Đề thi lý thuyết giáo viên giỏi môn toán huyện thanh chương năm học 2010 2011 có đáp án

ĐỀ THI LÝ THYẾT CHỌN GVDG HUYỆN.
CHU KỲ 2010-2012. MÔN THI: TOÁN
Thời gian:150 phút (Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)

Câu 1. a. Anh (chị) hãy cho biết trình tự dạy học định lý toán học.
b. Vận dụng trình tự đó vào việc dạy định lý “ Tổng ba góc trong của một tam giác”
Câu 2. a. Chứng minh rằng: 41005 − 1 M3
b. So sánh phân số: A =

34568
34569
và B =
45683
45684

c. Tìm các số nguyên dương n để phân số:
Câu 3. Tìm x , y, z biết:
b.

a.

2n + 11
là phân số tối giản.
n−2

x = 2 y;3x = 4 z và 3 x − 5 y + z = 15 ;

c.

x 2 − 9 x − 2 5 x + 30 = 0

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của S = 3x +

x − 2x −1 =

2x −1 −1
2

1
với x ≥ 2
x

Một học sinh đã giải như sau: Vì x ≥ 2 nên áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số: 3x và
1
1
1
1
3
Ta có: S = 3x + ≥ 2 3x. hay S ≥ 2 3 . Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3x = ⇔ x =
. Vậy
x
x
x
x
3
3
giá trị nhỏ nhất của S là 2 3 , đạt được khi x = . Hãy chỉ ra sai lầm trong lời giải trên và giải lại

3

cho đúng.
Câu 5. Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M thuộc đường chéo AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng
song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại Q và K. P là hình chiếu của M trên DC.
a. Chứng minh: ∆ QMP = ∆ BKM từ đó suy ra BM vuông góc với PQ tại H.
b. Cho

MH
MC 1
= . Tính tỷ số:
.
QH
MA 3

Câu 6. Cho 3 điểm A, B, C cố định sao cho AB + BC = AC. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và
C (BC không phải là đường kính của (O)). Từ A vẽ các tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M,
N là hai tiếp điểm). Lấy I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Gọi giao điểm MN với AC là H. Chứng
minh:
a. Năm điểm A, M, O, I, N cùng thuộc một đường tròn.
b. Khi (O) thay đổi thì độ dài AH không đổi.


CâuPHÒNG
Ý GD&ĐT THANH
Nội
dung
cần đạt
Điểm
HD

CHẤM
ĐỀ THI LÝ THYẾT CHỌN GVDG
1 CHƯƠNG
a
Trình tự dạy học định lí bao gồm
các hoạt
động
sau:
HUYỆN.
CHU
KỲ
2010-2012. MÔN THI: TOÁN 2,0
-HĐ1: Tạo động cơ học tập định lí.
0,2
-HĐ2: Phát hiện định lí.
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao 0,2
đề)
-HĐ3: Phát biểu định lí.
0,2
-HĐ4: Chứng minh định lí.
0,2
-HĐ5: Củng cố định lí.
-HĐ6: Bước đầu vận dụng định lí trong giải bài tập đơn giản.
0,2
-HĐ7: Vận dụng định lí trong bài tập tổng hợp.
b
Vận dụng vào dạy học định lí “Tổng ba góc của một tam giác”:
-HĐ1: Cho 2 tam giác có hình dạng khác nhau, yêu cầu HS đo các góc
trong mỗi tam giác và tính tổng ba góc trong mỗi tam giác đó.
0.2

-HĐ2: Từ kết quả của phép đo, các em phát hiện định lí.
0.2
-HĐ3: Yêu cầu HS phát biểu đầy đủ định lí.
0.2
-HĐ4: Hướng dẫn chứng minh định lí.
0.2
-HĐ5: Vận dụng và củng cố.
0.2
1005
2010
2
a
Ta có: 4 − 1 = 2 − 1
0.25
2009
2008
2007
2009
2008
= (2 + 1).(2 − 2 + 2 − ... − 1) = 3.(2 − 2 + ... − 1) M3
0.25 1,5
34568 a
a +1
b
0.25
= ⇒B=
Đặt A =
.
45683

b

b +1

a
a +1 a
<1, b > 0 ⇒
> hay Ab
b +1 b
2n + 11 2n − 4 + 15
15
=
= 2+
Ta có:
.
n−2
n−2
n−2

Vì
c

2n + 11
15
Để
tối giản thì
tối giản.
n−2
n−2

0.25

0.25

⇒ 15 và n-2 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Mà 15 có các ước dương là: 1; 3; 5; 15 nên:
 n − 2 ≠ 3k
 n ≠ 3k + 2
⇒

 n − 2 ≠ 5k
 n ≠ 5k + 2

3

a

x = 2y ⇒

⇒

x
x z
x y z
= y;3 x = 4 z ⇒ = ⇒ = =
2
4 3
4 2 3

3 x 5 y z 3x − 5 y + z 15
=
= =
= =3
12 10 3 12 − 10 + 3 5

0.25

0.25

0.25

2,0


b

 x = 12
x y z

(Vì 3x − 5 y + z = 15 ) ⇒ = = = 3 ⇒  y = 6
4 2 3
z = 9

ĐKXĐ: x ≥ 0

0.25

x 2 − 9 x − 2 5 x + 30 = 0 ⇔ ( x 2 − 10 x + 25) + ( x − 2. x . 5 + 5) = 0

0.25

⇔ ( x − 5) 2 + ( x − 5) 2 = 0

c

 x − 5 = 0
⇔
⇔ x− 5 =0⇔ x=5
 x − 5 = 0

0.25

Vậy nghiệm của PT là x=5 (TMĐKXĐ)

0.25

ĐKXĐ: x ≥

1
2
2x −1 −1
⇔ 2. x − 2 x − 1 = 2 x − 1 − 1
2

x − 2x −1 =

⇔ 2x − 2 2x −1 = 2x −1 −1 ⇔ 2x −1 − 2 2x −1 +1 = 2x −1 −1
⇔

(

)

2x −1 −1

2

= 2x −1 −1 ⇔

0.25

2x −1 −1 = 2x −1 −1

⇔ 2x −1 −1 ≥ 0 ⇔ 2x −1 ≥ 1 ⇔ 2x −1 ≥ 1 ⇔ 2x ≥ 2 ⇔ x ≥ 1

4

a

0.25

Kết hợp với ĐKXĐ ta có nghiệm của PT là x ≥ 1
Sai lầm của HS:
Khi kết luận giá trị nhỏ nhất của S là 2 3 đạt được khi x =

đúng do không đối chiếu “điểm rơi” x =

3

là chưa
3

0.5
1,0

3
với điều kiện bài toán cho là
3

3
< 2 nên kết luận trên chưa đúng.
3
1
12 11
Lời giải đúng: Ta có: S= 3x + = 3x + −
x
x x
x ≥ 2 .Nhận thấy

b

Vì x ≥ 2 nên áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số 3x và
3x +

12
ta có:
x

12

12
12
12
≥ 2. 3 x.
hay 3x + ≥ 12 (1) Dấu “=” xẩy ra khi 3x = ⇔ x = 2
x
x
x
x

(do x ≥ 2 )
Vì x ≥ 2 ⇒

11 11
11
11
≤ ⇒− ≥− .
x 2
x
2

Từ (1) và (2) ta có:

(2)

Dấu “=” xẩy ra khi x = 2

0.25

S= 3x +

12 11
11
13
− ≥ 12 −
hay S ≥ .Dấu “=” xẩy ra khi x = 2
x 2
2
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là
5

Hình
vẽ

0.25

13
đạt được khi x = 2
2

A

B

0,25
M

Q

K

H
D

a

C

P

MKCP hình vuông (MKCP hình chữ nhật có đường chéo MC là phân
giác) ⇒ KC= MP = MK
ABCD hình vuông, QK // AB nên QK = AB = BC ⇒ MQ = BK
Từ lập luận trên suy ra được ∆ QMP = ∆ BKM (Hai cạnh góc vuông)
ˆ = MBK
ˆ
⇒ MQP
ˆ = BMK
ˆ = BMK
ˆ (Đối đỉnh) ⇒ QMH
ˆ + MQH
ˆ + MBK
ˆ = 900 Hay
Mặt khác: QMH

b

BM ⊥ PQ tại H
MC PC MP 1
=
=
= (Vì MP//AD, áp dụng định lý talet)
AM PD MQ 3
MH

MP

1,5

0,5
0,25
0,25

1

C/m được ∆ MPH đồng dạng với ∆ QMH ⇒ QH = MQ = 3
6

Hình
vẽ

0,25

M

O
E

A

B

H

I

N

C

2,0


a

b

Chứng minh được hai tứ giác AMON
và AMOI nội tiếp
Suy ra 5 điểm A, M, O, I, N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
C/m được EOIH nội tiếp để suy ra AE . AO = AH.AI
Xét ∆ AOM có ME đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
vuông có: AM2 = AE.AO
Mà AM2 = AB.AC (Tính chất đường tròn)
⇒ AH.AI = AB.AC ⇒ AH =

AB. AC

AI

0,5
0,5
0,25

0,25

0,25

Vì A, B, C cố định nên I cố định suy ra AH không đổi
Giải các cách khác nhau đúng với yêu cầu đề ra thì vẫn chấm điểm tối đa
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI LÝ THUYẾT CHỌN GVDG HUYỆN.
CHU KỲ 2011-2013. MÔN THI: TOÁN
Thời gian:150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0điểm) Sử dụng bản đồ tư duy trong dạy học tích cực đem lại những giá trị gì? Anh (chị) hãy
xây dựng bản đồ tư duy đơn giản ( Xác định từ khóa trung tâm, xây dựng nhánh cấp 1 và nhánh cấp 2)
để trình bày bài: “ Công thức nghiệm của phương trình bậc hai” (Toán 9) hoặc một bài khác trong
chương trình Toán THCS?
Câu 2. (1,5điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 3 − 4 − 2 3
b) 3n + 1 và 5n + 4 (với n ∈ N * ) là hai số không nguyên tố cùng nhau. Tìm ước chung lớn nhất
của hai số đó.
2000
c) So sánh : ( −3) và 23000

Câu 3.(1,5điểm)
mx 2 − 2(m − 1) x + m − 3 = 0
a) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
2011x 2011
+
; với 0 < x < 1
1− x
x
c) Cho A = n 4 + 2n3 + 3n 2 + 2n (với n ∈ N * ) . Chứng minh A không phải là số chính phương.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =
Câu 4. (1,0điểm)

1
1
1
1
= 511 . Một học sinh lớp 6 đã giải như sau:
Tìm x biết: x : + x : + x : + ... + x :
2
4
8
512
1 1 1
1
x : ( + + + ... +
) = 511
2 4 8
512
511

x:
= 511
512
511
x = 511:
= 512
512

Theo anh(chị) lời giải trên đúng hay sai? Nếu sai hãy chỉ ra các bước làm sai và giải lại cho đúng.
Câu 5. (2,0điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy hai điểm P, Q lần lượt là trung
điểm của đoạn BH và AH. Chứng minh:
a) AP vuông góc với CQ


BP

AP

b) AQ = CQ
Câu 6. (2,0điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. M là trung điểm của đoạn OB. Vẽ cát tuyến PQ
của đường tròn (O), PQ đi qua điểm M, lấy I là trung điểm của PQ. Từ A kẻ Ax vuông góc PQ tại H,
Ax cắt tia BI tại C.
c. Chứng minh: BP = CQ
d. Tìm quỹ tích điểm C khi PQ quay quanh điểm M.
Hết./
Họ và tên thí sinh: ………………………….…………Số báo danh: ……………………………
PHÒNG GD&ĐT
CHƯƠNG

THANH

HD CHẤM ĐỀ THI LÝ THUYẾT CHỌN GVDG
HUYỆN.
CHU KỲ 2011-2013. MÔN THI: TOÁN
(HD chấm gồm 02
Thời gian:120 phút (Không kể thời gian giao đề)
trang)
Câu Ý
Nội dung cần đạt
Điểm
*Giá trị đem lại ki sử dụng bản đồ tư duy trong dạy học tích cực:
1,0
- Hố trợ lập kế hoạch (Hệ thống hóa tất cả các thông tin liên quan)
- Hiệu quả trong trình bày(Hỗ trợ người trình bày tổ chức các ý kiến
hợp lý, dễ hiểu và trình bày không phụ thuộc vào văn bản có sẵn)
-Có tính tương tác cao( Người học có thể có thể tương tác với bạn học,
với giáo viên)
1
2,0
- Hỗ trợ giải quyết vấn đề; Kích thích gợi nhớ (Hồi tưởng)
- Tạo hứng thú và kích thích tính sáng tạo
* Thiết kế bản đồ tư duy
0,25
- Xác định đúng từ khóa trung tâm
0,5
- Xác định được đầy đủ các nhánh cấp 1
0,25
- Triển khai được một số nhánh cấp 2 hợp lý
0,5
3 − 4 − 2 3 = 3 − 3 − 2 3 +1 = 3 − 3 −1 = 3 − 3 +1 = 1

a
2
1,5
3n + 1 và 5n + 4 (với n ∈ N * ) là d

Gọi ƯCLN của
b

c

3

a
b

(d ∈ N * , d ≠ 1) ta có:

(3( 5n + 4 ) -5( 3n + 1 ) )Md hay 7Md mà (d ∈ N * , d ≠ 1) ⇔ d = 7
Ta có ( −3)

2000

(

= ( −3 )

)

2 1000

= 91000 ; 23000 = ( 23 )

1000

= 81000

mà 91000 > 81000 nên ( −3) > 23000
Để phương trình: mx 2 − 2(m − 1) x + m − 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt
2000

m ≠ 0
m ≠ 0
 m > −1
⇔
⇔
 ,
2
m + 1 > 0
m ≠ 0
 ∆ = (m − 1) − m(m − 3) > 0
2011x 2011 2011x 2011 − 2011x + 2011x 2011x 2011(1 − x )
P=
+
=
+
=
+
+ 2011
1− x
x

1− x
x
1− x
x

Vì 0 < x < 1 nên áp dụng Bất đẳng thức Cosi ta có:

0.2
5
0,25
0,25
0,25

0.5
0,25

1,5


P≥2

2011x 2011(1 − x )
.
+ 2011 ⇔ P ≥ 3.2011 = 6033
1− x
x

Dấu “=” xẩy ra

2011x 2011(1 − x)

1
=
⇒ x = . (Thỏa mãn điều kiện 0 < x < 1 )
1− x
x
2

Vậy PMin = 6033 ⇔ x =

1
2

Thí sinh phân tích được A = (n 2 + n)(n 2 + n + 2) = (n 2 + n) 2 + 2(n 2 + n)
c

0.2
5

(n 2 + n) 2 < ( n 2 + n) 2 + 2(n 2 + n) < (n 2 + n) 2 + 2(n 2 + n) + 1 vì n ∈ N * )

Hay (n 2 + n) 2 < A < (n 2 + n + 1) 2 ; mà (n 2 + n); (n 2 + n + 1) là hai số tự nhiên

0.2
5
0,25

liên tiếp. Nên A không phải là số chính phương.
Học sinh giải sai

0,25

Các bước làm sai: Bước 1: HS đã áp dụng có tính chất chia một số cho

0,25

một tổng như nhân một số với một tổng.
Bước 3: Tìm số bị chia học sinh đã lấy thương chia cho số chia

Câu
4

1
1
1
1
x : + x : + x : + ... + x :
= 511
2
4
8
512
2 x + 4 x + 8 x + ... + 512 x = 511
Giải lại bài toán: x(2 + 48 + ... + 512) = 511
x.1022 = 511
x = 511:1022 = 0,5

Thí sinh lập luận chỉ ra PQ là đường trung bình ∆

A

BHA

Chứng minh được Q là trực tâm ∆ APC để suy
a
4

0,5

Q

B
P

1,0

0,5
0,5

ra
AP vuông góc với CQ

2,0

H
C

Chứng minh được ∆ ABP : ∆ CAQ (g.g) .
b Suy ra: BP = AP
AQ CQ

0,5
0,5


Nối OI đường kính đi qua trung điểm dây PQ nên
OI ⊥ PQ ⇒ OI//AC(Cùng vuông góc PQ) mà

P
E
M

O

A

OA=OB ⇒ OI đường trung bình ∆ BAC ⇒
B

I

C

Q

IB=IC ⇒

Tứ giác: BPCQ là hình bình hành

H

mỗi

(Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm I của

0,25

đường)

Suy ra hai cạnh đối: BP = CQ
Phần thuận: ∆ BOC có MI là đường trung bình ⇒ MI // OC mà MI ⊥

5

0,75

Ax hay MI ⊥ AC
⇒ OC ⊥ AC tại C. Vì A, O cố định nên điểm C chạy trên đường tròn

0,5
0,25

đường kinhd AO

2.0

b Phần đảo: - Thiết lập được bài toán đảo
Trên đường tròn đường kính AO lấy điểm C tuỳ ý . Nối CB và xác
định trung điểm I của CB. Đường thẳng qua I và M cắt đường tròn tại

0,25

hai điểm P và Q. Cần c/m I là trung điểm PQ và PQ ⊥ AC
- Chứng minh bài toán đảo
Thí sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa

KỲ THI LÝ THUYẾT CHỌN GVDG CẤP HUYỆN VÀ ĐỘI
TUYỂN DỰ THI GVGD CẤP TỈNH CHU KỲ 2012 – 2016

UBND HUYỆN THANH CHƯƠNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề )

( Đề thi gồm 01 trang )
Bài 1: ( 2.0 điểm ) a. Theo anh ( chị ) bài tập toán có những chức năng nào?
b. Anh (chị) hãy cho biết những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề.
Bài 2: ( 1.0 điểm ) Tìm các số tự nhiên x; y thoả mãn

+

. Một học sinh đã giải

như sau:
Vì

là số chính phương nên

Mặt khác:

chia hết cho 3 nên

chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.
+

chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1.

Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; y

để

+

.

Anh ( chị ) hãy chỉ ra sai lầm trong lời giải trên và giải lại cho đúng.


Bài 3: ( 1.5 điểm ) a. Tìm số nguyên dương x để biểu thức sau có giá trị là số nguyên tố:
Anh ( chị ) hãy giải và hướng dẫn học sinh giải bài toán trên.
b. Giải phương trình sau:
Bài 4: ( 2.0 điểm ) a. Cho 2a = 3b = 4c. Chứng minh rằng: 2( a – c )2 = 9( a- b )( b- c )
b. Cho phương trình

. Tìm m để phương

trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x12 + x22 = 16.
c. Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A

=
Bài 5: ( 3.5 điểm ) Cho nửa đường tròn ( O ; R ), đường kính AB . Vẽ các tiếp tuyến Ax, By
( Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB ). Điểm M chuyển động
trên nửa đường tròn (

). Qua M vẽ tiếp tuyến d với (O) cắt Ax, By theo thứ tự

tại C, D. Chứng minh rằng : AC.BD = R2
a. Anh ( chị ) hãy giải bài toán trên.
b. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán đảo.
c.

Hạ MH vuông góc với AB ( H

AB ). Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O)

để tam giác AMH có diện tích lớn nhất.
Hết .
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

Hướng dẫn chấm gồm có
03 trang

BÀI

Ý

Bài 1:
1.a
2.0điểm 1.0

điểm

1.b
1.0
điểm

Bài 2:

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI LÝ THUYẾT CHỌN GVDG
CẤP HUYỆN VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI GVGD
CẤP TỈNH CHU KỲ 2012 – 2016
MÔN THI : TOÁN

NỘI DUNG CẦN ĐẠT
Chức năng của bài tập toán:
- Chức năng dạy học
- Chức năng giáo dục
- Chức năng phát triển
- Chức năng kiểm tra
Những cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề:
- Dự đoán nhờ nhận xét trực quan hoặc thực nghiệm
- Lật ngược vấn đề
- Xem xét tương tự
- Khái quát hoá
- Phát hiện sai lầm, tìm nguyên nhân và sửa chữa
- Chỉ ra sai lầm 3y chia hết cho 3 là sai vì với y = 0 thì

ĐIỂM
0.25
0.25

0.25
0.25
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.5


30 = 1 không chia hết cho 3

1.0điểm

-

Nếu y = 0 thì x2 = 256

-

Nếu y

Vì

là số chính phương nên

0.25
0.25

x = 16 ( thoả mãn )

chia hết cho 3 hoặc chia cho 3dư

1.
Lại có :

chia hết cho 3 nên

+

chia hết cho 3 hoặc chia cho 3

dư 1.
Mà 257 chia cho 3 dư 2 nên không tồn tại x; y
+
Bài 3:
3.a
1.5điểm 0.75
điểm

để

.

Vậy x =16 ; y = 0 là cặp số duy nhất thoả mãn điều kiện bài toán
Giải
0.25

-

Vì x nguyên dương và

nên P có giá

trị là số nguyên tố khi

x = 0 (ktm) hoặc x = 1

Với x = 1 thì P = 3 là số nguyên tố ( tm)
Vậy x = 1 thì P có giá trị là số nguyên tố
Hướng dẫn giải :
-

Phân tích

-

So sánh

0.25

0.25

thàmh nhân tử ?
?

- P có giá trị là số nguyên tố khi nào ?
- Từ đó hãy tìm x ?
3.b
0.75

điểm

0.25
0.25
0.25

ĐKXĐ:
.
Từ đó suy ra: x = 5 ( TMĐK ) hoặc x = 8 ( TMĐK )

Bài 4:
4.a
2.0điểm 0.75
điểm

0.5
0.25
2

2( a – c ) = 9( a- b )( b- c ) (đpcm)
4. b
0.75
điểm

7
2

- PT có hai nghiệm x1; x2 ⇔ -2m + 7 ≥ 0 ⇔ m ≤ (*)
-

Theo hệ thức Viét ta có:
2

2

0.25

0.25
2

Lại có: x1 + x2 = (x1 + x2) - 2x1.x2 =16

(3)


-

Từ (1), (2) và (3) ta có: 2m2 – 8 m = 0

⇔ m = 0 (TM (*)) Hoặc m = 4 (Loại do KTM (*)).Vậy m = 0

4.c
0.5
điểm

0.25

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 20 số không âm
0.25
(

. Ta có:

Tương tự:

Từ đó:

0.25

A=
A=

. Dấu = xảy ra

Vậy Min A = 3
Bài 5:
3.5điểm

x=y=z=1

x=y=z=1

x

y

D

MN
C

d

A

5.a
1.5
điểm

5.b
1.5
điểm

H

O

B

- Chứng minh được tam giác COD vuông tại O
- Tam giác COD vuông tại O; đường cao OM
nên OM2 = CM.DM
- Mà CM = AC; DM = BD ( Tính chất hai TT cắt nhau )
- Suy ra : AC.BD = OM2 = R2
Phát biểu bài toán đảo:
Cho nửa đường (O;R) , đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By
(Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
Điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Qua M vẽ đường thẳng
d cắt Ax, By theo thứ tự tại C, D sao cho AC.BD = R2.

0.5

0.25
0.5
0.25
0.75


Chứng minh rằng đường thẳng d là tiếp tuyến của ( O )
Chứng minh bài toán đảo:
-

Từ AC.BD = R2

ACO

0.25
và

-

Do đó: ACO

-

Hạ ON

5.c
0.5
điểm

0.25

0.25

CD (

Chứng minh được

.

)
=

ON = OA = R

Vậy đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( O )
Đặt AH = x. Suy ra: BH = 2R – x

2.SAMH

0.25

0.25
Mà
. Dấu “ = “ khi và chỉ khi
Vậy tam giác AMH có diện tích lớn nhất là

khi M là giao

điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại H ( AH =

) với

nửa đường tròn (O)
Chú ý : Nếu thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa ứng với mỗi ý , mỗi câu
đó


Së Gd&§t NghÖ an

HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TỈNH CẤP THCS
NĂM HỌC: 2012 - 2013

§Ò thi chÝnh thøc

ĐỀ THI KIỂM TRA NĂNG LỰC
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (6,0 điểm).
a) Anh (chị) hãy nêu năm cách thông dụng để tạo tình huống có vấn đề trong dạy học Toán.
b) Anh (chị) hãy trình bày các bước của phương pháp chung để giải một bài toán. Lấy ví dụ
minh hoạ.
Câu 2 (3,5 điểm).
a) Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
b) Hãy giải bài toán sau bằng hai cách:
Qua điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp
điểm) và cát tuyến MEF của đường tròn (O) (cát tuyến MEF không đi qua O). Gọi I là trung điểm
của EF. Chứng minh rằng: 5 điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 3 (4,0 điểm). Xét bài toán:
 2x + x
2

1  x −1
−
−
Cho biểu thức P = 
÷:
2
x −1
 x x −1 x + x +1
Tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị nguyên.
Anh (chị) hãy nêu định hướng giải bài toán trên và trình bày lời giải bài toán.
Câu 4 (1,5 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì hai số (2n + 1)(n + 1) và 3n + 2 là hai số
nguyên tố cùng nhau.
Câu 5 (5,0 điểm). Cho bài toán:
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, E là một điểm nằm trên cạnh CD (E
không trùng với D). Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Qua F kẻ đường thẳng vuông
góc với AE tại H và cắt BC ở G.
a) Tính số đo góc FAG.
b) BD cắt AF, AG lần lượt tại P, Q. Chứng minh AH, GP, FQ đồng quy.
c) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh CD để diện tích tam giác AFG nhỏ nhất.
1. Anh (chị) hãy giải bài toán trên.
2. Anh (chị) hãy hướng dẫn học sinh giải câu b.
--------- Hết -------Họ tên thí sinh………………………………………Số báo danh………………….


HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm này gồm có 4 trang)

Câu 1

a)
2,5
điểm

b)

3,5
điểm

6,0 điểm

Một số cách thông dụng để tạo tình huống có vấn đề.
1. Dự đoán nhờ nhận xét trực quan hoặc thực nghiệm.
2. Lật ngược vấn đề
3. Xem xét tương tự
4. Khái quát hoá
5. Phát hiện sai lầm, tìm nguyên nhân và sửa chữa.
...
(Mỗi cách 0,5 điểm, nếu thí sinh nêu được từ 5 cách trở lên thì cho
2,5 điểm)
Phương pháp chung tìm lời giải bài toán
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:
+ Giả thiết là gì? Kết luận? Hình vẽ ra sao…
+ Phát biểu bài toán dưới nhiều dạng khác nhau để hiểu rõ bài
toán.
+ Bài toán này thuộc dạng toán nào?
+ Các kiến thức liên quan.
- Bước 2: Xây dựng chương trình giải:
Chỉ rõ các bước cần tiến hành theo một trình tự thích hợp.

- Bước 3: Thực hiện chương trình giải:
Trình bày theo các bước đã được chỉ ra.
- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
+ Xem có sai lầm không.
+ Có thể giải bài toán theo cách khác được không.
+ Có thể khai thác được bài toán không.
Ví dụ: Dạy giải bài tập: Tính giá trị của biểu thức sau bằng
cách hợp lí
21,6. 810. 112 − 52
Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán
- Yêu cầu tính giá trị biểu thức hợp lí nên không thể thực hiện
phép khai phương ở từng căn thức. Do đó phải biến đổi thành
những căn thức mà biểu thức dưới dấu căn có thể khai phương
được.
Bước 2: Xác định hướng giải và thiết lập chương trình giải
- Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

2,5

0,5

0,5
0,5

0,5

1,5


- Thực hiện các phép nhân căn thức

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

21,6. 810. 112 − 52 = 21,6. 81.10

( 11 + 5 ) ( 11 − 5 )

= 9 21,6.10.4 6 = 36 216.6 = 36 63.6 = 36.6 2 = 1296
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
- Các phép toán đã được thực hiện chính xác, kết quả đúng.
- Các khâu suy luận hợp lí, các phép biến đổi hợp lí.
- Tìm thêm cách giải khác:

21,6. 810. 112 − 52 = 21,6.810.(121 − 25) = 216.81.96 = 63.9 2.6.42
(Ví dụ hợp lí được 1,5 điểm)
Câu 2
a)
1,5
điểm

3,5 điểm

Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 (hoặc tứ giác có góc
ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện).
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn
lại dưới một góc α .
(Mỗi dấu hiệu được 0,5 điểm)

1,5

A

I

E

b)

F

M
K

O

2,0
điểm
B

Cách 1: Do I là trung điểm của dây EF không đi qua tâm nên OI ⊥
EF suy ra
∠ MIO = 900 mặt khác vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường
tròn tâm O nên ∠ MAO = ∠ MBO = 900 suy ra tứ giác MAIO
và MAOB nội tiếp
Suy ra 5 điểm M, I, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn.
Cách 2: Gọi K là trung điểm của MO. Do I là trung điểm của
dây EF không đi qua tâm nên OI ⊥ EF suy ra ∠ MIO = 900 mặt
khác vì MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên ∠
MAO = ∠ MBO = 900

MO
suy ra KA = KB = KM = KO = KI =
suy ra đpcm.
2
Câu 3

1,0

1,0

4,0 điểm


Định hướng giải bài toán:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
Bước 2. Rút gọn biểu thức P.
Bước 3. Tìm giá trị nguyên của P từ đó tìm được giá trị của x
thoả mãn.
(Mỗi bước được 0,5 điểm)
Trình bày lời giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 0, x ≠ 1 .
Ta có: P =
=

2x + x − 2

(

) (

)(

)

x −1 x + x +1

:

0,5

):

x −1 − x + x +1

)(

)

x −1 x + x +1

x − 2 x +1

(

(

1,5

x −1
2

x −1
2
=
2
x + x +1

Do x + x + 1 ≥ 1 nên 0 < P ≤ 2
Mà P nguyên suy ra P = 1; 2

0,5
0,5

0,5
2

 5 −1
Nếu P = 1 giải được x = 
÷ (Thoả mãn ĐKXĐ)
2


Nếu P = 2 giải được x = 0 (Thoả mãn ĐKXĐ)
Câu 4
Giả sử hai số (2n + 1)(n + 1) và 3n + 2 không nguyên tố cùng
nhau suy ra tồn tại d là ước chung nguyên tố của (2n + 1)(n + 1)
và 3n + 2
suy ra (2n + 1)(n + 1)Md mà d nguyên tố nên 2n + 1Md hoặc n + 1M
d.
Nếu 2n +1Md mà 3n + 2Md suy ra 2(3n + 2) – 3(2n + 1)Md ⇒ 1M

d (vô lí vì d nguyên tố) (1).
Nếu n +1Md mà 3n + 2Md suy ra 3(n + 1) – (3n + 2)Md ⇒ 1Md
(vô lí vì d nguyên tố) (2).
Từ (1) và (2) suy ra (2n + 1)(n + 1) và 3n + 2 nguyên tố cùng
nhau.
Câu 5

0,25

0,25
1,5 điểm

0,5

0,5
0,25

0,25
5,0 điểm

A

B
4
3
1

2

Q

G

P
H

D

F

E

C

a) Ta có ∆ ADF = ∆ AHF (cạnh huyền - góc nhọn)
⇒ AH = AD = AB

0,75


⇒ ∆ AHG = ∆ ABG (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
⇒ ∠ A3 = ∠ A4
Mà ∠ A1 = ∠ A2 nên ∠ FAG = ½ ∠ DAB = 450.
b) Xét tứ giác AQFD có ∠ FAQ = ∠ FDQ = 450 nên tứ giác

AQFD nội tiếp ⇒ ∠ ADF + ∠ AQF = 1800 mà ∠ ADF =900
⇒ ∠ AQF = 900
⇒ FQ ⊥ AG (1).
Tương tự GP ⊥ AF (2).

0,75
0.5

0.5

0,25

Mà AH ⊥ FG (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra AH, FQ, GP đồng quy.
c) Do ∆ ADF = ∆ AHF ⇒ SADF = SAHF

0,25

∆ ABG = ∆ AHG ⇒ SABG = SAHG
⇒ SAFG = SADF + SABG ⇒ 2SAFG = SABCD - SFGC = a2 - SFGC

0,5

Suy ra SAFG nhỏ nhất khi và chỉ khi SFGC lớn nhất.
đặt CF = x, CG = y suy ra FG =

x2 + y2

mà FH = FD, GH = GB ⇒ FC + FG + GC = CD + CB = 2a
⇒ 2a = x + y +

(

x 2 + y 2 ≥ 2 xy + 2 xy = 2 + 2

)

xy

(áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm)

2a 2
a2
1
⇒ xy ≤
⇒ SFGC = xy ≤
(1 + 2) 2
(1 + 2) 2
2

2)
1,0
điểm

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y và ∠ FAG = 450 ⇔ E trùng C
- Nêu các phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy
- Quan sát hình vẽ ta nghĩ ngay đến phương pháp sử dụng
tính chất các đường đồng quy trong tam giác.
- Mà AH ⊥ FG nên ta dự đoán AH, FQ, GP là các đường
cao của tam giác AFG
- Ta phải chứng minh FQ ⊥ AG ⇔ ∠ AQF = 900
- Mà ∠ ADF = 900 nên phải chứng minh tứ giác AQFG nội tiếp

0,5

1,0

Lưu ý: Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI LÝ THYẾT CHỌN GVDG CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013-2014. MÔN THI: TOÁN - THCS
Thời gian:120 phút (Không kể thời gian giao đề)


Câu 1. (2,0 điểm)
a) Nêu các bước để biên soạn một đề kiểm tra theo chuẩn KT-KN?
b) Anh (chị) hãy cho biết hệ số điểm bài kiểm tra theo Thông tư số: 58/2011/TT-BGD ĐT
ngày 12/12/2011 của bộ GD&ĐT.
Vận dụng: Học sinh A có điểm trung bình các môn cả năm như sau (Đối với học sinh không
học môn tin hoc):
Toán Văn Lý Hóa Sinh Địa Sử Anh CN GDCD
7,9
8,5 8,7 8,4 8,6 9,0 8,5 8,1 8,3
7,9

MT ÂN TD
Đ
Đ CĐ

Xếp loại lực học cả năm của học sinh A và giải thích vì sao?
Câu 2. (1,5 điểm) Anh (chị) giải và hướng dẫn học sinh giải bài toán sau:
a. Cho số tự nhiên N = 43a . Tìm a để N vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 9.

b. Cho A =

2n + 13
( n ∈ N; n ≠ 1). Tìm n để A là số tự nhiên
n −1

Câu 3. (1,5 điểm)

a. Tìm x , y, z biết:

x y x z
= ; = và x + y + z = 184
3 2 5 7

b. Cho đa thức: P(x) = 2 + 5x2 - 3x3 + 4x2 - 2x - x3 + 2x4. Thu gọn và sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm
dần của biến?
c. Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 - 4z2
Câu 4. (1,5 điểm)
Cho phương trình: (m – 1) x2 – 2mx + m + 1 = 0 ( với m là tham số)
a. Giải phương trình với m = 2
b. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho đoạn thẳng MP, N là một điểm thuộc đoạn thẳng MP, I là trung điểm của NP. Biết MN = 2 cm,
MP = 7 cm.
a. Tính độ dài đoạn thẳng IP?
b. Từ N kẻ tia Nx vuông góc với MP tại N, trên tia Nx tấy điển Q sao cho NQ = 12 cm. Tính độ dài
đoạn thẳng PQ.
Câu 6. ( 2,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. I là trung điểm của OA. Từ I kẻ đường thẳng
vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Trên đoạn thẳng IK lấy điểm C ( C ≠ I; K) AC cắt nửa

đường tròn tại M. BM cắt IK tại D.
a. Chứng minh BC ⊥ AD tại N.
b. Chứng minh ∆ DNM đồng dạng với ∆ DBA.
c. Chứng minh khi C di động trên đoạn thẳng IK thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
nằm trên một đường cố định.
Hết./
Họ và tên: ........................................................................Số báo danh....................................................
ĐÁP ÁN THI LÝ THYẾT CHỌN GVDG CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013-2014. MÔN THI: TOÁN


a
Câu 2
b

a
Câu 3
b
c
a
b
Câu 4

ĐÁP
ÁNđược:
MÔN
THI CHỌN GVDG CẤP TRƯỜNG
Giáo viên
xếp loại
loạiTOÁN

Tb
GV giải thích: Nếu ĐTBhk hoặc ĐTBcn đạt mức loại G nhưng do kết quả của một môn học
nào đó mà phải xuống loại Y thì được điều chỉnh xếp loại Tb.
GV giải: N = 43a .để N chia hết cho 2 thì a chẵn; N chia hết cho 9 thì 4 + 3 + a chia hết cho 9
Tìm được các giá trị của a=2
GV hướng dẫn giải
2n + 13
15
GV giải: A =
=2+
để A là số TN thì n – 1 là ước của 15
n −1
n −1
Tìm được các giá trị của n
GV hướng dẫn giải
x
y
z x + y + z 184
=
=
=
Từ đề ra GV suy ra được
=
=4
15 10 21
46
46

0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

Tìm được x; y; z lần lượt là 60; 40; 84
Giáo viên thu gọn: P(x) = 2 + 9x2 - 4x3 - 2x + 2x4

0.25

GV sắp xếp được: P(x) = 2x4- 4x3 + 9x2 - 2x + 2
x2 - 2xy + y2 - 4z2 = (x2 - 2xy + y2)- 4z2 =(x-y)2 – (2z)2
= (x-y-2z)(x-y+2z)
Với m = 2 thì GV giải được x = 1; x = 3
Nếu m = 1 thì x = 1

0.25
0.25
0.25
0.75
0.25

Nếu m ≠ 1 ta có ∆ ' = m2 – (m – 1)( m + 1) = 1 > 0 ∀ m

0.25

Vậy pt luôn có nghiệm ∀ m

0.25

Câu 5

Q

M

a
b

N

I

P

Ta có: MN = 2 cm, MP = 7 cm. tính được NP = 5 cm
GV giải thích và tính được IP = 2.5 cm
GV áp dụng được định lý pi ta go PQ2 = NQ2 + NP2
Tính độ dài đoạn thẳng PQ = 13cm

0.25
0.5
0.5
0.25

Câu 6

0,25
D

M
K
N
C

E

A

H

I

O

B

a

Xét tam giác ADB có DI ⊥ AB; AM ⊥ BD ( vì góc AMB = 900 )
Nên suy ra: BC ⊥ AD tại N. theo tính chất ba đường cao của tam giác.

0.5
0.25

b

Chứng minh N thuộc đường tròn
Xét hai tam giác DNM và DBA có chung góc D; góc B bằng góc N ( Tứ giác ANMB nội
tiếp)
Suy ra ∆ DNM đồng dạng với ∆ DBA (g-g)
·
·
Gọi E là điểm đối xứng của B qua I. Ta có tứ giác BMCI nội tiếp MBI
( góc trong
= DCM
·
·
bằng góc ngoài đỉnh đối diện). Lại có MBI
(vì E đối xứng với B qua I)
= DEA

0.25

c

·
·
Nên ta có DEA
suy ra Tứ giác DCAE nội tiếp, có tâm nằm trên đường trung trực
= DCM
của EA. Mà I;B;A cố định nên EA cố định.Vậy khi C di động trên đoạn thẳng IK thì tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD nằm trên một đường thẳng qua H và vuông góc với
EA.

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 01 trang)

0.25

0.25
0.25

ĐỀ THI LÝ THYẾT CHỌN GVDG CẤP HUYỆN
CHU KỲ 2013-2015. MÔN THI: TOÁN - THCS
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (1,0 điểm)
Anh ( chị) hãy cho biết thế nào là dạy học nêu và giải quyết vấn đề? Nêu các bước dạy học
nêu và giải quyết vấn đề?
Câu 2. (1,5 điểm) Anh (chị) giải và hướng dẫn học sinh giải các bài toán sau:
a. Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta đều có n3 + 11n chia hết cho 6.
b. Cho a là một số nguyên. Tìm ƯCLN( 2a + 3; 3a + 4)
Câu 3. (2.5 điểm)
a. Tìm x biết:

x −3 3
=
x+5 4

b. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m2, hai cạnh tỷ lệ với 3 và 4. Tính chu vi khu vườn đó?
c. Tính giá trị của A =

x− y

biết x 2 − 2 y 2 = xy ( với x; y ≠ 0 và x + y ≠ 0 )
x+ y


d. Cho x; y > 0 và x + y ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của M =

1
1
+ 2
.
xy x + y 2

Câu 4. (1,5 điểm)
 mx − y = 2m
 x − my = 1 + m

Cho hệ phương trình: (I) 

c. Giải hệ phương trình với m = 2
d. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm trong trường hợp đó?
Câu 5. (1.5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Kẻ DE ⊥ BC ( E ∈ BC). Gọi F là giao điểm của BA
và ED. Chứng minh rằng:
a. BD là trung trực của FC
b. AD < DC.
Câu 6. ( 2,0 điểm)
Cho đường tròn (O), đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc đường tròn. Từ C kẻ đường
thẳng a vuông góc với CA. Từ trung điểm M của AC vẽ tia My ⊥ BC. Tia My cắt BC tại H và cắt
đường thẳng a tại D.
a. Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp.

b. Chứng minh: DC.AB = CA.CM.
c. Chứng minh AD ⊥ BM
Hết./
Họ và tên: ........................................................................Số báo danh....................................................

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐÁP ÁN THI LÝ THYẾT CHỌN GVDG CẤP HUYỆN
CHU KỲ 2013-2015. MÔN THI: TOÁN

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI CHỌN GVDG CẤP HUYỆN
Câu

Câu
1

Câu

Ý

Nội dung
Dạy học đặt và giải quyết vấn đề là một phương pháp dạy học toán mà ở đó người GV tạo
ra các tình huống có vấn đề, rồi điều khiển học sinh tự phát hiện vấn đề hoạt động tự giác
và tích cực để giải quyết vấn đề thông qua đó đạt được mục tiêu học tập.
Bước 1: GV nêu vấn đề, thường là đưa ra tình huống có vấn đề để học sinh trực tiếp chỉ ra
vấn đề hoặc là HS sau khi tìm hiểu sẽ tự tìm ra vấn đề.
Bước 2: GV hướng dẫn HS tìm các chiến lược để giải quyết vấn đề.
Bước 3: GV theo dõi và giúp đỡ HS.
Bước 4: Hướng dẫn HS cách trình bày giải quyết vấn đề.
- Trình bày khả năng ngôn ngữ

- Khả năng toán học được hình thành.

A Ta có n3 + 11n = n3 – n + 12n = n( n2 – 1) + 12n = (n - 1) n( n + 1) + 12n .

Điểm
0.5

0.5

0.25


Vì n nguyên dương nên (n - 1) n( n + 1) chia hết cho 6, mặt khác 12n chia hết cho 6 nên n3 +11

0.25

chia hết cho 6 với mọi n.
GV hướng dẫn hợp lý

2

B Gọi ƯCLN( 2a + 3; 3a + 4) = d, nên 2a + 3 và 3a + 4 chia hết cho d
nên 3(2a + 3) và 2(3a + 4) chia hết cho d suy ra 3( 2a + 3) – 2(3a + 4) chia hết cho d suy ra

0,25
0,25
0,25

1 chia hết cho d hay ƯCLN( 2a + 3; 3a + 4) = 1
0,25

GV hướng dẫn hợp lý

a
b

c

d

A

Suy ra : ( x + y) ( x - 2y) = 0 v ì x + y ≠ 0 nên x = 2y

0.25

M=

1
3

1
1
1
1
1
1  1
1 
+ 2
+

+ 2
+
+ 2
÷
2 =
2 =
xy x + y
2 xy 2 xy x + y
2 xy  2 xy x + y 2 

Ta có:

1
1
4
1
1
+ 2
≥
+ 2
≥ 4 (*)
x; y > 0 và x + y ≤ 1 nên
2
2 mà
2 xy x + y
(x + y)
2xy x + y 2

Lại có:

1
2
≥
≥ 2 (**) Vậy minM = 6 đạt được khi (*) và (**) đồng thời xảy ra
2 xy ( x + y ) 2

B

0.25

0.25

*)Với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất: ( x =1; y =0)
*) với m ≠ 0 để hệ có nghiệm duy nhất thì

0,25
0.25

0.25

1
dấu “=” nghĩa là x = y =
2
2 x − y = 4
Với m = 2 hệ trở thành 
x − 2 y = 3
2
3

4

0,25
0,25
0,25

Giải ra được y = − ; x = 5/3

Câu

0.5

x = 15 ; y =20 ⇒ chu vi = (15 + 20).2 = 70 (cm)
Từ x 2 − 2 y 2 = xy suy ra x2 - y2 – y2 – xy = 0 suy ra (x – y)( x + y) – y( x+ y) = 0

Thay vào A ta có A =

Câu
3

x −3 3
= ⇔ 4( x – 3) = 3(x + 5) ⇔ 4x – 12 = 3x + 15 ⇔ x = 27
x+5 4
x y
x. y
300
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là x ; y ta có : = =
=
=5 ⇒
3 4
3.4

12

m −1
≠
⇔ m ≠ ±1
1 −m

1 + 2m

 x = 1 + m
Giáo viên tìm được nghiệm của hệ 
 y = −m

1+ m

0,5
0.25
0.25

0.25


0,25

F

Câu
H

A

5

D

C

B

a
b

E

Ta có : trong tam giác BFC có CA ; FD là đường cao nên suy ra BD cũng là đường cao. Mặt khác
BD là phân giác góc FBC (gt) nên BD là trung trực của FC

0.75

Ta có AD = DE mà DE < DC nên AD < DC

0.5
0.25

Câu
A

6

E

M

B

C
O

H

D

0.5

b

µ = 900 nên tứ giác ABHM nội tiếp
Ta có µA = H
µ = 900 ; ·ACB = CDM
·
Xét 2 tam giác ABC và CMD có µA = H
( vì cùng phụ với góc DMC)

0.25

c

AB CA
=
hay AB.CD = CA.CM
CM CD

Nối BM kéo dài cắt đường thẳng a tại E ta có tứ giác ABCE là hình bình hành suy ra : BC //AE
Mặt khác DH ⊥ BC nên DH ⊥ AE . Xét tam giác ADE có M là trực tâm nên suy ra EM ⊥ AD

0.25

a

⇒ ∆ABC : ∆CMD ( g − g ) nên ⇒

hay AD ⊥ BM.

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG

SBD:
………………

KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI HUYỆN CẤP THCS
CHU KÌ 2014-2016

0.5
0.25


Đề kiểm tra năng lực môn Toán.
Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề).
----------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1 (2,0 điểm):
a) Trong định hướng chung về đổi mới kiểm tra đánh giá học sinh hiện nay, đồng chí hiểu
như thế nào là “Đánh giá theo năng lực”?

b) Quy trình xây dựng chủ đề dạy học môn học bao gồm những bước nào?
Câu 2 (1,5 điểm)
a) Tìm x biết: x −2 =2 x +1
b) So sánh: (−17)2014 và 311611
c) Cho hai đa thức : f ( x) = ( x − 1)( x + 3) và g ( x) = x3 − ax 2 + bx − 3
Xác định hệ số a; b của đa thức g ( x) biết nghiệm của đa thức f ( x) cũng là nghiệm của
đa thức g ( x) .
Câu 3 (1,5 điểm)
a) Cho A = x3 + 9x 2 + 23x+15 , với x ∈ ¢ .
Chứng tỏ rằng khi x chẵn thì A không chia hết cho 16. Khi x lẻ thì A chia hết cho 16.
b) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y ; x 1, x 2 là hai giá trị bất kì của x; y1, y2 là hai giá
trị tương ứng của y.Tính y1, y2 biết y12+ y22 = 52 và x1 = 2 , x2 = 3
Câu 4 (1,0 điểm): Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán sau:
Cho phương trình x 2 + 2kx + 1 = 0 ; x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm
giá trị của k để: Q =

x14 + x24 − 196( x12 + x22 )

đạt giá trị nhỏ nhất, xác định giá trị nhỏ nhất đó?

Câu 5 (4,0 điểm):
a) Cho 19 điểm trong đó có 3 điểm thẳng hàng. Tính số đường thẳng được tạo thành từ 19
điểm đã cho.
b) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 10cm. Điểm I nằm giữa A và O sao cho OI=
3
IA . Vẽ dây cung CD vuông góc với OA tại I. Nối AC; BC.
2

1. Chứng minh rằng: AC2 = AI.AB.
2. Tính độ dài dây CD.

3. Gọi H là trung điểm của IC. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với CO cắt CO tại M
và cắt đường tròn (O) tại E; F. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C
bán kính CE.
------------------------------------ Hết ------------------------------------------

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI HUYỆN THCS-CHU KÌ 2014-2016
Hướng dẫn chấm bài kiểm tra năng lực môn Toán. (Thời gian làm bài 120 phút).
Câu
Nội dung
a. Đánh giá theo năng lực là đánh giá kiến thức, kỹ năng và thái độ trong bối cảnh có ý nghĩa.
Tức là phải tạo cơ hội cho HS được giải quyết vấn đề trong tình huống có tính thực tiễn (1,0đ)

Điểm


b. Quy trình xây dựng chủ đề dạy học bao gồm những bước sau:
b1. Xây dựng chủ đề
b2. Xác định các NL có thể hình thành cho HS
b3. Xây dựng bảng mô tả mức độ câu hỏi/bài tập
b4. Biên soạn câu hỏi/bài tập
b5. Xây dựng tiến trình dạy học
b6. Tổ chức thực hiện
b7. Phân tích giờ dạy
(1,0đ)

x −2=2 x +1 khi x ≥2
−x +2=2 x +1 khi x <2

a. x −2 =2 x +1 ⇔

(0,25đ)
 x = −3 < 2 ( k oTM )

1
⇔
⇔x=
1
3
x =
< 2 (TM )
3


2

3

(0,25đ)

b. (−17)2014 = 17 2014 > 162014 = (24 )2014 = 28056 và 311611 < 321611 = (25 )1611 = 28055
(0,25đ)
Mà 17 2014 > 28056 > 28055 > 321611 > 311611 . Vậy (−17)2014 > 311611
(0,25đ)
c. Tìm nghiệm của f ( x) = ( x − 1)( x + 3) = 0 ⇔ x = 1; x = −3
Nghiệm của f ( x) cũng là nghiệm của g ( x) = x3 − ax 2 + bx − 3 nên :
Thay x = 1 vào g ( x) ta có: 1 − a + b − 3 = 0
Thay x = −3 vào g ( x) ta có: −27 − 9a − 3b − 3 = 0
(0,25đ)
Từ đó biến đổi và tính được: a = −3; b = −1

a) Biến đổi A = ( x + 1)( x + 3)( x + 5)
Xét A = ( x + 1)( x + 3)( x + 5) , Vì x ∈ Z nên:
+ Khi x chẵn thì A lẻ nên A không chia hết cho 16.
+ Khi x lẻ, tức x = 2 k + 1 ( k ∈ Z ) ⇒ A = 8(k + 1) ( k + 2 ) ( k + 3)
Mà tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. Vậy A chia hết cho 8 . 2 = 16
(0,25đ)
Vì x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:
2

2

x1 y2
y
2
y
y
y
y
y + y2
52
y  y 
=
⇒ 2 = ⇒ 2 = 1 ⇒ 2 ÷ = 1÷ ⇒
= 2 = 1
=
=4
x2 y1
y1 3
2
3

9
4
9+4
13
 2  3
2
1

2

2

1,5

(0,25đ)

(0,25đ)
(0,25đ)

1,5

2

(0,5đ)

+ ) y1 = 36 ⇒ y1 = ±6
2

Với y1= - 6 thì y2 = - 4 ;

(0,25đ)

Với y1 = 6 thì y2= 4 .
4

Dẫn dắt học sinh tìm ra lời giải:
- Tìm điều kiện để PT có hai nghiệm
phân biệt
Vì trong biểu thức Q có mối quan hệ 2
nghiệm => HD học sinh áp dụng Vi-et

1,0

 k < −1
∆' > 0 ↔ k 2 − 1 > 0 ↔ 
k > 1

(1)