BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU
MỤC LỤC........................................................................................................................1
Chương 1 - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI...............................................3

1.1. Đa tạp khả vi.................................................................3
1.1.1. Đa tạp khả vi............................................................................................................3
1.1.2. Ví dụ.........................................................................................................................4
1.1.3. Tích của hai đa tạp khả vi.........................................................................................6
1.1.4. Đa tạp con................................................................................................................6

1.2. Ánh xạ khả vi................................................................7
1.2.1. Định nghĩa................................................................................................................7
1.2.2. Ví dụ.........................................................................................................................8

1.3. Không gian tiếp xúc......................................................8
1.3.1. Định nghĩa................................................................................................................8
1.3.2. Vi phân của một hàm số khả vi..............................................................................10

1.4. Trường vectơ...............................................................12
1.4.1. Định nghĩa..............................................................................................................12
1.4.2. Định nghĩa..............................................................................................................13

1.5. Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc.........................................13
1.5.1. Định nghĩa..............................................................................................................13
1.5.2. Nhận xét.................................................................................................................13

1.5.3. Ví dụ.......................................................................................................................14

1.6. Phân hoạch đơn vị......................................................15
1.6.1. Định nghĩa..............................................................................................................15
1.6.2. Đa tạp paracompact................................................................................................16
1.6.3. Định lý về phân hoạch đơn vị.................................................................................16

1.7. Đồng luân giữa các ánh xạ.........................................16
1.7.1. Định nghĩa..............................................................................................................16
1.7.2. Định lý....................................................................................................................17
1.7.3. Định lý....................................................................................................................17

2.1. Dạng vi phân...............................................................18
SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 1 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

2.1.1. Hàm đa tuyến tính..................................................................................................18
2.1.2. Dạng đa tuyến tính thay dấu...................................................................................18
2.1.3. Dạng vi phân trên đa tạp.........................................................................................20
2.1.4. Ánh xạ đối tiếp xúc................................................................................................23

2.2. Tích phân trên đa tạp.................................................26
2.2.1. Đa tạp định hướng..................................................................................................26
2.2.2. Đa tạp với bờ, định hướng của bờ..........................................................................30

2.2.3. Tích phân trên đa tạp..............................................................................................31

2.3. Dạng đóng, dạng chính xác và không gian đối đồng
điều DeRham......................................................................35
2.3.1. Các định nghĩa........................................................................................................35
2.3.3. Định nghĩa không gian đối đồng điều....................................................................36
2.3.4. Đồng cấu giữa các không gian đối đồng điều........................................................38

3.1. Định lý cơ bản.............................................................50
3.1.1. Định lý....................................................................................................................50
3.1.2. Ví dụ.......................................................................................................................52

3.2. Tính chất......................................................................54
3.2.1. Định lý bất biến của bậc qua ánh xạ đồng luân......................................................54
3.2.2. Định lý....................................................................................................................55

3.3. Bậc của ánh xạ liên tục...............................................55
3.3.1. Định nghĩa..............................................................................................................55
3.3.2. Nhận xét.................................................................................................................56

3.4. Một số kết quả được áp dụng bậc của ánh xạ..........56
3.4.1. Trường vectơ trên mặt cầu.....................................................................................56
3.4.2. Chỉ số của trường vectơ trên (tại một không điểm cô lập).....................................57
3.4.3. Chỉ số của trường vectơ trên đa tạp........................................................................60
3.4.4. Định lý....................................................................................................................62
3.4.5. Định lý (Gauss)......................................................................................................62
3.4.6. Một số ứng dụng khác............................................................................................64

Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 2 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

1.1. Đa tạp khả vi
1.1.1. Đa tạp khả vi
1.1.1.1. Định nghĩa
Cho M là không gian tôpô Hausdorff, n là số nguyên không âm. Một atlas A
(lớp C k , k > 0 ) n chiều trên M là họ những (Uα ,α ) , Uα là một tập mở trong M ,

α là một đồng phôi từ Uα lên α (Uα ) - mở trong ¡

n

α : Uα → α (Uα )
p a α ( p ) = ( x1 ( p ), x2 ( p ),..., x2 ( p))
( Uα : miền xác định của M , (Uα ,α ) được gọi là bản đồ địa phương của M )
sao cho:
+ M=

U Uα

α∈I

+ Nếu (Uα ,α ) ; (U β , β ) là hai bản đồ địa phương thuộc atlas A mà
Uα ∩ U β ≠ ∅ thì:

βoα −1 : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β )
( xi ( p)) a ( yi ( p))
là một vi phôi lớp C k giữa các tập mở α (Uα ∩ U β ) , β (Uα ∩ U β ) trong ¡

n

 Atlas A được gọi là tối đại nếu mọi atlas B của M (cùng lớp C k ) mà B ⊃ A
thì B = A

 Một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều trên M là một atlas (lớp C k ) n
chiều tối đại trên M

 Hai atlas khả vi A, B lớp C k trên M gọi là tương đương (cùng xác định một
cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều trên M ) nếu với mọi (Uα ,α ) ∈ A và
(Vβ , β ) ∈ B mà Uα ∩ Vβ ≠ ∅ thì βoα −1 và α oβ −1 khả vi lớp C k . Dĩ nhiên hợp của
tất cả atlas tương đương với atlas A cũng là một atlas lớp C k , đó chính là atlas tối
đại mở rộng từ atlas A

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 3 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

 Một atlas bất kỳ, lớp C k , bao giờ cũng mở rộng một cách duy nhất thành một
atlas tối đại như trên. Do đó, để cho một cấu trúc đa tạp khả vi ta chỉ cần cho một
atlas khả vi lớp C k là đủ

 Không gian tôpô Hausdorff M cùng với một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp C k )
n chiều trên M gọi là đa tạp khả vi lớp C k n chiều. Và ta vẫn ký hiệu đa tạp đó là
M.
Một đa tạp khả vi lớp C k , với mọi k ∈ ¥ thì M đựơc gọi là đa tạp nhẵn (lớp
C ∞ ).
Rõ ràng để cho một đa tạp khả vi (lớp C k ), ta chỉ cần cho một atlas khả vi lớp
Ck

 Để cho tiện từ nay về sau nói chung chúng ta giả thiết các đa tạp được xét là
đa tạp nhẵn

1.1.1.2. Phép đổi toạ độ địa phương
Với (Uα , α ) , (U β , β ) là hai bản đồ địa phương của M mà Uα ∩ U β ≠ ∅ thì:

βoα −1 : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β )
( xi ( p)) a ( yi ( p))
được gọi là phép biến đổi tọa độ địa phương từ bản đồ (Uα ,α ) sang bản đồ
(U β , β ) .
Hiển nhiên ta cũng có phép đổi tọa độ địa phương từ bản đồ (U β , β ) sang bản
đồ (Uα ,α )

1.1.2. Ví dụ
Mặt cầu n chiều S n xác định bởi:

S n =  x = ( x1 , x2 ,..., xn+1 ) ∈ ¡


n +1

n+1

| ∑ ( xi ) 2 = 1
i =1


Gọi N (0,...,1), S (0,..., −1) , U N = S n \ {N }, U S = S n \ {S} , ta có U N , U S là các
mở của S n .
SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 4 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Hình 1.1
Xét các ánh xạ

ϕ :U N → ¡

n

 x1
xn 
x = ( x1 ,..., xn+1 ) a ϕ ( x) = 

,...,
÷
1 − xn+1 
 1 − xn+1

ϕ ( x) là giao điểm (khác với x ) của đường thẳng Nx với ¡
ψ :US → ¡

n

n

 y1
yn 
y = ( y1 ,..., yn+1 ) a ψ ( y ) = 
,...,
÷
1 + yn +1 
 1 + yn+1

ψ ( y ) là giao điểm (khác với y ) của đường thẳng Sy với ¡
Ta có

n

ϕ (U N ∩ U S ) = ¡ n \ {0}
ψ (U N ∩ U S ) = ¡ n \ {0}

Xét

ψ oϕ −1 : ¡ n \ {0} → ¡ n \ {0}



÷
xn ÷
x1

( x1 ,..., xn ) a
,...., n
 n 2
÷
 ∑ xi
∑ xi2 ÷
i =1
 i =1


SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 5 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

Suy ra ψ oϕ −1 khả vi
Tương tự ϕoψ −1 khả vi

1.1.3. Tích của hai đa tạp khả vi
M , N là hai đa tạp nhẵn với số chiều theo tứ tự là m và n , với các atlas của

{

}

{

} α ,β

chúng lần lượt là: A = { (Uα , α )} và B = (Vβ , β ) thì C = (Uα × Vβ ;α × β )

là

atlas khả vi của đa tạp nhẵn m + n chiều trên M × N và M × N được gọi là đa tạp
tích.
Trong đó

α × β : Uα × Vβ → α (Uα ) × β (Vβ ) ⊂ ¡

m+ n

1.1.4. Đa tạp con
1.1.4.1. Định nghĩa
Cho X là một đa tạp khả vi n chiều và Y ⊂ X ( Y ≠ ∅ ). Ta nói Y là một đa
tạp con m chiều của X nếu ∀y ∈ Y tồn tại bản đồ (U ,ϕ ) của X tại y ( y ∈ U ) sao
cho ϕ (U ∩ Y ) = ϕ (U ) ∩ ¡

m

× {0} , với 0 ∈ ¡

n −m

Định lý sau nói về sự xác định một atlas (một hệ bản đồ) cho một đa tạp con.

1.1.4.2. Định lý
Cho X là một đa tạp lớp C k , Y là một đa tạp con của X . Khi đó họ
{U ∩ Y , ϕ | U ∩ Y } , trong đó (U ,ϕ ) là các bản đồ như trong định nghĩa trên là một
atlas lớp C k của Y

1.1.4.3. Đa tạp con của ¡
Trong ¡

n

n

chúng ta có nhiều cách để nhận biết một đa tạp con

 Định lý
Y là một đa tạp con của ¡ n , khi đó các điều kiện sau là tương đương
i) Y là một đa tạp con m chiều lớp C k của ¡

SVTH: Lưu Thùy Thương

n

- Trang 6 -

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

ii) ∀y ∈ Y , tồn tại U mở của ¡

n

chứa y và có ánh xạ f : U → ¡

n−m

lớp C k

sao cho ma trận của ánh xạ f '( y ) có hạng bằng n − m và U ∩ Y = f −1 (0)
iii) ∀y ∈ Y , tồn tại U mở chứa y , tồn tại Ω mở trong ¡
lớp C k : g : Ω → ¡

n

n

chứa 0 và có ánh xạ

thỏa g (0) = y , g là một đồng phôi từ Ω lên U ∩ Y , g '(0) là

một đơn cấu
 Ví dụ

Xét ánh xạ :
f :¡

n +1

→¡

f ( x1,..., xn+1 ) = x12 + .... + xn2+1 − 1
thì f là ánh xạ nhẵn, S n = f −1 (0) và ∀x ∈ S n ma trận J = (2 x1 ,..., 2 xn+1 ) có
hạng bằng 1.
Theo ii) (ứng với U = ¡

n +1 )

ta có S n là một đa tạp con nhẵn, n chiều của ¡

n+1

1.2. Ánh xạ khả vi
1.2.1. Định nghĩa
Cho M , N là hai đa tạp khả vi nhẵn có số chiều lần lượt là m , n . Ánh xạ
f : M → N gọi là ánh xạ khả vi lớp C k nếu f liên tục và với mọi bản đồ địa
−1
phương (Uα ,α ) của M và (Vβ , β ) của N mà Uα ∩ f (Vβ ) ≠ ∅ thì ánh xạ:

(

)

βo foα −1 : α Uα ∩ f −1 (Vβ ) → β ( Vβ ∩ f (Uα ) )

α ( p) a β ( f ( p))
là ánh xạ khả vi lớp C k
Các ánh xạ βo foα −1 gọi là các biểu thức tọa độ địa phương của f
Ta ký hiệu hình thức

α ( x) = ( x1, x2 ,..., xm )
β ( y ) = ( y1 , y2 ,..., yn )
−1
Hạng của f tại x là hạng của ánh xạ βo foα |α ( x ) , tức là hạng của ma trận:

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 7 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

 ∂ ( βo f oα −1 ) j

∂xi



÷
÷
n×m

, với i = 1, m, j = 1, n

Khi k = ∞ thì f được gọi là khả vi lớp C ∞ (hay nhẵn)
 Định nghĩa
Ánh xạ f : M → N được gọi là vi phôi lớp C k nếu f là song ánh và f , f −1 là
các ánh xạ khả vi lớp C k
 Định nghĩa
Ánh xạ f : M → ¡ nhẵn thì ta gọi f là hàm nhẵn trên M
Tập các hàm nhẵn trên M được ký hiệu là F ( M )

1.2.2. Ví dụ
Cho M , N lần lượt là các đa tạp k , l chiều chứa trong ¡ n , ¡
f : M → N . Nếu tồn tại các tập mở U , V

m

và ánh xạ

lần lượt trong ¡ n , ¡

m

mà

M ⊂ U , N ⊂ V và có ánh xạ khả vi F : U → V sao cho F |M = f thì f là ánh xạ
khả vi
Thật vậy, với x ∈ M ta gọi (Uα ,α ), (Vβ , β ) là các bản đồ địa phương của
M , N lần lượt tại x, f ( x) .
Ta có

βo f oα −1 = β oFoα −1

( β luôn có thể xem là hạn chế trên Vβ = Ω ∩ N ( Ω là mở trong ¡
ánh xạ khả vi ϕ : Ω → ¡

m

l
mà ϕ (Vβ ) = ϕ (Ω ∩ N ) ⊂ ¡ × {0}, 0 ∈ ¡

m −l

m

) của một

)

Nếu F là khả vi ta có βoFoα −1 khả vi, do đó βo foα −1 khả vi.

1.3. Không gian tiếp xúc
1.3.1. Định nghĩa
1.3.1.1. Đặt vấn đề

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 8 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Trong hình học vi phân cổ điển, với S là một mặt trong ¡ 3 , U , V là các mở
trong ¡ 2 , ϕ : U → S ; ψ : V → S là các tham số hoá, ϕ ( p) = ψ (q) = M 0
Khi đó :

ϕ '( p)(¡ 2 ) = ψ '(q)( ¡ 2 )
r
ϕ '( p )(v) = ψ '(q)( w)
ξ
Với ∈ TM 0 S ⇒ ∃ v, w : 
−1
(ψ oϕ )( p)(v) = w
r
Ta có : ξ được xác định bởi v nhờ ϕ hoặc w nhờ ψ . Điều này gợi mở một
hướng định nghĩa vectơ tiếp xúc tại một điểm trên một đa tạp trừu tượng

1.3.1.2. Định nghĩa
Cho M là đa tạp nhẵn n chiều, A = {(Uα , α )}α∈I là một atlas (tối đại) của M

τ=

Đặt:

U (Uα × ¡ n × {α })

α∈I

Trong đó
Uα × ¡ n × {α } = {( p, u, α ) : p ∈ U α , u ∈ ¡ n }
Trên τ ta xét quan hệ R :

 p = q
( p , u , α ) R ( q, v , β ) ⇔ 
−1
v = ( βoα )(α ( p))(u )
Trong đó ( βoα −1 )(α ( p)) : ¡

n

→¡

n

là đẳng cấu tuyến tính và là đạo hàm của

−1
ánh xạ nhẵn βoα : α (Uα ∩ U β ) → β (Uα ∩ U β ) tại điểm α ( p)

Quan hệ R là quan hệ tương đương
Lớp tương đương chứa ( p, u , α ) ký hiệu là ( p, u , α )
Mỗi lớp tương đương nói trên gọi là vectơ tiếp xúc của đa tạp M

 Với (Uα ,α ) là một bản đồ địa phương của M , p ∈ Uα , lớp tương đương
( p, u , α ) gọi là một vectơ tiếp xúc của đa tạp M tại p
Tập các vectơ tiếp xúc tại p của đa tạp M ký hiệu là : Tp M

 Trên Tp M xác định hai phép toán cộng và nhân như sau :

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 9 -

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

( p , u , α ) + ( p , v , α ) = ( p , u + v, α )
k ( p, u , α ) = ( p, ku , α )

k ∈ ¡ \ {0}

Các phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện
 Định nghĩa
Tp M với hai phép toán trên trở thành một không gian vectơ trên ¡ và được gọi
là không gian (vectơ) tiếp xúc của M tại p
Với (Uα ,α ) là một bản đồ địa phương của M ta ký hiệu hình thức

α ( x) = ( x1, x2 ,..., xn )
Ta ký hiệu vectơ ( p, ei , α ) là

∂
( p)
∂xi

i = 1,..., n

Trong đó, p ∈ Uα và ei = (0,0,...,1,...,0) (thành phần thứ i bằng 1)
Khi đó, ∀v p ∈ T p M , v p = ( p, v, α ), v = (v1, v2 ,..., vn ) ∈ ¡
n

n

i =1

i =1

n

v p = ( p, ∑ vi ei , α ) = ∑ vi ( p, ei , α )

Thì

n

= ∑ vi
i =1

∂
( p)
∂xi

 ∂

Từ đó dễ chứng minh được  ( p) 
là một cơ sở của Tp M
 ∂xi
i =1,n

1.3.2. Vi phân của một hàm số khả vi
1.3.2.1. Định nghĩa

Cho f : M → ¡ là một hàm nhẵn trên M . Với mọi p ∈ M ta định nghĩa :
df ( p ) : T p M → ¡
v p a df ( p)(v p ) = v p [ f ]
và dễ thấy df ( p ) là ánh xạ tuyến tính
Xét bản đồ địa phương (Uα ,α ), p ∈ Uα , α ( x) = ( x1, x2 ,..., xn )
Trên bản đồ này

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 10 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

n

v p = ∑ vi
i =1

∂
( p)
∂xi

∂ ( foα −1 )
(α ( p))(vi )
∂
x
i

i =1
n

df ( p )(v p ) = v p [ f ] = ∑

Nếu v p được viết : v p = ρ '(t0 ) , với ρ : J → Uα khả vi và ρ (t0 ) = p thì
df ( p )(v p ) = v p [ f ] =

d
( f oρ )(t0 )
dt

1.3.2.2. Ví dụ
Xét bản đồ (Uα ,α ) của M , với ký hiệu α ( x) = ( x1, x2 ,..., xn ) , p ∈ Uα
Trong đó, xi : Uα → ¡ (i = 1, 2,..., n) là các hàm số được xác định bởi:
α

pi

α (Uα ) → ¡
x a ( x1, x2 ,..., xn ) a xi

Uα →

Do đó, dễ thấy xi là các hàm nhẵn trên Uα
dxi ( p ) : Tp M → ¡

Theo trên:

∂ ( xi oα −1 )

dxi ( p )(v p ) = ∑
(α ( p)), v p = ( p, v)α , với v = (v1 , v2 ,..., vn )
∂x j
j =1
n

 ∂ 

Mặt khác khi ta cho dxi tác động vào cơ sở 
của M thì
 ∂xk k =1,n
 ∂
dxi 
 ∂xk

 ∂xi
= δ ik
÷=
∂
x
k


1.3.2.3. Đạo hàm của một hàm số khả vi theo một hướng
Cho M là đa tạp nhẵn n chiều. Với p ∈ M , v p ∈ T p M thì với mỗi hàm nhẵn
trên M : ϕ ∈ F ( M ) ta có đạo hàm của ϕ theo vectơ v p , ký hiệu v p [ϕ ] xác định
như sau :

α ( p) = ( x1 , x2 ,..., xn ), v p = ( p, v)α , với v = (v1 , v2 ,..., vn ) ∈ ¡

n

Ta định nghĩa :

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 11 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

∂ (ϕoα −1 )
v p [ϕ ] = ∑
(α ( p))vi
∂xi
i =1
n

Có thể chứng minh được định nghĩa trên là không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ
d
 Chú ý : Nếu ta viết : v p = ρ '(t0 ) thì ta có : v p [ϕ ] = (ϕoρ )(t0 )
dt

1.4. Trường vectơ
1.4.1. Định nghĩa
Ta nói trường vectơ X trên đa tạp nhẵn n chiều là một ánh xạ:
X :M →

U Tx M

x∈M

p a X ( p ) ∈ Tx M
 Nhận xét
Giả sử (Uα ,α ) là một bản đồ địa phương của M , α ( x) = ( x1 , x2 ,..., xn ), x ∈ Uα
 ∂

Ta có X ( x) ∈ Tx M , hệ  ( x) 
là một cơ sở của Tx M , cho nên ta có :
 ∂xi
i =1,n
n

∀x ∈ M : X ( x) = ∑ X i ( x)
i =1

∂
( x)
∂xi

Trong đó, X i : Uα → ¡ là các hàm số trên Uα
Giả sử X i là các hàm số lớp C k trên Uα và (U β , β ), β ( y ) = ( y1, y2 ,..., yn ) là
một bản đồ khác của M sao cho Uα ∩ U β ≠ ∅ , ta có
n

X ( x) = ∑ Y j ( x)
k =1

∂
( x), ∀x ∈ U β
∂y j

 ∂ (α oβ −1 ) j

oβ ÷
Với x ∈ Uα ∩ U β thì Y j ( x) = ∑ 
÷X i
∂xi
i =1 

n

∂ (α oβ −1 ) j
oβ là nhẵn , nên nếu các hàm X i thuộc lớp C k trên Uα ∩ U β thì
Vì
∂xi
các hàm Y j cũng vậy.

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 12 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

1.4.2. Định nghĩa

Trường vectơ X gọi là khả vi lớp C k , nếu với mọi (Uα ,α ) là bản đồ địa
phương của M , ta ký hiệu hình thức α ( x) = ( x1, x2 ,..., xn ) , mà trên Uα :
n

X = ∑ Xi
i =1

∂
thì X i : Uα → ¡ khả vi lớp C k .
∂xi

Khi X i là nhẵn thì ta nói X là trường vectơ nhẵn trên M
Tương tự ta cũng có định nghĩa một trường vectơ lớp C k trên một mở của M
và khi đó với (Uα ,α ) là một bản đồ địa phương của M thì các trường vectơ
 ∂

 ( x) 
là các trường vectơ nhẵn trên Uα
∂
x
i

i =1,n

1.5. Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc
1.5.1. Định nghĩa
Cho M , N là đa tạp khả vi nhẵn có số chiều lần lượt là m và n . Ánh xạ
f : M → N thuộc lớp C k , thì với mỗi p ∈ M ta có ánh xạ:
Tp f : Tp M → T f ( p ) N được xác định như sau:
Với mọi (Uα ,α ) là bản đồ địa phương của M và p ∈ Uα

(Vβ , β ) là bản đồ địa phương của N và q = f ( p ) ∈ Vβ
Và với mọi v p ∈ T p M : v p = ( p, v)α thì

(

Tp f (v p ) = q,( βo foα −1 )' (α ( p))(v)

)β

Khi đó, Tp f là ánh xạ tuyến tính và ta gọi đó là ánh xạ tuyến tính tiếp xúc của f
 Lưu ý: Ta có thể chứng minh được định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc
chọn bản đồ

1.5.2. Nhận xét
Ánh xạ khả vi ρ : J → M gọi là một đường cong khả vi trên M

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 13 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

Giả sử p = ρ (t0 ) , (Uα1 ,α1 ) là một bản đồ địa phương của M và p ∈ Uα1 . Ta

(

)

định nghĩa vectơ ρ '(t0 ) = p,(α1oρ )' (t0 ),α1 gọi là vectơ tiếp xúc của đường cong

ρ tại p .
Khi đó, có thể chứng minh được nếu p ∈ Uα1 ∩ Uα 2 ta có:

(

) (

)

kh

p,(α 2oρ )' (t0 ),α 2 = p,(α1oρ )' (t0 ), α1 = v p

 Giả sử f : M → N , f ( p) = q , ta chứng minh: ( foρ )' (t0 ) = Tp f (v p )
Thật vậy:

đn

(

Tp f (v p ) = q,( βo foα −1 )' (α ( p))(α oρ ) ' (t0 ), β

(

= q,( βo f oρ )' (t0 ), β

)

)

= ( f oρ )' (t0 )

1.5.3. Ví dụ
1.5.3.1. Ví dụ 1
Cho M , N lần lượt là các đa tạp k , l chiều chứa trong ¡ n , ¡

m

và f : M → N

là một ánh xạ khả vi. Giả sử tồn tại các tập mở U , V lần lượt trong ¡ n , ¡

m

sao

cho M ⊂ U , N ⊂ V và có ánh xạ khả vi F : U → V mà F |M = f . Khi đó, ∀p ∈ M
ta có:
Tp f = F '( p ) |Tp M
Thật vậy :
Lấy ξ ∈ Tp M
Suy ra ta có ánh xạ ρ : J → M ⊂ ¡

n

sao cho:

 ρ (t0 ) = p

 ρ '(t0 ) = ξ
Theo nhận xét 1.5.2 ta có:
Tp f (ξ ) = ( foρ ) '(t0 ) = ( Foρ ) '(t0 ) = F '( p)( ρ '(t0 )) = F '( p )(ξ )

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 14 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

Tp f = F '( p ) |Tp M

Vậy:

1.5.3.2. Ví dụ 2
f : S1 → S1
( x, y ) a ( − y , x )
1
p = ( p1 , p2 ) ∈ S 1 , ξ = (ξ1 , ξ 2 ) ∈ Tp S (tức là 〈ξ , p〉 = 0 )

Xét
F :¡

2

→¡

2

F ( x, y ) = ( − y , x) ⇒ F |S1 = f
Tp f (ξ ) = F ' ( p )(ξ ) = (ξ1' , ξ 2' )
 ξ1'  0 −1  ξ1 
 '=
 
ξ 2  1 0  ξ 2 
⇒

ξ1' = −ξ 2 , ξ 2' = ξ1

Vậy

Tp f (ξ1 , ξ 2 ) = ( −ξ 2 , ξ1 )

1.6. Phân hoạch đơn vị
1.6.1. Định nghĩa
 Một họ tập con (U i )i∈I của không gian tôpô M được gọi là hữu hạn địa
phương nếu với mỗi x ∈ M có một lân cận U giao khác rỗng chỉ với một số hữu
hạn tập mở của họ (U i )i∈I
Nếu (U i )i∈I và (V j ) j∈J là các phủ mở của một tập thì phủ (U i )i∈I gọi là mịn
hơn phủ (V j ) j∈J nếu mỗi phần tử của họ (U i )i∈I là tập con của một phần tử nào đó
của họ (V j ) j∈J
Không gian tôpô M được gọi là compact địa phương nếu mỗi điểm của nó có
một lân cận mà bao đóng là compact
Không gian tôpô M gọi là có cơ sở mở đếm được nếu có họ đếm được tập mở
U i mà mọi tập mở của M là hợp của những U i đó

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 15 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

 Nếu f là hàm thực thì giá của f là tập { x | f ( x) ≠ 0}
Ký hiệu: Supp ( f )

1.6.2. Đa tạp paracompact
Không gian tôpô Hausdorff M gọi là paracompact nếu mọi phủ mở của M đều
tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương mịn hơn.
Nếu M là đa tạp khả vi lớp C k và tôpô của M là paracompact thì M là đa tạp
paracompact lớp C k
Người ta chứng minh được rằng, một đa tạp C k với cơ sở mở đếm được thì bao
giờ cũng là paracompact

1.6.3. Định lý về phân hoạch đơn vị
Cho (U i )i∈I là một phủ mở của M (lớp C k ), khi đó tồn tại họ các hàm số khả vi
(lớp C k ) { ϕi } i∈I trên M thỏa mãn:
1) ϕi ≥ 0, ∀i ∈ I
2) Supp ϕi ⊂ U i
3) Họ { Supp ϕi } i∈I hữu hạn địa phương, tức là với mọi x ∈ M có lân cận chỉ giao
với một số hữu hạn tập Supp ϕi
4)

∑ϕi ( x) = 1, ∀x ∈ M
i∈I

 Họ { ϕi } i∈I nói trên được gọi là phân hoạch đơn vị ứng với phủ (U i )i∈I của đa
tạp M .

1.7. Đồng luân giữa các ánh xạ
Cho M , N là các đa tạp khả vi có số chiều lần lượt là m, n

1.7.1. Định nghĩa
Cho f , g : M → N là các ánh xạ khả vi, ta nói f đồng luân khả vi với g nếu tồn
tại một ánh xạ khả vi H : M × [0,1] → N sao cho
SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 16 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

H ( x,0) = f ( x), H ( x,1) = g ( x) ∀x ∈ M
(ánh xạ H : M × [0,1] → N gọi là khả vi nếu tồn tại khoảng mở J ⊃ [0,1] và ánh xạ
khả vi H : M × J → N sao cho H |M ×[0,1] = H )

 Ta nói H là một đồng luân khả vi nối f với g .
 Quan hệ f đồng luân khả vi với g như trên là một quan hệ tương đương trong
tập các ánh xạ khả vi từ M vào N

1.7.2. Định lý

Cho M , N là các đa tạp có cơ sở mở đếm được, f : M → N là một ánh xạ liên
tục.
Khi đó, tồn tại ánh xạ khả vi g : M → N và tồn tại ánh xạ liên tục
H : M × [0,1] → N sao cho H ( x,0) = f ( x) và H ( x,1) = g ( x) ∀x ∈ M
Như vậy, mọi ánh xạ liên tục từ M vào N luôn đồng luân (liên tục) với một ánh
xạ khả vi.

1.7.3. Định lý
Cho f , g là các ánh xạ khả vi từ M vào N và f đồng luân (liên tục) với g .
Khi đó, f và g đồng luân khả vi với nhau ( M , N là các đa tạp có cơ sở mở
đếm được)
 Việc chứng minh các định lý 1.7.2 và 1.7.3 ở trên tương đối dài và khó. Có
thể tìm thấy chứng minh của các định lý này trong [2], [3]. Các kết quả trên sẽ được
sử dụng trong các chương sau để chuyển khái niệm bậc của một ánh xạ khả vi
sang bậc của một ánh xạ liên tục

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 17 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Chương 2
DẠNG VI PHÂN VÀ
KHÔNG GIAN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
2.1. Dạng vi phân
2.1.1. Hàm đa tuyến tính

2.1.1.1. Định nghĩa:
Cho một không gian vectơ V và một ánh xạ ω : V q → ¡ gọi là hàm đa tuyến
tính (rõ hơn q − tuyến tính) nếu nó tuyến tính theo tứng biến, nghĩa là với mọi chỉ
số

i

và mọi phần tử

v1,...., vi −1, vi , vi +1,..., vq ∈ V

cố định thì ánh xạ

v a ω (v1 ,...., vi −1, vi , vi +1,..., vq ) là một hàm tuyến tính

2.1.1.1. Mệnh đề
Tập hợp các hàm q − tuyến tính trên V q là một không gian vectơ với phép cộng
hai ánh xạ và phép nhân với số thực được định nghĩa tự nhiên.
Ký hiệu: T q (V * ) với V * là không gian đối ngẫu của V
Trong đó: T 1 (V * ) = V *
Và quy ước: T 0 (V * ) = ¡

2.1.2. Dạng đa tuyến tính thay dấu
2.1.2.1. Định nghĩa:
Gọi S q là tập các phép thế của (1, 2,..., q) . Thì với mỗi phép thế

σ ∈ Sq , σ :{1, 2,..., q} → {1, 2,..., q} ta xây dựng ánh xạ (vẫn ký hiệu là σ )
σ : T q (V * ) → T q (V * )
f a σ( f )
mà σ ( f )(v1 , v2 ,..., vq ) = f (vσ (1) , vσ (2) ,..., vσ ( q ) ) , với v1, v2 ,..., vq ∈ V

Nếu σ ( f ) = ε σ f thì f được gọi là dạng đa tuyến tính thay dấu (ở đây ε σ là
dấu của phép thế σ )

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 18 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

Đặt Ω q (V * ) là tập các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu
Ta quy ước
Ω0 (V * ) = ¡
Ω1 (V * ) = V *
 Nhận xét:
Với q > n thì Ω q (V * ) = 0 , vì với mọi ω ∈ Ω q (V * ) do tính thay dấu của ω ta
suy ra ω = 0
 Mệnh đề:
Tập các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu ( Ω q (V * ) ) là một không gian vectơ.
 Chú ý: Dạng đa tuyến tính thay dấu còn được gọi là dạng đa tuyến tính phản
đối xứng.

2.1.2.2. Định nghĩa (tích ngoài)
Nếu ω ∈ Ω q (V * ), η ∈ Ω s (V * ) , tích ngoài của ω và η là một phần tử được ký
hiệu là ω ∧ η xác định bởi:

ω ∧η =

(q + s )!
∑ εσ ω vσ (1) , vσ (2) ,..., vσ (q) ×η vσ (q+1) , vσ (q+2) ,..., vσ ( q+s)
q !s ! σ ∈Sq + s

(

) (

)

 Mệnh đề
Với ω , ω1, ω2 ∈ Ω q (V * ) ; η ,η1 ,η2 ∈ Ω s (V * ) ; θ ∈ Ω k (V * ) và a ∈ ¡ thì ta có:
i ) ω ∧ η = ( −1) qsη ∧ ω
ii ) (ω1 + ω2 ) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η
iii ) ω ∧ (η1 + η2 ) = ω ∧ η1 + ω ∧ η 2
iv) (aω ) ∧ η = ω ∧ ( aη ) = a(ω ∧ η )
v) (ω ∧ η ) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ ) = ω ∧ η ∧ θ
 Nhận xét:
Ngoài tính chất kết hợp thì tích ngoài còn là dạng song tuyến tính

2.1.2.3. Định lý:

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 19 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

Giả sử e1, e 2 ,..., en là một cơ sở của V và e1, e 2 ,..., en là cơ sở của không gian
i
liên hợp V * : e (e j ) = δ ij . Nếu 1 ≤ q ≤ n , tập hợp các phần tử ei1 ∧ ei2 ∧ ... ∧ eiq với (

1 ≤ i1 < ... < iq ≤ n ) làm thành một cơ sở của Ω q (V * ) và ta có dim Ω q (V * ) = Cnq
Nếu q > n thì Ω q (V * ) = {0}
 Hệ quả 1
dim Ω q (V * ) = Cnq , dim Ω n (V * ) = 1
 Hệ quả 2

ω ∈ Ω q (V * ) và q lẻ thì ω ∧ ω = 0

2.1.2.4. Định lý
Giả sử v1, v 2 ,..., vn là một cơ sở của không gian V và ω ∈ Ω n (V * ) . Đối với n
n

vectơ bất kỳ ωi = ∑ aij v j thuộc V . Ta có ω ( ω1, ω2 ,..., ωn ) = det( aij ).ω ( v1, v2 ,..., vn )
j =1

2.1.3. Dạng vi phân trên đa tạp
2.1.3.1. Định nghĩa:
M là đa tạp nhẵn n chiều, một dạng vi phân ω bậc q trên M là ánh xạ:

ω:M →

U Ωq (Tx*M )

x∈M

sao cho tại x ∈ M thì

ω x : Tx M × Tx M × ...Tx M → ¡
1 4 44 2 4 4 43
là ánh xạ q tuyến tính thay dấu
q

 Nhận xét:
a)

 ∂
Trên bản đồ (Uα ,α ), α ( x) = ( x1, x2 ,..., xn ) thì 
 ∂xi

 ∂
và { dxi ( x)} i =1,n là cơ sở đối ngẫu với 
 ∂xi

SVTH: Lưu Thùy Thương



là cơ sở của Tx M

x i =1,n



của không gian Tx*M :
x

i =1,n

- Trang 20 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

 ∂
dxi 
 ∂x j



=δ
÷
÷ ij


Nên theo định lý 2.1.2.3 thì với mọi x ∈ Uα : ω x ∈ Ω q (Tx*M ) và

ω ( x) =

∑

f i1i2 ...iq ( x)dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxiq

∑

fi1i2 ...iq dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxiq

1≤i1 <...
Hay ta còn viết:

ωU =
α

1≤i1 <...
, trong đó f i1i2 ...iq là

các hàm số trên Uα
Giả sử (Uα ,α ), (U β , β ) là các bản đồ của M và Uα ∩ U β ≠ ∅ , ta có:

b)

ωU =
α

ωU =
β

∑

fi1i2 ...iq dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxiq

∑

g j1 j2 ... jq dy j1 ∧ dy j2 ∧ ... ∧ dy jq

1≤i1 <...
1≤ j1 <...< jq ≤ n

Khi đó:
g j1 j2 ... jq =

∑

1≤i1 <...
 ∂
Ta có hàm dxi 
 ∂y j

 ∂
∂
∂
f i1i2 ...iq dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxiq 
,
,...,
 ∂y j ∂y j
∂y jq
2
 1

 n  ∂ (α β −1 )i  ∂


o
= dxi  ∑ 
β÷
÷
÷
÷∂xk
 k =1  ∂y j


 


÷
÷


 ∂ (α β −1 )i
o
÷=
oβ là các hàm
÷
∂
y
j


nhẵn trên Uα ∩ U β
Do đó các hàm f i1i2 ...iq thuộc lớp C r trên Uα ∩ U β thì các hàm g j1 j2 ... jq cũng
vậy

2.1.3.2. Định nghĩa
Ta nói ω là dạng vi phân bậc q trên M thuộc lớp C r nếu với mọi bản đồ
(Uα ,α ) của M , ta có: ω Uα = ∑
1≤i <...1

q ≤n

f i1i2 ...iq dxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxiq

thì f i1i2 ...iq khả vi

lớp C r
Khi f i1i2 ...iq khả vi lớp C ∞ thì ω gọi là dạng vi phân nhẵn

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 21 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

 Ký hiệu:
 Tập các dạng vi phân bậc q trên M thuộc lớp C r là Λ qr ( M )
 Tập các dạng vi phân nhẵn trên M bậc q là Λ q ( M )
 Quy ước:
Λ 0 ( M ) = F ( M ) - tập các hàm khả vi nhẵn trên M
Λ q ( M ) = 0 nếu q > n

 Nhận xét: Λ qr ( M ) và Λ q ( M ) là các không gian vectơ trên M , và hơn nữa
chúng còn là F ( M )_ modun

2.1.3.3. Tích ngoài của các dạng vi phân
 Định nghĩa:
Nếu ω ∈ Λ qr ( M ), η ∈ Λ rs ( M ) , tích ngoài ω ∧ η là dạng vi phân lớp C r bậc
q+s

trên

M xác định bởi:

∀x ∈ M : (ω ∧ η )( x) = ω ( x) ∧ η ( x) , trong đó

ω ( x) ∧ η ( x) là tích ngoài các dạng đa tuyến tính thay dấu (phản đối xứng)
 Mệnh đề:
Cho M là đa tạp nhẵn n chiều, với mọi ω ∈ Λ qr ( M ), η ∈ Λ rs ( M ) thì

ω ∧ η = (−1) qsη ∧ ω
 Tính chất:
Tương tự như xét với các dạng đa tuyến tính thay dấu, tích ngoài các dạng vi
phân trên đa tạp cũng có các tính chất:
i ) (ω1 + ω2 ) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η
ii ) ω ∧ (η1 + η2 ) = ω ∧ η1 + ω ∧ η 2
iii ) (aω ) ∧ η = ω ∧ (aη ) = a (ω ∧ η )
iv) (ω ∧ η ) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ ) = ω ∧ η ∧ θ
Với mọi ω , ω1, ω2 ∈ Λ qr ( M ) ; η ,η1 ,η2 ∈ Λ rs ( M ) ; θ ∈ Λ kr ( M ) và a ∈ ¡
 Lưu ý: Nếu ϕ ∈ F ( M ) (tức ϕ là hàm nhẵn trên M ) và với ω ∈ Λ qr ( M ) thì

ϕ ∧ ω = ω ∧ ϕ = ϕω ∈ Λ qr ( M )

 Nhận xét:

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 22 -


BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

Xét trên hai bản đồ (Uα ,α ), (U β , β ) có tọa độ địa phương mà ta ký hiệu hình
thức là α ( x) = ( x1, x2 ,..., xn ), β ( y ) = ( y1, y2 ,..., yn )
Dựa vào tính chất của tích ngoài ta có:
dx1 ∧ dx2 ∧ .... ∧ dxn = det(α oβ −1 ) 'o β dy1 ∧ dy2 ∧ .... ∧ dyn

2.1.3.4. Đạo hàm ngoài của các dạng vi phân
Cho M là đa tạp khả vi lớp nhẵn, có duy nhất một ánh xạ
d : Λ qr ( M ) → Λ qr −+11 ( M )
( Λ qr ( M ) : tập các dạng vi phân bậc q lớp C r ) thỏa mãn các điều kiện sau:
a) d là ánh xạ ¡ _ tuyến tính
b) ∀ω ∈ Λ qr ( M ), η ∈ Λ rs ( M ) , ta có: d (ω ∧ η ) = d ω ∧ η + (−1) q ω ∧ dη
c) dod = 0
d) f ∈ C r +1 ( M ), df là dạng vi phân bậc một trên M
d ω gọi là đạo hàm ngoài của dạng vi phân ω

2.1.4. Ánh xạ đối tiếp xúc
2.1.4.1. Định nghĩa
Cho f : M → N là ánh xạ nhẵn giữa các đa tạp. Khi đó ta định nghĩa ánh xạ
f * : Λ qr ( N ) → Λ qr ( M )

ω a f *ω
Trong đó: f *ω là dạng vi phân bậc q trên M . Và ∀x ∈ M ; v1, v2 ,..., vq ∈ Tx M
( f *ω ) x (v1 , v2 ,..., vq ) = ω f ( x ) (Tx f (v1 ),..., Tx f (vq ))
thì f * được gọi là ánh xạ đối tiếp xúc
 Lưu ý: Với g là hàm thực nhẵn (khả vi lớp C ∞ ) ta đặt f * g = go f

2.1.4.2. Mệnh đề
Cho M , N là các đa tạp khả vi nhẵn, có số chiều lần lượt là m, n . Các ánh xạ
f : M → N , ϕ : N → ¡ là nhẵn thì ta có

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 23 -


GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

f * (dϕ ) = d (ϕo f )
Chứng minh:
∀p ∈ M , lấy (Uα ,α ) là bản đồ địa phương tại p , α ( x) = ( x1, x2 ,..., xn )
(Vβ , β ) là bản đồ địa phương tại q = f ( p ) , β ( y ) = ( y1 , y2 ,..., yn )
 ∂

Ta có:  ( p) 
là một cơ sở của Tp ( M ) và
 ∂xi
i =1,n


 ∂ 
( f *dϕ )( p ) 
=
d
ϕ
 Tp f
÷
 ∂xi 

Mặt khác, do

 ∂ 

÷÷
÷
 ∂xi  

(*)

∂
( p) = ( p, ei ) α , theo định nghĩa ánh xạ tuyến tính tiếp xúc ta có :
∂xi

 ∂ 
Tp f 
÷ biểu diễn trong bản đồ (Vβ , β ) là:
∂
x
 i

( f ( p),(β f α
o o

−1 '

) (α ( p))(ei )

) β = ( q,(β f α
o o

−1 '

) (α ( p))(ei )

)β

∂ ( βo foα −1 ) k
(α ( p ))ek
∂xi
k =1
n

Ta có :

( βo foα −1 )' (α ( p))(ei ) = ∑

Do đó:
n
 n ∂ ( βo foα −1 ) k


∂ (ϕoβ −1 )
∂ ( βo foα −1 ) k
(*) = dϕ  q, ∑
(α ( p))ek ÷
=
β
(
p
)
α ( p)
÷ ∑ ∂y
∂
x
∂
x
i
k
i
 k =1
 β k =1

 ∂
Mặt khác : d (ϕo f )( p ) 
 ∂xi


÷ = d (ϕo f )( p, ei ) α

=

∂ (ϕo foα −1 )k
∂
α ( p) =
[(ϕoβ −1 )o( β o f oα −1 )](α ( p))
∂xi
∂xi
∂ (ϕoβ −1 )
∂( β o f oα −1 ) k
β ( p)
(α ( p))
∂
y
∂
x
k
i
k =1
n

=∑
Vậy ta có điều phải chứng minh

2.1.4.3. Tính chất

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 24 -

GVHD: Th.S. Nguyễn Duy Thanh

BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

i) Cho f : M → N ; g : N → P là các ánh xạ nhẵn thì : go f : M → P cũng là ánh xạ
nhẵn và ( go f ) = f *og *
*

ii) Cho ω , η là các dạng vi phân trên M thì f * (ω ∧ η ) = f * (ω ) ∧ f * (η )
*
iii) f ( gdxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxiq ) = ( g o f ) d ( xi1 o f ) ∧ ...d ( xiq o f )

iv) Khi f là vi phôi thì ( f * )−1 = ( f −1 )*
Chứng minh:
i) ∀ω ∈ Λ qr ( M ) ∈ M và v1, v2 ,..., vq ∈ Tx M
(( g o f ) ω ) x (v1 ,..., vq ) = ω go f ( x ) (Tx g o f (v1 ),..., Tx g o f (vq ))
*

= ω go f ( x ) (T f ( x ) goTx f (v1),..., T f ( x ) goTx f (vq ))

( ( f g ) ω)
* *
o

x

( ( )

(v1,..., vq ) = f * g *ω

(

= g *ω

x

( v1,..., vq ) )

) ( T f (v ),...,T f (v ) )
x

f ( x)

1

x

q

(

= ω go f ( x ) T f ( x ) goTx f (v1 ),..., T f ( x ) goTx f (vq )

( go f ) * =

Suy ra

)

f *og *

ii) ω , η là các dạng vi phân trên M
∀x ∈ M ; v1, v2 ,..., vq ∈ Tx M

(f

*

(ω ∧ η )

) ( v ,..., v ) = (ω ∧ η ) ( T f (v ),...,T f (v ) )
x

1

q

f ( x)

x

1

(

x

q

)

(

= ω f ( x ) Tx f (v1 ),..., Tx f (vq ) ∧ η f ( x ) Tx f (v1 ),..., Tx f (vq )

)

f * (ω ∧ η ) = f * (ω ) ∧ f * (η )

Suy ra :

*
*
*
*
iii) f ( gdxi1 ∧ dxi2 ∧ ... ∧ dxiq ) = ( f g ) ∧ ( f dxi1 ) ∧ ... ∧ ( f dxiq ) (theo ii) )

= qo fd ( xi1 o f ) ∧ ... ∧ d ( xiq o f ) (theo mệnh đề 2.1.4.2)
iv) Vì

(
(

)
)

( )

 f −1o f = id
 −1 * f = id


 f
o
⇒

−1
= id
 fo f
 f *o f −1 = id


Suy ra f * đẳng cấu và ( f * )−1 = ( f −1 )*

SVTH: Lưu Thùy Thương

- Trang 25 -