BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
************

NGUYỄN QUỐC PHƢƠNG

BÀI TẬP VỀ ỨNG DỤNG
MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số : 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS - TS Dƣơng Quốc Việt

HÀ NỘI - 2011


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................................................4
CHƢƠNG I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET....................................................................6
1.1

Nguyên lý Dirichlet: ............................................................................. 6

1.2 Một số ví dụ: ........................................................................................ 6
1.2.1 Những bài toán khi giải phải nhận ra “lồng”: .................................. 6
1.2.2 Những bài toán khi giải phải nhận ra cả thỏ và lồng: ...................... 8
1.3 Một số bài tập....................................................................................... 9
1.3.1 Đề bài ............................................................................................... 9
1.3.2 Lời giải ........................................................................................... 11

CHƢƠNG II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM ........... 16
2.1 Nguyên lý đếm: .................................................................................. 16
2.1.1 Nguyên lý cộng: ............................................................................. 16
2.1.2 Nguyên lý nhân: ............................................................................. 16
2.1.3 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp: ...................................................... 16
2.1.4 Nguyên lý bù trừ: ........................................................................... 17
2.2 Một số ví dụ: ...................................................................................... 18
2.2.1 Các bài toán sử dụng nguyên lý cộng và nhân để giải: ................. 18
2.2.2 Các bài toán sử dụng hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp để giải: ........... 20
2.2.3 Các bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ để giải: ............................ 21
2.2.4 Sử dụng phép song ánh: ................................................................. 21
2.3 Một số bài tập..................................................................................... 23
2.3.1 Đề bài ............................................................................................. 23
2.3.2 Lời giải ........................................................................................... 28
CHƢƠNG III: NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ RỜI RẠC ............................................... 53
3.1

Nguyên lý cực trị rời rạc: ................................................................... 53

3.2 Một số ví dụ: ...................................................................................... 53
3.2.1 Áp dụng nguyên lý để giải toán hình học: ..................................... 53

2


3.2.2
3.2.3
3.2.4

Áp dụng nguyên lý để giải các bài toán số học và đại số: ............ 57

Tìm cực trị rời rạc: ......................................................................... 59
Thiết lập thứ tự trên các yếu tố bình đẳng ..................................... 60

3.3 Một số bài tập:.................................................................................... 63
3.3.1 Đề bài ............................................................................................ 63
3.3.2 Lời giải ........................................................................................... 64
CHƢƠNG IV: NGUYÊN LÝ XUỐNG THANG ................................................... 68
4.1

Nguyên lý xuống thang: ..................................................................... 68

4.2 Một số ví dụ: ...................................................................................... 68
4.2.1 Nguyên lý xuống thang với phƣơng trình nghiệm nguyên ............ 68
4.2.2 Nguyên lý xuống thang trong hình học ......................................... 69
4.3 Một số bài tập..................................................................................... 70
4.3.1 Đề bài ............................................................................................. 70
4.3.2 Lời giải ........................................................................................... 71
CHƢƠNG V: PHƢƠNG PHÁP HÀM SINH .......................................................... 78
5.1

Phƣơng pháp hàm sinh ....................................................................... 78

5.2 Một số ví dụ: ...................................................................................... 78
5.2.1 Xác định số hạng tổng quát của dãy số truy hồi ............................ 78
5.2.2 Phƣơng pháp hàm sinh cho các bài toán chứng minh, rút gọn ...... 80
5.2.3 Phƣơng pháp hàm sinh cho bài toán đếm số nghiệm .................... 81
5.3 Một số bài tập..................................................................................... 84
5.3.1 Đề bài ............................................................................................. 84
5.3.2 Lời giải ........................................................................................... 85
KẾT LUẬN .......................................................................................................................... 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 92

3


LỜI MỞ ĐẦU
Các nguyên lý cơ bản tuy rất đơn giản, nhƣng việc vận dụng nó nhƣ thế
nào trong tình huống cụ thể thật không đơn giản chút nào.
Luận văn tập trung sƣu tầm, phân loại, hệ thống, sáng tác, giải các bài toán
về 5 nguyên lý cơ bản, đó là: Nguyên lý Dirichlet; Nguyên lý cực trị rời rạc;
Nguyên lý xuống thang; Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đếm; Phƣơng
pháp hàm sinh và đƣa ra hệ thống bài tập phù hợp. Luận văn đƣợc chia làm 5
chƣơng sau đây:
 Chương I: Nguyên lý Dirichlet. Chương này gồm 3 phần chính: Phát
biểu về nguyên lý Dirichlet, các ví dụ điển hình được chia làm 2 loại
(những bài toán khi giải phải nhận ra thỏ và những bài toán khi giải
phải nhận ra cả lồng và thỏ). Cuối cùng là hệ thống bài tập chọn lọc có
lời giải.
 Chương II: Nguyên lý cơ bản cho các bài toán đếm. Trước hết
chúng tôi nhắc lại nguyên lý cộng, nguyên lý nhân và nguyên lý bù trừ,
định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Sau đó là các ví dụ điển hình cho
các dạng toán được trình bày lời giải một cách chi tiết theo các cách
khác nhau. Cuối cùng là hệ thống bài tập với lời giải chi tiết.
 Chương III: Nguyên lý cực trị rời rạc. Chương này gồm các vấn đề:
Phát biểu nguyên lý cực trị rời rạc; Các ví dụ điển hình, phân dạng về
áp dụng nguyên lý để giải các bài toán hình học, giải các bài toán đại số
và số học, tìm cực trị rời rạc, thiết lập thứ tự trên các yếu tố bình đẳng.
Sau cùng là một số bài tập chọn lọc với lời giải chi tiết.
 Chương IV: Nguyên lý xuống thang. Chương này gồm ba phần chính:
Sơ lược về nguyên lý xuống thang; Các ví dụ điển hình về nguyên lý

xuống thang cho phương trình nghiệm nguyên và cho các bài toán
hình học. Cuối cùng là hệ thống bài tập chọn lọc có lời giải chi tiết.

4


 Chƣơng V: Phƣơng pháp hàm sinh. Chƣơng này cũng bao gồm 3 phần:
Phần đầu nêu khái niệm hàm sinh và kiến thức hỗ trợ. Phần 2 gồm các ví
dụ điển hình sử dụng phƣơng pháp hàm sinh để tìm số hạng tổng quát của
dãy số cho dƣới dạng truy hồi, sử dụng phƣơng pháp hàm sinh cho các bài
toán chứng minh, rút gọn và sử dụng phƣơng pháp hàm sinh cho các bài
toán đếm số nghiệm. Phần 3 là hệ thống bài tập có lời giải.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Dƣơng Quốc Việt,
ngƣời thầy đã tận tình hƣớng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tác giả
hoàn thành luận văn này.
Hà nội, ngày 15 tháng 9 năm 2011
Tác giả

5


CHƢƠNG I: NGUYÊN LÝ DIRICHLET
1.1 Nguyên lý Dirichlet:

Khi giải một số bài toán số học và hình học chúng ta đã đƣợc làm quen
với một nguyên lí rất nổi tiếng về sự tồn tại, đó là nguyên lí Dirichlet hay vẫn
gọi là “Nguyên lí Lồng và Thỏ”. Nguyên lí đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Phát biểu 1: Không thể nhốt 5 chú thỏ vào 2 chiếc lồng, sao cho mỗi lồng
không quá 2 chú.
Phát biểu 2: Có 10 cái lồng, mỗi cái chỉ nhốt đƣợc nhiều nhất là 10 con và có

101 con thỏ thì có ít nhất 1 con thỏ ở ngoài lồng.
Phát biểu 3: Nếu k lồng chứa kn+1 thỏ, thì tồn tại một trong các lồng chứa ít
nhất n+1 thỏ.
.…
Tuy đƣợc phát biểu dƣới nhiều dạng khác nhau nhƣng cái cốt của nguyên lí
vẫn là chỉ ra sự tồn tại. Nguyên lí không xác định đƣợc chính xác đối tƣợng
nhƣng việc chỉ ra nó tồn tại đã mang lại nhiều ý nghĩa trong cuộc sống cũng
nhƣ trong toán học.
Cái khó của nguyên lý này là phải nhận biết đƣợc hoặc tự sáng tạo ra “lồng”
và “thỏ”. Các yếu tố “thỏ” và “lồng” thƣờng bị che khuất, chúng đòi hỏi
ngƣời giải phải tự phát hiện.
1.2 Một số ví dụ:
1.2.1 Những bài toán khi giải phải nhận ra “lồng”:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong n + 1 số nguyên dƣơng phân biệt không vƣợt
quá 2n, bao giờ cũng có 2 số nguyên tố cùng nhau.
Lời giải: Chia các số từ 1 đến 2n thành n tập hợp *

+;{3;4};…;{2n-1;2n}.

Vì ta có n+1 số nên theo nguyên lý Dirichlet có 2 số trong cùng một tập hợp.
Rõ ràng hai số đó nguyên tố cùng nhau.

6


Trong lời giải này ta đã sáng tạo ra n lồng,đó chính là n tập hợp.
Ví dụ 2: Cho hình vuông và 13 đƣờng thẳng phân biệt sao cho mỗi đƣờng
thẳng đó chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là 2:3. Chứng minh
rằng có ít nhất 4 đƣờng thẳng trong số 13 đƣờng thẳng đã cho đồng quy.
Lời giải: Nếu một đƣờng thẳng chia một hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số

diện tích là 2:3 thì nó phải đi qua điểm nằm trên đƣờng nối trung điểm hai
cạnh đối diện của hình vuông và chia đoạn đó theo tỉ số là 2:3. Trong hình
vuông thì có tất cả 4 điểm nhƣ vậy và 13 đƣờng thẳng đã cho đều đi qua 1
trong 4 điểm đó. Theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất 4 đƣờng thẳng trong số 13
đƣờng thẳng đã cho đồng quy ⟹ điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Cho a, b, c, d, e, f, g, h, k là các hằng số thực khác 0, còn x, y là các
biến, đặt A = ax + by + c, B = dx + ey + f, C = gx + hy + k. Chứng minh rằng
trong 8 hệ sau có ít nhất một hệ vô nghiệm:
{

,{

,{

, {

, {

,{

, {

,{

Lời giải: Mỗi miền nghiệm của một hệ tƣơng ứng với một miền mở trong mặt
phẳng, bị giới hạn bởi ba đƣờng thẳng có phƣơng trình là A = 0; B = 0; C = 0.
Vì 3 đƣờng thẳng chỉ phân mặt phẳng thành tối đa 7 miền nên trong 8 hệ đã
cho có ít nhất một hệ vô nghiệm.
Ví dụ 4: Ngƣời ta tung ngẫu nhiên nhiều hơn 200 viên sỏi vào một mảnh đất
hình vuông có diện tích 100m2. Chứng minh rằng tồn tại 3 viên thẳng hàng

hoặc lập thành 3 đỉnh một tam giác có diện tích không vƣợt quá 0,5m2.
Lời giải: Ta chia đám đất thành 100 ô vuông bằng nhau bởi các đƣờng thẳng
song song với các cạnh của hình vuông. Vì số viên sỏi lớn hơn 200 nên ắt có
ba viên A; B; C thuộc cùng một ô vuông. Nếu A, B, C không thẳng hàng thì
chúng lập thành một tam giác nằm trong một hình vuông có độ dài bằng 1m.
Do đó diện tích của nó không vƣợt quá 0,5m2.

7


Trong lời giải bài toán này ta đã phải sáng tạo ra 100 cái lồng, đó là 100 ô
vuông.
Ví dụ 5: Với n là một số nguyên dƣơng cho trƣớc, chứng minh rằng trong n +
1 số nguyên dƣơng tùy ý, luôn tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho n.
Lời giải: Nhận xét rằng các số dƣ có đƣợc khi mang chia n + 1 số nguyên cho
n chỉ có thể là 0,1,2,…,n – 1. Vì vậy ắt phải có hai số khi chia cho n có cùng
số dƣ. Do đó hiệu hai số này phải chia hết cho n.
Số lồng mà ta cần nhận ra trong bài toán này chính là n.
1.2.2 Những bài toán khi giải phải nhận ra cả thỏ và lồng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng luôn tồn tại một số nguyên dƣơng n, không vƣợt
quá 2010, để 2n – 1 chia hết cho 2011.
Lời giải: Xét dãy ai = 2i, i = 1,2,3,…,2011. Nhận thấy các số trong dãy đều
không chia hết cho 2011. Vì vậy, khi mang những số này chia cho 2011 thì
các số dƣ của nó chỉ nằm trong tập 2010 số { 1,2,3,…,2010}. Do có 2011 số
nên phải có 2 số at > ah khi chia cho 2011có cùng số dƣ. Đặt n = t – h, khi đó
n < 2011 và at – ah = ah(2n – 1) chia hết cho 2011, nên 2n – 1 chia hết cho
2011.
Mấu chốt là ta phải tạo ra 2011 thỏ ai = 2i, i =1,2,3,…,2011 và 2010 lồng
{1,2,3,..,2010}.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong n + 1 số nguyên dƣơng không vƣợt quá 2n,

bao giờ cũng tồn tại hai số sao cho số này là bội của số kia(Bài toán của
Erdos).
Lời giải: Gọi các số đã cho là a1,a2,…,an+1. Bây giờ ta phân tích các số này ở
dạng tiêu chuẩn: ai =

.bi với bi là số tự nhiên lẻ, i = 1,2,3,…,n+1. Nhƣ vậy

ta đƣợc n + 1 số tự nhiên lẻ b1, b2,…,bn+1 không vƣợt quá 2n. Nhƣ vậy, trong
2n số nguyên dƣơng đầu tiên, chỉ có n số lẻ, cho nên trong các số b1,b2,…,bn+1

8


ắt phải có hai số nhƣ nhau, chẳng hạn bj = bm = b. Khi đó aj =

b và am =

b sẽ có một số là bội của số kia.
Đây là một bài toán mà khi giải ta phải nhận ra n lồng, đó là n số lẻ
nằm trong các số không vƣợt quá 2n, sáng tạo ra n + 1 thỏ b1, b2,…,bn+1.
Ví dụ 3: Ngƣời ta sơn tất cả các cạnh và đƣờng chéo của một hình lục giác lồi
bởi hai màu khác nhau, mỗi cạnh hoặc đƣờng chéo chỉ đƣợc sơn một màu.
Chứng minh rằng trong đó tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu.
Lời giải: Giả sử lục giác đó là ABCDEF và hai màu sơn là xanh và đỏ. Trong
5 đoạn AB,AC,AD,AE,AF phải có ba đoạn đƣợc sơn cùng màu. Chẳng hạn 3
đoạn đó là AB,AC,AD, và đƣợc sơn màu đỏ. Ta xét tiếp 3 đoạn BC,CD,DB.
Nếu trong ba đoạn này có một đoạn đƣợc sơn màu đỏ, chẳng hạn BC, thì ba
cạnh của tam giác ABC đƣợc sơn cùng màu đỏ. Nếu ba đoạn BC,CD,DB
không có đoạn nào sơn màu đỏ thì nó phải đƣợc sơn toàn màu xanh khi đó
tam giác BCD có ba cạnh đƣợc sơn cùng màu xanh.

1.3 Một số bài tập
1.3.1 Đề bài
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho đa giác lồi có số cạnh không nhỏ hơn 5 và
tất cả các đỉnh có tọa độ nguyên(ta gọi chúng là các điểm nguyên). Chứng
minh rằng bên trong hoặc trên cạnh đa giác có ít nhất một điểm nguyên khác
nữa.
Bài 2: Trong mặt phẳng cho 25 điểm sao cho từ 3 điểm bất kỳ trong số chúng
đều tìm đƣợc hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại
một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 13 điểm.
Bài 3: Giả sử a,b,x0 là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng, trong dãy x0,
x1= ax0+b, x2 = ax1+b,…,xn= axn-1+b,…có vô hạn số là hợp số.
Bài 4: Chứng minh rằng nếu x1,x2,…,x12 là nghiệm của hệ bất phƣơng trình:

9


{

(
(

)
)

(

)

thì có ít nhất 3 số âm.
Bài 5: Chứng minh rằng trong một hình tròn có bán kính bằng 1, không thể

có nhiều hơn 5 điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ trong chúng đều
lớn hơn 1.
Bài 6: Cho 40 số nguyên dƣơng a1,a2,….,a19 và b1,b2,…,b21 thỏa mãn:
{
Chứng minh rằng tồn tại 4 số ai, aj,bk,bl sao cho
{
Bài 7: Tại một vòng chung kết cờ vua có 8 bạn thí sinh thi đấu theo thể thức
vòng tròn( bất kể hai thí sinh nào cũng phải thi đấu với nhau một ván). Chứng
minh rằng tại một thời điểm bất kỳ của cuộc thi bao giờ cũng có ít nhất 2 thí
sinh có số ván đã đấu là nhƣ nhau.
Bài 8: Một cửa hàng đồ điện trong mỗi ngày bán đƣợc ít nhất một chiếc quạt
và trong mỗi tuần bán đƣợc không quá 12 chiếc. Chứng minh rằng trong một
số ngày liên tiếp nào đó cửa hàng đã bán đƣợc tổng số 20 chiếc quạt.
Bài 9: Cho dãy số u1,u2,…,un trong đó ui bằng 0 hoặc bằng 1 thỏa mãn điều
kiện sau: Bất kỳ 2 bộ 5 số liên tiếp nào từ dãy số đã cho đều không trùng
nhau. Chứng minh rằng n ≤ 36.
Bài 10: Cho một dãy gồm 4n số dƣơng có tính chất: 4 số khác nhau bất kỳ
của dãy lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng dãy số đó phải có ít nhất
n số bằng nhau.

10


Bài 11: Số hạng thứ nhất và công sai d ≠ 0 của một cấp số cộng có vô hạn số
hạng là các số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại một số hạng của dãy mà biểu
diễn thập phân của nó chứa chữ số 9.
Bài 12: Cho dãy số nguyên u1,u2,…,un với n ≥ 2. Chứng minh rằng tồn tại
dãy con

trong đó 1 ≤ k1 < … < km ≤ n sao cho

n.

Bài 13: Chứng minh rằng không tồn tại một dãy tăng các số tự nhiên u1; u2;
u3; …; un;…sao cho với mọi n và m ta có umn = um + un.
Bài 14: Ngƣời ta sơn đen một số cung của đƣờng tròn với tổng độ dài các
cung đó bé hơn nửa đƣờng tròn. Chứng minh rằng tồn tại một đƣờng kính có
hai đầu không bị sơn đen.
Bài 15: Trong một đƣờng tròn bán kính bằng 1 cho 7 điểm phân biệt mà
khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ đều không nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng
trong 7 điểm đã cho có ít nhất một điểm trùng với tâm.
1.3.2 Lời giải
Bài 1: Từ đề bài suy ra số đỉnh của đa giác lớn hơn hoặc bằng 5. Mỗi cặp số
nguyên (xi ,yi) chỉ có thể rơi vào 1 trong 4 trƣờng hợp sau: xi chẵn và yi chẵn;
xi chẵn và yi lẻ; xi lẻ và yi chẵn; xi lẻ và yi lẻ. Vì ta có nhiều hơn hoặc bàng 5
đỉnh nên có ít nhất hai đỉnh mà hoành độ và tung độ của chúng có tính chẵn lẻ
giống nhau. Khi đó trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm này là một điểm
nguyên và hiển nhiên trung điểm đó nằm trên hoặc trong cạnh của đa giác.
Bài 2: Nếu 2 điểm bất kỳ trong số 25 điểm đã cho đều có khoảng cách nhỏ
hơn 1 thì ta chọn một điểm bất kỳ làm tâm vẽ một đƣờng tròn bán kính bằng 1
thì hình tròn vừa dựng sẽ chứa cả 25 điểm đó. Trong trƣờng hợp có hai điểm,
giả sử là A và B có khoảng cách không nhỏ hơn 1, vẽ hình tròn (C1) tâm A
bán kính 1 và đƣờng tròn (C2) tâm B bán kính 1. Khi đó không tồn tại điểm
nào trong 25 điểm đã cho nằm ngoài cả (C1) và (C2). Thật vậy, giả sử ngƣợc

11


lại có điểm C nằm ngoài (C1)và (C2), rõ ràng khi đó AB ≥ 1, AC ≥ 1, CB ≥ 1
mâu thuẫn với giả thiết. Nhƣ vậy có ít nhất một trong hai đƣờng tròn (C1)
hoặc (C2) chứa không ít hơn 13 điểm đã cho.

Bài 3: Dễ thấy xn= axn-1+b

xn-1+b >xn-1 với mọi số tự nhiên n ≠ 0. Do đó

x0,x1,x2,…,xn,…lập thành một dãy số tăng.Và x1= ax0+b>a nên các số hạng
của dãy kể từ x1 đều lớn hơn a. Đặt d = ƢCLN(a,b).
Xét trƣờng hợp d > 1, khi đó xi chia hết cho d với mọi i≥1, suy ra điều
phải chứng minh.
Xét trƣờng hợp d = 1, khi đó a và xk (k≥1) nguyên tố cùng nhau. Gọi N
là số nguyên dƣơng nguyên tố cùng nhau với a. Xét các số xk,xk+1,…,xk+N, với
k 1. Khi đó ta tìm đƣợc 2 số xp, xq(p > q) có cùng số dƣ (modN). Do đó xp –
xq = a(xp-1-xq-1) và (a,N) = 1, suy ra xp-1-xq-1 chia hết cho N. Tiếp tục quá trình
đó xp-2 - xq-2,…, xp-q+k-xk chia hết cho N. Chọn N = xk (thì N > a ≥ 1) , ta suy ra
xp-q+k chia hết cho N. Do đó xp-q+k là hợp số. Nhƣ vậy trong dãy xk,xk+1,…,
xk+N có chứa hợp số là xp-q+k.Thay thế xk bởi xp-q+k+1 ta lại có trong dãy xh, xh+1,
…,

( h = p-q+k+1) cũng chứa một hợp số. Từ đó suy ra các hợp số

trong dãy *

+

là vô hạn.

Bài 4: Giả sử trong 12 số x1, x2, …, x12, là nghiệm của hệ bất phƣơng trình đã
cho có ít hơn 3 số dƣơng. Khi đó bao giờ cũng chọn đƣợc bốn chỉ số liên tiếp
i-1, i, i+1, i+2 sao cho xi-1, xi, xi+1+, xi+2 đều âm. Theo các bất phƣơng trình
trong hệ, ta có: xi-1 - xi + xi+1 > 0, xi - xi+1 + xi+2 > 0. Từ đó suy ra xi-1 + xi+2 >
0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết xi-1 và xi+2 đều âm. Vì vậy số các số

dƣơng phải lớn hơn hoặc bằng 3. Hoàn toàn tƣơng tự ta chứng minh đƣợc cho
các số âm.
Bài 5: Xét 6 điểm trong đƣờng tròn tâm O. Ta sẽ chứng minh rằng trong 6
điểm đó tồn tại hai điểm có khoảng cách ≤ 1. Ta xét điểm P1, kéo dài OP1 cắt
đƣờng tròn tại A. Lấy trên đƣờng tròn, về hai phía của A điểm B và C sao cho

12


̂ = ̂ = 600. Nếu trong hình quạt AOB có chứa một điểm khác P1, ta
gọi là P2, thì dễ thấy P1P2 ≤ 1. Tƣơng tự, nếu trong hình quạt AOC chứa một
điểm khác P1. Ta chia hình quạt lớn BOC thành 4 hình quạt bằng nhau, suy ra
góc ở tâm của mỗi hình quạt bằng 600. Ta có 5 điểm còn lại trong 4 hình
quạt, vì vậy có ít nhất một hình quạt chứa 2 điểm đang xét, suy ra khoảng
cách giữa hai điểm đó ≤ 1. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài 6: Gọi S là tập các tổng có dạng ai + bj với 1≤ i ≤ 19, 1≤ j ≤ 21, khi
đó | | = 19.21 = 399. Từ giả thiết suy ra các phần tử của S chỉ nhận các giá trị
từ 2 đến 400.
Nếu S = {2,3,…,400} thì a1 = b1 = 1 và a19 = b21 = 200, suy ra điều phải
chứng minh.
Nếu S ≠ {2,3,…,400} thì tồn tại 2 phần tử của S có cùng giá trị. Giả sử đó là
ai + bk = aj + bl, ta cũng suy ra điều phải chứng minh.
Bài 7: Xét một thời điểm bất kỳ của cuộc thi. Nếu có ít nhất hai ngƣời chƣa
thi đấu thì bài toán là hiển nhiên. Nếu tồn tại đúng một ngƣời chƣa chơi ván
nào thì 7 thí sinh còn lại, mỗi ngƣời thi đấu tối thiểu là 1 ván, tối đa là 6 ván,
theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 thí sinh có số ván thi đấu nhƣ nhau. Tƣơng
tự, nếu cả 8 ngƣời đã thi đấu thì mỗi ngƣời phải đấu ít nhất 1 ván và tối đa là
7 ván nên cũng tồn tại 2 thí sinh có số ván đấu nhƣ nhau.
Bài 8: Xét 21 ngày liên tiếp bất kỳ. Gọi S(n) là số quạt mà cửa hàng đó bán
đƣợc tính đến ngày thứ n (1≤ n ≤ 21). Vì trong mỗi ngày, cửa hàng bán đƣợc

ít nhất một chiếc quạt nên {S(n)} là dãy tăng nghiêm ngặt. Hơn nữa, trong
mỗi tuần cửa hàng bán đƣợc không quá 12 chiếc quạt nên 1≤ S(n)≤ 36 với
mọi n =

. Vì { S(n) / 1 ≤ n ≤ 21} có 21 số hạng nên theo nguyên lý

Dirichlet, tồn tại 1 ≤ i
S(j) (mod 20), mà 0 < S(j) –

S(i) < 36 nên ta phải có S(j) – S(i) = 20. Vậy kể từ ngày thứ i+1 đến ngày thứ
j cửa hàng đã bán đƣợc tổng cộng 20 chiếc quạt.

13


Bài 9: Giả sử n ≥ 37. Ta biết rằng,từ một dãy có n số (n ≥ 5) thì có n – 4 cách
chọn bộ gồm 5 số liên tiếp của dãy. Vì n ≥ 37 nên n - 4 ≥ 33 > 25. Hơn nữa, ta
lại chỉ có 25 cách lập các bộ gồm 5 số (a1, a2, a3, a4, a5), trong đó ai = 0 hoặc ai
= 1. Suy ra từ dãy n ≥ 37 tồn tại ít nhất hai bộ 5 số liên tiếp trùng nhau (mâu
thuẫn). Vậy ta phải có n ≤ 36.
Bài 10: Vì n = 1 thì bài toán là hiển nhiên nên chỉ cần xét n > 1. Giả sử trong
dãy số đã cho,mỗi số hạng của nó chỉ lặp lại nhiều nhất là n – 1 lần. Khi đó
theo nguyên lý Dirichlet, trong 4n số dƣơng đó bao giờ cũng chọn đƣợc 5 số
khác nhau là a,b,c,d,e. Không mất tính tổng quát, giả sử a < b < c < d < e. Khi
đó 4 số a, b, c, d và 4 số a, b, c, e đều lập thành cấp số nhân. Do đó
nên e = d. Điều này mâu thuẫn với giả thiết e ≠ d. Vậy ta có điều phải
chứng minh.
Bài 11: Số hạng thứ s của cấp số cộng tính bởi công thức us = u1 +(s -1).d,
trong đó u1 là số hạng đầu tiên, d là công sai. Không mất tính tổng quát, giả

sử d > 0. Theo nguyên lý Dirichlet, trong d + 1 số sau: 9, 99, 999 ,…, ⏟
có hai số có cùng số dƣ khi chia cho d. Tức là luôn tồn tại số có dạng
99… ⏟

chia hết cho d. Giả sử u1 là số nguyên có n chữ số. Bổ sung các

chữ số 0 nếu cần, ta có thể coi k ≥ n và số A = 99… ⏟
Khi đó nếu đặt m =

chia hết cho d.

thì số hạng thứ m + 1 trong cấp số cộng đã cho có biểu

diễn thập phân chứa chữ số 9.
Bài 12: Xét n +1 số

. Theo nguyên lý

Dirichlet trong n+1 số đó phải có ít nhất 2 số

,

khi chia cho n có cùng số dƣ (0≤ j < k ≤ n, ở đây ta hiểu khi j = 0 thì

14


là số 0). Điều đó có nghĩa là số (
(

) chia hết cho n. Suy ra

) chia hết

cho n.
Bài 13: Giả sử tồn tại dãy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn n là số tự nhiên
lớn hơn u2. Khi đó u2n = un + u2 < un + n. Điều này chứng tỏ các số un+1, un+2,
…, u2n là n số nguyên phân biệt nằm trong đoạn [un+1, un+ n-1]. Đoạn này chỉ
gồm n – 1 số nguyên phân biệt, nên giả sử sai ⟹ điều phải chứng minh.
Bài 14: Ta sơn xanh tất cả các cung đối xứng với các cung đã bị sơn đen của
đƣờng tròn. Từ giả thiết suy ra tổng độ dài tất cả các cung đã bị sơn bé hơn
nửa vòng tròn. Do đó tồn tại một điểm chƣa bị sơn, và đƣờng kính qua điểm
này chính là đƣờng kính cần tìm.
Bài 15: Giả sử không có điểm nào trong 7 điểm đã cho trùng với tâm. Chia
hình tròn đã cho thành 6 hình quạt bằng nhau. Theo nguyên lý dirichlet, tồn
tại hai điểm cùng nằm trong hình quạt( kể cả biên), nhƣ vậy khoảng cách giữa
hai điểm đó nhỏ hơn 1 (mâu thuẫn với giả thiết). Do đó phải có ít nhất một
điểm trùng tâm.

15


Chƣơng II: NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM
2.1 Nguyên lý đếm:
Bài toán đếm số phần tử của một tập hợp xuất hiện khá phổ biến trong khoa
học cũng nhƣ trong đời sống. Nếu số phần tử không nhiều thì ta có thể đếm số
phần tử của nó bằng cách liệt kê. Tuy nhiên nếu số phần tử của nó lớn thì
cách đếm trực tiếp là không khả thi. Ba nguyên lý cơ bản nhất cho các bài
toán đếm là nguyên lý cộng, nguyên lý nhân và nguyên lý bù trừ.
2.1.1 Nguyên lý cộng:

Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phƣơng án A1,
A2,…, Ak. Có n1 cách chọn phƣơng án A1, n2 cách chọn phƣơng án A2,…, nk
cách chọn phƣơng án Ak. Khi đó công việc có thể đƣợc thực hiện bởi n1 + n2 +
… + nk cách.
2.1.2 Nguyên lý nhân:
Giả sử một công việc A gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak . Công đoạn
A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2
cách,…, công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc đó có
thể thực hiện theo n1.n2…nk cách.
2.1.3 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp:
Hoán vị : Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử
của tập hợp A đƣợc gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Số hoán vị của n phần tử là: Pn = n! =1.2.3...n.(n ≥ 1).
Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi bộ gồm k phần tử (1
≤ k ≤ n) sắp thứ tự của tập A đƣợc gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đó.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

16

=(

)

(1 ≤ k ≤ 1).


Tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập hợp con của A gồm k
phần tử phân biệt (0 ≤ k ≤ n), đƣợc gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã
cho.

Số tổ hợp chập k của n phần tử là:

=

(

)

với (0 ≤ k ≤ n).

2.1.4 Nguyên lý bù trừ:
Nguyên lý bù trừ là một quy tắc hữu hiệu, trong việc giải quyết những
bài toán đếm.
Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy
tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Để tính đúng số
cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm việc thứ nhất và số cách
làm việc thứ hai rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc. Ta có thể phát
biểu nguyên lý đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp. Cho A1, A2 là hai tập hữu
hạn, khi đó
│A1∪ A2│ =│A1│ +│A2│- │A1∩A2│.
Từ đó với 3 tập hợp A1,A2,A3, ta có:
|⋃

|

∑| |

∑|

|

Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1,A2,…,Ak ta có:
│ A1∪ A2∪ …∪ Ak│ =N1 – N2 +N3 -…+ (-1)k-1 Nk.
Trong đó Nm (1≤ m≤ k) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập
đã cho.
Bây giờ ta đồng nhất tập Am(1 ≤ m ≤ k) với tính chất Am cho trên tập hữu hạn
U nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của U sao cho không thỏa mãn

17


bất kỳ một tính chất Am nào. Gọi N là số phần tử của U,

là số cần đếm. Ta

có:
= N - │ A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak│ = N – N1 + N2 -…+ (-1)kNk..
Trong đó Nm là tổng các phần tử của U thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính
chất đã cho. Công thức này đƣợc gọi là nguyên lý bù trừ. Nó cho phép tính
qua các Nm trong trƣờng hợp các số này dễ tính toán hơn.
Ngoài các nguyên lý trên ta còn có thể sử dụng phép song ánh, phương pháp
đếm bằng hệ thức truy hồi,…
2.2 Một số ví dụ:
2.2.1 Các bài toán sử dụng nguyên lý cộng và nhân để giải:
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên
a) Lẻ có 4 chữ số, đôi một khác nhau.
b) Chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau.
Lời giải:
a) Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng

. Ta cần chọn a,b,c,d để đƣợc

một số thỏa mãn đầu bài đòi hỏi.
 Công đoạn 1, chọn d: có 5 cách.
 Công đoạn 2, chọn a: có 8 cách.
 Công đoạn 3, chọn b: có 8 cách.
 Công đoạn 4, chọn c: có 7 cách .
Theo quy tắc nhân có 5.8.8.7 = 2240 số thỏa mãn yêu cầu đòi hỏi.
b) Mỗi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có một trong các dạng:
hoặc

(d ϵ {2,4,6,8}). Theo quy tắc nhân:

1. Dạng

có 9.8.7 = 504 số,

18


2. Dạng

(d ϵ {2,4,6,8}) có 4.8.8.7 = 1792 số.

Do đó theo quy tắc cộng có 504 + 1792 =2296 số thỏa mãn bài toán.
Trong câu a) của ví dụ 1 ta chỉ cần sử dụng quy tắc nhân, trong câu b) của
ví dụ 1 ta sử dụng quy tắc cộng kết hợp quy tắc nhân.
Ví dụ 2: Trong 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm
bốn chữ số khác nhau và trong bốn chữ số nhất thiết phải có chữ số 1.
Lời giải:

Cách 1: Mỗi số cần lập có một trong các dạng

,

 Dạng

có 5.4.3 = 60 số.

 Dạng

có 4.4.3 = 48 số. Tương tự mỗi dạng

cũng có 48 số.
Vậy theo quy tắc cộng, có 60 + 48 + 48 + 48 =204 số thoả mãn đề bài.
Cách 2: Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là : 5.5.4.3 = 300. Số các
số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó không có mặt chữ số 1 là 4.4.3.2
= 96. Do đó số các số thỏa yêu cầu đề bài là: 300 – 96 = 204.
Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập tất cả các số gồm bốn chữ
số không trùng nhau. Hãy tìm tổng của tất cả các số này.
Lời giải:
Cách 1: Gọi A là tập hợp các số thoả mãn đề bài. Ta có | | = 9 . 8. 7. 6 =
∈ A đều tồn tại duy nhất một số

3024 số. Đối với số bất kì
A sao cho

∈

= 11110. Do đó tập A gồm 3024: 2 = 1512 cặp

+

số, mỗi cặp có tổng là 11110. Vậy tổng tất cả các số trong A là: 1512.11110
= 16798320.
Cách 2: Số các số có dạng
tƣơng tự, mỗi dạng:

,

lập đƣợc là 8.7.6 = 336 số. Hoàn toàn
,… ,

19

cũng có 336 số. Do đó tổng tất


cả các chữ số hàng nghìn của tất cả các số lập đƣợc là 336(1+2+…+9)
=15120. Hoàn toàn tƣơng tự, tổng các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị của tất
cả các số lập đƣợc mỗi loại cũng là: 22680. Vậy tổng tất cả các số lập đƣợc
là: 15120(1+10+100+1000) = 16798320.
2.2.2 Các bài toán sử dụng hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp để giải:
Ví dụ 1: Có 6 tem thƣ khác nhau và 6 phong bì khác nhau, hỏi có bao nhiêu
cách chọn 3 tem thƣ dán vào 3 phong bì.
Lời giải:
Công đoạn 1, chọn ra 3 phong bì: Có
Công đoạn 2, chọn ra 3 tem thƣ: Có

cách.
cách.

Công đoạn 3, dán 3 tem thƣ vừa chọn vào 3 phong bì đã chọn : Có 3! Cách.
Theo quy tắc nhân, có

= 2400 cách.

Trong bài này ta sử dụng hoán vị và tổ hợp kết hợp với quy tắc nhân.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 13 chữ số sao cho chữ số 0 xuất hiện 2
lần, chữ số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số khác xuất hiện đúng một lần.
Lời giải:
Xét 13 ô trống:
Ta cần đặt các chữ số 0,1,2,3,4 vào các ô( mỗi ô một chữ số) để đƣợc một số
thỏa mãn yêu cầu bàn toán.
 Công đoạn 1: Đặt 2 chữ số 0 vào, có

cách.

 Công đoạn 2: Đặt 3 chữ số 1 vào, có

cách.

 Công đoạn 3: Đặt 8 chữ số còn lại vào, có 8! cách.
Theo quy tắc nhân có tất cả

= 439084800 số thỏa mãn yêu cầu bài

toán.

20

2.2.3 Các bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ để giải:
Ví dụ 1: Một lớp có 4 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 2 học sinh giỏi
cả toán và văn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trƣởng sao
cho học sinh đó phải giỏi toán hoặc văn?
Lời giải: Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 + 5 – 2 = 7 cách.
Ví dụ 2 : Trong tập S = {1,2,…,280} có bao nhiêu số không chia hết cho 2,
3,5,7?
Lời giải: Ta đếm xem trong tập S có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một
trong các số 2,3,5,7.
Kí hiệu A1 = {k  S: k chia hết cho 2}, A2 = {k  S: k chia hết cho 3}, A3 = {k
 S: k chia hết cho 5}, A4 = {k  S: k chia hết cho 7}.

Khi đó A1∪A2∪ A3∪ A4 là tập các số chia hết cho ít nhất một trong các số
2,3,5,7. Ta có:
|
Tƣơng tự: |A2| =
|A1∩A4| =

; |A3|=

; |A2∩A3| =

|A1∩A2∩A4| =

|

[

]

; |A4| =
; |A2∩ A4| =

; |A1∩A3∩A4|=

; |A1∩A2| =

; |A1∩A3| =

;

; |A3∩A4| = ; |A1∩A2∩ A3| =

; |A2∩A3∩A4| =

A1∩A2∩A3∩A4| =

;
.

Sử dụng công thức bao hàm và loại trừ, ta tìm đƣợc:
|A1∪A2∪A3∪A4| = 216.
Thành thử trong tập S có 280 – 216 = 64 số không chia hết cho 2,3,5,7.
2.2.4 Sử dụng phép song ánh:
Ví dụ 1: Có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sau cho
chữ số đứng trƣớc luôn lớn hơn chữ số đứng sau.
Lời giải: Mỗi tập hợp gồm 4 chữ số tự nhiên khác nhau đều lập đƣợc duy nhất
một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán, ngƣợc lại, từ mỗi số tự nhiên thỏa

21


mãn yêu cầu bài toán ta cũng đƣợc lập từ một tập hợp duy nhất gồm 4 chữ số
tự nhiên khác nhau. Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là

= 210.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách chọn năm số từ mƣời tám số nguyên dƣơng đầu
tiên sao cho trị tuyệt đối của hiệu hai số bất kì đều lớn hơn 2?
Lời giải: Giả sử a1 < a2 < a3 < a4 < a5 là năm số đƣợc chọn. Xét bộ (b1, b2, b3,
b4, b5) = (a1, a2 - 1, a3 – 2, a4 – 3, a5 – 4) thì b1, b2, b3, b4, b5 là 5 số nguyên
dƣơng khác nhau trong số mƣời bốn số nguyên dƣơng đầu tiên. Ngƣợc lại, từ
5 số nguyên dƣơng khác nhau b1, b2, b3, b4, b5 trong số 14 số nguyên dƣơng
đầu tiên (không mất tính tổng quát, giả sử b1 < b2 < b3 < b4 < b5 ) ta xây dựng
đƣợc bộ (a1, a2, a3, a4, a5) = (b1, b2 +1, b3 + 2, b4 + 3, b5 + 4) là bộ năm số thoả
mãn điều kiện bài toán. Do vậy có một song ánh giữa tập các cách chọn năm
số thỏa mãn bài toán với tập các cách chọn năm số khác nhau từ mƣời bốn số
nguyên dƣơng đầu tiên. Do đó có

cách chọn năm số từ mƣời

tám số nguyên dƣơng đầu tiên sao cho trị tuyệt đối của hiệu hai số bất kì đều
lớn hơn 2.
Ví dụ 3: (Vô địch Ucraina 1996) Gọi M là tất cả các số nguyên dƣơng viết
trong hệ thập phân có n chữ số 1, n chữ số 2 và không có một chữ số nào
khác. Gọi N là tập tất cả các số viết trong hệ thập phân có n chữ số, chỉ chứa
các số 1, 2, 3, 4 và số các chữ số 1 bằng số các chữ số 2. Chứng minh rằng
│M│ =│N│.
Lời giải: Ta sẽ xây dựng một song ánh giữa M và N nhƣ sau:

Với mỗi số có n chữ số thuộc N cho tƣơng ứng với một số có 2n chữ số thuộc
M theo quy tắc sau: Đầu tiên, viết hai phiên bản của số này kề nhau thành số
có 2n chữ số. Sau đó, các chữ số 3 ở n chữ số đầu đƣợc đổi thành chữ số 1,
chữ số 3 ở n chữ số sau đƣợc đổi thành chữ số 2.
Tƣơng tự, chữ số 4 ở n chữ số đầu đƣợc đổi thành chữ số 2, còn chữ số 4 ở n
chữ số sau đƣợc đổi thành chữ số 1.

22


Nhƣ thế, ta thu đƣợc một số có đúng n chữ số 1 và n chữ số 2. Rõ ràng đây là
đơn ánh từ N vào M.
Để chứng minh song ánh ta xây dựng ánh xạ ngƣợc nhƣ sau: Với mỗi số có n
chữ số 1 và n chữ số 2 thuộc M, ta cắt n chữ số đầu và n chữ số cuối rồi cộng
chúng theo cột theo quy tắc: 1 + 1 = 2, 2+ 2 = 1, 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 4 ta thu
đƣợc một số có n chữ số gồm các chữ số 1, 2, 3, 4 với số các chữ số 1 bằng số
các chữ số 2.
Vậy ta đã thiết lập đƣợc song ánh giữa M và N và │M│ =│N│.
2.3 Một số bài tập
2.3.1 Đề bài
Bài 1: Một tốp có 30 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một nhóm 6
ngƣời sao cho có đúng 2 nữ?
Bài 2: Cho m ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:
.
Bài 3: Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của
mỗi số là một số lẻ.
Bài 4: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đƣợc tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6 sao cho:
a. Các chữ số có thể giống nhau.
b. Các chữ số phải khác nhau.

Bài 5: Xếp ngẫu nhiên n quả cầu phân biệt vào N cái hộp phân biệt.
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hộp thứ nhất đƣợc n1 quả, hộp thứ hai
đƣợc n2 quả, …, hộp thứ N đƣợc nN quả? (n = n1 + n2 + … + nN).
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hộp thứ k đƣợc đúng m quả?
Bài 6: Tìm số các số nguyên dƣơng không vƣợt quá 100, và hoặc là số lẻ,
hoặc là bình phƣơng, hoặc là lập phƣơng của một số nguyên.

23


Bài 7: Trong một version của ngôn ngữ BASIC tên của một biến là một chuỗi
gồm 1 hoặc 2 ký tự, mỗi ký tự là chữ cái (trong bảng chữ cái tiếng Anh) hoặc
chữ số thập phân và không phân biệt chữ hoa và chữ thƣờng. Hơn nữa, một
tên biến phải bắt đầu bởi một chữ cái và một tên biến phải khác với 5 chuỗi
gồm 2 kí tự đã đƣợc dành riêng cho ngôn ngữ. Hỏi có bao nhiêu tên biến khác
nhau trong Version này của BASIC.
Bài 8: Mỗi ngƣời sử dụng trên một hệ thống máy tính có một “password”, dài
từ 6 đến 8 ký tự, trong đó mỗi ký tự là một chữ in hoa hoặc một chữ số thập
phân. Mỗi “password” phải có ít nhất một chữ số. Hãy tính số “password”
khác nhau có thể lập đƣợc.
Bài 9: Cho một n – giác lồi trong đó không có 3 đƣờng chéo nào đồng quy.
Hỏi có bao nhiêu giao điểm các đƣờng chéo nằm trong đa giác.
Bài 10: Một số điện thoại d1d2d3d4d5d6d7 đƣợc gọi là dễ nhớ nếu dãy d1d2d3
giống hoặc d4d5d6 hoặc d5d6d7 (hoặc cả hai). Mỗi di (1 ≤ i ≤ 7) là một trong
các giá trị từ 0, 1, 2, …., 9, tính số các số điện thoại dễ nhớ.
Bài 11: Cho tập A = {0, 1, 2, 3, 4}. Từ tập hợp A thành lập đƣợc bao nhiêu số
có 7 chữ số mà chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần.
Bài 12: Xét hoán vị (a1, a2, a3, a4, a5, a6) của (1, 2, 3, 4, 5, 6) sao cho có ít nhất
4 số đƣợc đổi chỗ. Tính số hoán vị có đƣợc.
Bài 13: Tìm số các ƣớc số của 11236680 kể cả chính nó.

Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng
trăm, hàng nghìn bằng 8.
Bài 15: Đội thanh niên xung kích của một trƣờng phổ thông có 12 học sinh,
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học
sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp
trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhƣ vậy?

24


Bài 16: Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 tạo đƣợc bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số
khác nhau và lớn hơn 25000.
Bài 17: Một hộp có 5 viên bi đỏ khác nhau, 4 viên bi vàng khác nhau và 9
viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi sao cho có đủ
3 màu.
Bài 18: Một lớp 50 học sinh trong đó có 4 cặp sinh đôi. Cần cử 5 học sinh đi
dự đại hội sao cho trong đoàn không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn.
Bài 19: Có n + 1 điểm phân biệt nằm trên đƣờng tròn. Hỏi có bao nhiêu
đƣờng gấp khúc có n cạnh không khép kín, không tự cắt có đỉnh là các điểm
đã cho?
Bài 20: Trong mặt phẳng cho 10 đƣờng thẳng phân biệt và 6 đƣờng tròn phân
biệt. Tìm số giao điểm tối đa có thể có giữa các đƣờng thẳng và đƣờng tròn
đó.
Bài 21: Một cửa hàng có 10 lon nƣớc giải khát đôi một khác nhau dùng để
bầy hàng. Ngƣời ta xếp các lon đó thành hình quả núi, số lon từ hàng cuối
cùng lên hàng trên lần lƣợt là 4,3,2,1. Hàng ngày, ngƣời ta đổi vị trí các lon
đó với nhau sao cho không có hai ngày nào bầy nhƣ nhau. Hỏi nếu bắt đầu
bầy từ ngày 1-1-2000 thì chủ cửa hàng có thể tiến hành theo cách nhƣ trên

đến ngày nào?
Bài 22: Cho tập hợp A = {1, 2, 3,…, n} trong đó n là số nguyên dƣơng lớn
hơn 1. Hỏi có bao cặp sắp thứ tự (x, y) thoả mãn x, y thuộc A và x không bé
hơn y.
Bài 23: Cho số nguyên dƣơng n. Tính số các số nguyên dƣơng không lớn hơn
n(n+1)(n+2) mà chúng không chia hết cho n, n+1, n+2.
Bài 24: Cho S là tập hợp có 6 phần tử. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai tập
hợp con của S không nhất thiết phân biệt sao cho hợp của chúng bằng S?

25