trên được viết như sau
e

φ(e) =
1

1
dt = 1.
t

Vậy ta được c = 1 và φ(x) = ln x.
Vậy ta đã chứng minh xong

2.3

x 1
dt
1 t

= ln x.

Lãi đơn và lãi kép

Tiếp theo ta suy ra công thức tính lãi đơn và lãi kép bằng cách sử dụng
phương trình hàm Cauchy cộng tính. Cho f (x, t) là giá trị tương lai của vốn
x được đầu tư trong khoảng thời gian t. Khi đó, lãi suất đơn là hàm f (x, t)

thỏa mãn
f (x + y, t) = f (x, t) + f (y, t)
và
f (x, t + s) = f (x, t) + f (x, s)
với mọi x, y, t, s ∈ R+ . Do đó
f (x, t) = kxt,
trong đó k là hằng số dương bất kì phụ thuộc vào đơn vị.
Bây giờ ta suy ra công thức tính lãi suất kép. Đặt f (x, t) là giá trị tương
lai của vốn x được đầu tư trong khoảng thời gian t. Khi đó lãi suất kép là
hàm f (x, t) thỏa mãn các phương trình
f (x + y, t) = f (x, t) + f (y, t)
f (x, t + s) = f (f (x, t), s)

(2.9)
(2.10)

với mọi x, y, t, s ∈ R+ . Phương trình đầu tiên nói rằng giá trị tương lai của
vốn x + y sau khi được đầu tư trong thời gian t bằng tổng giá trị tương lai


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

13

của vốn x sau khi đầu tư trong thời gian t và vốn y sau khi được đầu tư
trong thời gian t. Phương trình thứ hai nói rằng giá trị tương lai của vốn x
đã được đầu tư trong thời gian t + s bằng giá trị tương lai của vốn f (x, t)
được đầu tư trong thời gian s. Theo giả thiết, f (x, t) là liên tục theo từng
biến. Do đó nghiệm của (2.9) là
f (x, t) = c(t)x,

(2.11)

trong đó c : R+ → R. Kết hợp (2.10) và (2.11), ta được
c(t + s)x = c(t)c(s)x.

(2.12)

c(t + s) = c(t)c(s)

(2.13)

Do đó ta có

với mọi s, t ∈ R+ . Nghiệm liên tục của (2.13) là c(t) = eλt , trong đó λ là một
hằng số bất kì. Cho λ = ln(1 + r) ta được
f (x, t) = x(1 + r)t ,

r ≥ 0.

Đây là công thức nổi tiếng để tính lãi suất kép.

2.4

Phân rã phóng xạ

Cho m0 (gam) là lượng lúc đầu của một nguyên tố phóng xạ. Đặt m(t)
là lượng phóng xạ tại thời điểm t. Giả sử rằng tốc độ thay đổi của m(t) tỉ lệ
thuận với m(t). Khi đó,
m (t) = −λm(t).

Vì vậy
m(t) = αe−λt
hay
m(t) = m0 e−λt .

(2.14)


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

14

Do đó (2.14) cho ta công thức tìm lượng phóng xạ hiện tại vào thời điểm t
với điều kiện là lượng phóng xạ ban đầu là m0 và thời gian là t. Ở đây λ là
hằng số phân hủy.
Bây giờ ta suy ra công thức (2.14) bằng việc sử dụng phương trình hàm.
Cho f (t) là hàm biểu thị mối quan hệ giữa lượng phóng xạ tại thời điểm t
và lượng phóng xạ lúc đầu m0 , để cho
m(t) = m0 f (t).
Lượng chất phóng xạ tại thời điểm t + h có thể được trình bày theo hai cách
như sau (hình vẽ bên dưới):

m(t + h) = m0 f (t + h)
và
m(t + h) = m0 f (t)f (h).
Do đó
m0 f (t + h) = m0 f (t)f (h)
với mọi t, h ∈ R+ . Vì vậy
f (t + h) = f (t)f (h).
Theo quan điểm ứng dụng, f có thể được giả thiết là liên tục. Khi đó nghiệm

của phương trình hàm trên được cho bởi
f (t) = eαt ,


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

15

trong đó α là hằng số thực. Do đó ta có
m(t) = m0 f (t)
= m0 eαt .
Bởi vì m(t) giảm theo thời gian t nên hằng số α phải âm, cho
α = −λ (λ > 0), ta thu được
f (t) = m0 e−λt .
Hằng số λ được gọi là hằng số phân hủy.

2.5

Đặc trưng của phân phối hình học

Trong phần này, bằng cách sử dụng phương trình hàm mũ Cauchy chúng
tôi trình bày về đặc trưng của phân phối hình học theo thuộc tính không
nhớ.
Một biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối hình học nếu hàm mật
độ xác suất được cho bởi
f (x) = (1 − p)x−1 p,

x = 1, 2, 3, . . . ,

trong đó p ∈ [0, 1] là một tham số. Ở đây p thường dùng để chỉ xác suất

thành công. Nếu X là một biến ngẫu nhiên hình học, thì nó chỉ số phép thử
để lần đầu tiên biến cố xuất hiện.
Một biến ngẫu nhiên X được gọi là không nhớ nếu nó thỏa mãn
P (X > m + n \ X > n) = P (X > m), ∀m, n ∈ N.
Bây giờ ta chứng minh rằng một biến ngẫu nhiên X có phân phối hình
học nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn tính chất không nhớ.
Ta có tính chất không nhớ là
P (X > m + n \ X > n) = P (X > m).


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

16

Vì
P ((X > m + n) \ (X > n)) =

P ((X>m+n)∩(X>n))
,
P (X>n)

nên ta thu được
P ((X > m + n) ∩ (X > n)) = P (X > m)P (X > n).
Điều này dẫn đến
P (X > m + n) = P (X > m)P (X > n),

m, n ∈ N.

Nếu X là biến ngẫu nhiên hình học thì
X ∼ (1 − p)x−1 p,

khi đó
∞

(1 − p)x−1 p

P (X > m + n) =

x=m+n+1

= (1 − p)m+n
= (1 − p)n (1 − p)m
= P (X > n)P (X > m).
Do đó phân phối hình học thỏa mãn thuộc tính không nhớ.
Tiếp theo, cho X là một biến ngẫu nhiên bất kì thỏa mãn thuộc tính
không nhớ,
P (X > m + n) = P (X > m)P (X > n), ∀m, n ∈ N.
Ta cần chứng minh X là biến ngẫu nhiên hình học.
Ta định nghĩa hàm g : N → R như sau
g(n) = P (X > n).
Khi đó ta được
g(m + n) = g(m)g(n), ∀m, n ∈ N.


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

17

Do đó nghiệm tổng quát (thậm chí không liên tục) của phương trình hàm
trên là
g(n) = an ,

ở đây a là một hằng số. Do đó
P (X > n) = an
hay
1 − F (n) = an ,
với F (n) là hàm phân phối. Vì vậy
F (n) = 1 − an .
Vì F (n) là hàm phân phối nên ta có
1 = lim F (n).
n→∞

Từ trên, ta kết luận rằng 0 < a < 1. Đặt a = 1 − p, khi đó
F (n) = 1 − (1 − p)n .
Ta có hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X như sau
f (1) = F (1) = p
f (2) = F (2) − F (1)
= 1 − (1 − p)2 − p
= (1 − p)p
f (3) = F (3) − F (2)
= 1 − (1 − p)3 − 1 + (1 − p)2
= (1 − p)2 p.
Vì vậy bằng cách quy nạp, ta thu được
f (x) = (1 − p)x−1 p,
Do đó

X ∼ Geo(p).

x = 1, 2, 3, . . . , ∞.


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

2.6

18

Đặc trưng của phân phối chuẩn rời rạc.

Cho phương trình hàm sau:
f (x21 + x22 + . . . + x2n ) = f (x21 ) + f (x22 ) + . . . + f (x2n )
với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ Z.
Nếu n = 2 thì
f (x21 + x22 ) = f (x21 ) + f (x22 )

(2.15)

với mọi x1 , x2 ∈ Z. Một nghiệm của phương trình trên là
f (x) = kx,

x ∈ Z.

(2.16)

Tuy nhiên, (2.16) không phải là nghiệm duy nhất. Ví dụ,



0 nếu x = 0 (mod 4)


f (x) = 1 nếu x = 1 (mod 4)




2 nếu x = 2 (mod 4)
cũng là một nghiệm của (2.15). Tương tự, phương trình hàm
f (x21 + x22 + x23 ) = f (x21 ) + f (x22 ) + f (x23 )
cũng có nghiệm không tuyến tính


0




1
f (x) =


2




3

(2.17)

nếu x = 0 (mod 4)
nếu x = 1 (mod 4)
nếu x = 2 (mod 4)

nếu x = 3 (mod 4)

bên cạnh nghiệm tuyến tính f (x) = kx.
Nếu n ≥ 4, ta sẽ chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình hàm
f (x21 + x22 + . . . + x2n ) = f (x21 ) + f (x22 ) + . . . + f (x2n )
với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ Z là tuyến tính.
Ta cần sử dụng định lý sau đây để tìm nghiệm tổng quát.

(2.18)


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

19

Định lý 2.2. Mọi số nguyên dương n là tổng bình phương của nhiều nhất
bốn số nguyên dương, đó là n = a2 + b2 + c2 + d2 , a, b, c, d ∈ N.
Ví dụ 2.1. Các số nguyên 1, 2, 3, 4, 5 có thể được biểu diễn như sau



12 + 0 2 



2
2

=
1 +1 




2
2
2
=
1 +1 +1 

= 12 + 12 + 1 2 + 1 2 



2

=
2



2
2
=
2 +1 

1 =
2
3
4

5

(2.19)

Định lý 2.2 xuất hiện lần đầu tiên trong cuốn Arithmetica được viết bởi
Diophantus do Bachet dịch sang tiếng Latin năm 1621. Định lý này không
được chứng minh mãi đến khi Josephe Louis Lagrange chứng minh năm 1770.
Định lý 2.2 trên được gọi là định lý bốn bình phương.
Theo Dasgupta (1993), chúng ta sẽ giới thiệu nghiệm của phương trình
hàm (2.18) trong định lý kế tiếp.
Định lý 2.3. Cho n ≥ 4 là một số nguyên. Hàm f : Z → R thỏa mãn
phương trình
f (x21 + x22 + . . . + x2n ) = f (x21 ) + f (x22 ) + . . . + f (x2n )

(2.20)

với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ Z nếu và chỉ nếu
f (x) = kx,
trong đó k là một hằng số bất kì.
Chứng minh. Chú ý rằng f (0) = 0. Trong (2.20) cho x5 = . . . = xn = 0, ta
được
f (x21 + x22 + x23 + x24 ) = f (x21 ) + f (x22 ) + f (x23 ) + f (x24 )

(2.21)


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

20

với mọi x1 , x2 , x3 , x4 ∈ Z. Sử dụng (2.19) và (2.21), ta thấy rằng
f (1) = 1f (1)
f (2) = 2f (1)
f (3) = 3f (1)
f (4) = 4f (1)
f (5) = f (22 ) + f (12 ) = f (4) + f (1) = 4f (1) + f (1)
= 5f (1).
Vì vậy ta được
f (m) = km

(2.22)

với m ≤ 5, ở đây k = f (1).
Bây giờ bằng quy nạp, ta chỉ ra rằng (2.22) đúng với mọi số nguyên
dương.
Giả sử
f (m) = km
với mọi số nguyên m ≤ q − 1, ta cần chứng minh
f (q) = kq.

Vì q là một số nguyên dương nên theo Định lý 2.2
q = x21 + x22 + x23 + x24 ,

(2.23)

trong đó có ít nhất hai số xi khác không (vì q > 5). Khi đó
x2i ≤ q − 1
với i = 1, 2, 3, 4. Do đó
f (q) = f (x21 + x22 + x23 + x24 )
= f (x21 ) + f (x22 ) + f (x23 ) + f (x24 )

= k(x21 + x22 + x23 + x24 ) (giả thiết quy nạp)
= kq.

(2.24)


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
Vì vậy
f (q) = kq.
Do đó
f (x) = kx
với mọi x ∈ Z.

21


Chương 3
Một số ứng dụng khác của
phương trình hàm
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng khác của phương
trình hàm Cauchy để giải một số bài toán. Bằng cách sử dụng phương trình
hàm Cauchy cộng tính ta có thể tính được tổng lũy thừa bậc k của n số tự
nhiên đầu tiên (với k = 1, 2, 3), biết được số cặp có thể có ở giữa n vật và
đặc biệt là có thể tìm được tổng của chuỗi số hữu hạn.

3.1

Tổng lũy thừa của số nguyên.

Cho

fk (n) = 1k + 2k + . . . + nk ,

(3.1)

trong đó n là một số nguyên dương và k là một số nguyên không âm. fk (n)
biểu thị tổng lũy thừa bậc k của n số tự nhiên đầu tiên.
Chú ý fk : N → N trong đó

k = 0, 1, 2, . . .

22


CHƯƠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 23

3.1.1

Tổng của n số tự nhiên đầu tiên

Ta có
f1 (m + n) = 1 + 2 + 3 + . . . + m + (m + 1) + . . . + (m + n)
= f1 (m) + (m + 1) + (m + 2) + . . . + (m + n)

= f1 (m) + f1 (n) + mn

(3.2)

với mọi m, n ∈ N. Ta định nghĩa hàm g1 : N → R như sau
1
g1 (x) = f1 (x) − x2 ,

2

với x ∈ N.

(3.3)

Khi đó
1
g1 (m + n) = f1 (m + n) − (m + n)2
2
1
= f1 (m) + f1 (n) + mn − (m2 + 2mn + n2 )
2
1 2
1
= f1 (m) − m + f1 (n) − n2
2
2

= g1 (m) + g1 (n),

m, n ∈ N.

(3.4)

Nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính (3.4) trên N là
g1 (n) = cn,

(3.5)

trong đó c là hằng số. Từ (3.3) và (3.5), ta có
1
f1 (n) = cn + n2 .
2
Vì
f1 (1) = 1
nên
1
1=c+ ,
2

(3.6)