SKKN- phương pháp mới giải bài toán so sánh một số với nghiệm của tam thức bậc hai, xếp bậc b , thành phố Hà nội

Sáng kiến kinh nghiệm
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I.MỞ ĐẦU
Đối với chương trình mới đại số lớp 10 nhằm giảm tải nên học sinh chỉ được
học về “dấu của nhị thức bậc nhất” và “dấu của tam thức bậc hai”, không
được học “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” nên khi lên lớp 12 học
về giải tích lớp 12, việc giải các bài toán tìm điều kiện để hàm số đồng biến
, nghịch biến trên một khoảng K cho trước thường gây lúng túng và khó
khăn cho học sinh khi làm bài . Nhiệm vụ của người giáo viên là giúp học
sinh biết liên hệ , phân tích tổng hợp để biết cách quy bài toán chưa biết cách
giải về bài toán quen thuộc đã biết cách giải .
Để góp phần giúp học sinh thực hiện tốt hơn việc giải các bài toán liên quan
đến bài toán “so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai” và có
phương pháp giải toán mới theo tinh thần đổi mới của sách giáo khoa tôi đã
chọn đề tài với nội dung “ Phương pháp mới để giải bài toán so sánh một
số với các nghiệm của tam thức bậc hai “ .
II.VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
1.Cơ sở thực tiễn của đề tài.
Trong chương trình toán THPT các bài toán liên quan đến so sánh một số
với các nghiệm của tam thức bậc hai chiếm một vị trí rất quan trọng . Chẳng
hạn như các bài toán “Tìm điều kiện để hàm số đồng biến , nghịch biến trên
một khoảng cho trước” , ”Tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình
có nghiệm trong một khoảng cho trước” ,…rất hay gặp trong các bài kiểm
tra, các bài thi tốt nghiệp và thi Đại học_Cao đẳng.Trong khi theo chương
trình sách giáo khoa mới học sinh chỉ được học kiến thức về dấu của tam
thức bậc hai chứ không được học định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai.
Như vậy thực tiễn đặt ra là phải có cách nhìn nhận và tiếp cận mới để đưa
việc giải các bài toán so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai về
bài toán xét dấu của tam thức bậc hai mà học sinh đã biết cách giải .
Năm học 2008-2009 là năm đầu tiên sách giáo khoa lớp 12 theo chương
trình mới được sử dụng.Thông qua việc trực tiếp giảng dạy và dự giờ đồng

nghiệp, tôi nhận thấy kiến thức về giải tích lớp 12 của học sinh còn hạn chế ,
các em rất lúng túng và gặp khó khăn khi giải những bài toán tìm điều kiện
để hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng cho trước (mà dấu của
đạo hàm y’ phụ thuộc vào dấu của tam thức f(
x
)
2
ax bx c= + +
,
0
≠
a
) . Điều
đó khiến tôi phải suy nghĩ và tìm tòi phương pháp giải mới phù hợp và dễ
hiểu đối với trình độ và kiến thức của học sinh .
Từ vấn đề được đặt ra như trên , tôi đã mạnh dạn áp dụng ,khai thác các bài
toán và cố gắng đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản mà học sinh đã
biết cách giải trong các tiết học bài tập và tự chọn của môn học và đã thu
được một số kết quả như mong muốn.
Hoàng Minh Quân _THPT Ngọc Tảo
1
Sáng kiến kinh nghiệm
2.Mục đích của đề tài .
Đối với chương trình toán Trung học phổ thông thì các bài tập có liên quan
đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai chiếm một số lượng
lớn trải dài từ lớp 10 đến lớp 12.Trong khi đó phương pháp sử dụng “định lí
đảo về dấu của tam thức bậc hai” là một công cụ rất mạnh để giải quyết các
bài toán này thì do giảm tải nên không được đưa vào sách giáo khoa.Điều
đó khiến cho không chỉ học sinh mà nhiều giáo viên cũng cảm thấy lúng
túng và khó khăn khi gặp các bài toán như vậy, họ chưa có công cụ hữu hiệu

để giải quyết một cách chung nhất cho các bài tập có liên quan đến so sánh
một số với các nghiệm của tam thức bậc hai . Đề tài này được viết ra với
mục đích nhằm giúp cho cả học sinh và giáo viên sẽ có một cách nhìn nhận
mới, một phương pháp mới giải quyết mọi vấn đề liên quan đến bài toán so
sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai mà không cần dùng “định
lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” . Đây cũng là một vấn đề được đông đảo
học sinh , giáo viên quan tâm và mong muốn được giải quyết.
3.Lịch sử của đề tài .
Năm học 2008-2009 là năm học đầu tiên học sinh được học sách giáo khoa
lớp 12 theo chương trình mới. Nhằm thực hiện giảm tải nên chương trình đại
số 10 cắt bỏ phần kiến thức “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” .Ở các
năm học trước đó do sử dụng sách giáo khoa chương trình cũ có phần kiến
thức“định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai” nên giáo viên và học sinh đã
có công cụ hữu ích để giải các bài toán có liên quan đến so sánh một số với
các nghiệm của tam thức bậc hai nên ít người nghĩ tới cần phải tìm một
phương pháp mới thay thế phương pháp sử dụng “định lí đảo về dấu của
tam thức bậc hai” vốn rất mạnh trong giải bài tập.Do đó bắt đầu sang năm
học 2008-2009 khi sử dụng sách giáo khoa theo chương trình mới nhiều giáo
viên và học sinh cũng đã cố gắng tìm tòi để tìm ra một phương pháp mới
thay thế phương pháp sử dụng “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai”
nhưng cũng chưa có ai đưa ra một phương pháp chung , dễ hiểu và gần gũi
với người học . Chính vì vậy sau nhiều thời gian nghiên cứu và thử nghiệm
tôi xin mạnh dạn đưa ra phương pháp giải mới có thể góp phần hữu ích giúp
cho việc dạy và học toán được tốt hơn.
4.Phạm vi sử dụng đề tài .
Đề tài được nghiên cứu nhằm sử dụng rộng rãi cho cả giáo viên và học sinh-
Những người quan tâm tới phương pháp giải toán về các bài toán liên quan
đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai.
Hoàng Minh Quân _THPT Ngọc Tảo
2

Sáng kiến kinh nghiệm
5.Quá trình thực hiện nghiên cứu
Năm học 2008-2009 là năm đầu tiên sách giáo khoa lớp 12 theo chương
trình mới được sử dụng. Thông qua việc trực tiếp giảng dạy và dự giờ đồng
nghiệp, tôi nhận thấy kiến thức về giải tích lớp 12 của học sinh còn hạn chế,
các em rất lúng túng và gặp khó khăn khi giải những bài toán tìm điều kiện
để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng cho trước (mà dấu của
đạo hàm y’ phụ thuộc vào dấu của tam thức f(
x
) =
cbxax ++
2
,
0
≠
a
). Điều
đó khiến tôi phải suy nghĩ và tìm tòi phương pháp giải mới phù hợp và dễ
hiểu đối với trình độ và kiến thức của học sinh.
Từ vấn đề được đặt ra như trên, tôi đã mạnh dạn áp dụng, khai thác các bài
toán và cố gáng đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản mà học sinh đã
biết cách giải trong các tiết học bài tập và tự chọn của môn học và đã thu
được một số kết quả như mong muốn.
6 Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu c ơ s ở lý luận lý thuyết về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu
của tam thức bậc hai đại số 10 .
- Đề xuất một phương pháp giải mới nhằm giải quyết những bài toán liên
quan đến so sánh nghiệm của tam thức bậc hai mà không sử dụng định lí đảo
về dấu của tam thức bậc hai.

Hoàng Minh Quân _THPT Ngọc Tảo
3
Sáng kiến kinh nghiệm
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.NỘI DUNG CẦN GIẢI QUYẾT.
Vấn đề cần giải quyết là hãy chỉ ra phương pháp giải các bài toán liên quan
đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai mà không sử dụng
phương pháp ”Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai”.
II.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định lí Viet
Nếu phương trình bậc hai
0
2
=++
cbxax
(
a
≠
0) (*) có hai nghiệm
21
, xx

thì
S =
a
b
xx
−

=+
21
,
p =
21
.xx
a
c
=
.
Nhận xét :
Cho phương trình bậc hai
0
2
=++
cbxax
(
a
≠
0) có hai nghiệm
21
, xx
(
21
xx
≤
) .Đặt S =
a
b
−

và P =
a
c
.Khi đó :
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu
⇔<<
21
0 xx
P <0.
+ Phương trình có hai nghiệm dương
21
0 xx
≤<


0
≥∆

⇔
S > 0
P >0
+Phương trình có hai nghiệm âm
0
21
<≤
xx


0
≥∆

⇔
S < 0
P > 0
2.Định lí về dấu của tam thức bậc hai :
Hoàng Minh Quân _THPT Ngọc Tảo
4
Sáng kiến kinh nghiệm

a > 0

0,
2
>++∈∀
cbxaxRx

⇔

<∆
0



0,
2
<++∈∀ cbxaxRx

⇔
a < 0

<∆
0
III.CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
1.DẠNG 1:
Tìm điều kiện để phương trình
0
2
=++
cbxax
(
0a
≠
) có hai nghiệm
21
, xx
thỏa mãn
21
xx
<<
α
.
Cách giải :
Ta đặt
α
−=
xt
.Khi đó bài toán dẫn đến tìm điều kiện để tam thức
0)(
=

tg
( với
)()(
α
+=
tftg
)có hai nghiệm
21
,tt
thỏa mãn
21
0 tt
<<
đã biết cách giải
Thí dụ 1 : Bài 58b (SGK Giải Tích 12 nâng cao,trang 56)
Cho hàm số
1
12
+
−
=
x
x
y
(H).
Với các giá trị nào của m, đường thẳng (
m
d
) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ
số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ

thị?
Lời giải:
TXĐ :D=R\{
1
−
}.
Phương trình của đường thẳng (
m
d
) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m
là :
2)2(
++=
xmy
.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (
m
d
) và đồ thị (H) là nghiệm của
phương trình :

1
12
22
+
−
=++
x
x
mmx

(
1
−≠
x
)

⇔
12)1)(22(
−=+++
xxmmx

⇔

0323
2
=+++
mmxmx
(1)
Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng
1
−=
x
nên
đường thẳng (
m
d
) cắt hai nhánh của (H) khi và chỉ khi phương trình (1) có 2
nghiệm
21
, xx

thỏa mãn
21
1 xx
<−<
.
Đặt
1
+=
xt
hay
1
−=
tx
phương trình (1) trở thành:

032)1(3)1(
2
=++−+−
mtmtm
Hoàng Minh Quân _THPT Ngọc Tảo
5
Sáng kiến kinh nghiệm
⇔

03
2
=++
mtmt
(2)
Bài toán đã cho trở thành tìm

m
để phương trình ( 2) có 2 nghiệm
21
,tt

thỏa mãn
21
0 tt
<<
hay
03
<
m

⇔
0
<
m
.
Vậy với
0
<
m
đường thẳng (
m
d
) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m cắt
đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
2.DẠNG 2:
Tìm điều kiện để phương trình

0
2
=++
cbxax
(
0a
≠
)có hai nghiệm
21
, xx
thỏa mãn
1 2
x x
α
< <
hoặc
1 2
x x
α
< <
.
Cách giải :
Ta đặt
α
−=
xt
. Khi đó bài toán dẫn đến tìm điều kiện để tam thức
0)(
=
tg

( với
)()(
α
+=
tftg
) có hai nghiệm
21
,tt
thỏa mãn
1 2
0 t t< <
hoặc
(
1 2
0t t< <
) đã biết cách giải .
Thí dụ 2 Bài 63c (SGK Giải Tích 12 nâng cao, trang 57).
Cho hàm số
12
2
+
+
=
x
x
y
(H)
Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng
1
−+=

mmxy
cắt đường cong (H)
tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).
Lời giải :
TXĐ D=R\{
2
1
−
}
Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm
của phương trình :

=−+
1mmx
12
2
+
+
x
x

⇔

2)12)(1(
+=+−+
xxmmx

⇔

2

2 3( 1) 3 0mx m x m+ − + − =
(1)
Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng
2
1
−
=
x
nên
đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh
khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm
21
, xx
thỏa mãn

1 2
1
2
x x
−
< <
hoặc
1 2
1
( )
2
x x
−
< <
Đặt

2
1
+=
xt
hay
2
1
−=
tx
phương trình (1) trở thành :

2
1 1
2 ( ) 3( 1)( ) 3 0
2 2
m t m t m− + − − + − =
Hoàng Minh Quân _THPT Ngọc Tảo
6