Về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN THỊ OANH

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ
ĐÔI, BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN
MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2013


i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN THỊ OANH

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ
ĐÔI, BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN
MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

TS. VŨ THỊ HỒNG THANH

NGHỆ AN - 2013


ii

MỤC LỤC
Trang
Mục lục

ii

Mở đầu ...........................................................................................................1
Chương 1. Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi...............................................3
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị...........................................................................3
1.2. Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ co suy rộng trong không gian
mêtric có thứ tự bộ phận....................................................................................5
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động bộ ba trong không gian mêtric có
thứ tự bộ phận...............................................................................................16
2.1. Sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các ánh xạ đơn điệu hỗn hợp..................16
2.2. Sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các ánh xạ Φ-co.....................................33
Kết luận..........................................................................................................43
Tài liệu tham khảo.........................................................................................44


.

1

MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề được quan tâm nghiên
cứu trong giải tích, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi,
các bao hàm thức vi phân và trong nhiều ngành kỹ thuật khác. Một số kết quả
về sự tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong
đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ
co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach (1922). Các kết quả kinh điển
này đã được mở rộng cho các lớp ánh xạ và các lớp không gian khác nhau. Một
trong những hướng mở rộng đó là đưa ra khái niệm điểm bất động của ánh xạ
từ không gian tích X × X hoặc X × X × X vào X (gọi là điểm bất động bộ
đôi, bộ ba) và tìm điều kiện cho sự tồn tại điểm bất động bộ đôi, bộ ba. Năm
2006, Bhashkar và Lakshmikantham [5] đã đưa ra các khái niệm điểm bất động
bộ đôi và nghiên cứu một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong
không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận. Khái niệm điểm bất động bộ ba
được giới thiệu và nghiên cứu bởi Berinde và Borcut [4] vào năm 2011. Những
người đạt được nhiều kết quả về hướng này là B.Samet, L.Civic, Jay G.Mehta,
M.L.Joshi, Berinde, Borcut. . .
Mục đích của chúng tôi là tiếp cận hướng này để tìm hiểu về lý thuyết điểm
bất động bộ đôi và điểm bất động bộ ba của các ánh xạ trong không gian
mêtric đầy đủ với thứ tự bộ phận. Với mục đích đó, luận văn được viết thành
hai chương.
Chương 1. Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi
Mục đầu tiên của chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản
về không gian mêtric, ánh xạ liên tục, thứ tự bộ phận,... mà chúng ta cần dùng
trong luận văn. Mục thứ hai trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất
động bộ đôi của các ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp trong không
gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động bộ ba trong không gian mêtric
có thứ tự bộ phận
Mục đầu tiên của chương này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm

bất động bộ ba của các ánh xạ đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric đầy


2

đủ có thứ tự bộ phận. Mục tiếp theo, trình bày một số định lý về sự tồn tại
điểm bất động bộ ba của các ánh xạ Φ-co đơn điệu hỗn hợp trong không gian
mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận.
Các kết quả trong luận văn chủ yếu là đã có trong các tài liệu tham khảo.
Chúng tôi tìm hiểu, trình bày theo bố cục và mục đích của mình, chứng minh
chi tiết một số kết quả mà trong các tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt
hoặc bỏ qua chứng minh, đưa ra các ví dụ minh họa cho một số khái niệm và
định lý. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đưa ra và chứng minh một số kết quả mới,
đó là Định lý 2.1.15 và các Hệ quả 2.1.16, 2.1.17, 2.1.18.
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới
sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của cô TS. Vũ Thị Hồng Thanh và thầy PGS.
TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình
đến thầy, cô. Nhân dịp này, xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán
và Quý thầy cô trong khoa Toán của trường Đại học Vinh đã nhiệt tình truyền
đạt những kiến thức Toán học quý báu, phong phú.
Tác giả xin cảm ơn quý thầy cô trong trường Đại Học Sài Gòn đã tạo điều
kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập. Cuối cùng tác giả cảm ơn gia đình
cùng các bạn lớp Cao học Giải tích khóa 19 đã chia sẻ, động viên, giúp đỡ tác
giả trong thời gian học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều nỗ lực, cố gắng, tuy nhiên luận văn không tránh khỏi
những hạn chế, thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 9 năm 2013
Tác giả

CHƯƠNG 1
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi
của các ánh xạ trong không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian mêtric,
ánh xạ liên tục, thứ tự bộ phận, . . . mà chúng cần dùng trong luận văn. Các kết
quả này được lấy trong [1] hoặc [2].
1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X khác rỗng. Hàm d : X 2 → R thỏa mãn
các điều kiện
1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
2) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X;
3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z ∈ X;
được gọi là một mêtric (hay khoảng cách) trên X.
Tập X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là một không gian mêtric và
ký hiệu là (X, d) hoặc X.
1.1.2 Định nghĩa. Cho không gian mêtric (X, d) và tập con M của X. Ta
xác định hàm dM : M 2 → R cho bởi dM (x, y) = d(x, y) với mọi x, y ∈ M . Khi
đó dM là một mêtric trên M . Ta gọi không gian mêtric (M, dM ) là không gian
con của không gian (X, d) .
Mêtric dM được gọi là mêtric cảm sinh bởi mêtric d trên M .
1.1.3 Định nghĩa. Dãy {xn } trong không gian mêtric (X, d) được gọi là
3


4

hội tụ tới x ∈ X và kí hiệu là xn → x hoặc lim xn = x nếu d(x, xn ) → 0 khi

n→∞

n → ∞.
1.1.4 Nhận xét
1) Trong không gian mêtric (X, d) một dãy nếu hội tụ thì hội tụ tới một
điểm duy nhất.
2) Nếu xn → x và yn → y thì d(xn , yn ) → d(x, y).
1.1.5 Mệnh đề.
Giả sử xi ∈ (X, d), với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó,
d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + ... + d(xn−1 , xn ).
1.1.6 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian mêtric. Dãy {xn } ⊂ X được
gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu lim d(xn , xm ) = 0, nghĩa là
m,n→∞

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : d(xn , xm ) ≤ ε, ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 .
Không gian mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong X
đều hội tụ.
1.1.7 Định nghĩa. Cho các không gian mêtric (X, d), (Y, ρ) và ánh xạ
f :X →Y.
Ta nói ánh xạ f liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, d(x, x0 ) < δ suy ra ρ(f (x), f (x0 )) < ε.
Ta nói f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x ∈ X.
1.1.8 Định lý. Giả sử f : (X, d) → (Y, ρ). f liên tục tại x ∈ X khi và chỉ
khi mọi dãy {xn } ⊂ X mà xn → x thì f (xn ) → f (x).
1.1.9 Định nghĩa. Giả sử X là một tập khác rỗng và ≤ là một quan hệ
hai ngôi trên X. Quan hệ ≤ được gọi là một thứ tự bộ phận trên X nếu với mọi
x, y, z ∈ X ta có
1) x ≤ x;
2) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y (tính phản xứng);
3) Từ x ≤ y và y ≤ z suy ra x ≤ z (tính bắc cầu).

Tập X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ
phận và ký hiệu là (X, ≤) hoặc X.


5

Nếu x ≤ y mà x = y thì ta viết x < y.
Ta có thể viết y ≥ x thay cho x ≤ y và y > x thay cho x < y.
Tập X được gọi là sắp tuyến tính nếu trên X có một quan hệ hai ngôi ≤ có
tính bắc cầu và với mọi x, y ∈ X mà x = y thì x < y hoặc y < x.
1.2. Sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ co suy rộng
trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận
Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của
các ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric đầy
đủ có thứ tự bộ phận.
1.2.1 Định nghĩa ([10]). Giả sử (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận
và ánh xạ F : X 2 → X. Ta nói F có tính đơn điệu hỗn hợp nếu với x, y ∈ X ta
có
x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 suy ra F (x1 , y) ≤ F (x2 , y),
y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 suy ra F (x, y1 ) ≥ F (x, y2 ).
1.2.2 Định nghĩa ([10]). Ta gọi phần tử (x, y) ∈ X 2 là một điểm bất động
bộ đôi của ánh xạ F : X 2 → X nếu F (x, y) = x và F (y, x) = y.
Giả sử (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Khi đó, trên không gian
tích X 2 ta xác định một thứ tự bộ phận như sau
(x, y), (u, v) ∈ X 2 , (u, v) ≤ (x, y) khi và chỉ khi x ≥ u, y ≤ v.
Sau đây chúng tôi đưa ra ví dụ minh hoạ cho khái niệm tính đơn điệu hỗn
hợp và điểm bất động bộ đôi.
1.2.3 Ví dụ. 1) Giả sử p : R2 → R là hàm được cho bởi công thức p(x, y) = x
với mọi (x, y) ∈ R2 .
Khi đó, nếu trên R ta xét quan hệ ≤ thông thường thì p có tính đơn điệu

hỗn hợp và mọi điểm (x, y) ∈ R2 đều là điểm bất động bộ đôi của p.
Chứng minh. Với mọi x1 , x2 ∈ R, x1 ≤ x2 ta có
p(x1 , y) = x1 ≤ x2 = p(x2 , y), ∀y ∈ R
và với mọi y1 , y2 ∈ R, y1 ≤ y2 ta có


6

p(x, y1 ) = x = p(x, y2 ), ∀x ∈ R.
Do đó, p có tính đơn điệu hỗn hợp.
Với mọi (x, y) ∈ R2 ta có p(x, y) = x, p(y, x) = y. Do đó, (x, y) là điểm bất
động bộ đôi của p.
Kết Luận. Vậy trong không gian hai chiều mọi điểm đều là điểm bất động
bộ đôi của phép chiếu song song với trục Oy.
2) Trên R ta xét quan hệ ≤ thông thường. Khi đó, hàm
T (x, y) = x + y, ∀(x, y) ∈ R2
không có tính đơn điệu hỗn hợp nhưng có điểm bất động bộ đôi duy nhất là
(0, 0).
Chứng minh. Ta có T (0, 1) = 1 < T (0, 2) = 2, suy ra T không có tính đơn
điệu hỗn hợp. Mặt khác (x, y) ∈ R2 là điểm bất động bộ đôi của T khi và chỉ khi



 T (x, y) = x
 x+y =x
 x=0
⇔
⇔
.
 T (y, x) = y

 x+y =y
 y=0
Vậy (0, 0) là điểm bất động bộ đôi duy nhất.
Sau đây chúng tôi trình bày các định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của
các điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ co suy rộng có tính đơn điệu hỗn hợp
trong không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận.
1.2.4 Định lý ([10]). Giả sử (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận,
d là một mêtric trên X sao cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và
F : X 2 → X là ánh xạ liên tục có tính đơn điệu hỗn hợp trên X. Với mọi
(x, y), (u, v) ∈ X 2 , đặt
2 + d(u, F (u, v)) + d(v, F (v, u))
,
2 + d(x, u) + d(y, v)
2 + d(x, F (x, y)) + d(y, F (y, x))
d(u, F (u, v))
.
2 + d(x, u) + d(y, v)

M ((x, y), (u, v)) = min d(x, F (x, y))

Khi đó, nếu
i) Tồn tại α, β > 0 với α + β < 1 sao cho
d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αM ((x, y), (u, v)) +
với mọi (x, y), (u, v) ∈ X 2 mà x ≥ u, y ≤ v;

β
[d(x, u), d(u, v)]
2

(1.1)

7

ii) Tồn tại x0 , y0 ∈ X sao cho

x0 ≤ F (x0 , y0 ) và y0 ≥ F (y0 , x0 )

(1.2)

thì F có một điểm bất động bộ đôi (x, y) ∈ X 2 .
Chứng minh. Đặt F (x0 , y0 ) = x1 , F (y0 , x0 ) = y1 , x2 = F (x1 , y1 ) và y2 =
F (y1 , x1 ). Ta kí hiệu
F 2 (x0 , y0 ) = F (F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 )) = F (x1 , y1 ) = x2
và
F 2 (y0 , x0 ) = F (F (y0 , x0 ), F (x0 , y0 )) = F (y1 , x1 ) = y2 .
Dựa vào tính đơn điệu hỗn hợp của F , ta có
x2 = F (x1 , y1 ) ≥ F (x0 , y1 ) ≥ F (x0 , y0 ) = x1
và
y2 = F (y1 , x1 ) ≤ F (y0 , x1 ) ≤ F (y0 , x0 ) = y1 .
Hơn nữa, với n = 1, 2,..., ta có
xn+1 = F n+1 (x0 , y0 ) = F (F n (x0 , y0 ), F n (yn , xn ))
và
yn+1 = F n+1 (y0 , x0 ) = F (F n (y0 , x0 ), F n (xn , yn )).
Ta dễ dàng chứng minh được
x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ...≤ xn+1 ≤...
và
y0 ≥ y1 ≥ y2 ≥ ...≥ yn+1 ≥...
Với mọi n ∈ N∗ thì
d(xn+1 , xn ) ≤ (

β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )
)
1−α
2

(1.3)

và
β n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )
)
.
1−α
2
Thật vậy, với n = 1 từ x1 ≥ x0 , y1 ≤ y0 và từ (1.1) ta có
d(yn+1 , yn ) ≤ (

(1.4)

d(x2 , x1 ) = d(F (x1 , y1 ), F (x0 , y0 ))
d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
2
2 + d(x0 , F (x0 , y0 )) + d(y0 , F (y0 , x0 ))
≤ αd(x1 , F (x1 , y1 ))
2 + d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
≤ αM ((x1 , y1 ), (x0 , y0 )) + β


8

+ β(d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 ))
d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
.
= αd(x1 , x2 ) + β
2
Điều đó kéo theo
(1-α)d(x2 , x1 ) ≤ β

d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
,
2

do đó
d(x2 , x1 ) ≤

β
1−α

d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
.
2

Tương tự
d(y2 , y1 ) = d(F (y1 , x1 ), F (y0 , x0 ))
= d(F (y0 , x0 ), F (y1 , x1 ))
d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
≤ αM ((y0 , x0 ), (y1 , x1 )) + β
2
2 + d(y0 , F (y0 , x0 )) + d(x0 , F (y0 , y1 ))
≤ αd(y1 , F (y1 , x1 ))

2 + d(y0 , y1 ) + d(x0 , x1 )
d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
+β
2
d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )
= αd(y1 , y2 ) + β
.
2
Từ đó, suy ra
β
[d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
.
1−α
2
Bây giờ, giả sử (1.3) và (1.4) đúng với n. Ta chứng minh (1.3) và (1.4) đúng
d(y2 , y1 ) ≤

với n + 1.
Từ giả thiết xn+1 ≥ xn ,yn+1 ≤ yn và từ (1.3), (1.4) ta có
d(xn+2 , xn+1 ) = d(F (xn+1 , yn+1 ), F (xn , yn ))
[d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )]
2
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
≤ αd(xn+1 , xn+2 )
2 + d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )
[d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )]
+β
2
[d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )]
= αd(xn+1 , xn+2 ) + β

.
2
≤ αM ((xn+1 , yn+1 ), (xn , yn )) + β

Điều đó, dẫn đến
β
[d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )]
1−α
2
n+1
β
[d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
≤
.
1−α
2

d(xn+2 , xn+1 ) ≤

Chứng minh tương tự ta có


9

d(yn+2 , yn+1 ) ≤ (

β n+1 [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]
)
.
1−α

2

β
< 1, và từ (1.3), (1.4) ta suy ra {xn }, {yn } là hai dãy Cauchy.
1−α
Mặt khác, vì (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, nên tồn tại (x, y) ∈ X 2 sao

Vì 0 <

cho
lim xn = x và

n→+∞

lim yn = y.

n→+∞

(1.5)

Cuối cùng, ta cần chứng minh (x, y) là một điểm bất động bộ đôi của F . Thật
vậy, ta có
d(F (x, y), x) ≤ d(F (x, y), xn+1 )) + d(xn+1 , x)
= d(F (x, y), F (xn , yn )) + d(xn+1 , x) = 0.
Từ (1.5) và tính liên tục của F , ta có
lim d(F (x, y), F (xn , yn )) + d(xn+1 , x) = 0.

n→+∞

Do đó F (x, y) = x.

Chứng minh tương tự, ta có
d(F (y, x), y) ≤ d(F (y, x), yn+1 ) + d(yn+1 , y) = d(F (y, x), F (yn , xn )) + d(yn+1 , y)
và
lim d(F (y, x), F (yn , xn )) + d(yn+1 , y) = 0.

n→+∞

Do đó, F (y, x) = 0.
1.2.5 Định lý ([10]). Giả sử (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận, (X, d)
là một không gian mêtric đầy đủ và X có các tính chất sau
i) Nếu dãy không giảm {xn }trong X hội tụ tới x ∈ X thì xn ≤ x, với mọi n,
ii) Nếu dãy không tăng {yn } trong X hội tụ tới y ∈ X thì yn ≥ y,với mọi n.
Cho F : X 2 → X là ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trong X sao cho tồn
tại α, β > 0 với α + β < 1 thoả mãn
β
[d(x, u) + d(y, v)]
2
với mọi (x, y),(u, v) ∈ X 2 mà x ≥ u, y ≤ v. Khi đó, nếu tồn tại x0 , y0 ∈ X
d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αM ((x, y), (u, v)) +

sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 ) và y0 ≥ F (y0 , x0 ), thì F có một điểm bất động bộ đôi
(x, y) ∈ X 2 .
Chứng minh. Với các ký hiệu và tương tự như trong chứng minh Định lý
1.2.4 ta chỉ cần chứng tỏ (x, y) là điểm bất động bộ đôi của F . Ta có


10

d(F (x, y), x) ≤ d(F (x, y), xn+1 ) + d(xn+1 , x)
= d(F (x, y), F (xn , yn )) + d(xn+1 , x).

(1.6)

Từ giả thiết dãy không giảm {xn } hội tụ tới x và dãy không tăng {yn } hội tụ
tới y, theo (i) và (ii) ta có x ≥ xn và y ≤ yn , với mọi n. Từ điều kiện trên, ta
có,
β
[d(x, xn ) + d(y, yn )]
2
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
≤ αd(x, F (x, y))
2 + d(x, xn ) + d(y, yn )
β
+ [d(x, xn ) + d(y, yn )].
2

d(F (x, y), F (xn , yn )) ≤ αM ((x, y), (xn , yn )) +

Từ (1.6) ta suy ra
d(F (x, y), x) ≤ αd(x, F (x, y))

2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
2 + d(x, xn ) + d(y, yn )

β
+ [d(x, xn ) + d(y, yn )] + d(xn+1 , x)
2
→ αd(x, F (x, y)) với n → +∞.
Điều đó kéo theo
(1 − α)d(F (x, y), x) ≤ 0

Vì 0 < α < 1 nên d(F (x, y), x) = 0, do đó F (x, y) = x.
Tương tự, ta có
d(F (y, x), y) ≤ d(F (y, x), yn+1 ) + d(yn+1 , y)

= d(F (yn , xn ), F (y, x)) + d(yn+1 , y).
Từ điều kiện trên, ta có
d(F (yn , xn ), F (y, x)) ≤ αd(y, F (y, x))

2 + d(yn , yn+1 ) + d(xn , xn+1 )
2 + d(yn , y) + d(xn , x)

β
+ [d(yn , y) + d(xn , x)].
2
Từ (1.7), ta có
d(F (y, x), y) ≤ αd(y, F (y, x))

2 + d(yn , yn+1 ) + d(xn , xn+1 )
2 + d(yn , y) + d(xn , x)

β
+ [d(yn , y) + d(xn , x)] + d(xn+1 , x)
2
→ αd(x, F (x, y)) với n → +∞.
Điều đó kéo theo
(1 − α)d(F (y, x), y) = 0.

(1.7)

11

Do đó, d(F (y, x), y) = 0, suy ra F (y, x) = y. Vậy, F có điểm bất động bộ đôi
(x, y).
1.2.6 Định lý ([10]). Giả sử với mọi (x, y), (x∗ , y ∗ ) ∈ X 2 tồn tại (z1 , z2 ) ∈
X 2 sao cho (z1 , z2 ) so sánh được với (x, y) và (x∗ , y ∗ ). Nếu thêm điều kiện này
vào giả thiết của Định lý 1.2.4 thì F có duy nhất một điểm bất động bộ đôi.
Chứng minh. Giả sử (x∗ , y ∗ ) là một điểm bất động bộ đôi khác của F thì
F (x∗ , y ∗ ) = x∗ và F (y ∗ , x∗ ) = y ∗ . Ta cần chứng minh
d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) = 0,

(1.8)

trong đó
lim F n (x0 , y0 ) = x và lim F n (y0 , x0 ) = y.

n→+∞

n→+∞

Ta phân ra hai trường hợp.
Trường hợp 1: (x, y) so sánh được với (x∗ , y ∗ ) theo thứ tự trong X 2 . Khi đó,
với mọi n ∈ N, ta có
(F n (x, y), F n (y, x)) = (x, y) so sánh được với (F n (x∗ , y ∗ ), F n (y ∗ , x∗ )) = (x∗ , y ∗ ).
Mặt khác
d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) = d(F n (x, y), F (x∗ , y ∗ )) + d(F n (y, x), F n (y ∗ , x∗ ))
≤ β n [d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ )].
Vì 0 < β < 1 nên
d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) = 0.
Trường hợp 2: (x, y) không so sánh được với (x∗ , y ∗ ).

Trong trường hợp này, tồn tại (z1 , z2 ) ∈ X 2 là so sánh được với (x, y) và
(x∗ , y ∗ ). Khi đó, với mọi n ∈ N, (F n (z1 , z2 ), F n (z2 , z1 )) là so sánh được với
(F n (x, y), F n (y, x)) = (x, y) và (F n (x∗ , y ∗ ), F n (y ∗ , x∗ )) = (x∗ , y ∗ ). Từ đó, ta có
d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) = d(F n (x, y), F n (x∗ , y ∗ )) + d(F n (y, x), F n (y ∗ , x∗ ))
≤ d(F n (x, y), F n (z1 , z2 )) + d(F n (z1 , z2 ), F n (x∗ , y ∗ ))
+d(F n (y, x), F n (z2 , z1 )) + d(F n (z2 , z1 ), F n (y ∗ , x∗ ))
≤ β n [d(x, z1 ) + d(y, z2 ) + d(x∗ , z1 ) + d(y ∗ , z2 )].
Vì 0 < β < 1 nên
lim β n [d(x, z1 ) + d(y, z2 ) + d(x∗ , z1 ) + d(y ∗ , z2 )] = 0.

n→+∞


12

Do đó
d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) = 0.
Từ hai trường hợp trên ta có (x, y) = (x∗ , y ∗ ) và suy ra F có duy nhất một
điểm bất động bộ đôi.
1.2.7 Định lý ([10]). Với giả thiết của Định lý 1.2.4 thì với x0 , y0 trong X
mà so sánh được với nhau thì x = y.
Chứng minh. Giả sử x0 ≤ y0 . Ta sẽ chứng minh
xn ≤ yn , ∀n ∈ N.

(1.9)

Vì F có tính đơn điệu hỗn hợp nên với n = 1 ta có
x1 = F (x0 , y0 ) ≤ F (y0 , y0 ) ≤ F (y0 , x0 ) = y1 .
Giả sử xn ≤ yn . Ta cần chứng minh (1.9) đúng với n + 1. Thật vậy, ta có
xn+1 = F n+1 (x0 , y0 ) = F (F n (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ))

= F (xn , yn )
≤ F (yn , yn )
≤ F (yn , xn ) = yn+1 .
Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta kết luận được (1.9) đúng. Mặt khác,
từ (1.9) và điều kiện của phép co, ta có
d(x, y) ≤ d(x, xn+1 ) + d(xn+1 , yn+1 ) + d(yn+1 , y)
= d(x, xn+1 ) + d(F (F n (x0 , y0 ), F n (y0 , x0 )), F (F n (y0 , x0 ), F n (x0 , y0 )))
+d(yn+1 , y)
≤ d(x, xn+1 ) + d(F (yn , xn ), F (xn , yn )) + d(yn+1 , y)
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 )
2 + 2d(yn , xn )
+βd(xn , yn ) + d(yn+1 , y)
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 )
2
+β[d(xn , x) + d(y, yn )] + d(yn+1 , y) + βd(x, y).
Do đó,
2 + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )
2
+β[d(xn , x) + d(y, yn )] + d(yn+1 , y) → 0 với n → +∞.

(1 − β)d(x, y) ≤ d(x, xn+1 ) + αd(yn , yn+1 )


13

Vì 0 < β < 1 nên d(x, y) = 0, ta suy ra x = y
1.2.8 Định lý ([10]). Giả sử (X, ≤) là tập sắp thứ tự bộ phận và (X, d) là
một không gian mêtric đầy đủ, F : X 2 → X là một ánh xạ liên tục, có tính đơn

điệu hỗn hợp trên X sao cho tồn tại hai phần tử x0 , y0 ∈ X với
x0 ≤ F (x0 , y0 ) và y0 ≥ F (y0 , x0 ).
Giả sử tồn tại hai số không âm p và q với p + q < 1 sao cho
(a)

d(F (x, y), F (u, v)) ≤ p min{d(F (x, y), x), d(F (u, v), x)}
+q min{d(F (x, y), u), d(F (u, v), u)}
+ min{d(F (x, y), u), d(F (u, v), x)},

∀x, y, u, v ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v. Khi đó, F có điểm bất động bộ đôi trong X.
Chứng minh. Với x0 , y0 ∈ X thì
x0 ≤ F (x0 , y0 ) và y0 ≥ F (y0 , x0 ).

(1.10)

Ta xác định dãy {xn } và {yn } trong X sao cho
xn+1 = F (xn , yn ) và yn+1 = F (yn , xn ).

(1.11)

Ta cần chứng minh {xn } là dãy đơn điệu tăng và {yn } là dãy đơn điệu giảm, có
nghĩa là
xn ≤ xn+1 và yn ≥ yn+1 với mọi n = 0, 1, 2...

(1.12)

Với n = 0 thì từ (1.10) và (1.11), ta có
x0 ≤ F (x0 , y0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 ) mà x1 = F (x0 , y0 ), y1 = F (y0 , x0 ).
Suy ra x0 ≤ x1 , y0 ≥ y1 . Do đó, (1.12) đúng với n = 0.
Giả sử (1.12) đúng với n, tức là xn ≤ xn+1 và yn ≥ yn+1 . Ta sẽ chứng minh

(1.12) đúng với n + 1. Vì F có tính đơn điệu hỗn hợp, nên
xn+2 = F (xn+1 , yn+1 ) ≥ F (xn , yn+1 ) ≥ F (xn , yn ) = xn+1
và
yn+2 = F (yn+1 , xn+1 ) ≤ F (yn , xn+1 ) ≤ F (yn , xn ) = yn+1 .
Vậy, (1.12) đúng với mọi n ∈ N. Từ đó, ta có
x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ xn+1 ≤ ...


14

và
y0 ≥ y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn ≤ yn+1 ≥ ...
Từ xn+1 ≤ xn và yn+1 ≥ yn , và từ (a), ta có
d(F (xn , yn ), F (xn−1 , yn−1 )) ≤ p min{d(F (xn , yn ), xn ), d(F (xn−1 , yn−1 ), xn )}
+q min{d(F (xn , yn ), xn−1 ), d(F (xn−1 , yn−1 ), xn−1 )}
+ min{d(F (xn , yn ), xn−1 ), d(F (xn−1 , yn−1 ), xn )}.
Vì thế ta có
d(xn+1 , xn ) ≤ p min{d(xn+1 , xn ), d(xn , yn )}
+q min{d(xn+1 , xn−1 ), d(xn , xn−1 )}
+ min{d(xn+1 , xn−1 ), d(xn , yn )}.
Do đó
d(xn+1 , xn ) ≤ qd(xn , xn−1 ).

(1.13)

Tương tự, từ yn−1 ≥ yn , xn−1 ≤ xn và từ (a) ta có
d(F (yn−1 , xn−1 ), F (yn , xn )) ≤ p min d(F (yn−1 , xn−1 ), yn−1 ), d(F (yn , xn ), yn−1 )
+q min{d(F (yn−1 , xn−1 ), yn ), d(F (yn , xn ), yn )}
+ min{d(F (yn−1 , xn−1 ), yn ), d(F (yn , xn ), yn )}.
Vì thế ta có

d(yn , yn+1 ) ≤ p min{d(yn , yn−1 ), d(yn+1 , yn−1 )}
+q min{d(yn , yn ), d(yn+1 , yn )}
+ min{d(yn , yn ), d(yn+1 , yn−1 )}.
Do đó
d(yn+1 , yn ) ≤ pd(yn , yn−1 ).

(1.14)

Cộng (1.13) và (1.14) ta được
d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn ) ≤ qd(xn−1 , xn ) + pd(yn , yn−1 )
≤ (p + q)d(xn−1 , xn ) + (p + q)d(yn , yn−1 )
= (p + q)(d(xn−1 , xn ) + d(yn , yn−1 ))
= h(d(xn−1 , xn ) + d(yn , yn−1 )) với h = p + q < 1.


15

Ta đặt dn := d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn ). Khi đó dn ≤ hdn−1 , n = 1, 2, 3... Chứng
minh tương tự ta có dn−1 ≤ hdn−2 . Do đó, dn ≤ h2 dn−2 . Tương tự ta có
dn ≤ hdn−1 ≤ h2 dn−2 ≤ ... ≤ hn d0 .
Từ đó, suy ra
lim dn = lim (d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn )) = 0.

n→+∞

n→+∞

Do đó
lim d(xn+1 , xn ) = lim (d(yn+1 , yn ) = 0.

n→+∞

n→+∞

Với mọi m ≥ n, ta có
d(xm , xn ) ≤ (xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
và
d(ym , yn ) ≤ (yn , yn+1 ) + d(yn+1 , yn+2 ) + ... + d(ym−1 , ym ).
Cộng vế theo vế ta được
d(xm , xn ) + d(ym , yn ) ≤ dn + dn+1 + ... + dm−1
≤ (hn + hn+1 h + ... + hm−1 )d0
hn
d0 .
≤
1−h
Vì 0 < h < 1 nên
lim (d(xm , xn ) + d(ym , yn )) = 0.

m,n→+∞

Từ đó, suy ra {xn } và {yn } là dãy Cauchy trong X. Vì X là không gian mêtric
đầy đủ, nên tồn tại x, y ∈ X sao cho lim xn = x và lim yn = y. Từ (1.11),
n→+∞

n→+∞

ta có
x = lim xn = lim F (xn−1 , yn−1 ) = F ( lim xn−1 , lim yn−1 ) = F (x, y)
n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

và
y = lim yn = lim F (yn−1 , xn−1 ) = F ( lim yn−1 , lim xn−1 ) = F (y, x).
n→+∞

n→+∞

n→+∞

Do đó
x = F (x, y) và y = F (y, x).
Vậy, F có điểm bất động bộ đôi.

n→+∞


CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG
KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ ba của
các ánh xạ co có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric có thứ tự bộ
phận.
2.1. Sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các ánh xạ đơn điệu hỗn
hợp

Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ ba của các
ánh xạ đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận.
2.1.1 Định nghĩa ([3]). Cho (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận
và F : X 3 → X. Ánh xạ F được gọi là có tính đơn điệu hỗn hợp nếu với mọi
x, y, z ∈ X ta có
x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 suy ra F (x1 , y, z) ≤ F (x2 , y, z),
y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 suy ra F (x, y1 , z) ≥ F (x, y2 , z),
z1 , z2 ∈ X, z1 ≤ z2 suy ra F (x, y, z1 ) ≤ F (x, y, z2 ).
2.1.2 Định nghĩa ([3]). Cho F : X 3 → X. Một bộ (x, y, z) được gọi là
điểm bất động bộ ba của F nếu
F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y và F (z, y, x) = z.
2.1.3 Định nghĩa ([3]). Cho một không gian tích X 3 của một tập có thứ tự
bộ phận (X, ≤), ta định nghĩa thứ tự bộ phận như sau: Với mọi (x, y, z), (u, v, r) ∈

16


17

X 3 , thì
(x, y, z) ≤ (u, v, r) khi và chỉ khi x ≤ u, y ≥ v và z ≤ r.

(2.1)

Ta nói rằng (x, y, z) và (u, v, r) là so sánh được nếu
(x, y, z) ≤ (u, v, r) hoặc (u, v, r) ≤ (x, y, z).
Ngoài ra, ta nói rằng (x, y, z) bằng với (u, v, r) nếu và chỉ nếu x = u, y = v và
z = r.
2.1.4 Định nghĩa ([3]). Cho (X, d) là một không gian mêtric. Một ánh xạ
T : X → X được gọi là ánh xạ ICS nếu T đơn ánh, liên tục và với bất kỳ dãy

{xn } trong X, từ {T xn } hội tụ suy ra {xn } cũng hội tụ.
Kí hiệu Φ là tập của tất cả các hàm φ : [0, ∞) → [0, ∞) sao cho
1) φ là không giảm,
2) φ(t) < t với mọi t > 0,
3) lim+ φ(r) < t với mọi t > 0.
r→t

2.1.5 Định lý ([4]). Cho (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và
(X, d) là một không gian mêtric đầy đủ. Giả sử F : X 3 → X sao cho F có tính
đơn điệu hỗn hợp và tồn tại các hằng số j, r, l ≥ 0 với j + r + l < 1 sao cho
d(F (x, y, z), F (u, v, w)) ≤ jd(x, u) + rd(y, v) + ld(z, w),

(2.2)

với mọi x, y, z ∈ X mà x ≤ u, v ≤ y và z ≤ w. Giả sử hoặc là F liên tục hoặc
X có các tính chất sau:
1) Nếu một dãy không giảm xn → x, thì xn ≤ x với mọi n,
2) Nếu một dãy không tăng yn → y, thì y ≤ yn với mọi n.
Khi đó, nếu tồn tại x0 , y0 , z0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 )
và z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ), thì sẽ tồn tại x, y, z ∈ X sao cho F (x, y, z) = x, F (y, x, y) =
y và F (z, y, x) = z, nghĩa là F có một điểm bất động bộ ba.
2.1.6 Định lý ([3]). Cho (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và
(X, d) là một không gian mêtric đầy đủ. Giả sử T : X → X là một ánh xạ ICS
và F : X 3 → X sao cho F có tính đơn điệu hỗn hợp và tồn tại φ ∈ Φ sao cho
d(T F (x, y, z), T F (u, v, w)) ≤ φ(max{d(T x, T u), d(T y, T v), d(T z, T w)}) (2.3)


18

với mọi x, y, z ∈ X mà x ≤ u, v ≤ y và z ≤ w.

Giả sử
a) F liên tục, hoặc
b) X có các tính chất sau:
i) Nếu dãy không giảm xn → x, thì xn ≤ x với mọi n,
ii) Nếu dãy không tăng yn → y, thì yn ≥ y với mọi n.
Khi đó, nếu tồn tại x0 , y0 , z0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 )
và z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ), thì F có một điểm bất động bộ ba.
Chứng minh. Giả sử x0 , y0 , z0 ∈ X sao cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ), y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 )
và z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ). Đặt
x1 = F (x0 , y0 , z0 ), y1 = F (y0 , x0 , y0 ) và z1 = F (z0 , y0 , x0 ).

(2.4)

Tiếp tục quá trình này, ta có thể xây dựng dãy {xn }, {yn } và {zn } trong X sao
cho
xn+1 = F (xn , yn , zn ), yn+1 = F (yn , xn , yn ) và zn+1 = F (zn , yn , xn ).

(2.5)

Vì F có tính đơn điệu hỗn hợp nên sử dụng phép quy nạp toán học ta có
xn ≤ xn+1 , yn+1 ≤ yn , zn ≤ zn+1 , với n = 0, 1, 2...

(2.6)

Giả sử tồn tại n ∈ N sao cho
xn = xn+1 , yn = yn+1 và zn = zn+1 .
Khi đó, do (2.5) nên (xn , yn , zn ) là một điểm bất động bộ ba của F . Từ bây giờ,
giả thiết rằng với mọi n ∈ N ta có
xn = xn+1 hoặc yn = yn+1 hoặc zn = zn+1 .

(2.7)

Vì T là đơn ánh nên từ (2.7), với mọi n ∈ N ta có
0 < max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )}.
Từ (2.3) và (2.5) ta có
d(T xn , T xn+1 ) = d(T F (xn−1 , yn−1 , zn−1 ), T F (x, yn , zn ))
≤ φ(max{d(T xn−1 , T xn ), d(T yn−1 , T yn ), d(T zn−1 , T zn )}),
(2.8)


19

d(T yn+1 , T yn ) = d(T F (y, xn , yn ), T F (yn−1 , xn−1 , yn−1 ))
≤ φ(max{d(T yn−1 , T yn ), d(T xn−1 , xn ), d(T yn−1 , T yn )})
= φ(max{d(T yn−1 , T yn ), d(T xn−1 , T xn )})
≤ φ(max{d(T zn−1 , T zn ), d(T yn−1 , T yn ), d(T xn−1 , T xn )}),

(2.9)

và
d(T zn , T zn+1 ) = d(T F (zn−1 , yn−1 , xn−1 ), T F (z, yn , xn ))
≤ φ(max{d(T zn−1 , T zn ), d(T yn−1 , T yn ), d(T xn−1 , T xn )}),
(2.10)
Hơn nữa, vì φ(t) < t với mọi t > 0 nên từ (2.8) - (2.10), ta được
0 < max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )}
≤ φ(max{d(T zn−1 , T zn ), d(T yn−1 , T yn ), d(T xn−1 , T xn )}),

(2.11)

Từ đó, suy ra rằng

max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )}
< max{d(T zn−1 , T zn ), d(T yn−1 , T yn ), d(T xn−1 , T xn )}.
Như vậy, {max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )}} là một dãy các
số dương, giảm. Từ đó, tồn tại r ≥ 0 sao cho
lim max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )} = r ≥ 0.

n→+∞

Giả sử rằng r > 0. Trong (2.11), cho n → +∞ ta được
0 < r ≤ lim φ(max{d(T zn−1 , T zn ), d(T yn−1 , T yn ), d(T xn−1 , T xn )})
n→+∞

= lim+ φ(t) < r,

(2.12)

t→r

Đây là điều mâu thuẫn. Vậy ta kết luận được rằng
lim max{d(T xn , T xn+1 ), d(T yn , T yn+1 ), d(T zn , T zn+1 )} = 0.

n→+∞

(2.13)

Ta sẽ chứng minh rằng {T xn }, {T yn }, và {T zn } là các dãy Cauchy. Giả sử
ngược lại, có nghĩa là, {T xn }, {T yn }, hoặc {T zn } không phải là dãy Cauchy,
tức là,

20

lim

m,n→+∞

d(T xm , T xn ) = 0 hoặc
hoặc

lim

m,n→+∞

lim

m,n→+∞

d(T ym , T yn ) = 0

d(T zm , T zn ) = 0.

Khi đó, tồn tại ε > 0 sao cho ta có thể tìm được các dãy con của các số nguyên
dương (mk ) và (nk ) với nk > mk > k sao cho
max{d(T xmk , T xnk ), d(T ymk , T ynk ), d(T zmk , T znk )} ≥ ε.

(2.14)

Hơn nữa, tương ứng với mk ta có thể chọn nk sao cho nó là số nguyên nhỏ nhất
với nk > mk và thoả mãn (2.14). Khi đó,
max{d(T xmk , T xnk −1 ), d(T ymk , T ynk −1 ), d(T zmk , T znk −1 )} < ε.

(2.15)

Từ bất đẳng thức tam giác và (2.15), ta có
d(T xmk , T xnk ) ≤ d(T xmk , T xnk −1 ) + d(T xnk −1 , T xnk )
< ε + d(T xnk −1 , T xnk ).
Như vậy, do (2.13) ta có
lim d(T xmk , T xnk ) ≤ lim d(T xmk , T xnk −1 ) ≤ ε.

k→+∞

k→+∞

(2.16)

Tương tự, ta có
lim d(T ymk , T ynk ) ≤ lim d(T ymk , T ynk −1 ) ≤ ε,

(2.17)

lim d(T zmk , T znk ) ≤ lim d(T zmk , T znk −1 ) ≤ ε.

(2.18)

k→+∞

k→+∞

k→+∞

k→+∞

Lại từ (2.15), ta có
d(T xmk , T xnk ) ≤ d(T xmk , T xmk−1 ) + d(T xmk−1 , T xnk−1 ) + d(T xnk−1 , T xnk )
≤ d(T xmk , T xmk−1 ) + d(T xmk−1 , T xmk ) + d(T xmk , T xnk−1 )
+d(T xnk−1 , T xnk )
< d(T xmk , T xmk−1 ) + d(T xmk−1 , T xmk ) + ε + d(T xnk−1 , T xnk ).
Cho k → +∞ và sử dụng (2.13) ta nhận được
lim d(T xmk , T xnk ) ≤ lim d(T xmk −1 , T xnk −1 ) ≤ ε,

(2.19)

lim d(T ymk , T ynk ) ≤ lim d(T ymk −1 , T ynk −1 ) ≤ ε,

(2.20)

k→+∞

k→+∞

k→+∞

k→+∞


21

lim d(T zmk , T znk ) ≤ lim d(T zmk −1 , T znk −1 ) ≤ ε.

k→+∞

k→+∞

(2.21)

Sử dụng (2.14) và (2.19)-(2.21) ta có
lim max{d(T xmk , T xnk ), d(T ymk , T ynk ), d(T zmk , T znk )}

k→+∞

= lim max{d(T xmk −1 , T xnk −1 ), d(T ymk −1 , T ynk −1 ), d(T zmk −1 , T znk −1 )}
k→+∞

= ε.

(2.22)

Bây giờ sử dụng bất đẳng thức (2.3) ta được
d(T xmk , T xnk ) = d(T F (xmk −1 , ymk −1 , zmk −1 ), T F (xnk −1 , ynk −1 , znk −1 ))
≤ φ(max{d(T xmk −1 , T xnk −1 ), d(T ymk −1 , T ynk −1 ), d(T zmk −1 , T znk −1 )}),
(2.23)
d(T ymk , T ynk ) = d(T F (ymk −1 , xmk −1 , ymk −1 ), T F (ynk −1 , xnk −1 , ynk −1 ))
≤ φ(max{d(T ymk −1 , T ynk −1 ), d(T xmk −1 , T xnk −1 )}),

(2.24)

và
d(T zmk , T znk ) = d(T F (zmk −1 , ymk −1 , xmk −1 ), T F (znk −1 , ynk −1 , xnk −1 ))
≤ φ(max{d(T xmk −1 , T xnk −1 ), d(T ymk −1 , T ynk −1 ), d(T zmk −1 , T znk −1 )}).
(2.25)

Từ (2.23) - (2.25) ta suy ra
max{d(T xmk , T xnk ), d(T ymk , T ynk ), d(T zmk , T znk )}
≤ φ(max{d(T xmk −1 , T xnk −1 ), d(T ymk −1 , T ynk −1 ), d(T zmk −1 , T znk −1 )}).
(2.26)
Trong (2.26) cho k → +∞ và kết hợp với (2.22) ta được
0 < ε ≤ lim+ φ(t) < ε,
t→ε

Đây là điều mâu thuẫn. Như vậy, {T xn }, {T yn } và {T zn } là các dãy Cauchy
trong (X, d). Vì X là không gian mêtric đầy đủ nên {T xn }, {T yn } và {T zn } là
các dãy hội tụ. Vì T là ánh xạ ICS nên tồn tại x, y, z ∈ X sao cho
lim xn = x, lim yn = y, lim zn = z.

n→+∞

n→+∞

n→+∞

(2.27)


22

Vì T liên tục nên ta có
lim T xn = T x,

n→+∞

lim T yn = T y,

n→+∞

lim T zn = T z.

(2.28)

n→+∞

Bây giờ giả thiết rằng (a) được thoả mãn, tức là F liên tục. Từ (2.5), (2.27) và
(2.28) ta được
x = lim xn+1 = lim F (xn , yn , zn ) = F ( lim xn , lim yn , lim zn )
n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

= F (x, y, z),
y = lim yn+1 = lim F (yn , xn , yn ) = F ( lim yn , lim xn , lim yn )
n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

= F (y, x, y),
z = lim zn+1 = lim F (zn , yn , xn ) = F ( lim zn , lim yn , lim xn )
n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

= F (z, y, x).
Như vậy, F có một điểm bất động bộ ba là (x, y, z).
Tiếp theo, giả thiết rằng (b) được thoả mãn. Vì {xn }, {zn } là các dãy không
giảm với xn → x, zn → z và {yn } là dãy không tăng với yn → y nên theo giả
thiết (b) ta có xn ≤ x, yn ≥ y và zn ≤ z, với mọi n. Ta có
d(T x, T F (x, y, z)) ≤ d(T x, T xn+1 ) + d(T xn+1 , T F (x, y, z))
= d(T x, T xn+1 ) + d(T F (xn , yn , zn ), T F (x, y, z))
≤ d(T x, T xn+1 )
+φ(max{d(T xn , T x), d(T yn , T y), d(T zn , T z)}). (2.29)
Từ (2.28) suy ra vế phải của biểu thức (2.29) tiến đến 0 khi n → ∞. Vì vậy ta
nhận được d(T x, T F (x, y, z)) = 0. Như vậy, T x = T F (x, y, z). Vì T là đơn ánh,
nên x = F (x, y, z). Tương tự, ta có
F (y, x, y) = y và F (z, y, x) = z.
Vậy, F có một điểm bất động bộ ba là (x, y, z).

2.1.7 Hệ quả ([3]). Cho (X, ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận và
(X, d) là một không gian mêtric đầy đủ. Giả sử T : X → X là một ánh xạ ICS,
F : X 3 → X là ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp và tồn tại φ ∈ Φ sao cho
d(T F (x, y, z), T F (u, v, w)) ≤ φ

d(T x, T y) + d(T y, T v) + d(T z, T w)
3

với mọi x, y, z ∈ X mà x ≤ u, v ≤ y và z ≤ w.
Giả sử