BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (275.65 KB, 42 trang )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TOÁN - CÔNG NGHỆ

NGUYỄN CHÍNH TÂM

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Phú Thọ - 2010

BÀI TẬP
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
(Dùng cho sinh viên ngành Toán)

NGUYỄN CHÍNH TÂM
10/10/2010

Mục lục
Chương 1. Không gian véc tơ ............................................. .....

2

1.1. Khái niệm không gian véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Độc lập tuyến tính. Hệ sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Cơ sở, chiều và hạng của một hệ véc tơ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 2. Ma trận ......................................................... .....

6

2.1. Các phép toán cơ bản của ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3. Hạng của ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Ma trận đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
12

2.5. Một số bài tập tổng hợp về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 3. Định thức..........................................................
3.1. Các phương pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

18

3.2. Một số tính chất của định thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3. Một số bài tập tổng hợp về định thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính.....................................

31

Chương 5. Ánh xạ tuyến tính
Giá trị riêng và véc tơ riêng ..................................................

34

Tài liệu tham khảo ............................................................

40

1

Chương 1

Không gian véc tơ
1.1. Khái niệm không gian véc tơ

Bài 1.1. Phương trình tuyến tính ẩn n trên trường K là biểu thức có dạng
α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn = β ,
trong đó α1 , α2 , ..., αn , β ∈ K. Nếu β = 0 thì nó được gọi là phương trình tuyến tính
thuần nhất. Chứng minh rằng:
(i) Tập hợp nghiệm của một hệ (hữu hạn hoặc vô hạn) phương trình tuyến
tính thuần nhất n ẩn trên trường K lập thành một không gian véc tơ trên K.
(ii) Tập hợp nghiệm của một hệ (hữu hạn hoặc vô hạn) phương trình tuyến
tính không thuần nhất n ẩn trên trường K không lập thành một không gian véc
tơ trên K.
Bài 1.2. Xét xem tập hợp nào trong số các tập hợp sau đây với phép cộng và phép
nhân (với một số) thông thường lập thành không gian véc tơ trên R :
a) Tập các dãy số thực hội tụ.
b) Tập các dãy số thực phân kì.
c) Tập các dãy số thực bị chặn.
p
d) Tập các dãy số thực thỏa mãn ∑∞
n=1 |an | hội tụ, trong đó p là một số thực
khác 0.
Bài 1.3. Cho a < b là hai số thực. Xét xem tập hợp nào trong số các tập hợp sau
đây với phép cộng và phép nhân (với một số) thông thường lập thành không gian
véc tơ trên R:
a) Tập L[a, b] các hàm thực khả tích trên [a, b].
b) Tập Cn (a, b) các hàm thực có đạo hàm cấp n liên tục trên khoảng (a, b).
c) Tập C∞ (a, b) các hàm thực khả vi vô hạn lần.
d) Tập các hàm thực trên đoạn [a, b].
e) Tập các hàm không bị chặn trên đoạn [a, b].
f) Tập các hàm thực f thỏa mãn f (a) = 0.
g) Tập các hàm thực f thỏa mãn f (a) = −1.
h) Tập các hàm thực đơn điệu tăng trên [a, b].
Bài 1.4. Xét xem tập hợp nào trong số các tập hợp sau đây với phép cộng và phép

nhân (với một số) thông thường lập thành không gian véc tơ trên trường K:
2

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

a) Tập hợp các ma trận trên trường K với n dòng, m cột.
b) Tập hợp các ma trận vuông đối xứng trên trường K.
c) Tập hợp các ma trận vuông trên trường K giao hoán với một họ ma trận cho
trước.
d) Tập hợp các ma trận vuông trên trường K với đường chéo chính bằng 0.
e) Tập hợp các ma trận (vuông) đường chéo trên K.
f) Tập hợp các ma trận vuông trên trường K với định thức bằng 0.
Bài 1.5. Cho U là không gian con của V . Chứng tỏ rằng hiệu tập hợp V \U không
bao giờ là không gian con của V .
Bài 1.6. Cho Vi , i ∈ I là một họ không gian con của V . Kí hiệu ∑i∈I Vi là tập hợp
các phần tử có dạng xi1 + · · · + xin , trong đó i1 , . . . , in (n thay đổi) và xi j ∈ Vi j với mọi
j = 1, . . . , n. Chứng tỏ rằng tập này lập thành một không gian con của V (được gọi
là tổng của các không gian con).
Bài 1.7. Cho K là một trường vô hạn và V1 ,V2 , . . . ,Vn là các không gian con của V .
Chứng minh rằng V1 ∪V2 . . .Vn là không gian con khi và chỉ khi có một không gian
con Vi chứa tất cả các không gian còn lại. Khi trường K hữu hạn thì sao?
Bài 1.8. Cho X là một họ không gian con của V thỏa mãn: nếu V1 ,V2 ∈ X thì tồn
tại V3 ∈ X chứa cả V1 ,V2 . Chứng tỏ rằng hợp các không gian con trong X lập thành
một không gian con của V .
Bài 1.9. Một số phức được gọi là số đại số nếu nó là nghiệm của một đa thức với
hệ số hữu tỉ. Chứng minh rằng tập các số đại số lập thành một không gian véc
tơ trên Q.

Bài 1.10. Cho K là trường vô hạn. Chứng tỏ rằng mọi không gian véc tơ không
tầm thường trên K có vô số phần tử.
Bài 1.11. Chứng tỏ rằng trên tập Q có thể định nghĩa vô hạn cấu trúc không
gian véc tơ trên Q, nhưng không thể xác định một cấu trúc không gian véc tơ
trên R.
Bài 1.12. Cho U và V1 ,V2 là các không gian con của V . Chứng tỏ rằng
(U ∩V1 ) + (U ∩V2 ) ⊆ U ∩ (V1 +V2 )
Tìm ví dụ để có bao hàm thức thực sự.
Bài 1.13. Cho U là không gian con của V . Chứng tỏ rằng tồn tại không gian con
W sao cho V = U +W và U ∩W = 0.
Bài 1.14. Cho I1 , . . . , Ir là các iđêan thuần nhất khác iđêan thuần nhất cực đại
của vành đa thức K [x1 , . . . , xn ] trên trường vô hạn K. Chứng tỏ rằng tồn tại một
dạng tuyến tính không nằm trong ∪ri=1 Ii .

1.2. Độc lập tuyến tính. Hệ sinh
Bài 1.15. Chứng tỏ rằng
a) Không gian C [a, b] , a < b, không hữu hạn sinh.
b) Không gian các đa thức n ≥ 1 biến không hữu hạn sinh.
3

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 1.16. Chứng tỏ rằng các hệ véc tơ sau đây độc lập tuyến tính trong không
gian các hàm liên tục C [0, 1]
a) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x, . . .
b) ex , e2x , e3x , . . .
Bài 1.17. Chứng tỏ rằng hệ véc tơ xα1 , . . . , xαn , trong đó α1 , . . . , αn là các số thực

khác nhau, là độc lập tuyến tính trong không gian các hàm liên tục C [0, 1].
Bài 1.18. Trong không gian véc tơ Rn , xét hệ véc tơ v1 = (v11 , . . . , v1n ) , . . . , v p =
v p1 , . . . , v pn , p ≤ n, có tính chất
|vii | > ∑ vi j
j=i

Chứng tỏ rằng hệ này độc lập tuyến tính.
Bài 1.19. Chứng minh rằng mọi hệ sinh của V luôn tìm được một tập con là hệ
sinh tối tiểu.
Bài 1.20. Chứng minh rằng mọi hệ sinh của không gian hữu hạn sinh đều chứa
một hệ sinh con hữu hạn.
Bài 1.21. Tìm ví dụ chứng tỏ rằng các tính chất độc lập tuyến tính và trở thành
hệ sinh phụ thuộc vào đặc số của trường.
Bài 1.22. Cho K là một trường có đặc số 1 khác 2. Chứng minh rằng tập hợp
ei + e j , 1 ≤ i = j ≤ n là hệ sinh của K n (n ≥ 3). Khi đặc số bằng 2 thì sao?

1.3. Cơ sở, chiều và hạng của một hệ véc tơ
Bài 1.23. Tìm cơ sở và số chiều của không gian V của Rn gồm các véc tơ thỏa
mãn
a) x1 + x2 + · · · + xn = 0
b) x1 + 2x2 + · · · + nxn = 0
Bài 1.24. Tìm cơ sở và chiều của tập các ma trận vuông
a) đối xứng cấp n
b) phản đối xứng cấp n.
Bài 1.25. Tìm tọa độ của đa thức f (x) bậc n trong cơ sở
1, x − 1, (x − 1)2 , . . . , (x − 1)n
của không gian các đa thức trên R có bậc không quá n.
Bài 1.26. Giả sử đặc số của trường K khác 2 và n ≥ 3. Tìm điều kiện để
e1 + e2 , e2 + e3 , . . . , en + e1
lập thành cơ sở của K n . Khi đặc số của K bằng 2 thì sao?

1 Cho A là một vành (hoặc một trường) và E = {n ∈ N∗ : n1 = 0 }. Nếu E = ∅ thì ta nói A có đặc số 0, và nếu
A
A
E = ∅ thì phần tử nhỏ nhất của E được gọi là đặc số của A

4

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 1.27. Chứng minh rằng V là không gian chiều vô hạn nếu với mỗi n đều tìm
được một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính.
Bài 1.28. Cho V là một không gian chiều vô hạn. Hãy xây dựng một dãy tăng
thực sự và một dãy giảm thực sự gồm vô hạn không gian con của V .
Bài 1.29. Cho dimV = n. Chứng tỏ rằng mọi dãy lồng nhau các không gian con
khác nhau của V có độ dài tối đa là n. Hơn nữa mọi dãy như vậy đều có thể bổ
sung thành dãy có độ dài đúng bằng n.
Bài 1.30. Chứng minh rằng dimQ R = ∞
Bài 1.31. Nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỉ được gọi là số đại số. Chứng
minh rằng tổng và tích hai số đại số lại là số đại số.

5

Chương 2

Ma trận
2.1. Các phép toán cơ bản của ma trận

Bài 2.1. Giả sử A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn (XA)2 = 0 với mọi X là ma trận
vuông cấp n. Chứng minh rằng A = 0.
Bài 2.2. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n sao cho tồn tại α, β ∈ K − {0} thỏa
mãn AB + αA + β B = 0. Chứng minh rằng AB = BA.
Bài 2.3. Giải các
−1
a) X 2 − 2X =
0
−2
b) X 3 − 3X 2 =
−2

phương trình sau đây với ẩn X ∈ M2 (R)
0
3
−2
−2

Bài 2.4. Giải hệ phương trình sau đây với ẩn X,Y ∈ M2 (R)
XY X = I2
Y XY = I2
Bài 2.5. Cho E là tập hợp các ma trận vuông cấp 4 trên trường C có dạng


a b b c
b a c b


b c a b
c b b a

a) Chứng minh rằng E là một đại số con kết hợp, có đơn vị của M4 (C) và dim(E) = 3.
b) Giải phương trình X 2 = I4 với ẩn X ∈ E.
Bài 2.6. Cho a, b ∈ C và k ∈ N∗ . Tính Ak

a
b
A=
 ...

với A là ma trận vuông cấp n có dạng

b ··· b
a · · · b
.. . . .. 
. .
.

b b ···
6

a

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.7. Tìm tất cả các ma trận A =

a b

∈ M2 (K) sao cho với ∀k ∈ N∗ thì ta có
c d

Ak =

ak bk
ck d k

Bài 2.8. a) Chứng minh rằng một ma trận vuông cấp n giao hoán với mọi ma trận
đường chéo cùng cấp khi và chỉ khi nó là ma trận đường chéo.
b)Chứng minh rằng ma trận vuông A cấp n ≥ 2 giao hoán với tất cả ma trận vuông
cùng cấp là ma trận vô hướng, tức là ma trận có dạng aI, trong đó a ∈ K và I là ma
trận đơn vị cấp n.
Bài 2.9. Vết của ma trận vuông A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của
A và được kí hiệu là tr(A). Chứng minh rằng nếu A, B là hai ma trận vuông cùng
cấp thì AB và BA có cùng vết.
Bài 2.10. Tồn tại hay không các ma trận A, B trên trường có đặc số 1 bằng 0 thỏa
mãn đẳng thức AB − BA = I. Nếu trường có đặc số khác 0 thì sao?
Bài 2.11. Một ma trận vuông được gọi là ma trận đối xứng (phản đối xứng) nếu
ai j = a ji (ai j = −a ji ) với mọi i, j.
a) Chứng minh rằng nếu trường cơ sở có đặc số khác 2 thì tập các ma trận đối
xứng và tập các ma trận lập thành các không gian con bù nhau trong không gian
véc tơ các ma trận vuông cùng cấp. Nếu trường có đặc số 2 thì sao?
b) Chứng tỏ rằng tích của hai ma trận đối xứng (hoặc cùng phản đối xứng) là ma
trận đối xứng khi và chỉ khi chúng giao hoán với nhau.
Bài 2.12. Cho A, B là hai ma trận phản đối xứng cùng cấp. Chứng tỏ rằng AB là
phản đối xứng khi và chỉ khi AB = −BA . Tìm ví dụ hai ma trận phản đối xứng
khác 0 thỏa mãn điều kiện trên.
Bài 2.13. Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh bậc k nếu k ≥ 1 để Ak−1 = 0
và Ak = 0.

a) Chứng tỏ rằng nếu A, B là hai ma trận lũy linh thì tích và tổng của chúng là
hai ma trận lũy linh.
b) Chứng tỏ rằng ma trận tam giác là ma trận lũy linh khi và chỉ khi các phần tử
trên đường chéo của nó bằng 0.
Bài 2.14. Cho A1 , A2 , . . . , An là các ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử trên
và dưới đường chéo chính bằng 0. Chứng tỏ rằng A1 A2 . . . An = 0.

2.2. Ma trận nghịch đảo
Bài 2.15. Chứng minh rằng nếu A là ma trận lũy linh bậc k thì I + A và I − A là
ma trận khả nghịch. Hãy tìm ma trận nghịch đảo (I + A)−1 và (I − A)−1 . Áp dụng
kết quả trên hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:


1 0 0
B = a 1 0
c b 1
1 Cho A là một vành (hoặc một trường) và E = {n ∈ N∗ : n1 = 0 }. Nếu E = ∅ thì ta nói A có đặc số 0, và nếu
A
A
E = ∅ thì phần tử nhỏ nhất của E được gọi là đặc số của A

7

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.16. Nếu A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn AB = BA và tồn tại
hai số nguyên dương r, s thỏa mãn Ar = Bs = 0 thì ma trận In + A + B là khả nghịch.

Bài 2.17. Tìm ma trận nghịch
a)

1
0

0
.
 ..

0
0

đảo của các ma trận vuông cấp n
2
1
0
..
.
0
0


··· n−1
n
· · · n − 2 n − 1

· · · n − 3 n − 2
..
.. 

...
.
. 

···
1
2 
···
0
1

3
2
1
..
.
0
0

b)
1
1

1
.
 ..


1
0

1
..
.

1
1
0
..
.

···
···
···
..
.

1 1 1 ···


1
1

1
.. 
.
1

c)


1
 n

n − 1
 .
 ..

 3
2


··· n−1
n
· · · n − 2 n − 1

· · · n − 3 n − 2
..
.. 
..
.
.
. 

4 5 ···
1
2 
3 4 ···
n
1

2
1
n
..
.

3
2
1
..
.

d)
a
a+h
a + 2h
a + (n − 1)h
a
a+h

a + (n − 2)h a + (n − 1)h
a

..
..
..

.
.
.


 a + 2h
a + 3h
a + 4h
a+h
a + 2h
a + 3h


Bài 2.18. Với λ = 0 và A là ma trận

λ
0

0
A=
 ...

0
0

···
···
···
...
···
···


a + (n − 2)h a + (n − 1)h

a + (n − 3)h a + (n − 2)h

a + (n − 4)h a + (n − 3)h

..
..

.
.

a
a+h 
a + (n − 1)h
a

vuông cấp n có dạng

1 0 ··· 0 0
λ 1 ··· 0 0

0 λ ··· 0 0
.. .. . . .. .. 
. . .
. .

0 0 ··· λ 1
0

0 ···

0 λ

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A?
Bài 2.19. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận vuông cấp n (nếu có)

8

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

a)
1+a
1
1
 1
1+a
1

 1
1
1+a
 .
..
..
 ..
.
.
1

1
1


···
···
···
..
.

1
1
1
..
.

···

1+a








b)
1 + a1
1

1
 1
1 + a2
1

 1
1
1 + a3
 .
..
..
 ..
.
.
1
1
1


···
···
···
..
.

1
1
1
..
.

···

1 + an








Bài 2.20. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp n trên trường số phức
C


1
1
1
1
···
1
1
ε
ε2
ε3
· · · ε n−1 


1 ε 2

ε4
ε6
· · · ε 2(n−1) 


6
9
3(n−1) 
1 ε 3
ε
ε
·
·
·
ε


 ..
..
..
..
.. 
..
.
.
.
.
.
. 
2

n−1
2(n−1)
3(n−1)
(n−1)
1 ε
ε
ε
··· ε
2π
trong đó ε = cos 2π
n + i sin n .

Bài 2.21. Giả sử n ∈ N − {0, 1} và α1 , . . . , αn , β ∈ R∗+ sao cho αi ≥ β với ∀i ∈ {1, . . . , n}.
Giả sử tồn tại nhiều nhất một chỉ số i thuộc {1, . . . , n} sao cho αi = β . Kí hiệu ma
trận A = (ai j )i j ∈ Mn (R) xác định bởi
ai j =

nếu i = j
nếu i = j

αi
β

Chứng minh rằng A là ma trận khả nghịch.
Bài 2.22. Chứng tỏ rằng ma trận vuông với hệ số nguyên có ma trận nghịch đảo
nguyên khi và chỉ khi định thức của nó bằng ±1.
Bài 2.23. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khối A =

In B
, trong đó In và

0 Im

Im là các ma trận đơn vị cấp n và cấp m.
B D
, trong đó B,C là các ma trận
0 C
B−1 −B−1 DC−1
.
vuông, là khả nghịch khi và chỉ khi B,C khả nghịch. Khi đó A−1 =
0
C−1

Bài 2.24. Chứng tỏ rằng ma trận khối A =

Bài 2.25. Cho A là ma trận vuông khả nghịch cấp n, B là ma trận kích thước
A B
n × p, còn C là ma trận kích thước p × n. Giả sử ma trận khối R =
được
−C 0
9

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

A1 B1
bằng các phép biến đổi sơ cấp trên n dòng đầu
0 X
hoặc thêm vào dòng có số thứ tự lớn hơn n tích của một trong n dòng đầu tiên với

số α nào đó. Chứng tỏ rằng khi đó X = CA−1 B .

đưa về ma trận khối R1 =

Bài 2.26. Cho A là ma trận vuông khả nghịch cấp n, I là ma trận đơn vị cấp n.
A1 B1
A I
bằng
được đưa về ma trận khối R1 =
Giả sử ma trận khối R =
0 X
−I 0
các phép biến đổi sơ cấp trên n dòng đầu hoặc thêm vào dòng có số thứ tự lớn
hơn n tích của một trong n dòng đầu tiên với số α nào đó. Chứng tỏ rằng khi đó
X = A−1 .
Bài 2.27. Cho A và B là hai ma trận vuông khả nghịch cùng cấp. Chứng tỏ rằng
bốn đẳng thức sau là tương đương với nhau
AB = BA, AB−1 = B−1 A, A−1 B = BA−1 , A−1 B−1 = B−1 A−1 .
Bài 2.28. Giả sử t ∈ K, A = ai j
ai j =

t j−iCij
0

ij

, B = bi j

nếu i ≤ j
,

nếu i > j

ij

∈ Mn (K) xác định bởi

bi j =

(−1)i+ j t j−iCij
0

nếu i ≤ j
nếu i > j

Chứng tỏ rằng hai ma trận A và B là nghịch đảo của nhau.
Bài 2.29. Giả sử A, B ∈ Mn (K) sao cho B và B − AB−1 A khả nghịch. Giải hệ phương
trình sau với ẩn (X,Y ) ∈ (Mn (K))2
AX + BY = 0
BX + AY = In
Bài 2.30. Chứng tỏ rằng ∀i, j ∈ 1, 2, . . . , n và i = j thì ma trận M = In + Ei j là ma trận
khả nghịch. Từ đó suy ra rằng ma trận vuông A cấp n giao hoán với mọi ma trận
X vuông cấp n khả nghịch khi và chỉ khi A = aIn với a ∈ K.
Bài 2.31. Gọi ε1 , . . . , εn là tất cả các căn bậc n (n ≥ 1) của đơn vị. Kí hiệu A = (ai j )i j
là ma trận có
1 + εi khi i = j
ai j =
εi
khi i = j
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A?
Bài 2.32. Cho A và B là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn I − AB khả nghịch.

Chứng minh rằng I − BA khả nghịch.

2.3. Hạng của ma trận
Bài 2.33. a) Chứng tỏ rằng các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột không làm
thay đổi hạng của ma trận.
b) Chứng tỏ rằng ma trận A ∈ Mm×n (K) có rankA ≤ min (m, n).
10

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.34. Chứng minh rằng mỗi ma trận có hạng bằng r có thể viết thành tổng
của r ma trận có hạng bằng 1, nhưng không thể viết thành tổng của ít hơn r ma
trận như vậy.
Bài 2.35. Cho a, b ∈ C và A là ma trận vuông cấp n có dạng


a b ··· b
b a · · · b 

A=
 ... ... . . . ... 
b b ···

a

Hãy xác định hạng của ma trận A?
Bài 2.36. Giả sử A ∈ Mn×p (K) và C1 , . . . ,C p là các cột của A. Chứng minh rằng

a) rankA = n khi và chỉ khi (C1 , . . . ,C p ) sinh ra Mn×1 (K).
b) rankA = p khi và chỉ khi (C1 , . . . ,C p ) độc lập tuyến tính.
Bài 2.37. Giả sử A ∈ Mn×p (K), B ∈ M p×q (K), C ∈ Mq×r (K) sao cho rank(B) = rank(AB).
Chứng minh rằng rank(BC) = rank(ABC).
Bài 2.38. Giả sử A ∈ M3×4 (R), B ∈ M4×2 (R), C ∈ M2×3 (R) sao cho


0 −1 −1
ABC = −1 0 −1
1
1
2
Tính CAB và chứng minh rằng (BCA)2 = BCA.
Bài 2.39. Giả sử A ∈ M3×2 (R) và B ∈ M2×3 (R)

8 2

AB = 2 5
−2 4

thỏa mãn

−2
4
5

Tính BA?
Bài 2.40. Giả sử A, B ∈ Mn (K) sao cho A là ma trận lũy linh, AB = BA và B = 0.
Chứng minh rằng rank(AB) ≤ rank(B) − 1 .
Bài 2.41. Cho A, B là hai ma trận sao cho tích AB xác định. Chứng minh rằng

rank(AB) ≤ min {rank(A), rank(B)}
Bài 2.42. Cho A, B là hai ma trận cùng kích thước. Chứng minh rằng
rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B)
Tìm ví dụ chứng tỏ rank(A + B) < rank(A) + rank(B); rank(A + B) > rank(A), rank(B) và
rank(A + B) = rank(A) = rank(B).
Bài 2.43. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng
rank(A) + rank(B) − n ≤ rank(AB) ≤ min {rank(A), rank(B)}
11

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.44. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn AB = 0.
a) Chứng tỏ rằng rank(A) + rank(B) ≤ n. Hơn nữa với mọi k thỏa mãn rank(A) ≤ k ≤ n,
luôn tìm được ma trận B sao cho rank(A) + rank(B) = k và AB = 0.
b) Chứng tỏ rằng nếu n lẻ thì rank(A + At ) < n hoặc rank(B + Bt ) < n.
Bài 2.45. Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận vuông cấp n trên trường có đặc số
khác 2 và thỏa mãn A2 = In thì
rank(A + In ) + rank(A − In ) = n
Bài 2.46. Cho A là ma trận có hạng là r. Chứng minh rằng định thức con nằm
trên giao điểm của r dòng độc lập tuyến tính và r cột độc lập tuyến tính của A
bao giờ cũng khác 0.
Bài 2.47. Chứng minh rằng hạng của ma trận phản đối xứng trên trường có đặc
số khác 2 là một số chẵn.
Bài 2.48. a) Chứng minh rằng hạng của ma trận đối xứng được xác định bằng
cấp cao nhất của định thức con chính 2 khác 0.
b) Chứng minh rằng hạng của ma trận phản đối xứng được xác định bằng cấp
cao nhất của định thức con chính khác 0.

A B
, trong đó A là ma trận vuông khả nghịch cấp n. Chứng
C D
minh rằng hạng của R bằng n khi và chỉ khi D = CA−1 B.

Bài 2.49. Cho R =

Bài 2.50. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ma trận A ∈ Mm×n (K) có hạng
r là A được viết dưới dạng A = BC, trong đó B ∈ Mm×r (K) có r cột độc lập tuyến tính
và C ∈ Mr×n (K) có r dòng độc lập tuyến tính.
Bài 2.51. Cho A là ma trận thực cos hạng bằng r. Chứng minh rằng các ma trận
At A và AAt cũng có hạng bằng r. Trong đó At là ma trận chuyển vị của ma trận A.
Bài 2.52. Cho A, B ∈ Mn (R) thỏa mãn AB + A + B = 0. Chứng minh rằng
rankA = rankB
Bài 2.53. Chứng minh rằng nếu ma trận vuông A cấp n có các phần tử trên đường
chéo chính bằng 0, các phần tử còn lại bằng 1 hoặc bằng 2012 thì rankA ≥ n − 1.
Bài 2.54. Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông A cấp n và số thực λ = 0 bất
kì, ta có
rank(A) + rank(A + λ In ) = n + rank(A2 + λ A)

2.4. Ma trận đa thức
Bài 2.55. Tính
a)
2 Định

A=

0 2
−3 5

2012

b)

B=

1 1
−1 3

2012

thức con chính là định thức con nằm trên các cột và dòng có cùng chỉ số.

12

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.56. Tính
2012
1 −2 1
A = −1 1 0
−2 0 1

a)

2012
4 3 −3

B = 2 3 −2
4 4 −3




b)

Bài 2.57. Không dùng định lí Cayley-Hamilton chứng tỏ rằng với mọi ma trận
vuông A đều tồn tại đa thức f (x) khác 0 làm nghiệm.
Bài 2.58. Cho A =

a b
c d

là ma trận trên C và f (x) là một đa thức tùy ý. Tính

f (A).
Bài 2.59. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và f , g ∈ K [x] là hai đa thức tùy
ý. Chứng tỏ rằng nếu AB = BA thì f (A)g(B) = g(B) f (A).
Bài 2.60. Cho A là ma trận vuông cấp 2 và k là số nguyên dương. Chứng minh
rằng Ak = 0 khi và chỉ khi A2 = 0.
Bài 2.61. Cho A là ma trận khả nghịch. Chứng tỏ rằng tồn tại đa thức f để
A−1 = f (A).
Bài 2.62. Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận đường chéo khối diag(A1 , . . . , As ) với các
ma trận A1 , . . . , As vuông và f (x) là một đa thức thì f (A) = diag( f (A1 ) , . . . , f (As )).
Bài 2.63. Hai ma trận vuông A, B cùng cấp được gọi là đồng dạng với nhau nếu
tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho A = P−1 BP và được kí hiệu là A ≈ B. Chứng
tỏ rằng nếu A ≈ B thì với mọi đa thức f (x) ta đều có f (A) ≈ f (B).
Bài 2.64. Cho A là một ô Jordan, tức là


α 1
0 α

0 0
A=
. .
 .. ..
0 0


··· 0
··· 0

··· 0
.
..
. .. 
0 ··· α

0
1
α
..
.

và f (x) là một đa thức. Chứng minh rằng

f (α)
f (α)

1!
2!
 f (α)

f
(α)
 0
f (α)
1!

f (A) = 
 0
0
f (α)

 ..
.
..
..
 .
.
0
0
0

···
···
···
..
.

···



f (n−1) (α)
(n−1)! 
f (n−2) (α) 

(n−2)! 
(n−3)
f
(α) 

(n−3)! 

.. 
. 
f (α)

B 0
, trong đó B,C là các ma trận vuông. Chứng minh rằng
0 C
đa thức tối tiểu gA là bội chung nhỏ nhất của các đa thức tối tiểu gB và gC .
Bài 2.65. Cho A =

13

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.66. Chứng tỏ rằng một ma trận vuông là khả nghịch khi và chỉ khi đa thức
tối tiểu của nó có hệ số tự do khác 0.
Bài 2.67. a) Cho A là ma trận vuông và f (x) là đa thức tùy ý. Chứng minh rằng
f (A)t = f (At ). Nói riêng, nếu A đối xứng thì f (A) cũng đối xứng.
b) Cho A là ma trận tam giác và f (x) là đa thức tùy ý. Chứng minh rằng f (A) cũng
là ma trận tam giác.

2.5. Một số bài tập tổng hợp về ma trận
Bài 2.68. Tồn tại hay không một ma trận thực A vuông cấp 2 thỏa mãn
A2012 =

−1 2012
0 1−ε

trong đó ε là một hằng số dương.
Bài 2.69. Cho A, B là hai ma trận thực, vuông cấp 2 thỏa mãn
A2 + B2 = I2 , AB + BA = 0
Chứng minh rằng tồn tại ma trận không suy biến P sao cho
PAP−1 =

1 0
0 1
, PBP−1 =
0 −1
1 0

Bài 2.70. Cho ma trận
A=

7 −5
8 −6

Chứng minh rằng tồn tại các ma trận thực B,C vuông cấp 2 sao cho với ∀n ∈ N ta
có
An = 2n B + (−1)nC
Bài 2.71. Xác định các ma trận vuông cấp 3 giao hoán với ma trận


0 −1 −1
A = −1 0 −1
1
1
2
Bài 2.72. Tồn tại hay không các ma trận A, B ∈ Mn (C) sao cho với mọi C ∈ Mn (C)
ta đều có C = A + B.
Bài 2.73. Chứng minh rằng ∀A, B,C ∈ M2 (R) ta đều có
(AB − BA)2012 C −C (AB − BA)2012 = 0
Bài 2.74. Tồn tại hay không các ma trận A, B,C, D ∈ Mn (R) sao cho
AC + BD = In
CA + BD = 0
14

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.75. Giải hệ phương trình sau với ẩn (X,Y ) ∈ (M2 (R))2



4 8



tr (X)Y + tr (Y ) X = 4 −4




XY =

1 1
−4 2

Bài 2.76. Cho A ∈ Mn (K) sao cho rankA ≤ 1. Chứng minh rằng tồn tại U,V ∈ Mn×1 (K)
sao cho A = UV t và tr (A) = V t U. Từ đó suy ra A2 = tr (A) A.
Bài 2.77. Chứng tỏ rằng với ∀A ∈ M3 C thì A2 = 0 khi và chỉ khi rankA ≤ 1 và tr (A) = 0.
Bài 2.78. Cho A ∈ Mn×p (K) và B ∈ Mq×n (K). Chứng minh rằng ∀X ∈ M p×q (K), tr (AXB) =
0 khi và chỉ khi BA = 0.
Bài 2.79. Tìm tất cả các số thực a, b sao cho
√
4
a −b
3 √
−1
=
b a
3

1
Bài 2.80. Cho A, B là các ma trận thực, vuông cấp n thỏa mãn A + B = In . Biết rằng
rankA + rankB = n. Chứng minh rằng
A2 = A, B2 = B, AB = BA = 0
Bài 2.81. Cho A, B là các ma trận thực, vuông cấp n sao cho
rankA = rankB
Chứng minh rằng tồn tại các ma trận vuông khả nghịch sao cho AD = CB.
Bài 2.82. Cho A1 , . . . , Am là các ma trận vuông cấp n và A1 A2 . . . Am = 0. Chứng minh
rằng
rank (A1 ) + · · · + rank (Am ) ≤ n(m − 1)
Bài 2.83. Cho A, B là các ma trận thực, vuông cấp n thỏa mãn
AB − 2A − 2B = 0
a) Chứng minh rằng AB = BA
b) Với A + B = −In . Chứng minh rằng rank (A − In ) + rank (B − In ) = n.
Bài 2.84. Cho A ∈ Mn (R) thỏa mãn aii = 0, ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}. Chứng minh rằng tồn
tại các ma trận B,C ∈ Mn (R) sao cho A = BC −CB.
Bài 2.85. Cho A, B ∈ Mn (R) thỏa mãn tr (AAt + BBt ) = tr (AB + At Bt ). Chứng minh rằng
A = Bt .
Bài 2.86. Biết rằng phương trình x2 + ax + b = 0 không có nghiệm thực. Chứng
minh rằng mọi ma trận X thực, vuông cấp 2n + 1 ta đều có X 2 + aX + b = 0.
Bài 2.87. Cho A là ma trận thực, vuông cấp n có rankA = r ≤ n. Chứng minh rằng
có thể viết A thành tổng của r ma trận mà mỗi ma trận đó đều có hạng bằng 1.
15

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 2.88. Cho A là ma trận thực, vuông cấp n sao cho A2 + B2 = AB. Chứng minh

rằng nếu ma trận AB − BA khả nghịch thì n chia hết cho 3.
Bài 2.89. Cho A1 , A2 , . . . , An , An+1 là các ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng tồn
tại n + 1 số x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 không đồng thời bằng 0 để ma trận A = x1 A1 + x2 A2 +
· · · + xn An + xn+1 An+1 là ma trận suy biến.
Bài 2.90. Cho n ∈ N − {0, 1} và ma trận

1
2
n+2
 n+1

..
..

.
.
2
2
n −n+1 n −n+2


··· n
· · · 2n
.
..
. .. 
· · · n2

a) Tìm hạng của ma trận A.
b) Có thể hoán vị các phần tử trong A để nhận được ma trận B mà rankB = n hay

không?
Bài 2.91. Cho A, B ∈ Mn (R) có tính chất với mọi véc tơ cột X ∈ Rn nếu AX = 0 thì
BX = 0. Chứng minh rằng tồn tại ma trận C ∈ Mn (R) sao cho B = CA.
Bài 2.92. Cho A ∈ Mn (R) không khả nghịch. Chứng minh rằng tồn tại ma trận
B ∈ Mn (R), B = 0 để AB = BA = 0.
Bài 2.93. Cho A, S ∈ Mn (Z) sao cho detA = 1, detS = 0. Đặt B = S−1 AS. Chứng minh
rằng có số m nguyên dương để Bm ∈ Mn (Z).
Bài 2.94. Tìm tất cả các ma trận A ∈ Mn (R) có các phần tử không âm sao cho tồn
tại ma trận nghịch đảo A−1 cũng có các phần tử không âm.
Bài 2.95. Giả sử cho ma trận A = ai j ∈ Mn (R) đã cho trước tất cả các phần tử
ai j (i = j). Chứng minh rằng có thể thêm vào đường chéo chính số 0 hoặc số 1 để
ma trận A không suy biến.
Bài 2.96. Cho ma trận A = ai j ∈ Mn (R) mà các phần tử được cho bởi công thức

j−1 i−1

(−1) C j−1 nếu 1 ≤ i ≤ j ≤ n
ai j = (−1)i−1
nếu i = j


0
nếu i > j
Chứng minh rằng A2 = In .
i−1
Bài 2.97. Cho ma trận A = ai j ∈ Mn (R) với ai j = (−1)n− j Cn−
j . Chứng minh rằng
3
A = In .

Bài 2.98. Với a ∈ K − {0} cho ma trận A ∈ Mn (K) xác định

0
a
a2
· · · an−2
−1
 a
0
a
· · · an−3

 a−2
a−1
0
· · · an−4

A =  ..
..
..
..
..
 .
.
.
.
.
 −(n−2) −(n−3)
−(n−4)
a

a
a
···
0
−(n−1)
−(n−2)
−(n−3)
a
a
a
· · · a−1
16

bởi

an−1
an−2 

an−3 

.. 
. 

a 
0

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

a) Tính Ak với k ∈ N − {0, 1}.
b) Chứng minh rằng A là ma trận khả nghịch và tìm A−1 .
Bài 2.99. A ∈ M4×2 (C) và B ∈ M2×4 (C) thỏa mãn

1
0 −1
0
1
0
AB = 
−1 0
1
0 −1 0
Tìm ma trận BA?

17


0
−1

0
1

Chương 3

Định thức
3.1. Các phương pháp tính định thức

Tính các định thức
a b c
Bài 3.1. b c a , trong đó a, b, c là các nghiệm của phương trình bậc ba x3 + px +
c a b
q = 0.
d
a
Bài 3.2.
b
c

a
d
c
b

b
c
d
a

c
b
a
d

Bài 3.3. D = detA, với A = ai j , trong đó ai j = |i − j| , 1 ≤ i, j ≤ n.
1
2
3

−1 0
3
Bài 3.4. −1 −2 0
..
..
..
.
.
.
−1 −2 −3
x1 a12 a13
x1 x2 a23
Bài 3.5. x1 x2 x3
..
..
..
.
.
.
x1 x2 x3

···
···
···
...
···

n
n
n

..
.
0

· · · a1n
· · · a2n
· · · a3n
.
..
. ..
· · · xn

··· n−2 n−1
··· n−1
n
···
n
n
..
..
..
.
.
.
n n n ···
n
n

1
2

3
Bài 3.6. a)
..
.

2
3
4
..
.

3
4
5
..
.

18

n
1
n
2
n , b) 3
..
..
.
.
n
n

··· n−1
n
···
n
1
···
1
2
..
..
..
.
.
.
1 2 ··· n−2 n−1

2
3
4
..
.

3
4
5
..
.

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

· · · an
a0
a1 a2
··· 0
−y1 x1 0
· · · 0 , b) 0 −y2 x2
..
..
..
. . . ..
.
.
.
.
· · · xn
0
0
0

a1
a2 a3
−x1 x2 0
Bài 3.7. a) 0 −x2 x3
..
..
..

.
.
.
0
0
0
x1 a2
a1 x2
Bài 3.8. .. ..
. .
a1 a2

· · · an
··· 0
··· 0
. . . ..
.
· · · xn

· · · an
· · · an
. . . ..
.
· · · xn

0 1 1
x1 a1 0
Bài 3.9. x2 x2 a2
.. .. ..
. . .

xn xn xn

··· 1 1
··· 0 0
··· 0 0
. .
..
. .. ..
· · · xn an

x1 a1 b2 a1 b3
a2 b1 x2 a2 b3
Bài 3.10. a3 b1 a3 b2 x3
..
..
..
.
.
.
an b1 an b2 an b3

· · · a1 bn
· · · a2 bn
· · · a3 bn
..
..
.
.
· · · xn

3 −4 3 · · ·
1 3 −4 · · ·
3 ···
Bài 3.11. a) 0 1
.. ..
.. . .
.
. .
.
0 0
0 ···
(cấp các định thức trên là n)
x a1 a2
a1 x a 2
Bài 3.12. a) a1 a2 x
.. .. ..
. . .
a1 a2 a3

6
0
1
0
0 , b) 0
..
..
.
.
0
3

···
···
···
...

0
0
0
..
.

0 0 ···

6

5
6
1
..
.

0
5
6
..
.

· · · an
a0 a1 a2

· · · an
a0 x a 2
· · · an , b) a0 a1 x
.
.. .. ..
..
. ..
. . .
··· x
a0 a1 a2

x1 y1 + 1 x1 y2 + 1
x2 y1 + 1 x2 y2 + 1
Bài 3.13.
..
..
.
.
xn y1 + 1 xn y2 + 1

· · · x1 yn + 1
· · · x2 yn + 1
..
..
.
.
· · · xn yn + 1

x1 + y1 + 1
x1 + y2

···
x1 + yn
x2 + y1
x2 + y2 + 1 · · ·
x2 + yn
Bài 3.14.
..
..
..
...
.
.
.
xn + y1
xn + y2
· · · xn + yn + 1

19

· · · an
· · · an
· · · an
.
..
. ..
··· x

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

1
x1 + 1
x12 + x1
x13 + x12
..
.

Bài 3.15.

···
···
···
···
...

1
x2 + 1
x22 + x2
x23 + x22
..
.

x1n−1 + x1n−1 x2n−1 + x2n−2 · · ·

Bài 3.16.

x1
x1 −1

x1
x12

x2
x2 −1
x2
x22

..
.

..
.

1 Cn1
Cn2
1
2
1 Cn−1
Cn−1
1
2
1 Cn−2
Cn−2
..
..
Bài 3.17. ...
.
.
1

1 C2
C22
1 C11
0
a0 a1
a2
1
C21
C32
..
.

xnn−1 + xnn−2

n
· · · xnx−1
· · · xn
..
.
xn2 , với xi = 1, 1 ≤ i ≤ n.
..
..
.
.
..
n−1
. xn

x1n−1 x2n−1

1
1
Bài 3.18. 1
..
.

1
xn + 1
xn2 + xn
xn3 + xn2
..
.

1
C31
C42
..
.

· · · Cnn−1 Cnn
n−1
· · · Cn−1
0
···
0
0
..
..
..
.

.
.
···
0
0
···
0
0
· · · an−1 an
···
···
···
..
.

1
Cn1
2
Cn+1
..
.

n−1
n−1
· · · C2n−2
1 Cnn−1 Cn+1

Bài 3.19.

1

Cm1
2
Cm+1
..
.

1

1

1
Cm+1
2
Cm+2

1
Cm+2
2
Cm+3

..
.

..
.

···
···
···
..

.

1
1
Cm+n
2
Cm+n+1

..
.

n
n
n
n
Cm+n−1
Cm+n
Cm+n+1
· · · Cm+2n−1

1 ϕ1 (x1 ) ϕ2 (x1 ) · · · ϕn−1 (x1 )
1 ϕ1 (x2 ) ϕ2 (x2 ) · · · ϕn−1 (x2 )
Bài 3.20. 1 ϕ1 (x3 ) ϕ2 (x3 ) · · · ϕn−1 (x3 )
..
..
..
..
...
.
.

.
.
1 ϕ1 (xn ) ϕ2 (xn ) · · · ϕn−1 (xn )
trong đó ϕk (x) = xk + ak1 xk−1 + ak2 xk−2 + akk .
ϕ1 (x1 ) ϕ2 (x1 ) · · ·
ϕ1 (x2 ) ϕ2 (x2 ) · · ·
Bài 3.21.
..
..
..
.
.
.
ϕ1 (xn ) ϕ2 (xn ) · · ·
trong đó ϕk (x) là các đa thức

ϕn (x1 )
ϕn (x2 )
..
.
ϕn (xn )
bậc không quá n − 2.
20

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 3.22.

fn (x1 , y1 )
fn (x2 , y2 )
..
.

y1 fn−1 (x1 , y1 )
y2 fn−1 (x2 , y2 )
..
.

···
···
..
.

fn (xn+1 , yn+1 ) yn+1 fn−1 (xn+1 , yn+1 ) · · ·

yn−1
f1 (x1 , y1 )
1
n−1
y2 f1 (x1 , y1 )
..
.

yn1
yn2
..
.

n
yn−1
n+1 f 1 (xn+1 , yn+1 ) yn+1

trong đó fi (x, y) là các đa thức thuần nhất bậc i của hai biến x, y.

3.2. Một số tính chất của định thức
Bài 3.23. Định thức của một ma trận vuông cấp n thay đổi như thế nào nếu
a) đưa cột (dòng) thứ nhất về cuối cùng, còn thứ tự các cột (dòng) khác vẫn giữ
nguyên?
b) các cột được đánh số lại từ phải sang trái?
c) thực hiện các phép hoán vị π trên các cột (dòng)?
d) nhân mỗi phần tử ai j với Ci− j ?
e) đổi chỗ các phần tử đối xứng qua "tâm" của ma trận cho nhau?
f) các cặp phần tử đối xứng nhau qua đường chéo phụ đổi chỗ cho nhau?
g) các cặp đối xứng qua "trục dọc" giữa ma trận đổi chỗ cho nhau?
h) quay các phần tử xung quanh "tâm" của ma trận một góc ±90o ?
Bài 3.24. Chứng tỏ rằng định thức của ma trận phản đối xứng cấp lẻ trên trường
có đặc số khác 2 bằng 0. Nếu trường có đặc số khác 2 thì sao?
Bài 3.25. Vị trí các phần tử ai j là chẵn hay lẻ tùy theo i + j là chẵn hay lẻ. Định
thức của một ma trận vuông cấp n thay đổi như thế nào nếu ta đổi dấu các phần
tử
a) ở vị trí chẵn?
b) ở vị trí lẻ?
Bài 3.26. Tính định thức
1 − an1 bn1
1 − a1 b1

1 − an1 bn2
1 − a1 b2

···

1 − an2 bn1
1 − a2 b1
..
.
1 − ann bn1
1 − an b1

1 − an2 bn2
1 − a2 b2
..
.
1 − ann bn2
1 − an b2

1 − an bn
· · · 1 − a2 bn
2 n
..
...
.
1 − ann bnn
··· 1−a b
n n

1 − an1 bnn
1 − a1 bn

Bài 3.27. Tính định thức
(a0 + b0 )n (a0 + b1 )n
(a1 + b0 )n (a1 + b1 )n
..
..
.
.
(an + b0 )n (an + b1 )n
21

· · · (a0 + bn )n
· · · (a1 + bn )n
..
...
.
· · · (an + bn )n

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 3.28. Tính định thức
(a1 + b1 )−1 (a1 + b2 )−1
(a2 + b1 )−1 (a2 + b2 )−1
..
..
.
.
−1

(an + b1 )
(an + b2 )−1

· · · (a1 + bn )−1
· · · (a2 + bn )−1
..
..
.
.
· · · (an + bn )−1

Bài 3.29. Tính định thức
Cmp Cmp+1
p
p+1
Cm+1
Cm+1
..
..
.
.
p
p+1
Cm+n Cm+n

· · · Cmp+n
p+n
· · · Cm+1
..
..

.
.
p+n
· · · Cm+n

Bài 3.30. Tính định thức
s0
s1
s2
..
.

s1
s2
s3
..
.

s2
s3
s4
..
.

sn sn+1 sn+2

· · · sn − 1 1
···
sn
x

· · · sn+1 x2
..
..
..
.
.
.
· · · s2n−1 xn

trong đó sk = x1k + x2k + · · · + xnk .
Bài 3.31. Chứng minh rằng
a1 a2
an a1
an−1 an
..
..
.
.
a2 a3

a3
a2
a1
..
.
a4

· · · an
· · · an−1
· · · an−2 = f (ε1 ) f (ε2 ) . . . f (εn )

..
..
.
.
· · · a1

trong đó f (x) = a1 + a2 x + · · · + an xn−1 và ε1 , ε2 , . . . , εn là các căn (phức) bậc n của đơn
vị. Định thức bên trái được gọi là định thức chu trình.
Bài 3.32. Tính định thức phản chu trình sau đây
a1
a2
a3
−an
a1
a2
−an−1 −an a1
..
..
..
.
.
.
−a2 −a3 −a4

· · · an
· · · an−1
· · · an−2
..
...
.

· · · a1

Bài 3.33. Tính định thức
a1
a2 a3
an z
a1 a2
an−1 z an z a1
..
..
..
.
.
.
a2 z a 3 z a 4 z
22

· · · an
· · · an−1
· · · an−2
..
..
.
.
· · · a1

Bài tập Đại số tuyến tính

Nguyễn Chính Tâm (0989200339 - 0919200889)

Bài 3.34. Cho sk = x1k + x2k + · · · + xnk và p = x1 x2 . . . xn . Chứng minh rằng
n+1
s1
s2
..
.
sn

s1
s2
s3
..
.

n
· · · sn
· · · sn+1
s1
· · · sn+2 = p2 s2
..
..
..
.
.
.
sn−1
· · · s2n

s2

s3
s4
..
.

sn+1 sn+2

···
···
···
..
.

sn−1
sn
sn+1
..
.

sn sn+1 · · ·

s2n−2

s1
s2
s3
..
.

s2

s3
s4
..
.

Bài 3.35. Dùng tích hai định thức
x1 x2
x3
x4
y1 y2
y3
y4
x2 −x1 −x4 x3
y2 −y1 −y4 y3
·
x3 x4 −x1 −x2 y3 y4 −y1 −y2
x4 −x3 x2 −x1 y4 −y3 y2 −y1
chứng minh rằng tích của 2 số nguyên mà mỗi số viết được thành tổng các bình
phương của 4 số nguyên thì cũng có tính chất đó, tức là biểu diễn được thành
tổng các bình phương của 4 số nguyên.
Bài 3.36. Cho A là ma trận vuông cấp n và In là ma trận đơn vị cấp n. Kí hiệu f (x)
là đa thức đặc trưng của A, tức là định thức |A − xIn |. Chứng tỏ rằng f (x) f (−x)
bằng định thức B − x2 In , trong đó các phần tử của B không phụ thuộc x. Tìm B?
Bài 3.37. Ma trận trực giao A là ma trận thỏa mãn AAt = In . Chứng tỏ rằng |A| = ±1
và At cũng là ma trận trực giao.
Tính các định thức
···
···
···
...