Các mặt cong phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính

i

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN .................................................................................... iv
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................... v
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .......................... vi
DANH MỤC CÁC HÌNH ................................................................. vii
MỞ ĐẦU ............................................................................................ 8
Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC .................. 12
1.1. ĐƯỜNG CONG .......................................................................... 12
1.1.1. Biểu diễn đường cong ............................................................. 12
1.1.2. Ðặc tính của đường cong ........................................................ 13
1.1.2.1. Độ chảy ................................................................................ 13
1.1.2.2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị......................................................... 14
1.1.2.3. Vectơ pháp tuyến chính ........................................................ 14
1.1.2.4. Độ cong và bán kính cong .................................................... 15
1.1.2.5. Độ xoắn của đường cong ...................................................... 15
1.2. MẶT CONG................................................................................ 16
1.2.1. Phương pháp biểu diễn mặt cong ............................................ 16
1.2.1.1. Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn............................. 16
1.2.1.2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số .................... 16
1.2.1.3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số .............177
1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong .................................. 17
1.2.3. Độ cong .................................................................................. 19


ii

1.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ ................................................ 21
1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D ............................................................ 21

1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D ............................................................ 23
1.3.3. Phép ánh xạ .............................................................................. 25
1.3.4. Khung tọa độ ............................................................................ 26
1.4. TỔNG KẾT CHƯƠNG .................................................................. 27
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC ................................................................ 29
2.1.

MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG29

2.1.1. Giới thiệu chung về phương trình đạo hàm riêng ................................ 29
2.1.2. Phương trình eliptic và phương pháp giải ................................. 31
2.1.2.1.Phương pháp tách biến Fourier ............................................... 31
2.1.2.2.Phương pháp sai phân ............................................................. 32
2.1.2.3.Phương pháp phần tử hữu hạn ................................................ 33
2.2. PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH
ELIPTIC CẤP BỐN ..................................................................................... 35
2.3. PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH
TAM ĐIỀU HÒA ......................................................................................... 42
2.4. PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH
CẤP SÁU KHÁC......................................................................................... 50
2.5. TỔNG KẾT CHƯƠNG ............................................................... 56
CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT
CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA VÀ PHƯƠNG TRÌNH
PDE CẤP SÁU KHÁC ................................................................................ 57
3.1. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ
PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA .......................................................... 57
3.2. XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ
PHƯƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC .................................................. 61

iii

3.3 TỔNG KẾT CHƯƠNG ................................................................ 64
KẾT LUẬN....................................................................................... 65
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................... 66


iv

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại
học, Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học công nghệ thông tin và
truyền thông Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
em trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS. TS Đặng Quang Á –
người đã dành nhiều thời gian, công sức và tận tình hướng dẫn khoa học cho
em trong suốt quá trình hình thành và hoàn chỉnh luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã giảng dạy, truyền đạt cho em
những tri thức quý báu, thiết thực trong suốt khóa học.
Cuối cùng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, người thân, bạn bè,
đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em trong
việc hoàn thành luận văn này.

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015
Tác giả

Lương Ngọc Tú

v

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của GS.TS Đặng Quang Á.
Mọi trích dẫn sử dụng trong báo cáo này đều được ghi rõ nguồn tài
liệu tham khảo theo đúng qui định.
Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi
xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Thái Nguyên, ngày tháng
Tác giả

Lương Ngọc Tú

năm 2015


vi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Tiếng Anh
Từ viết tắt

Tên đầy đủ

Diễn giải

CAD

Computer Aided Design

PDE

Partial differential equations

Phương trình đạo hàm riêng

CSG

Constructive solid geometry

Phương pháp hình học lập thể

B-rep

Boundary representation

Phương pháp biểu diễn biên

FFD

free-form deformation

Tự do biến dạng

Hệ thống thiết kế có sự trợ giúp
của máy tính

vii

DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1. Tham số hóa đường tròn đơn vị.............................................................. 12
Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đường tròn mật tiếp .................................... 15
Hình 1.3. Hình học mặt cong ................................................................................. 17
Hình 1.4. Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến ............................... 18
Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D
Hình 1.6. Phép biến đổi tọa độ dưới hình thức hệ tọa độ chuyển động
Hình 2.1. Bề mặt bình tạo ra bởi nghiệm đóng của PDEs....................................... 31
Hình 2.2. Các dạng bề mặt bằng cách thay đổi các điều kiện biên tiếp tuyến. ....... 33

Hình 2.3. Các mặt cong PDE tương ứng với các điều kiện biên cụ thể. .................. 41
Hình 2.4. Các mặt cong PDE tương ứng với các điều kiện biên cụ thể. .................. 41
Hình 3.1. Thiết kế đối tượng bằng phương trình tam điều hòa ............................... 52
Hình 3.2. Thiết kế đối tượng bằng phương trình tam điều hòa ............................... 52
Hình 3.3. Thiết kế đối tượng bằng phương trình cấp sáu khác ............................... 54
Hình 3.4. Thiết kế đối tượng bằng phương trình cấp sáu khác ............................... 55
Hình 3.5. Giao diện mô phỏng đối tượng bằng phương trình tam điều hòa ............ 56
Hình 3.6. Giao diện mô phỏng đối tượng bằng phương trình cấp sáu khác ............ 56


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sinh mặt (surface) là một chủ thể quan trọng trong đồ họa máy tính
(computer graphics) và thiết kế có sự trợ giúp của máy tính (Computer Aided
Design – CAD [1]) các mô hình hóa hình học một cách chi tiết. Nhờ sự phát
triển của công nghệ thông tin, các ngành công nghiệp có liên quan đến ngành

hàng không vũ trụ, điện tử và tự động hóa... sử dụng CAD ngày một nhiều
hơn.
Thông thường thì một quy trình khởi đầu với việc định nghĩa một hình
dạng mẫu được yêu cầu bởi các khái niệm đặc tả hình dạng của sản phẩm và
các chức năng của nó. Quy trình này sau đó xử lý qua một chuỗi các hoạt
động lặp lại cho tới khi đạt được một thiết kế tối ưu. Ngày nay, quy trình của
việc thiết kế tự động theo chức năng dựa trên việc gia tăng sử dụng các máy
tính. Mặc dù việc thiết kế hình dạng dựa trên việc mở rộng sử dụng các máy
tính không cung cấp giải pháp tự động cho một bài toán thiết kế cho trước,
nhưng nó cũng làm tăng tính hiệu quả trong quy trình thiết kế. Bởi vậy, các
quá trình chính của thiết kế các mặt cong bao gồm việc mô tả hiệu quả hình
dáng và thao tác trên các tham số của mô hình biểu diễn.
Mặt có thể biểu diễn tường minh hoặc dạng ẩn và dạng tham số, trong
các dạng này thì dạng tham số là phổ biến nhất trong đồ họa máy tính, thực tại
ảo và CAD. Hầu hết các mặt tham số sử dụng các phương pháp mô hình hóa
dựa trên các điểm điều khiển (control-point based modelling) như Bezier, Bspline và NURBS. Gần đây phương pháp mô hình hóa nhờ phương trình đạo
hàm riêng (Partial differential equations - PDE [2]) được phát triển mạnh mẽ.
Việc sinh mặt sử dụng lời giải của PDE gắn với các điều kiện biên xác định
có thể được xem như phương pháp mô hình hóa dựa trên vật lý (physics-base
modelling). Trong phương pháp này việc lựa chọn phương trình và các điều


9

kiện biên là các yếu tố rất quan trọng. Một số phương pháp cả giải tích và
phương pháp số được phát triển để tìm lời giải cho các phương trình này [6],
[7].
So với các kỹ thuật thông thường được sử dụng trong đồ họa máy tính,
phương pháp thiết kế đồ họa, tạo các bề mặt cong dựa trên phương trình đạo
hàm riêng có rất nhiều lợi thế:

- Sự tác động của một đối tượng PDE được xác định bởi giá trị biên của
các phương trình vi phân do đó các bề mặt có thể dễ dàng được xác định
thông qua các phương trình vi phân bậc cao [5].
- Về nguyên tắc các đối tượng PDE có thể được tái tạo lại từ một tập
nhỏ các điều kiện biên. Thông tin nội bộ của chúng sẽ được tự động thu hồi
thông qua việc giải các phương trình vi phân. Do đó các mô hình PDE yêu
cầu ít tham số hơn các mô hình lập thể dạng tự do tham số.
- Đặc biệt mô hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mô hình
hóa hình khối thông thường, chẳng hạn như các hoạt động dựa trên các
đường, biểu diễn các bề mặt biên. Vì vậy phương pháp PDE có tiềm năng để
tích hợp các phương pháp hình học lập thể (Constructive solid geometry-CSG
[3]), phương pháp biểu diễn biên (Boundary representation- B-rep) v.v.. vào
một khung duy nhất.
- Tham số của mô hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và không
gian vật lý. Do đó các mô hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của
chúng có thể cung cấp nguyên dạng tự do biến dạng (free-form deformation,
FFD) cho các đối tượng nhúng bên trong các mô hình PDE.
- Các đối tượng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và
vật lý trong các mô hình thế giới thực, bởi vậy các yêu cầu không đồng nhất
và khác nhau có thể được thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời.


10

Ngoài ra phương pháp PDE cũng được sử dụng cho các mô hình dạng
ẩn bởi vì các mô hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tượng có
hình dạng tùy ý. Tuy nhiên, cả hai mô hình sử dụng tham số và mô hình ẩn
đều có những mặt mạnh và những hạn chế của riêng chúng. Ví dụ các mô
hình tham số cung cấp các mô tả hình dạng tường minh trong khi đó mô hình
ẩn lại không có được điều này. Do đó, việc sử dụng một cách thống nhất cả

hai phương pháp sẽ có nhiều lợi thế trong việc mô hình hóa hình học [4].
Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và được sự gợi ý của giảng
viên hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Các mặt cong phương trình đạo hàm
riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp
của mình.
2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là phương pháp phương trình đạo hàm
riêng tạo dựng các mặt cong và nắn chỉnh hình dạng của chúng nhờ can thiệp
vào tham số trong chương trình và thay đổi điều kiện biên.
3. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu các kiến thức có liên quan, các cơ sở lý
thuyết như Cơ sở toán học trong thiết kế hình học, các phương pháp, kỹ thuật
được sử dụng trong việc thiết kế hình học, các kỹ thuật sử dụng phương trình
đạo hàm riêng đặc biệt là các dạng phương trình elliptic cấp bốn và cấp sáu kết
hợp với các điều kiện biên ứng dụng trong thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những kiến thức tổng quan về thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể.
- Tìm hiểu phương pháp phương trình đạo hàm riêng ứng dụng trong
thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể.


11

- Cài đặt thuật toán ứng dụng các phương trình đạo hàm riêng để thiết
kế hình dạng trong môi trường Matlab.
5. Những nội dung nghiên cứu chính
Bố cục của luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, đối
tượng và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài. Chương một, tập trung trình bày
những kiến thức cơ bản về thiết kế hình học. Chương hai, trình bày phương
pháp phương trình trình đạo hàm riêng trong thiết kế hình học, các kỹ thuật tạo

bề mặt trong thiết kế bề mặt, phương pháp sinh mặt cong nhờ phương trình
elliptic cấp bốn và cấp sáu. Chương 3, trong chương này chúng tôi đã sử dụng
các kết quả nghiên cứu liên quan đến phương trình đạo hàm riêng để thiết kế
một số hình dạng bằng phương trình elliptic cấp sáu.
Với những kết quả đạt được, phần cuối của luận văn nêu ra những phép
đo tính hiệu quả của nghiên cứu, đánh giá thuật toán và nêu vài đề xuất nhằm
tối ưu thuật toán, đánh giá các kết quả đạt được, những hạn chế và đề xuất
hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp đọc tài liệu
- Phương pháp quan sát
- Phương pháp phân tích – tổng hợp lý thuyết.
- Phương pháp thực nghiệm.


12

Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC
1.1. ĐƯỜNG CONG
Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm
thỏa mãn một số điều kiện.
1.1.1. Biểu diễn đường cong
Về toán học, đường cong có thể được biểu diễn dưới dạng
- Phương trình ẩn.
- Phương trình tường minh.
- Phương trình tham số.
Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x – y), có tâm trùng với gốc hệ
tọa độ trên hình (1.1). Mối quan hệ giữa các tọa độ x và y được mô tả bởi
phương trình
f ( x, y )  x 2  y 2  1  0 Phương trình ẩn

(1.1)

Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là
y  g ( x )  (1  x )1/2 Phương trình tường minh

(1.2)

Nếu đặt góc  giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn,
ta có
x  x( )  cos ; y  y( )  sin Phương trình tham số

(1.3)

Hình 1.1. Tham số hóa đường tròn đơn vị


13

Trường hợp đặt góc  tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì
t  tg  y / ( x  1) Kết hợp với phương trình (1.1) ta có
x  x (t )  (1  t 2 ) / (1  t 2 ); y  y (t )  2t / (1  t 2 )

(1.4)

Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là
phương trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số
hữu tỷ của đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là
tham số hóa.
Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số

x  x (t ); y  y (t ); z  z (t )

hay dưới dạng vectơ r (t )  [x(t ), y(t ), z (t )].
Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách
dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định
đường cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn
g ( x, y, z)  0 biểu diễn bởi mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định

đường cong 3D. Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao
tuyến giữa hai mặt cong.
1.1.2. Ðặc tính của đường cong
Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham
số chuẩn tắc r  r (t )  [x(t ), y(t ), z(t )].
Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm
a. Độ chảy của đường cong.
b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.
1.1.2.1. Độ chảy
Độ lớn của vectơ đạo hàm r '(t ) được gọi là độ chảy của đường cong
S '(t )  r '(t ) .

(1.5)


14

Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trương
cho thời gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe.
Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương

pháp quét hình.
Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong
dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy
của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của
phép tham số hóa.
1.1.2.2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị
Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho


s   r '(t) dt.
0

Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau
T  dr / ds.

(1.6)

T  r '(t )/ | r '(t ) | .

(1.7)

hay dưới dạng vi phân

1.1.2.3. Vectơ pháp tuyến chính
Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hóa giá trị, chúng ta
có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong
N  (dT / dt)/ | dt / dt | (dT / ds)/ | dT / ds |

(1.8)

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 1.2).
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N được gọi là vectơ pháp tuyến
đôi xác định bởi quan hệ B= TxN.


15

Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đường tròn mật tiếp
1.1.2.4. Độ cong và bán kính cong
Cho s là tham số tự nhiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường
cong r(t). Độ cong được định nghĩa như sau
k | dT / ds | ,

(1.9)

hay dưới dạng vi phân
k

| r ' xr '' |
,
| r ' |3

(1.10)

trong đó r '  dr (t ) / dt ; r ''  dr '/ dt .
Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường minh y  y( x) ,
phương trình trên có dạng k  y ''/ (1  y '2 )3/2 ,trong đó y '  dy / dx; y ''  dy '/ dx .
Cho đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2) đi qua điểm hiện
thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm
này.Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường

tròng mật tiếp được gọi là bán kính cong và được xác định bởi   1/ k (1.11)
1.1.2.5. Độ xoắn của đường cong
Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau

  (dB / ds).N , trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp
tuyến đôi. Phương trình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là
phương trình Serect-Frenet


16

dr / ds  T ; dT / ds  kN
dN / ds   B  kT ; dB / ds   N 1

(1.12)

1.2. MẶT CONG
1.2.1. Phương pháp biểu diễn mặt cong
1.2.1.1.

Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn.

Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc tọa độ Đề các.
Các điểm phía trong mặt cầu thỏa bất đẳng thức x 2  y 2  z 2  1  0
và phương trình x 2  y 2  z 2  1  0
(1.13)
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.
Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g ( x, y, z)  0 biểu diễn mặt
cong giới hạn bởi hai nửa không gian g ( x, y, z)  0 và g ( x, y, z)  0 .
1.2.1.2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số

Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép
ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và
được biểu diễn bởi phương trình
r (u, v)  [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] ,

(1.14)

trong đó u và v là tham số của mặt cong.
Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hóa phương trình
(1.13) bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt
cầu

r (u , v)  (cos v cos u ,cos v sin u ,sin v) ,

(1.15)


17

với 0  u  2 và  / 2  v   / 2.
Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hóa phương trình mặt
cầu dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.
1.2.1.3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng (x-y) của hệ tọa độ
Descarte (u  x, v  y) , mô hình tham số (1.14) trở thành phi tham số
r (u, v)  (u, v, z(u, v)) hay z  z ( x, y) .

(1.16)

Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (1.13)

được biểu diễn dưới dạng tường minh
z  (1  x 2  y 2 )1/2 với ( x 2  y 2 )  1 .

(1.17)

Hình học mặt cong được minh họa trên hình (1.3). Ta thường gọi phần
mặt cong trong miền tham số giới hạn là mặt lưới. Các mặt lưới liên kết theo
điều kiện kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp.

Hình 1.3. Hình học mặt cong
1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong
Xét đường cong tham số 2D q(t) trên miền (u,v)của mặt cong tham số
r(u,v) hình (1.4)
q (t )  [u (t ), v (t )]T .

(1.18)


18

Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt
cong r(u,v), sao cho
r (t )  r (u(t ), v(t ))  ( x(u(t ), v(t ), y(u(t ), v(t )), z(u(t ), v(t ))) .

(1.19)

Trường hợp đặc biệt của (1.19) là đường cong đẳng tham số
v  v*, v(t )  t; u  u*, u (t )  t .

Hình 1.4. Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến

1.2.2.1. Vectơ tiếp tuyến
Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau
ru  r /  u ; rv   r /  v; ruv   2 r / u v

(1.20)

Lấy đạo hàm phương trình (1.19) theo t, ta có
r' 

dr r dr r dv


 ru u ' rvv ',
dt u dt v dt

(1.21)

trong đó r’ là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); ruvà rv là vectơ tiếp tuyến
của đường cong đẳng tham số u = u*, v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r’, ruvà
rvxác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4).
1.2.2.2. Vectơ pháp tuyến
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ
pháp tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi


19

n  (ru  rv )/ | ru  rv | .

(1.22)

Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.
1.2.2.3. Ma trận cơ sở thứ nhất
Vectơ tiếp tuyến (1.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận

r '  ruu ' rv v '  q ' ,

(1.23)

trong đó  | ru , rv |; q '  dq (t ) / dt  ( du / dt , dv / dt )  [u ' v ']T .
Giá trị vectơ tiếp tuyến được tính như sau

 ru
T
trong đó G     
 ru rv

| r '2 | (r ')T (r ')  q 'T T q '  q 'T Gq ' ,

(1.24)

ru rv 
 là ma trận cơ sở thứ nhất.
rv 

(1.25)

Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau
T  r '/ | r ' | (q ') / (q 'T Gq ')1/2

(1.26)

Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và
diện tích mặt cắt theo công thức đơn giản sau
1/2

S   ru  rv dudv  | G | dudv .

(1.27)

1.2.3. Độ cong
1.2.3.1. Ma trận cơ sở thứ hai
Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 1.4) từ (1.21), đạo hàm
bậc hai của r(t) theo t có giá trị như sau

r ''  u '(u ' ruu  v ' ruv )  u '' ru  v '(v ' rvv  u ' ruv )  v '' rv .

(1.28)


20

Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt
cong với chú ý rằng ru .n  rv .n  0 , ta có
r ''.n  (u ') 2 ruu n  2u ' v ' ruv n  ( v ') 2 rvv n  q 'T Dq ' ,
 r .n

u '

trong đó q '    và D   uu

v'
 ruv .n

(1.29a)

ruv .n 
 là ma trận cơ sở thứ hai.
rvv .n 

1.2.3.2. Độ cong pháp tuyến
Từ phương trình (1.12) đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau
r '' 

dr ' d ( s ' T )

 s '' T  s ' T '  s '' T  ( s ' kN ).
dt
dt

Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ý rằng
T.n=0

r ''.n  (s ')2 kN .n,

(1.29b)

giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công
thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’|, độ cong pháp tuyến được xác định
bởi công thức sau
kn  kN .n 

r ''.n q 'T Dq ' q 'T Dq '


.
( s ')2
( s ') 2
(q ')T Gq '

(1.30)

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:
Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng



đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong.
Độ cong của đường cong với mặt phẳng

 là độ cong pháp tuyến của mặt

cong tại điểm r(t) theo phương vectơ q’.
1.2.3.3. Độ cong chính
Độ cong pháp tuyến (1.30) là hàm của q’


21

kn (q ') 

q 'T Dq '
,
(q ')T Gq '

do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức
Kn
 2Dq ' 2knGq '  0 .
q '

(1.31)

Giá trị cực đại của bộ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và
được xác định từ (1.30) như sau
kn1 

b  b 2  ac 2
b  b 2  ac 2
; kn 2 
,
a
a

(1.32)

 g1 h 
 d1 e 
g d  g 2d1
;
c


|
D
|

; b 1 2
 eh,



2
 h g2 
 e d2 

trong đó a | G | 

với g1 , g 2 , h, d1 , d 2 , e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D.
Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng
để biểu diễn độ trơn láng của mặt cong.
1.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ
Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học
đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ
lệ và quay.
1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D
Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ.
Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình
1.5a); hệ số tỷ lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay  ngược chiều quay kim đồng
hồ (Hình 1.5c) được xác định như sau
x’ = x + tx; y’ = y + ty ;

(1.33)

x’ = Sx.x; y’ = Sy.y ;

(1.34)


22

x’ =xcos  - ysin  ; y’ = xsin  + ycos 

(1.35)

Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D
Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và
thốngnhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận.
Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không
gian (n+1) chiều.
Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới
dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ
x = x’/h; y = y’/h; z = z’/h,
trong đó h



(1.36)

0 hệ số vô hướng.

Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đề các của điểm P
được nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’)

theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h.
Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34),
(1.35) dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma
trận biến đổi đồng nhất M
P’h= Ph M,

(1.37)

trong đó Ph = (x y 1); P’h= (x’ y’ 1).
Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép


23

lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau
1

T 0
t
 x

a12
1
ty

0
 Sx


0 ; S   0

0
1 


0
Sy
0

0
 cos


0  ; R    sin 
 0
1 


sin 
cos 
0

0

0 .
1 

1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D
Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ
độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với
vectơ dịch chuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau

x’ = x + tx; y’ = y + ty; z’ = z + tz

(1.38)

x’ = sx.x; y’ = sy.y; z’ = sz.z

(1.39)

Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép
dịch chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dưới hình thức tích ma trận bởi
vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S)
P’h = Ph T

(1.40a)

P’h = Ph S,

(1.40b)

trong đó Ph = (x y z 1); P’h = (x’ y’ z’ 1) ;
1 0
0 1
T 
0 0

 tx t y

0 0
 sx



0 0
0
; S 
1 0
0


tz 1 
0

0
sy
0
0

0
0
sz
0

0

0
.
0

1

Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian

3D, phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản
quanh các trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1).


24

Phép quay cơ bản

X'

Y’

Z’

quanh trục x

x' = x

y’ = ycos  - zsin 

z’ = ysin  + zcos 

quanh trục y

x’ = zsin  + xcos 

y’ = y

z’ = zcos  + xsin 

quanh trục z

x’ = xcos  + ysin 

y’ = xsin  + ycos 

z’ = z

Bảng 1.1. Phép quay cơ bản quanh các trục hệ tọa độ
Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng
1.1) có giá trị như sau (C = cos ; S = sin )
1 0

0 C
R ( x,  )  
 0 S

0 0

C

S
R( z, )  
 0

 0

S
0
0

0

0
C


S 0
0
; R ( y , )  
S
C 0


0 1
0
0

0
0
C
0

0 S
1
0

0
C

0

0

0

0
.
0

1

0

0
;
0

1

(1.41)

Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm
phépdịchchuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H
như sau

 x ' y ' z ' 1   ( x y z 1) H ,
 r11 r12

r21 r22
trong đó H  

r31 r32

 tx t y

r13 0  

r23 0  

r33 0  
 
t z 1  

(1.42)

R
t

0
0 
,
0

1

hay biểu diễn dưới dạng khác (x’ y’ z’)=(x y z)R + t.

(1.43)


25

Ta thấy rằng ma trận xoay R (1.41) là ma trận trực giao, tức là nếu
địnhnghĩa các vectơ hàng của R
n  (r11 r12 r13 ); o  (r21 r22 r23 ); a  (r31 r32 r33 ),

(1.44)

thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của các vectơ đơn vị
i,j,k và thỏa điều kiện
n  o  a; o  a  n; a  n  o và n  o  a  1.

(1.45)

1.3.3. Phép ánh xạ
Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn
toàn không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương
chiều. Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ
toạ độ khác nhau. Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ
toạ độ thứ hai được định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ
toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí
và phương chiều của đối tượng hình học so với cả 2 hệ toạ độ. Phép ánh xạ
này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ độ thứ hai
và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế. Thông thường, người ta sử dụng
định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi là hệ toạ độ địa phương hay hệ
toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn giản hoá việc thiết lập
và nhập dữ liệu hình học. Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ
được đo trong hệ toạ độ làm việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ
trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống. Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với
cấu trúc lắp ghép, khi mỗi đối tượng (chi tiết hay bộ phận) được định nghĩa theohệ
toạ độ hệ thống riêng và chúng cần được kết nối và quản lý trong hệ tọa độ hệ

thống chủ.
Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ