Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán tỉnh Thanh Hóa năm học 2015 - 2016(có đáp án)

ĐỀ B
Câu 1 (2.0 điểm) : 1/ Giải phương trình :
2
2 0mx x+ − =
trong các trưởng hợp sau
a/ khi m = 0
b/ khi m = 1
2/ Giải hệ phương trình :
5
1
x y
x y
+ =


− =

Câu 2 (2.0 điểm) : Cho biểu thức :
4 3 6 2
1
1 1
b
Q
b
b b
+
= + −
−
− +
( Với

0, 1b b≥ ≠
)
a/ Rút gọn biểu thức Q
b/ Tính giá trị của biểu thức Q khi
6 2 5b = +
Câu 3 (2.0 điểm) : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = x + n – 1
và Parabol (P) : y = x
2
a/ Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm B(0 ; 2)
b/ Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt
là x
1
; x
2
thỏa mãn :
1 2
1 2
1 1
4 3 0x x
x x
 
+ − + =
 ÷
 
Câu 4 (3.0 điểm) : Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi
qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm E và F. Lấy điểm M tùy ý trên tia đối của tia
FE, Qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm)
1/ Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn
2/ Gọi K là trung điểm của EF, Chứng minh KM là phân giác của
·

CKD
3/ Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại R và
T. Tìm vị trí của M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất
Câu 5 (1.0 điểm) : Cho x, y, z là các số thưc dương, thỏa mãn điều kiện :
2 2 2
5 2 4 3 60x xyz y z+ + + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = x + y + z

Giáo viên giải và lên thang điểm tham khảo
Câu Nội dung Điểm
Câu 1
2.0
Hướng dẫn
1/
a/ Khi m = 0 thay vào phương trình ta có
2
0. 2 0 2 0 2x x x x+ − = <=> − = <=> =
. Vậy phương trình có 1 nghiệm
x = 2
b/ khi m = 1 thay vào phương trình ta có
2 2
1. 2 0 2 0x x x x+ − = <=> + − =
Ta có : a + b + c = 1 + 1 + (-2) = 0. Theo viets phương trình có 2
nghiệm :
1
1x =
và
2
2
2

1
c
x
a
−
= = = −
0.5
0.75
2/
Hướng dẫn
5 2 6 3 3
1 1 3 1 2
x y x x x
x y x y y y
+ = = = =
   
<=> <=> <=>
   
− = − = − = =
   
.
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất :
3
2
x
y
=


=


0.75
Câu 2
2.0
Hướng dẫn
a/ Rút gọn biểu thức Q
( ) ( )
4 3 6 2 4 3 6 2
1
1 1 1 1
1 1
b b
Q
b
b b b b
b b
+ +
= + − = + −
−
− + − +
− +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 1 3 1 6 2
4 4 3 3 6 2
1 1 1 1
b b b
b b b
Q
b b b b

+ + − − +
+ + − − −
= =
− + − +
( ) ( )
1 1
1
1 1
b
Q
b
b b
−
= =
+
− +
b/ Tính giá trị của biểu thức Q khi
6 2 5b = +
Với
( )
2
6 2 5 5 2 5 1 5 1b = + = + + = +
=>
( )
2
5 1 5 1 5 1b = + = + = +
. Thay v o bià ểu thức Q , ta có
( ) ( )
1 1 5 2 5 2
5 2

5 4
5 1 1 5 2
5 2 5 2
Q
− −
= = = = = −
−
+ + +
+ −
1.5
0.5
Câu 3
2.0
Hướng dẫn
a/ Tìm n để đường thẳng (d) đi qua điểm B(0 ; 2)
Đường thẳng (d) đi qua điểm B(0 ; 2), tức là x = 0 ; y = 2, thay
vào ta có : 2 = 0 + n – 1 <=> 2 = n – 1 <=> n = 2 + 1 = 3.
Vậy với n = 3 thì đường thẳng (d) đi qua điểm B(0 ; 2)
b/ Tìm n để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt
có hoành độ lần lượt là x
1
; x
2
thỏa mãn :
1 2
1 2
1 1
4 3 0x x
x x
 

+ − + =
 ÷
 
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol
(P) là :
2 2
1 1 0x x n x x n= + − <=> − − + =
(*)
Ta có :
( ) ( )
2
2
4 1 4.1. 1 1 4 4 4 3b ac n n n∆ = − = − − − + = + − = −
0.75
1.25
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x
1
; x
2
thỏa mãn :
1 2
1 2
1 1
4 3 0x x
x x
 
+ − + =
 ÷
 

thì
*
3
0 4 3 0 4 3
4
n n n∆ > <=> − > <=> > <=> >
(1)
Theo vi ét ta có :
( )
1 2
1 2
1
1
1
1
1
1
b
x x
a
c n
x x n
a
− −
−
+ = = =



− +


= = = −


*
1 2
; 0x x ≠
=> Phương trình (*) không có nghiệm bằng 0
=>
2
0 0 1 0 1 0 1n n n− − + ≠ <=> − ≠ <=> ≠
(2)
* Để
( )
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
4
1 1
4 3 0 3 0
x x
x x x x
x x x x
+
 
+ − + = <=> − + =
 ÷
 
, thay vào ta
có

( )
4.1 4 4
1 3 0 1 3 0 2 0
1 1 1
n n n
n n n
− − + = <=> − + + = <=> + + =
− − −
<=>
( ) ( )
2 2
4 2 1 0 4 2 2 0 6 0n n n n n n n+ + − = <=> + − + − = <=> − − + =
2
6 0n n+ − =
, ta có :
( )
2
1 4.1. 6 25 0∆ = − − = >
Vậy :
1
1 25
2
2
n
− +
= =
(Thỏa nãm 1 và 2)
1
1 25
3

2
n
− −
= = −
(Không thỏa mãn 1) Loại
Vậy vời n = 2 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm
phân biệt có hoành độ lần lượt là x
1
; x
2
thỏa mãn :
1 2
1 2
1 1
4 3 0x x
x x
 
+ − + =
 ÷
 
Câu 4
3.0
Hướng dẫn
Hình vẽ
K
O
T
R
D
C

M
F
E
(d)
1/ Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn
MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
 MC⊥OC =>
·
90
o
MCO =
(1)
MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
1.0
 MD⊥OD =>
·
90
o
MDO =
(2)
Từ (1) và (2) =>
·
·
90 90 180
o o o
MCO MDO+ = + =
=> Tứ giác MCOD nội tiếp đường tròn đường kính OM (ĐPCM)
2/ Gọi K là trung điểm của EF, Chứng minh KM là phân giác của
·
CKD

Xét đường tròn (O) ta có KE = KF (gt) => OK⊥EF (đ/l)
=>
·
90
o
OKM =
=> K thuộc đường tròn đường kính OM
=> 5 điểm O, K, D, M, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM
MC, MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (gt)
 MC = MD (tính chất)
Xét đường tròn đường kính OM, ta có
MC = MD (cm trên) =>
¼
¼
MC MD=
(đ/l) =>
·
·
MKC MKD=
(Đ/l)
 KM là phân giác của
·
CKD
(ĐPCM)
1.0
3/ Tìm vị trí của M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ
nhất
Xét ∆MRT có MO⊥RT (3)
MC, MD là 2 tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (gt)


·
·
CMO DMO=
(tính chất) (4)
Từ 3, 4 =>OR = OT (t/c)
=> RT = 2OR
Xét ∆OMR vuông tại O, có OC là đường cao
=>
2 2 2
1 1 1
OROM OC
+ =
(Hệ thức)
=>
2 2 2
1 1 1
OROM R
+ =
Áp dụng BĐT cô si ta có
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2
2 . .OR 2
OR OR .OR
OM R
R OM OM R OM
= + ≥ => ≥ => ≥
Dấu = xảy ra khi :
2 2
1 1

OR OR 2
OR
OM OM R
OM
= => = => = =
Ta có
2
. .2
.OR 2
2 2
MRT
OM RT OM OR
S OM R
∆
= = = ≥
Vậy
MRT
S
∆
nhỏ nhất bằng
2
2R
khi
2OM R=
Vậy M là giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn(O;
2R
)
lấy giao điểm thuộc tia đối của tia FE.
1.0
Câu 5

1.0
Hướng dẫn
Ta cã
Từ giả thiết ta có
2 2
2 2
2 2
5x 60 x 12
4y 60 y 15
3z 60 z 20
 
< <
 
< => <
 
 
< <
 
Từ giả thiết ta có
1.0
2 2 2
5x 2yz.x 4y 3z 60 0+ + + − =
(1)
Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn x, ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' y z 5 4y 3z 60 y z 20y 15z 300 20 z 15 y∆ = − + − = − − + = − −
Vậy :
( ) ( )
2 2

yz 20 z 15 y
x
5
− + − −
=
( vì x dương)
=>
( )
( )
2 2
2
1
yz 20 z 15 y
35 y z
2
x
5 10
− + − + −
− +
≤ =
=>
( ) ( )
2 2
35 y z 35 y z 10y 10z
x y z y z
10 10
− + − + + +
+ + ≤ + + =
=>
( )

2
60 y z 5
x y z 6
10
− + −
+ + ≤ ≤
Vậy P
max
= 6 khi x = 1 ; y = 2 ; z = 3
Chú ý
1/ HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
2/ HS vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm