TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

`

c

c

CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY

3

1.

Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) .............................. 3

2.

Phân loại cơ học phá hủy ........................................................................ 5

3.

các dạng phá hủy (Fracture modes) ........................................................ 6

4.

Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cƣờng độ ứng suất ................ 7
4.1Bài toán Westergaard ........................................................................ 7
4.2Hệ số cƣờng độ ứng suất ................................................................... 7
4.3Trƣờng ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt ........................... 8
4.4Sự phụ thuộc của hệ số cƣờng độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt
và phụ tải................................................................................................. 9
4.5Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất ........................................................... 11

5.

6.

Năng lƣợng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lƣợng giải phóng ........ 11
5.1.

Cân bằng năng lƣợng trong vết nứt ........................................... 11

5.2.

Lý thuyết Griffith ...................................................................... 12

5.3.

Tỷ lệ giải phóng năng lƣợng G.................................................. 14

5.4.

Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai ....................................................... 14

5.5.

Mối quan hệ giữa K và G .......................................................... 15

Tích phân J – Tỷ lệ năng lƣợng giải phóng phi tuyến .......................... 15
6.1.

Định nghĩa ................................................................................. 15

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

6.2.

Tỷ lệ năng lƣợng giải phóng phi tuyến. .................................... 16

6.3.

Sự bất biến của tích phân J ........................................................ 18

6.4.

Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba ........................................................ 19

6.5.

Mối quan hệ giữa J,K và G ........................................................ 19

CHƢƠNG II: PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1.

19

Giới thiệu về phƣơng pháp phần tử hữu hạn......................................... 19
1.1Khái niệm chung.............................................................................. 19
1.2Nội dung của phƣơng pháp ............................................................. 20
1.1Trình tự phân tích bài toán theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn ..... 21
1.2Hàm xấp xỉ - Phép nội suy .............................................................. 24

2.

Các phƣơng trình cơ bản của phƣơng pháp PTHH ............................... 29
2.1Ma trận độ cứng phần tử , véc tơ tải phần tử................................... 29
Giải bài toán hệ thanh bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn......... 32

3.

Các phần tử cơ bản ............................................................................. 38
1. Giới thiệu chung............................................................................. 38
2.

ột số phần tử cơ bản và tính chất của chúng ........................... 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

46

Trang 2


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

CHƢƠNG I: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY
1. Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)
Phá huỷ là vấn đề mà xã hội phải đối mặt kể từ khi con ngƣời bắt đầu xây dựng
những kiến trúc.Ngày nay vấn đề này thực sự trở nên quan trọng hơn nhiều bởi sự ảnh

hƣởng của phá hủy là rất lớn do sự phụ thuộc của con ngƣời ngày càng nhiều vào khoa
học kĩ thuật và máy móc
May mắn thay, sự tiến bộ trong lĩnh vực cơ học phá huỷ đã và đang giúp chúng ta
giảm thiểu đáng kể các nguy hiểm tiềm ẩn gây ra bởi sự phá hủy của các kết cấu trong
các công trình, máy móc…Nhiệm vụ của môn Cơ học phá hủy là tìm ra nguyên nhân tại
sao vật liệu bị phá huỷ và khả năng ngăn chặn, bảo vệ đƣợc sự phá huỷ của các kết cấu
đó.
Cơ học phá hủy là một lĩnh vực của cơ học, chuyên nghiên cứu sự hình thành của
vết nứt trên vật liệu của kết cấu. Cơ học phá hủy là một lĩnh vực đóng vai trò quan
trọng trong việc cải thiện hiệu suất cơ học của vật liệu và các thành phần cơ học của kết
cấu. Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu về độ
bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt. Cho phép định
lƣợng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của các vết nứt có thể
gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt. Nó sử dụng các phƣơng pháp
phân tích cơ học vật rắn để tính toán động lực trên một vết nứt và những thử nghiệm
của cơ học vật rắn để mô tả đặc điểm chống lại phá hủy kết cấu (theo [1]).
Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các kết cấu cơ học chứa khuyết tật hình học
nhƣ các liên kết bằng ren, khe hở của chi tiết trục, răng của bánh răng… Kích thƣớc và
hình dạng của chúng đóng vai trò quan trọng bởi vì chúng xác định độ bền của cấu trúc
vật liệu. Thông thƣờng, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc có chứa các khuyết tật
bị ảnh hƣởng bởi hai yếu tố: ứng suất và độ bền uốn. Tuy nhiên, cách tiếp cận này
thƣờng sẽ cho kết quả không chính xác nếu khuyết tật có đặc trƣng hình học lớn. Để
giải thích điểm này, chúng ta hãy xem xét các trƣờng hợp sau (hình 1):

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 3


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Hình 1.1 Các mẫu thử có và không có vết nứt
Tất cả các mẫu có cùng độ dày. Các lực cần thiết để phá vỡ bốn mẫu đƣợc sắp xếp theo
thứ tự sau: F4 < F3 < F1 < F2
Rõ ràng, các kích thƣớc của các khuyết tật ở các mẫu C và D ảnh hƣởng lớn đến độ bền
của mẫu, làm giảm độ bền của mẫu.
Phƣơng pháp tiếp cận thông thƣờng này đƣợc gọi là tiếp cận sức bền vật liệu
So với phƣơng pháp tiếp cận sức bền vật liệu, phƣơng pháp cơ học phá hủy
(Fracture mechanics) bị ảnh hƣởng bởi ba yếu tố: ứng suất, kích thƣớc phá hủy và độ
bền phá hủy. Trong phƣơng pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốn phù
hợp tính chất vật liệu. nhiệm vụ của cơ học phá hủy là phải xác định giới hạn của ba
yếu tố trên. Hình 3 cho thấy sự khác biệt giữa cách tiếp cận cơ học phá hủy với cách
tiếp cận sức bền vật liệu.
Ứng suất

Độ bền uốn
a) Phƣơng pháp tiếp cận sức bền vật liệu
Ứng suất

Độ bền phá hủy

Kích thƣớc phá hủy

b) Phƣơng pháp tiếp cận cơ học phá hủy
Hình 1.2 So sánh phương pháp Fracture Mechanics với phương pháp tiếp cận Sức bền
vật liệu

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 4

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
2. Phân oại cơ học phá hủy
Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể đƣợc
chia thành cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính-Linear Elastic Fracture Mechanics
(LEFM) và cơ học phá hủy đàn hồi dẻo-Elasto Plastic Fracture Mechanics (EPFM).
LEFM đƣợc áp dụng để tính toán cho các vật liệu có tính đàn hồi không biến dạng (đàn
hồi tuyến tính), chúng bị phá hủy khi chƣa xảy ra biến dạng hoặc biến dạng còn nhỏ,
với các vật liệu nhƣ: thép cƣờng độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bê tông...LEFM cho kết
quả tính toán có độ chính xác khá cao. Tuy nhiên, đối với vật liệu dễ uốn nhƣ thép
carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính dẻo luôn xảy ra trƣớc phá
hủy. Tuy nhiên, khi tải trọng nhỏ, LEFM vẫn cho kết quả gần đúng. EPFM đƣợc áp
dụng cho để tính toán cho các kết cấu có vật liệu có tính chất đàn hồi-dẻo . EPFM là
trƣờng hợp mà khi xuất hiện vết nứt, vật liệu đã có sự biến dạng (chảy dẻo).
Dựa theo tính chất của vật liệu của kết cấu Cơ học phá hủy đƣợc chia thành các
dạng sau:
-

Vật liệu có tính chất độc lập tuyến tính theo thời gian ( Linear time –
independent materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính

-

Vật liệu có tính chất độc lập phi tuyến theo thời gian ( Nonlinear time –
independent materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi phi tuyến

-

Vật liệu có tính chất thay đổi theo thời gian ( Time – dependent materials) :

Động lực học cơ học phá hủy, cơ học phá hủy nhớt đàn hồi, cơ học phá hủy
nhớt dẻo
 Độ bền của tổ chức vết nứt

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 5


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Hình 1.3 Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu thử kim loại
3. các dạng phá hủy (Fracture modes)
Trong kỹ thuật ta thƣờng gặp ba chế độ phá hủy cơ bản

Hình 1.4 Ba chế độ phá hủy cơ bản
 Dạng mở rộng (mode I) các bề mặt phá hủy bị tách theo phƣơng Y
 Dạng trƣợt (mode II) các bề mặt trƣợt lên nhau theo phƣơng X.
 Dạng trƣợt xoay (mode III) các bề mặt trƣợt lên nhau và xé ra theo phƣơng Z.

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 6


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên. Trong đó chế
độ I là loại phổ biến nhất thƣờng gặp trong hƣ hỏng kỹ thuật.
4. Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cƣờng độ ứng suất
4.1 Bài toán Westergaard

Khi vết nứt xuất hiện, tại vùng gần đỉnh của vết nứt có xuất hiện ứng suất tập
trung, để biểu thị cho mức độ tập trung của ứng suất tại vùng gần đỉnh của vết nứt
ngƣời ta dùng hệ số K đƣợc gọi là hệ số cƣờng độ ứng suất
Xét bài toán khe nứt elip trong tấm phẳng có kích thƣớc lớn vô hạn
(Westergaard):
√

(

) (1.1)

√

(

) (1.2)

√

(1.3)

r – là khoảng cách từ đỉnh vết nứt tới
phân tố đang xét
– là góc hợp bởi r và trục x

4.2 Hệ số cƣờng độ ứng suất
Hệ số cƣờng độ ứng suất là đại lƣợng đặc trƣng cho mức độ tập trung ứng suất tại
vùng gần đỉnh vết nứt và đƣợc xác định bằng công thức sau:
{ }
Với

√

{

}

(1.4)

là các ứng suất gần đỉnh vết nứt, tƣơng ứng với 3 dạng phá hủy ta sé cố

các hệ số cƣờng độ ứng suất KI, KII, KIII
Kết hợp (1.1) và (1.4) với

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

ta có:

Trang 7

√

√

√

√

(1.5)

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Kết quả (1.5) chỉ đúng trong trƣờng hợp tấm phẳng vô hạn, đới với trƣờng hợp
tấm phẳng hữu hạn với các mô hình nứt khác nhau thì :
KI =
Với

√

(1.6)

là hàm phụ thuộc vào các dạng mô hình nứt khác nhau.

4.3 Trƣờng ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt
 Dạng phá hủy I :
Trƣờng ứng suất
(

√

)

(1.7)
(

√

)

(1.8)

√

(1.9)
Trƣờng chuyển vị
√
√

*

+

(1.10)

*

+

(1.11)

(

)

(1.12)

 Dạng phá hủy II :
Trƣờng ứng suất
√

(

√

)

(1.13)
(1.14)

√

Trƣờng chuyển vị
√

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 8

*

+

(1.15)


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

√

*

+

(1.16)

Đối với phá hủy dạng I và II,
Trong trƣờng hợp ứng suất phẳng
Trong trƣờng hợp biến dạng phẳng.
là modun đàn hồi trƣợt.
trong trƣờng hợp ứng suất phẳng.
trong trƣờng hợp biến dạng phẳng.
 Dạng phá hủy III :
Trƣờng ứng suất
(1.17)

√

(1.18)

√

(1.19)
Trƣờng chuyển vị
√

(1.20)
(1.21)

Ngoài ra, trƣờng ứng suất và trƣờng chuyển vị còn đƣợc biểu diễn dƣới dạng tọa
độ cực. Với mô hình nứt dạng hỗn hợp ta áp dụng nguyên lý chồng chập tuyến tính
trong hệ tọa độ vuông góc hay hệ tọa độ cực để tính.

4.4 Sự ph thuộc của hệ số cƣờng độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt và ph
tải.
 Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục
√

(1.22)
( )

( )
GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 9

( )

( )
(1.23)


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

 Tấm phẳng với hai vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục
√

(1.24)
( )

( )

( )

(1.25)

 Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
√

(1.26)

√

( )

(

)

( )
(1.27)

 Tấm phẳng với vết nứt nghiêng, bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
√
√
√

(1.28)
(1.29)
( )

( )

( )

(1.30)

 Tấm phẳng với vết nứt biên chịu tải tập trung ở giữa và hai gối tự

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 10


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

(1.31)

√
(
(

)√
)(

)

,

*

+-

(1.32)

Với B là chiều dày của tấm
4.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất
Theo lý thuyết cơ bản về tuyến tính, ứng suất tại đỉnh của vết nứt là vô cùng
nhƣng trong thực tế, luôn có vùng chảy dẻo tại đỉnh của vêt nứt ở đó giới hạn một ứng
suất có giá trị hữu hạn. Rất khó khăn để mô hình và tính toán ứng suất thực tế trong
vùng chảy dẻo và so sánh chúng với giá trị ứng suất cho phép lớn nhất của vật liệu để
xác định liệu rằng một vêt nứt có phát triển hay không.
Một kỹ thuật tiếp cận là thực hiện một loạt các thí nghiệm đê tìm ra một giá trị hệ
số cƣờng độ ứng suất Kc (Kc là một đặc tính của vật liệu đặc trƣng cho sự chống lại sự
phá hủy của vật liệu) tƣơng ứng với mỗi vật liệu. Kc đƣợc gọi là độ bền phá hủy của vật
liệu. một vật đƣợc xác định khả năng nứt bằng cách so sánh Ki với Kci tƣơng ứng
(i=I,II,III). Sự phá hủy xảy ra khi Ki Kci
5. Năng ƣợng cân bằng trong vết nứt, Tỉ ệ năng ƣợng giải phóng
5.1. Cân bằng năng ƣợng trong vết nứt
Sự khác biệt giữa một khối nứt và một khối không nứt là sự suất hiện thêm các bề
mặt do sự xuất hiện các vết nứt . Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) sẽ tiêu thụ
năng lƣợng từ các bề mặt mang năng lƣợng cao hơn năng lƣợng của chi tiết và giải
phóng ra năng lƣợng. Sau đó quá trình nứt có tiếp tục diễn ra hay không còn phụ thuộc
vào việc nó có chứa đủ năng lƣợng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân
bằng của nó. Nói cách khác quá trình nứt diễn ra khi xảy ra sự mất cân bằng năng lƣợng
giữa các bề mặt với năng lƣợng của bản thân kết cấu, chi tiết.

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 11


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Theo định luật bảo toàn năng lƣợng: Công thực hiện trong một đơn vị thời gian do
.

tác dụng của tải trọng ( W ) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi nội năng đàn hồi (internal
elastic energy) ( ̇ ), năng lƣợng biến dạng dẻo ( ̇ ), động năng (kinetic energy) ( ̇ )
của vết nứt, và năng lƣợng cần thiết để tăng vết nứt cho một đơn vị thời gian ( ̇ ). Nói
cách khác (theo [1]).
.

.

.

.

.

W  UE UP  K  

(1.33)
.

Nếu quá trình nứt xảy ra chậm, động năng K là không đáng kể ( K  0 ). Hơn nữa, vì
tất cả thay đổi đều liên quan đến thời gian đƣợc gây ra bởi những thay đổi kích thƣớc
các vết nứt, chúng ta có:

 A


A
t A t
A

(1.34)

với A là diện tích vết nứt. Do vậy phƣơng trình (1.33) có thể đƣợc viết lại nhƣ sau:


 U P 


A
A A

(1.35)

Ở đây,   U E  W là thế năng của hệ.
Phƣơng trình (1.35) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lƣợng tiêu tan trong kết
cấu dẻo và tạo ra bề mặt.
5.2. Lý thuyết Griffith
Theo định luật nhiệt động lực học đầu tiên, khi một hệ chuyển từ trạng thái không
cân bằng sang trạng thái cân bằng sẽ có sự suy giảm năng lƣợng. Griffith áp dụng ý
tƣởng này để giải thích sự hình thành vết nứt. Một vết nứt có thể hình thành nếu có một
quá trình nào đó làm cho tổng năng lƣợng suy giảm hoặc cònlại mộtgiátrị hằng số. Do
đó điều kiện cần thiết để định nghĩa một khe nứt tồntại dƣới điều kiện cân bằng là
không có sự thay đổi trong tổng năng lƣợng

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 12

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Xét một tấm phẳng chịu ứng suất đều và có một khe
nứt chiều dài 2a. Giả thiết rằng chiều rộng của tấm phẳng
rất lớn so với chiều dài 2a của khe nứt và điều kiện ở đây
là ứng suất phẳng. Để khe nứt có thể tăng trƣởng kích
thƣớc thì thế năng có trong tấm phẳng phải vƣợt qua năng
lƣợng bề mặt của vật liệu. Thuyết cân bằng năng lƣợng của
Griffith cho sự tăng trƣởng của vùng nứt dƣới điều kiện
cân bằng đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
(1.36)
Hay:

(1.37)

Trong đó A là diện tích mặt nứt, E là tổng năng lƣợng, П là thế năng đƣợc cung
cấp bởi nội năng biến dạng và ngoại lực, và Ws là công cần thiết tạo ra bề mặt mới.
Đối với tấm phẳng nứt trong hình trên, Griffith sử dụng phƣơng pháp phân tích
ứng suất của Inglish để chỉ ra
(1.38)
Với П0 là thế năng của tấm phẳng khi chƣa nứt và B là độ dày tấm phẳng. Do sự
hình thành khe nứt đòi hỏi sự tạo thành của hai mặt phẳng nên Ws đƣợc cho bởi:
(1.39)
Với γS là năng lƣợng bề mặt của vật liệu.
Ta có:

(1.40)
(1.41)

Và ta cũng có :

(1.42)

Từ (1.41) và (1.42) ta tìm đƣợc ứng suất gây nứt :

(1.43)

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 13


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Phƣơng pháp Griffith cũng có thể dùng để áp dụng tính toán cho các mô hình nứt
khác.
5.3. Tỷ lệ giải phóng năng ƣợng G
Đối với một vật liệu giòn lý tƣởng (vật liệu tuyến tính đàn hồi), năng lƣợng tiêu
tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và có thể đƣợc bỏ qua ( ̇ =0). Do vậy, năng
lƣợng để mở rộng một đơn vị của bề mặt vết nứt G có thể đƣợc xác định (theo [1]):
G

 

A A

(1.44)

Phƣơng trình trạng thái cân bằng ở trên có nghĩa là thế năng trong vật thể cần phải
thắng năng lƣợng bề mặt của vật liệu (năng lƣợng cần thiết để vết nứt lớn thêm ra). G
còn đƣợc gọi là tỷ lệ giải phóng năng lƣợng đàn hồi hay độ cứng chống phá hủy.

Theo công thức (1.41) tỷ lệ giải phóng năng lƣợng trong mô hình nứt trên là:
(1.45)
Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, với một vật thể có tải trọng không đổi luôn tuân
theo quy luât(theo định lý Clapeyron):
W  2U E

(1.46)

và kết hợp với (1.33) ( ̇ =0), do đó phƣơng trình (1.44) có thể đƣợc viết lại nhƣ sau:
G

U E
A

(1.47)

Ý nghĩa vật lý đầy đủ của tỷ lệ giải phóng năng lƣơng G là nó biểu thị năng lƣợng
trên một đơn vị diện tích sẽ đƣợc giải phóng nếu vết nứt phát triển. Lƣu ý rằng phƣơng
trình chỉ đúng khi vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính. Nếu vật thể đàn hồi phi tuyến hoặc
có tính dẻo đáng kể, phƣơng trình không còn giá trị
5.4. Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai
Vết nứt sẽ phát triển khi G tiến đến hoặc vƣợt một giá trị cực đại Gc:
GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 14


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

(1.48)

Gc đƣợc gọi là độ bền phá hủy của vật liệu theo tiêu chuẩn năng lƣợng .
5.5. Mối quan hệ giữa K và G
-

Với mô hình phá hủy dạng I và II
(1.49)
(1.50)

Với

=E

trong trƣờng hợp ứng suất phẳng.
trong trƣờng hợp biến dạng phẳng.

-

Với mô hình phá hủy dạng III
(1.51)

Hay viết dƣới dạng tổng quát
(1.52)
6. Tích phân J – Tỷ ệ năng ƣợng giải phóng phi tuyến
6.1. Định nghĩa
Nhƣ ta đã biết, hai phƣơng pháp tiếp cận trên chỉ cho kết quả chính xác đối với
các trƣờng hợp vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính hoặc sự chảy dẻo xảy ra trong giới hạn
nhỏ. Khi đó các hệ số K và G mới có thể mô tả trạng thái ứng suất của vùng gần đỉnh
vết nứt. Tuy nhiên với các vật liệu có độ bền cao mà vùng chảy dẻo tại đỉnh vết nứt lớn
thì khi đó các hệ số K và G không còn chính xác trong việc mô tả sự ứng xử đàn dẻo
của loại vật liệu này.

Để xác định đƣợc đại lƣợng năng lƣợng sao cho mô tả chính xác ứng xử đàn dẻo
của vật liệu có độ bền cao, ngƣời ta đƣa ra một cách tiếp cận khác đó là tích phân J (JIntegral). Tích phân J là một loại tích phân đƣờng đƣợc James Rice nghiên cứu và phát

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 15


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
triển do sự khó khăn trong việc tính toán ứng suất đối với các vết nứt kín trong vật liệu
đàn hồi phi tuyến (nonlinear elastic) hay vật liệu đàn hồi dẻo (elastic plastic)
Xét mô hình với vêt nứt bị bao quanh bởi biên dạng tùy ý

có chiều ngƣợc chiều

kim đồng hồ. Tích phân J đƣợc xác định nhƣ sau :
∫ (

)

(1.53)

Với : w – mật độ năng lƣợng biến dạng
– thành phần vector lực tác dụng đều
– thành phần vector chuyển vị
– phần tử vi phân dọc theo biên
-

Trong đó mật độ năng lƣợng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
∫

ở đây,
-

và

(1.54)

là các tensor ứng suất và biến dạng.

Các thành phần vector lực tác dụng đều đƣợc tính nhƣ sau:
(1.55)

Với

là các thành phần vector pháp tuyến của biên dạng

6.2. Tỷ lệ năng ƣợng giải phóng phi tuyến.
Xét một vết nứt hai chiều đƣợc bao quanh bởi
biên Г. Bên trong là vùng diện tích Ω.Bỏ qua sự tác
dụng của lực thể tích, thế năng đƣợc cho bởi công thức
sau:
∫

∫

(1.56)

Khi vết nứt phát triển, sự thay đổi của thế năng
nhƣ sau :

∫ (

∫
∫

∫ (

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

)
)

Trang 16

(1.57)
∫ (

)

(1.58)


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Do

= 0 trên miền chuyển vị bị ràng buộc

=0 và

=0 trên miền chịu tác

dụng của áp lực nên công thức (1.58) đƣợc viết lại nhƣ sau :

∫

∫

(1.59)

Và do một số thành phần tích phân bị triệt tiêu nên công thức(1.59)có thể đƣợc
viết lại trên toàn biên Гnhƣ sau :

∫

∫

(1.60)

Ta có :

(1.61)

Do khi vết nứt phát triển một đoạn a thì :

(1.62)

Thế phƣơng trình (1.61) vào phƣơng trình (1.60), dẫn đến :

∫

∫

(1.63)

Mặt khác, từ công thức tính mật độ năng lƣợng biến dạng (1.54) ta có :

∫

(1.64)

Mặt khác ta cũng có :

(1.65)

Các thành phần biến dạng đƣợc cho bởi công thức :

(1.66)

Thay (1.66) vào (1.65) ta đƣợc :

[

(

)

Do dó:
Áp dụng công thức Green:
GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

(

)]

(

)

∫

Trang 17

(

)

(1.67)
(1.68)

∫

(1.69)


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Suy ra: ∫

∫

∫

(1.70)

Thế phƣơng trình (1.68) vào phƣơng trình (1.70) ta có:

∫

∫

(1.71)

Thế phƣơng trình (1.71) vào phƣơng trình (1.63), phƣơng trình (1.63) trở thành:

∫

∫

(1.72)

Áp dụng công thức Green và nhân 2 vế cho (-1) ta đƣợc:

∫ (

)

∫ (

(1.73)

)

Với

(1.74)
(1.75)

Nhƣ vậy từ phƣơng trình (1.74) ta có :

=

(1.76)

Do đó tích phân J đƣợc xem nhƣ là tỷ lệ giải phóng năng lƣợng phi tuyến
6.3. Sự bất biến của tích phân J
Tích phân J đƣợc xem là một đƣờng độc lập khi :
-

Không có lực thể tích bên trong miền lấy tích phân.

-

Không có áp lực lên mặt vết nứt.

-

ứng xử của vật liệu là đàn hồi (tuyến tính hoặc phi tuyến).

-

Trong trƣờng hợp có lực thể tích hoặc có áp lực lên mặt vêt nứt thì một vài
thông số khác phải đƣợc thêm vào tích phân

Tích phân J =0 đối bất kỳ đƣờng biên kín, đối với tích phân đƣờng biên bao quanh
vết nứt,lúc này tích phân J sẽ khác 0 và trở thành tích phân đƣờng độc lập.

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 18


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
6.4. Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba
Cũng giống nhƣ hai tiêu chuẩn phá hủy trên, khi giá trị của tích phân J vƣợt quá
một giá trị cực đại Jc

. Jc cũng đƣợc coi nhƣ độ bền phá hủy theo tiêu chuẩn

năng lƣợng đối với vật liệu đàn hồi dẻo.
6.5. Mối quan hệ giữa J,K và G
Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính, tích phân J cũng giống nhƣ tỷ lệ năng lƣợng
giải phóng G, cả hai đều có mối liên hệ với hệ số cƣờng độ ứng suất nhƣ sau :
{
CHƢƠNG II: PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1. Giới thiệu về phƣơng pháp phần tử hữu hạn
1.1 Khái niệm chung
Trong cơ học vật rắn, với các kết cấu phức tạp việc giải các bài toán cơ học chúng
ta thƣờng gặp các bài toán yêu cầu xác định trƣờng giá trị của một hay nhiều đại lƣợng
nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng…) trong một miền xác định. Khi xây dựng mô
hình toán học cho kết cấu thực tế thƣờng nhận đƣợc một hay một hệ phƣơng trình vi

phân. Với miền xác định, điều kiện biên và các ngoại lực phức tạp thì việc giải quyết
bài toán bằng phƣơng pháp giải tích là không khả thi mà cần phải sử dụng các phƣơng
pháp số nhƣ phương pháp sai phân hữu hạn,phần tử hữu hạn, phần tử biên…
Trong các phƣơng pháp trên, phƣơng pháp phần tử hữu hạn là một phƣơng pháp
mạnh trong việc phân tích kết cấu cơ học.
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phƣơng pháp số, đặc biệt có
hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chƣa biết trong miền xác định V của nó
dựa trên ý tƣởng chia một vật thể phức tạp thành các phần tử nhỏ có kết cấu đơn giản.
Cơ sở của phƣơng pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp của bài
toán. Các miền liên tục đƣợc chia thành nhiều miền con V j (phần tử). Các miền này
đƣợc liên kết với nhau bởi các điểm nút. Trên miền con này, dạng biến phân tƣơng

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 19


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
đƣơng với bài toán đƣợc giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trên từng phần tử, thoả
mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử.
Các hàm xấp xỉ này đƣợc biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo
hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này đƣợc gọi là các bậc tự do của phần tử
và đƣợc xem là ẩn số cần tìm của bài toán.
Ƣu điểm của phƣơng pháp phần tử hữu hạn là có thể dùng nó để giải các bài toán
kĩ thuật phức tạp, dễ dàng công thức hóa và số hóa bài toán kỹ thuật, có thể ứng dụng
để giải các bài toán phi tuyến. Đồng thời . Phƣơng pháp PTHH có các bƣớc giải đƣợc
hệ thống hóa rõ ràng nên đƣợc ứng dụng rộng rãi. Tuy nhiên nhƣợc điểm của phƣơng
pháp PTHH là kết quả tìm đƣợc chỉ mang tính xấp xỉ và phụ thuộc vào các dạng phần
tử và mật độ các phần tử đƣợc chọn. Để khắc phục những nhƣợc điểm này ta có thể áp
dụng các phƣơng pháp kiểm tra nhƣ tính toán lại bằng tay hay dùng thí nghiệm kiểm

chứng lại.
1.2 Nội dung của phƣơng pháp
Để giải một bài toán biên trong miền V, ta chia thành một số hữu hạn các miền
(e = 1,..., n) sao cho hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung

con

nhau đỉnh hoặc các cạnh. Mỗi miền con

đƣợc gọi là một phần tử hữu hạn.

Ngƣời ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gian hữu
hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền V. Có thể
chọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x),..., ψn(x) có giá trị trong một số
hữu hạn phần tử

ở gần nhau. Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu đƣợc tìm dƣới

dạng:
c1ψ1(x) + ... + cnψn(x)
trong đó các ck là các số cần tìm.
Thông thƣờng ngƣời ta đƣa việc tìm các ck về việc giải một phƣơng trình đại số
với ma trận thƣa (chỉ có các phần tử trên đƣờng chéo chính và trên một số đƣờng song
song nằm sát với đƣờng chéo chính là khác không) nên dễ giải. Có thể lấy cạnh của các
phần tử hữu hạn là đƣờng thẳng hoặc đƣờng cong để xấp xỉ các miền có dạng hình học
GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 20

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
phức tạp. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúng các bài toán biên
tuyến tính, phi tuyến và các bất phƣơng trình.
Thông thƣờng với bài toán cơ vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ý nghĩa vật
lý của hàm xấp xỉ, ngƣời ta có thể phân tích bài toán theo 3 dạng mô hình sau:
 Trong mô hình tƣơng thích: Ngƣời ta xem chuyển vị là đại lƣợng cần tìm trƣớc
và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phân tử.
Các ẩn số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình đƣợc thiết lập trên cơ sở nguyên lý
thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange.
 Theo mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ đƣợc biểu diễn dạng gần đúng phân bố
của ứng suất hay nội lự trong phần tử. Các ẩn số đƣợc xác định từ hệ phƣơng
trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lƣợng hệ toàn phần dừng hay nguyên lý
biến phân về ứng suất (Nguyên lý Castigliano).
 Theo mô hình hỗn hợp: Coi các đại lƣợng chuyển vị ứng suất là 2 yếu tố độc
lập. Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng
suất trong phân tử. Các ẩn số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình thiết lập trên cơ
sở nguyên lý biến phân Reisner.
Sau khi tìm đƣợc các ẩn số bằng việc giải một phƣơng trình đại số vừa nhận đƣợc
thì cũng có nghĩa là ta tìm đƣợc các xấp xỉ biểu diễn đại lƣợng cần tìm trong tất cả các
phần tử. Và từ đó cũng tìm ra đƣợc các đại lƣợng còn lại.
1.1 Trình tự phân tích bài toán theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn
Bước 1 : Rời rạc hóa miền khảo sát
Trong bƣớc này miền khảo sát V đƣợc chia thành các miền con
phần tử có dạng hình học thích hợp.

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 21

hay thành các

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

Hình 2.1 mô hình các phần tử đơn giản

GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 22


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Với các bài toán cụ thể số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũng nhƣ kích
thƣớc các phần tử đƣợc xác định rõ. Số điểm nút của mỗi phần tử không lấy đƣợc một
cách tùy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn
Bước 2 : Chọn hàm xấp xỉ thích hợp
Vì đại lƣợng cần tìm chƣa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó sao cho đơn
giản đối với tính toán bằng máy tính nhƣng phải thỏa mãn các tiêu chuẩn hội tụ và
thƣờng chọn ở dạng đa thức.
Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị và có thể cả các đạo hàm của nó tại
các nút của phần tử {qe}.
Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử [K e] và
vectơ tải phần tử {Pe}
Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp hoặc sử dụng nguyên lý biến phân, hoặc các
phƣơng pháp biến phân…
Kết quả nhận đƣợc có thể biểu diễn một cách hình thức nhƣ một phƣơng trình
phần tử: [Ke] .{qe} = {Pe}

(2.1)

Bước 4: Ghép nối các phần tử trên mô hình tương thức mà kết quả là hệ thống phương
trình
[K] .{q} = {P}

(2.2)

Trong đó:
[K]: Ma trận độ cứng tổng thể (hay ma trận hệ số toàn miền)
{q}: Vectơ tập hợp các giá trị đại lƣợng cần tìm tại các nút (còn gọi là vectơ
chuyển vị nút tổng thể)
{P}: Vectơ các số hạng tự do tổng thể (hay vectơ tải tổng thể )
Rồi sử dụng điều kiện biên của bài toán, mà kết quả nhận đƣợc là hệ phƣơng trình
sau:
[K*] .{q*} = {P*}
GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 23

(2.3)


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Đây chính là phƣơng trình hệ thống hay còn gọi là hệ phƣơng trình để giải
Bước 5: Giải phương trình đại số
[K*] .{q*} = {P*}
Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phƣơng trình đại số là không khó khăn. Kết quả là
tìm đƣợc chuyển vị của các nút.
Nhƣng với bài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt đƣợc sau một chuỗi các bƣớc lặp mà sau
mỗi bƣớc ma trận cứng [K] thay đổi (trong bài toán phi tuyến vật lý) hay vectơ lực nút {P}
thay đổi (trong bài toán phi tuyến hình học).

Bước 6:Hoàn thiện: Tính giá trị của các đại lƣợng còn lại (ứng suất, biến dạng…)
1.2 Hàm xấp xỉ - Phép nội suy
2.2.1 Hàm xấp xỉ
Ý tƣởng của phƣơng pháp này là cần tìm các hàm thỏa mãn điều kiện biên và xấp xỉ
hóa đại lƣợng cần tìm tại điểm bất kỳ trong miền xác định V. Ứng dụng vào phƣơng
pháp PTHH, chúng ta cần tìm các hàm thỏa mãn điều kiện biên của các phần tử tức là
các hàm này cho kết quả đúng tại các nút của phần tử và xấp xỉ hóa đại lƣợng cần tìm
tại điểm bất kỳ trong miền con Vj. Điều này cho phép ta khả năng thay thế việc tìm
nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần
tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản. Và vì vậy bƣớc quan trọng đầu tiên cần nói đến là việc
chọn hàm xấp xỉ đơn giản, thƣờng chọn ở dạng đa thức vì những lý do sau:
 Đa thức khi đƣợc xem nhƣ một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức thì tập hợp các
đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính.
 Hàm xấp xỉ dạng đa thức thƣờng dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi xây dựng
các phƣơng trình của PPPTHH và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt vì dễ đạo
hàm, tích phân.
 Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ (về mặt
lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác). Tuy nhiên trong thực
tế ta cũng chỉ lấy các đa thức xấp xỉ bậc nhất mà thôi.
GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 24


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
2.2.2 Phép nội suy
Trong PP PTHH , các hệ số trong các hàm đa thức xấp xỉ đƣợc biểu diễn qua các
giá trị của nó (cả những giá trị đạo hàm) tại các điểm nút đƣợc định trƣớc trên mỗi phần
tử.
Nói cách khác là hàm xấp xỉ đƣợc nội suy theo các giá trị ( hoặc cả các đạo hàm)

của nó tại các nút phần tử. Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đại lƣợng cần tìm là
hàm bất kì sẽ đƣợc xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy qua các giá trị (hoặc cả các đạo
hàm) của nó tại điểm nút của phần tử.
Ví dụ:

Hình 2.2 Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange
Nội suy hằng số:

(2.4)

Nội suy tuyến tính :

(2.5)

Nội suy bậc hai :

(2.6)

2.2.3 đa thức xấp xỉ
Nhƣ đã nói ở trên, hàm xấp xỉ đƣợc chọn dƣới dạng đa thức đơn giản. Có thể nhƣ
sau. [3] :
Bài toán 1 – D (một chiều)
GVHD: Th.s Trần Thanh Hải

Trang 25